5.1.2含30°角的直角三角形的性质 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册
2026-10-08
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内容正文：
# 湘教版数学八年级上册 5.1.2 含30°角的直角三角形的性质 专项练习
## 知识点回顾
**性质**：在直角三角形中\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)如果一个锐角等于$\boldsymbol{30^\circ}$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)那么它所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言：
在$Rt\triangle ABC$中\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle C=90^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle A=30^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)则$\boldsymbol{\(BC=\)\dfrac\(\boldsymbol{12}\)AB}$。
**逆用（判定）**：
在直角三角形中\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)如果一条直角边等于斜边的一半\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)那么这条直角边所对的锐角等于$30^\circ$。
✅解题要点
1. 前提：**必须是直角三角形**\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)才有这个结论；普通三角形不成立。
2. 分清：$30^\circ$角**对的直角边**是短直角边\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)是斜边一半；不是邻边。
3. 常结合上一节：直角三角形斜边上中线、等腰、等边三角形一起考。
满分：100分 时间：40分钟
## 一、选择题（每题4分\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)共20分）
1. 在$Rt\triangle ABC$中\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle C=90^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle B=30^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)则$AC$是（）
A. 斜边$AB$的一半
B. 斜边$AB$的2倍
C. 直角边$BC$的一半
D. 直角边$BC$的2倍
2. $Rt\triangle ABC$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle C=90^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)斜边$\(\(AB=\)10\)$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle A=30^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)则$BC$长为（）
A.$10$ B.$5$ C.$20$ D.$\(2.5\)$
3. 在直角三角形中\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)一条直角边等于斜边的一半\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)则这条直角边所对的角为（）
A.$60^\circ$ B.$45^\circ$ C.$30^\circ$ D.$90^\circ$
4. $Rt\triangle ABC$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle C=90^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle B=30^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)短直角边$\(AC=4\)$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)则斜边$\(AB=\)$（）
A.$2$ B.$4$ C.$8$ D.$16$
5. 下列说法正确的是（）
A. 有一个角$30^\circ$的三角形\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$30^\circ$对边是另一边一半
B. 在直角三角形中\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$30^\circ$角所对直角边等于斜边一半
C. 直角三角形斜边等于短直角边一半
D. 任意三角形\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$30^\circ$对边等于斜边一半
## 二、填空题（每题4分\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)共20分）
1. 在直角三角形中\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$30^\circ$锐角所对的________等于斜边的一半。
2. $Rt\triangle ABC$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle C=90^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle A=30^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)斜边$\(AB=\)14$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)则$\(BC=\)$________。
3. $Rt\triangle$中\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)若一条直角边等于斜边的一半\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)则这条直角边所对的角是________。
4. $Rt\triangle ABC$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle C=90^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle B=30^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\(AC=6\)$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)则斜边$\(AB=\)$________。
5. 在$Rt\triangle ABC$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle C=90^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle A=30^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)则另一个锐角$\angle B=$________。
## 三、基础解答题（每题8分\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)共32分）
1. 已知：在$Rt\triangle ABC$中\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle C=90^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle A=30^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)斜边$\(AB=\)\(\boldsymbol{12}\)$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)求$BC$的长。
2. 已知：$Rt\triangle ABC$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle C=90^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\(BC=\)3$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\(AB=\)6$。求证：$\angle A=30^\circ$。
3. 判断对错\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)并说明理由
（1）三角形有一个角是$30^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)那么$30^\circ$对的边是斜边的一半。
（2）在$Rt\triangle$中\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$60^\circ$角对的直角边是斜边一半。
4. 已知：$Rt\triangle ABC$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle C=90^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle B=30^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\(\(AB=\)10\)$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)求$AC$的长。
## 四、拓展提升题（每题14分\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)共28分）
1. 已知：在$Rt\triangle ABC$中\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle C=90^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle A=30^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$CD$是斜边$AB$上的中线\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)求证：$\triangle BCD$是等边三角形。
2. 已知：$\angle AOB=30^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)点$P$在$OA$上\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$PC\perp OB$于$C$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\(PC=5\)$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)求$OP$的长度。
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# 参考答案与解析
## 一、选择题
1.A 2.B 3.C 4.C 5.B
## 二、填空题
1. **直角边**
2.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{7}\)}$
3.$\boldsymbol{30^\circ}$
4.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{12}\)}$
5.$\boldsymbol{60^\circ}$
## 三、基础解答题
1. 解：
$\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)\angle A=30^\circ$
$\therefore \(BC=\)\dfrac\(\boldsymbol{12}\)AB$（直角三角形中\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$30^\circ$角所对直角边等于斜边一半）
$\because \(AB=\)\(\boldsymbol{12}\)$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\therefore \(BC=\)\boldsymbol{6}$
2. 证明：
$\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)\(BC=\)3\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)\(AB=\)6$
$\therefore \(BC=\)\dfrac\(\boldsymbol{12}\)AB$
$\therefore \angle A=30^\circ$（直角三角形中\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)如果一条直角边等于斜边一半\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)则这条直角边所对锐角是$30^\circ$）
3.（1）×；理由：必须是**直角三角形**才有这个结论\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)普通三角形不成立。
（2）×；理由：$30^\circ$角所对直角边等于斜边一半\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)不是$60^\circ$。
4. 解：
$\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ$
$\therefore AC=\dfrac\(\boldsymbol{12}\)AB$
$\because \(\(AB=\)10\)$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\therefore AC=\boldsymbol{5}$
## 四、拓展提升题
1. 证明：
$\because \angle ACB=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)\angle A=30^\circ$
$\therefore \(BC=\)\dfrac\(\boldsymbol{12}\)AB$
$\because CD$是斜边$AB$中线\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\therefore CD=BD=\dfrac\(\boldsymbol{12}\)AB$
$\therefore \(BC=\)CD=BD$
$\therefore\triangle BCD$是等边三角形。
2. 解：
$\because PC\perp OB$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\therefore\triangle OCP$是直角三角形\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\angle OCP=90^\circ$
$\because \angle AOB=30^\circ$\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)$\(PC=5\)$
$\therefore PC=\dfrac\(\boldsymbol{12}\)OP$
$\therefore OP=2PC=\boldsymbol{10}$
## 易错警示
1. 前提条件**直角三角形**不能丢！选择填空最爱挖坑；
2. 一定是**$30^\circ$角所对的直角边**\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)不是邻边；
3. 经常和斜边上中线一起综合出题；
4. 逆用：直角三角形\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)直角边$=\dfrac\(\boldsymbol{12}\)$斜边$\Rightarrow$该边对角$30^\circ$。
下一节：**5.2 勾股定理**\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle C=90^\circ\(\because \angle ACB=90^\circ，\angle A=30^\circ\)\angle B=30^\circ\)\angle A=30^\circ\)继续同模板出题吗？
湘教版（新教材）数学八年级上册
5.1.2含30°角的直角三角形的性质
授课教师： .
班 级： 8年级（ ）班 .
时 间： .
2026/10/8
学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。
第5章 直角三角形
1
2
3
探索并掌握含30°角的直角三角形的性质（重点）
掌握“在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30º.”（重点）
利用“有一个角为30°的直角三角形的性质与逆命题”开展实际应用.（重点）
学习目标
导入新课
1、直角三角形有哪些性质？结合图形，用图形语言叙述。
Rt∆ABC中，∠C=90°，D是AB的中点
D
C
B
A
∠A+ ∠B=90°
CD=AD=BD = AB
1
2
2、一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形?
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；
（3）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形。
学习目标
03
新知探究
任务一：画一个锐角为 30°的直角三角形用直尺分别测量斜边和直角边的长度.
任务二：将直角三角形剪裁下来，将直角三角形进行折叠，使点A与点B重合，找到AB的中点D.
任务三：将直角三角形进行折叠，使BC与BA所在直线重合.
4
03
新知探究
思考
在一个锐角为 30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系？
BC=AB
思考：你能通过几何语言进行证明吗？
5
03
新知探究
已知：如图 ，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°.
求证：BC=AB.
证明：取斜边AB的中点D，连接CD.
根据直角三角形的性质定理得，CD= AB=BD，
于是△DBC是等腰三角形.
由于∠ACB=90°，∠A=30°，
因此∠B = 60°.
于是△DBC是等边三角形，
因此BC=BD=AB.
6
03
新知探究
直角三角形的性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
几何语言
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴ BC=AB.
03
新知探究
思考
可以运用轴对称知识证明结论成立吗？试一试.
答案:可以.下面我们用三角尺验证:如图所示，把两个含30°角的三角尺较长的直角边拼在一起，可以构成等边三角形，该等边三角形是轴对称图形，较长的直角边所在的直线为该等边三角形的一条对称轴。这时，两条较短的直角边之和为等边三角形的一边，而斜边也为等边三角形的一边，所以30°角所对的直角边等于斜边的一半.
8
03
新知探究
在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30√("3" )海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗?(已知√("3" )≈1. 732)
例2
思考：什么情况轮船会触礁？
当点A到轮船航线所在直线的距离大于20海里时不会触礁.
03
新知探究
分析：如图，取轮船航向所在的直线为OB. 过点A作AD⊥OB，垂足为D。AD的长为A岛到轮船航道的最短距离，若AD大于20海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
03
新知探究
解：如图，取轮船航向所在的直线为OB. 过点A作AD⊥OB，垂足为D.
在Rt△AOD中，AO=30海里，∠AOD=30°，
∴AD=AO=×30=15≈25. 98(海里).
∵AD ≈ 25. 98 > 20，
∴轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
1. 在中，若，且，则 等
于( )
D
A. 2 B. 3 C. 9 D. 12
2．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为8，则这个等腰三角形的面积为( )
A．8 B．16 C．24 D．32
B
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举一反三
12
3．[北京市丰台区期末]如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分AC.如果DE＝2，那么BC的长为________．
6
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举一反三
13
03
新知探究
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC=AB，
求证：∠A = 30°.
例3
证明:如图，取斜边AB的中点D，连接CD.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD =AB=BD.
∵BC=AB，∴BC=BD=CD，
即△BDC为等边三角形.
∴∠B = 60°.
∵∠A+∠B=90°，∴∠A=90°∠B=30°
14
03
新知探究
如图，延长BC到F，使CF=BC，连接AF
因为∠BCA=90°，BC=CF，
所以AC垂直平分BF，
于是AB=AF(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
又BC=AB ，BC=CF=BF，
方法二
03
新知探究
所以BF=AB，
因此BF = AB = AF，即△ABF是等边三角形
所以∠B = 60°，
因此∠CAB = 90°- ∠B = 30°
方法二
03
新知探究
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
几何语言
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB，
∴∠A=30°.
新知应用
基础巩固题
1.如图，某山坡的坡面的长为 ，坡角
，则山坡的高为_____ ．
100
2.如图，在中， ， ，
，则 的长是( ) .
A.8 B.1 C.2 D.4
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
新知应用
基础巩固题
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
A．3.5
B．4.2
C．5.8
D．7.3
A
垂线段最短
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
新知应用
基础巩固题
4.如图是某建筑物的屋顶架的示意图，D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE都垂直于横梁AC，DE＝2米，∠A＝30°，则AB等于( )
A．8米 B．4米
C．2米 D．1米
5.如图，在△ABC中，BC＝8，AB＝10，S△ABC＝20，则∠B的度数是( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
A
B
4．[北师大附中模拟]某市在旧城改造中，计划在一块如
图所示的 空地上种植草皮以美化环境.已知
，， ，这种草皮每平方米
售价元，则购买这种草皮至少需要______元.（用含 的代数
式表示）
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举一反三
21
5．如图，小明在A处看见前面山上有个气象站C，仰角为15°，沿AB行走4千米到达B处，此时小明看气象站C的仰角为30°.请你算出这个气象站离地面的高度CD是________．
2千米
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举一反三
22
6.如图，一条船上午8时从海岛 出发，以15
海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到
达海岛处，分别从，处观察灯塔 ，测得
， .
举一反三
23
（1）求海岛到灯塔 的距离.
【解】由题意得 （海里）.
因为 ， ，
所以 .
所以.所以 海里.
所以海岛到灯塔 的距离为30海里.
举一反三
24
（2）若这条船到达海岛 处后，继续向正北方
向航行，还要经过多长时间，该船与灯塔 的距
离最短？
举一反三
25
如图，过点作于点 ，
所以 .根据垂线段最短，可知线段 的
长为该船与灯塔 的最短距离，
因为 ，
所以 .
因为海里，所以 海里.
举一反三
26
因为 （时），
所以若继续向正北方向航行，还要经过1小时，该
船与灯塔 的距离最短.
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举一反三
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BC＝4 cm，BD＝2 cm，则AD的长为( )
A．1 cm B．3 cm C．6 cm D．7 cm
C
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举一反三
28
8．如图，在△ABC中，AC＝2AB＝12，∠ABC＝90°，点D是边BC上一动点，以AD为腰作等腰三角形ADE，使AE＝AD，∠DAE＝60°，连接BE，则BE的最小值为________．
3
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举一反三
29
课堂小结
含30°角的直角三角形的性质
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
逆定理
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
谢谢观看
THANKS
【点拨】连接AD，因为DE垂直平分AC，所以AD＝CD，∠AED＝90°，所以∠DAC＝∠C＝30°，所以AD＝2DE＝4，所以AD＝CD＝4.因为∠B＝90°，∠C＝30°，所以∠BAC＝90°－∠C＝60°，所以∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝30°，所以BD＝AD＝2，所以BC＝BD＋CD＝2＋4＝6.
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