《第7章证明》单元达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册《第7章证明》单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列是命题的为（   ） ①直角三角形中的两个锐角互余；②正数都大于0；③如果，那么与互补；④太阳不是行星；⑤对顶角相等吗？⑥作线段的垂线． A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑥ D．①②③⑥ 2．下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 3．下列命题是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．三个内角分别相等的两个三角形全等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．面积相等的两个三角形全等 4．下列选项，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，由能得到的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，，直线与直线，分别交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知直线，点C，E是线段上的点，且满足，，，，，，则为（   ） A．44 B．46 C．48 D．51 8．将一副三角板按如图所示放置，，．则下列结论：；如果，则有 ；如果，则有；如果，必有． 其中正确的有（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．“垂线段最短”有下列说法：是命题；是假命题；是真命题；是定理，其中正确的说法是 ． 10．命题分为题设和结论两部分，把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 11．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 12．如图，平分，平分，当和满足 时，． 13．“在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的2倍少，则为”这个命题是 （填“真”或“假”）命题． 14．如图是一个三位数的密码锁，已知以下三个条件： ①密码数字均为奇数，且各不相同； ②密码数字从上至下递减； ③最上面的密码数字是10的因数，则正确密码为 ． 15．如图，在中，点D为的中点，的边过点C，且，，平分，，，则 ． 16．如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 三、解答题（满分72分） 17．求证：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．（写出此命题的已知，求证和证明过程） 18．如图，，点、分别在线段、上，、分别与交于点、，若，，求证：．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据． 证明：，（_____），（_____）， （_____），_____， ，_____， （_____），（_____）， ，，，（_____）． 19．如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，且平分，求的度数． 20．如图，在中，，D是的中点，，垂足分别为E，F． (1)求证：． (2)下面是一个命题，请判断其是真命题还是假命题．若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例，可图示并做好必要标识． 在中，，D是的中点，点E，F分别在上．若，则． 21．问题呈现． 角平分线的性质 角的平分线上的点与角两边的点所连线段与角两边的位置关系的特殊情形，如图，是的平分线，P是上任一点，作与的垂线，垂足分别为点D和点E，通过测量，我们发现与相等．再类似取点，，…进行同样操作，发现它们仍相等，由此猜想有： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 请结合图形写出已知和求证，并完成推理过程． 已知：_____，求证：_____． (1)定理证明：结合图1写出已知和求证，并写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在四边形中，，点E在边上，平分，平分．求证：． 22．如图1，为射线上一点，， ．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 23．如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，求证：； (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含的代数式表示）； (3)如图3，，，．直线交、分别于点、，若，，则的值是______． 参考答案 1．A 【分析】本题考查命题定义，熟知命题是能判断真假的陈述句是解答的关键．根据定义，判断各语句是否为命题即可． 【详解】解：①是陈述句且真（直角三角形两锐角互余），是命题； ②是陈述句且真（正数大于0），是命题； ③是陈述句且真（互补角定义），是命题； ④是陈述句且真（太阳是恒星，不是行星），是命题； ⑤是疑问句，不是命题； ⑥是祈使句，不是命题。 综上，命题有①②③④， 故选A． 2．A 【分析】本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键． 根据平行线的定义进行逐一判定即可． 【详解】解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意； B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意； 故选A． 3．C 【分析】本题考查判断命题的真假，根据对顶角，全等三角形的判定，直角三角形的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； B、三个内角分别相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，不符合题意； C、直角三角形的两个锐角互余是真命题，符合题意； D、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，不符合题意； 故选C． 4．A 【分析】本题考查了举反例判断命题，理解题意是解题的关键． 要证明命题“若，则”是假命题，只需找出满足，但不满足的、值即可． 【详解】A．当，时，，，满足；而，不满足，可作为反例，故本选项符合题意； B．当，时，，，满足；且，满足，不能作为反例，故本选项不符合题意； C．当，时，，，满足；且，满足，不能作为反例，故本选项不符合题意； D．当，时，，，不满足，不能作为反例，故本选项不符合题意； 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 和不是同位角，也不是内错角，无法得到，故原选项不合题意； B. ∵，∴，故原选项正确，符合题意； C. ∵，∴，故原选项错误，不合题意； D. 和不是同位角，也不是内错角，无法得到，故原选项不合题意． 故选：B 6．B 【分析】本题考查平行线的性质，先根据对顶角相等得，再根据平行线的性质可得答案．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，从而得出，证明得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余． 根据直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定和性质，对各结论进行分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴正确， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴正确， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 若，则， ∴不正确， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正确， ∴正确的有． 故选：C． 9． 【分析】此题主要考查了命题与定理，正确把握命题与定理的定义是解题关键．直接利用命题以及定理的定义分析得出即可． 【详解】解：由命题的定义可知：“垂线段最短”是命题，所以①正确， 由“垂线段最短”是定理，再结合所有的定理都是真命题可得②错误，③④正确． 故答案为：①③④． 10．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【分析】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论． 【详解】解：题设为：两个角是同一个角的补角，结论为：这两个角相等， 故写成“如果...那么...”的形式是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 11． 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 12． 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，由平分，平分，得，，根据平行线性质可得，则，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．假 【分析】本题考查了命题真假的判断，平行线的性质，二元一次方程的解法．根据题意，作图分析，再建立方程组即可求解． 【详解】解：第一种情况，根据题意，作图如下， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得:， ∴； 第二种情况，如图所示， ∵，， ∴，， ∴，且， ∴， 解得:， ∴； 综上所述，的度数为或. 故答案为：假 ． 14．531 【分析】本题考查了逻辑推理，根据题意结合所给信息推导出各位数字是解题的关键．根据题意分析推理即可，由①结合③可以确定最上边第一位数字为5，由①②可以确定后两位数为31，据此分析即可． 【详解】解：由③最上面的密码数字是10的因数且①密码数字均为奇数，且各不相同， ∴最上边第一位数字为5， ∵①密码数字均为奇数，且各不相同且②密码数字从上至下递减， ∴中间和下面两个数字分别为3和1， 则正确密码为531， 故答案为：531． 15．6 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．延长，，交于点G，证明，得出，求出，证明，得出，根据，得出，再根据求出结果即可． 【详解】解：延长，，交于点G，如图所示： ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 16．①②③⑤ 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∴；故③正确； ∴；故②正确； ∴；故⑥错误； ∵，， ∴， ∴；故⑤正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 故答案为：①②③⑤． 17．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．证出，根据证，推出，根据证即可． 【详解】解：已知：在和中，与分别是边上的中线，且， 求证：； 证明：∵与分别是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 18．对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，先证明，得到，再证明，得到，进而得到，即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：，（对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， ， ， （垂直的定义）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是利用SAS证明三角形全等，再结合角的关系进行推理． （1）通过证明，得到，进而证明； （2）利用，得到，，从而得到，利用角平分线的定义得到，求出的度数． 【详解】（1）证明：在和中 ； （2）解：∵， ， ， ， 平分， ， ． 20．(1)证明见解析 (2)是假命题，反例见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形性质、全等三角形判定与性质及判断命题的真假， （1）先证明，再证明即可得出结论； （2）先说明命题是假命题，根据题意画出符合命题条件但不符合命题结论的图形即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：是假命题，反例是： 如图， 当点E、F在图上的点处时， 虽然有，但不能得到，故此命题是假命题． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，掌握相关知识是解决问题关键． （1）先结合图1写出已知、求证，然后证明 ，从而得到， （2）证明：过E点作于F点，于G点，于H点，如图2，根据角平分线的性质可证明，然后证明 ，从而得到 【详解】（1）解：已知：平分，于E点，于D点，如图1， 求证： 证明：平分， ， 于E点，于D点， ， 在和中， ， ， ， ∴角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）证明：过E点作于F点，于G点，于H点，如图2， 平分，DE平分， ，， ， 在和中， ， ， 22．(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图中角度的计算问题． （1）根据角的和差关系得出，再根据同位角相等两直线平行即可证明． （2）如图，根据角的和差关系得出，根据平行线的性质得出，代入计算即可． （3）过点作，则，，由平行线的性质得出，由垂直的定义得出，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：如图： 过点B作， ， ， ． ∵， ； （3）解：过点作， 则， ， 由（2）知， 则， ． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． 23．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）过作，过作，易得，利用平行线的性质可求解； （2）由角平分线的定义可设，，延长交于点G，过点M作交于点H，又由（1）可得，，则，进而求解； （3）设，，则，， 分别过点M，N作，，则，由得，再由（1）的结论得，计算可求解n值． 【详解】（1）解：过作，过作， 又∵， ∴， 则，，，， ∴，， ∴， 即； （2）解：如图2， ∵平分，平分， ∴设，， 延长交于点G，过点M作交于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点M作， 则，， ∴， 又由（1）可得，， ∴， ∴， 即； （3）解：如图3，设，，则，， 分别过点M，N作，，则， ∴， ∴， 即， ∴， 又由（1）知， 得到， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $