精品解析：浙江省杭州市上城区钱学森学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025学年第一学期九年级期中教学质量检测 数学试题卷 1．本科目试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前、考生务必用黑色水笔或签字笔填写学校、班级、姓名、座位号、考号． 3．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．考试结束后，上交试题卷和答题卷． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知，，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 若点B（a，0）在以点A（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆外，则a的取值范围为（　　） A. ﹣3＜a＜1 B. a＜﹣3 C. a＞1 D. a＜﹣3或a＞1 3. 如图，在中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（ ） A. B. C. D. 4. 小刚抛掷一枚均匀的硬币，一连99次都掷出正面朝上，当他第100次掷硬币时，出现正面朝上的概率是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 5. 已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为cm，则它的长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 7. 如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（　　） A. 10° B. 14° C. 16° D. 26° 8. 如图的中有一正方形，其中在上，在上，直线分别交于两点. 若，则的长度为() A. B. C. D. 9. 如图，四边形内接于，，，若，，则的长度为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠现有墙（墙的长度为16米），另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料（不包括门）总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（ ）平方米． A. 54 B. C. 108 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图象顶点坐标为______． 12. 如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形．则________． 13. 如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 14. 某种绿豆在相同条件下进行发芽实验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1902 2850 发芽的频率 则估计该种绿豆发芽的概率是______． 15. 如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，－4），N（0，－10），函数的图像过点P，则＝________ 16. 如图，点E，F分别在的边，上，连结，，点D关于的对称点G恰好在的延长线上，连结交于点H．若，，则______，______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．求此抛物线的表达式． 18. 在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀． （1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是_________； （2）若从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率． 19. 如图,点C，D在线段AB上,∠A=∠B,AE=3,AD=2,BC=3,BF=4.5,DE=5,求CF的长． 20. 如图，已知AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE． （1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度数； （2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长． 21. 如图有一座抛物线形拱桥，桥下在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，此时水面宽度为10米． （1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式． （2）若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时水能漫到拱桥顶？ 22. 如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 23. 已知抛物线经过，，三点，对称轴是直线．关于x的方程有两个相等的实数根． （1）求抛物线的解析式； （2）若，试比较与的大小； （3）若B，C两点在直线的两侧，且，求n的取值范围． 24. 如图1．在正方形中，点F，H分别在边，上，连结，交于点E，已知． （1）线段与垂直吗？请说明理由． （2）如图2，过点A，H，F的圆交于点P，连结交于点K．求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，当点K是线段的中点时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期中教学质量检测 数学试题卷 1．本科目试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前、考生务必用黑色水笔或签字笔填写学校、班级、姓名、座位号、考号． 3．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．考试结束后，上交试题卷和答题卷． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知，，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例性质，通过将比例式转化为等积式，与已知条件对比即可判断． 【详解】解： A．由 得 ，与已知一致，∴符合题意； B．由 得 ，与已知不符，∴不符合题意； C．由 得 ，与已知不符，∴不符合题意； D．由 得 ，与已知不符，∴不符合题意． 故选A． 2. 若点B（a，0）在以点A（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆外，则a的取值范围为（　　） A. ﹣3＜a＜1 B. a＜﹣3 C. a＞1 D. a＜﹣3或a＞1 【答案】D 【解析】 【详解】∵点B(a，0)在以点A(-1，0)为圆心，2为半径的圆外， ∴， ∴a＜-3或a＞1. 故选D. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外. 3. 如图，在中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件知∠A＝∠A，再添加选项中的条件依次判断即可得到答案. 【详解】解：A、，，则可判断，不符合题意； B、，，则可判断，不符合题意； C、 ，若成立，则，由题可知DE与BC不平行，符合题意； D、 ，，则可判断，不符合题意 故选：C． 【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，已知一个角相等时，再确定另一组角相等或是构成已知角的两边对应成比例，即可证明两个三角形相似. 4. 小刚抛掷一枚均匀的硬币，一连99次都掷出正面朝上，当他第100次掷硬币时，出现正面朝上的概率是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的意义．抛掷硬币是独立事件，每次抛掷正面朝上的概率均为，与之前结果无关. 【详解】解：∵硬币是均匀的， ∴每次抛掷出现正面朝上的概率均为， 又∵各次抛掷相互独立， ∴第100次抛掷出现正面朝上的概率仍为. 故选：C． 5. 已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数系数与图象的关系．注意二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线确定的．由开口向下，可得，由抛物线与y轴交于正半轴，可得，又由对称轴在y轴右侧，即可得a，b异号，继而求得答案． 【详解】解：∵开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴a，b异号，即， ∴， ∴点在第二象限． 故选：B． 6. 一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为cm，则它的长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割比的定义，关键是熟练应用定义解题； 根据黄金比的定义，宽与长之比为 ，已知宽求长，通过比例关系计算即可． 【详解】解：设长为 ， ∵ 宽与长之比为黄金比，即 ， ∴ ， ∴ ， 有理化分母：， ∴ 长为 ． 故答案为：A． 7. 如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（　　） A. 10° B. 14° C. 16° D. 26° 【答案】C 【解析】 【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数． 【详解】解：连接BD，如图， ∵AB是半圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°， ∴∠CAB＝∠BDC＝16°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 8. 如图的中有一正方形，其中在上，在上，直线分别交于两点. 若，则的长度为() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由DE∥BC可得求出AE的长，由GF∥BN可得，将AE的长代入可求得BN． 【详解】解：∵四边形DEFG是正方形， ∴DE∥BC，GF∥BN，且DE=GF=EF=1， ∴△ADE∽△ACB，△AGF∽△ANB， ∴①，②， 由①可得，，解得：， 把代入②，得：， 解得：， 故选择：D. 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出AE的长是解题的关键． 9. 如图，四边形内接于，，，若，，则的长度为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的相关性质及等腰直角三角形的判定是解题的关键．先利用圆周角定理及平行线的性质证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，再根据圆周角定理及直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 同理可得，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， 解得，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 故选：C． 10. 某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠现有墙（墙的长度为16米），另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料（不包括门）总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（ ）平方米． A. 54 B. C. 108 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据题意，设中间隔开的墙长为，能建成的饲养室总占地的面积为，先根据墙的长度为16米，求出，再求出，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设中间隔开的墙长为，能建成的饲养室总占地的面积为， ∵， ∴， 根据题意得，， ∵，且， ∴当时，取得最大值，最大值为， 则能建成的饲养室面积最大为平方米． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图象顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数的顶点坐标，熟练掌握把二次函数的一般式整理成顶点式，是解题关键．直接把二次函数的解析式整理为顶点式即可解答． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故答案为：． 12. 如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形．则________． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意求出扇形的弧长，然后根据扇形面积公式求出扇形面积即可． 【详解】∵扇形周长等于铁丝的长为8 cm，扇形的半径是2 cm， ∴扇形弧长是4 cm， ∴. 故答案为：4． 【点睛】此题考查了扇形弧长和面积的求法，解题的关键是熟练掌握扇形弧长和面积公式． 13. 如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的定义可得，，从而可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴，， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 某种绿豆在相同条件下进行发芽实验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1902 2850 发芽的频率 则估计该种绿豆发芽的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据用频率估计概率的知识解答即可． 【详解】解：当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.95，故用频率估计概率，绿豆发芽的概率估计值是0.95． 故答案为：． 15. 如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，－4），N（0，－10），函数的图像过点P，则＝________ 【答案】28 【解析】 【详解】先设y=k/x再根据k的几何意义求出k值即可． 解答：解：连接PM，作PQ⊥MN， 根据勾股定理可求出PQ=4， 根据圆中的垂径定理可知点OQ=-4-3=-7， 所以点P的坐标为（-4，-7）， 则k=28． 16. 如图，点E，F分别在的边，上，连结，，点D关于的对称点G恰好在的延长线上，连结交于点H．若，，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等角对等边，由对称的性质可得，，由平行四边形的性质可得，，推出，由等角对等边得出，设，则，，即可得出，证明，得出，设，则，求出，再由计算即可得解． 【详解】解：∵点D关于的对称点G恰好在的延长线上， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．求此抛物线的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式．设抛物线为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：抛物线对称轴为， 设抛物线为， 又抛物线过，， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． 18. 在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀． （1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是_________； （2）若从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据口袋中数字不大于3的小球有3个，即可确定概率； （2）通过列表或画树状图写出所有的等可能结果，然后数出两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的结果，即可得到概率． 【详解】解：（1）一共有4个小球，不大于3的小球有3个， 因此从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是； （2）列表为： 1 2 3 4 1 （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） 一共有12种等可能结果，两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的有（1，3），（2，4），（3，1），（4，2），共4中结果， 因此两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率为． 【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握画树状图或列表法求概率是解题的关键． 19. 如图,点C，D在线段AB上,∠A=∠B,AE=3,AD=2,BC=3,BF=4.5,DE=5,求CF的长． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：利用相似三角形的判定进行解答，根据条件可以求出,再证明△AED∽△BFC由相似的性质就可以得出结论. 试题解析： ∵, ∴ 又∠A=∠B ∴△AED∽△BFC ∴ ∴ ∴CF=. 20. 如图，已知AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE． （1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度数； （2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长． 【答案】（1）30°；（2）5 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠BOD＝∠AOD＝60°，然后根据圆周角定理得到∠DEB的度数； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，根据垂径定理得到AC＝BC＝4，然后利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，再解方程即可． 【详解】解：（1）∵OD⊥AB， ∴＝， ∴∠BOD＝∠AOD＝60°， ∴∠DEB＝∠BOD＝×60°＝30°； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2， ∵OD⊥AB， ∴AC＝BC＝AB＝×8＝4， 在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r﹣2）2+42＝r2， 解得：r＝5， 即⊙O的半径长为5． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理及勾股定理是解题关键． 21. 如图有一座抛物线形拱桥，桥下在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，此时水面宽度为10米． （1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式． （2）若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时水能漫到拱桥顶？ 【答案】（1）；（2）再持续4小时到达拱桥顶 【解析】 【分析】（1）首先设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），把D（5，b），则B（10，b－3）代入解方程组即可； （2）由（1）可求得点B坐标，进而可得拱桥顶O到警戒水位CD的距离，进而求出时间． 【详解】（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），由CD＝10m，可设D（5，b），由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD，则B（10，b﹣3）， 把D、B的坐标分别代入y＝ax2得： ， 解得：， ； （2）∵b＝﹣1， ∴拱桥顶O到CD的距离为1m， （小时）， ∴再持续4小时到达拱桥顶． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会利用二次函数的性质解决问题． 22. 如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 【答案】电线杆的高度为米 【解析】 【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作于点Q，于点P，得出四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，由题意得，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可． 【详解】解：如图， 过点G作于点Q，于点P， 根据题意得出，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∵米，米，宽米，米， ∴米，，米， ∵点G是的中点， ∴米， ∴（米）， ∵实际高度和影长成正比例， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∴（米）． 答：电线杆的高度为米． 23. 已知抛物线经过，，三点，对称轴是直线．关于x的方程有两个相等的实数根． （1）求抛物线的解析式； （2）若，试比较与的大小； （3）若B，C两点在直线的两侧，且，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得①，②，③，联立方程组可求，，，可求解析式； （2）由，可得点，点在对称轴直线的左侧，由二次函数的性质可求解； （3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解． 【小问1详解】 解：抛物线经过， ①， 对称轴是直线， ②， 关于的方程有两个相等的实数根， ∴关于的方程有两个相等的实数根， ③， 由①②③可得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ，， 点，点在对称轴直线的左侧， 抛物线中， ∴在对称轴的左侧随的增大而增大， ， ， ； 【小问3详解】 解：若点在对称轴直线的左侧，点在对称轴直线的右侧时，，， 由题意可得， 解得：； 若点在对称轴直线的左侧，点在对称轴直线的右侧时， 由题意可得：， 此不等式组无解， 综上所述：． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 24. 如图1．在正方形中，点F，H分别在边，上，连结，交于点E，已知． （1）线段与垂直吗？请说明理由． （2）如图2，过点A，H，F的圆交于点P，连结交于点K．求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，当点K是线段的中点时，求的值． 【答案】（1）， 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴（）， ∴． 又∵， ∴． ∵ ∴△CFH是等腰三角形， ∴． （2） 证明：如图1，过点K作于点G． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）证明（），得到，进一步得到，由△CFH是等腰三角形，结论得证； （2）过点K作于点G．先证△AKG∽△ACB，得，证△KHG∽CHB可得，结论得证； （3）过点K作点G．求得，设，，则KG＝AG＝GB＝3a，则，勾股定理得，，由得，得，，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，过点K作点G． ∵点K为中点： 由（2）得， ∴， 设，，则， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形全等的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $