专题05 圆周运动（基础概念和规律、传动装置、绳球模型、杆球模型、圆锥摆、圆周运动中的连接体问题、圆周运动中的临界问题）（期末复习知识清单）高一物理上学期人教版

专题05 圆周运动（基础概念和规律、传动装置、绳球模型、杆球模型、圆锥摆、圆周运动中的连接体问题、圆周运动中的临界问题） 【清单01】圆周运动的基础概念和规律 一、圆周运动 1. 匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。 2. 运动性质：匀速圆周运动是变速运动，因为线速度方向时刻在变化，向心加速度方向时刻沿半径指向圆心，时刻变化。 3. 特征：匀速圆周运动中，角速度、周期、转速、速率、动能都是恒定不变的；而线速度、加速度、合外力、动量是不断变化的。 注意：匀速圆周运动与变速圆周运动的区别与联系 匀速圆周运动 变速圆周运动 运动 特点 线速度的大小不变，角速度、周期和频率都不变，向心加速度的大小不变 线速度的大小、方向都变，角速度变，向心加速度的大小、方向都变，周期可能变也可能不变 图示 受力 特点 所受到的合力为向心力，大小不变，方向变，其方向时刻指向圆心 所受到的合力不总指向圆心，合力产生两个效果： ①沿半径方向的分力Fn，即向心力，它改变速度的方向； ②沿切线方向的分力Ft，它改变速度的大小 运动 性质 非匀变速曲线运动(加速度大小不变，方向变化) 非匀变速曲线运动(加速度大小、方向都变化) 二、向心力与向心加速度 1. 向心力： （1）定义：质点做圆周运动时，受到的总是沿着半径方向指向圆心的合力，是效果力。 （2）作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。 （3）大小：=== 【注意】：向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，可以由几个力的合力或某一个力的分力提供；在匀速圆周运动中合力提供向心力；变速圆周运动中的合外力并不指向圆心，这时合外力可以分解为互相垂直的两个力：跟圆周相切的分力Fr和指向圆心方向的分力Fn，Fn产生了向心加速度，与速度垂直，改变了速度方向，Fr产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在一条直线上，它改变了速度的大小。 2．向心加速度 （1）物理意义：描述线速度方向变化快慢的物理量。 （2）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化。 （3）大小：=== 三、线速度、角速度等基本量的关系 1.圆周运动的相关物理量 物理量 公式 单位 标矢性 物理意义 线速度 m/s 矢量 描述物体位置变化的快慢和方向 角速度 rad/s 矢量 描述物体转动的快慢和方向 周期 s 标量 描述物体转动一周所用的时间 频率 Hz 标量 描述物体在单位时间内的振动次数 转速 r/s 标量 描述物体在单位时间内的运动圈数 向心加速度 m/s² 矢量 方向始终指向圆心，描述线速度变化的快慢和方向 向心力 N 矢量 方向始终指向圆心，由重力、弹力、摩擦力等合力或分力提供的效果力 ，， 2. 圆周运动各物理量间的关系 【清单02】几种传动装置 几种常见的传动装置 类型 模型 模型核心 应用规律 皮带传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即vA＝vB 角速度与半径成反比： ， 周期与半径成正比： 摩擦传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即vA＝vB 角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶ ， 周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比： 齿轮传动 同轴 传动 绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比 线速度与半径成正比： 【清单03】水平面内的圆周运动 1. 物体间恰好不发生相对滑动 的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 如果只是摩擦力提供向心力，则有F＝m，静摩擦力的方向一定指向圆心； 汽车转弯时，只由摩擦力提供向心力Ffm＝m 2. 水平转盘上运动物体模型 （1）如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。 （2）如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。 【清单04】斜面上的圆周运动 1. 模型解读：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2. 分析方法 物体在斜面上做圆周运动时，确定约束类型（凹槽/绳牵引）→正交分解（沿斜面和垂直斜面）→列法向方程→求临界参数。如下图所示，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，物体运动到斜面任意位置时由斜面内指向圆心方向的合力提供向心力。 【清单05】圆锥摆模型 1. 圆锥摆模型规律总结 (1)圆锥摆的周期 如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。 受力分析，由牛顿第二定律得：mgtanθ＝mr r＝Lsinθ 解得T＝2π＝2π。 (2)结论 ①摆高h＝Lcosθ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。 ②摆线拉力F＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力F越大。 ③摆球的加速度a＝gtanθ。 2. 圆锥摆的两种变形 变形1：具有相同锥度角的圆锥摆（摆长不同），如图甲所示。 由a＝gtanθ知A、B的向心加速度大小相等。由a＝ω2r知ωA<ωB，由a＝知vA>vB。 变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。 由T＝2π知摆高h相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB，由a＝ω2r知aA>aB。 【注意】：解决圆锥摆临界问题的技巧 圆锥摆的临界问题，主要就是与弹力有关的临界问题。 (1)绳子松弛或断开的临界条件是：①绳恰好拉直且没有弹力；②绳上的拉力恰好达最大值。 (2)接触或脱离的临界条件是物体与物体间的弹力恰好为零。 (3)对于火车转弯、半圆形碗内的水平圆周运动有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②发生相对滑动。 【清单06】汽车、火车转弯模型 水平路面车辆转弯、火车转弯模型规律总结 模型名称 模型分析 水平路面车辆转弯模型 自行车、汽车等车辆在水平路面上转弯时，重力与支持力平衡，转弯所需的向心力只能由地面对车辆的侧向静摩擦力来提供,可知最大安全转弯速度 。 火车转弯模型 ①火车在倾斜轨道上转弯，若以设计时速v0转弯，重力与铁轨支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得：,得。因为hL,θ角很小，所以,则;若火车经过弯道时的速度,外轨将受到挤压；若火车经过弯道时的速度,内轨将受到挤压。 五、汽车过拱形桥模型 拱形桥和凹形桥模型特点 概述 如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态 概述 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动 【清单07】圆周运动中的临界问题 1. 圆周运动常见的临界状态 （1）与绳或杆的弹力有关弹力恰好为0； （2）与静摩擦力有关，静摩擦力达到最大值； （3）绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 2. 三类情况分析 （1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力。 （2）绳子被拉断：绳上拉力恰好为最大承受力等。 （3）与支持面或杆的弹力有关的临界问题：要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度（或线速度）等。 【注意】：临界条件的确定： 当绳子的拉力达到最大值时，或者物体所受的静摩擦力达到最大静摩擦力时，就会出现临界情况。比如，在圆锥摆中，如果角速度逐渐增大，当绳子拉力达到其所能承受的最大值时，就达到了临界状态。此时，需要根据牛顿第二定律和向心力公式列出方程，结合临界条件来求解相关物理量。在临界状态下，对物体的受力情况和运动状态的分析不准确，导致无法正确列出方程求解。在临界状态下，物体的受力情况可能会发生变化。 【清单08】水平面内圆周运动中的多物体牵连问题 1. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上，A恰好处于圆盘中心。 （1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析， ，。 （2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。 对木块A分析，；对木块B分析，。解得临界角速度为。 结论：当时，轻绳上拉力为0；当时，A、B相对圆盘发生滑动。 2. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上。 （1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析， ，。 （2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。 对木块A分析，；对木块B分析，。解得临界角速度为。 结论：当时，轻绳上拉力为0；当时，A、B相对圆盘发生滑动。 3. A、B两物块叠放在转盘上 （1）若，则B先相对转盘发生滑动，临界角速度为。 （2）若，则则A先相对B发生滑动，则A先相对B发生滑动。 【清单09】圆周运动中的脱轨问题 圆周运动中的脱轨问题指物体因速度不足或过大而脱离原定圆周轨迹的现象，核心在于轨道支持力（或约束力）突变为零。 1. 脱轨条件与类型 凸面轨道（如拱桥顶点）： 脱轨条件：支持力 N=0（物体与轨道无挤压）。 实际速度 v>v临：离心趋势过大 → 脱离轨道做斜抛运动。 单轨模型（如绳球、环形轨道内侧）： 脱轨点：最高点 临界速度：v=√gr 【注意】：V<√gr，重力过剩 → 未达最高点即脱离，沿抛物线坠落。 2. 解题关键 脱轨判据： 轨道支持力 N≤0时必脱轨（凸面）； 约束力突减至零（如绳松弛 T=0)。 分析步骤： 确定脱轨点（常为最高点）； 由 N=0或 T=0列临界方程； 示例：小球过竖直圆环最高点时，若 v<√gr，则未达顶点即脱轨，沿圆周切线方向斜向下坠落。 【清单10】绳球模型、杆球模型两类经典模型中的临界条件——情景分析 两类模型对比分析 轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑) 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力示意图 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 F弹＝mg 讨论分析 (1)最高点，若v≥，F弹＋mg＝m，绳或轨道对球产生弹力F弹 (2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心 (2)当0<v<时，mg－F弹＝m，F弹背离圆心并随v的增大而减小 (3)当v＝时，F弹＝0 (4)当v>时，mg＋F弹＝m，F弹指向圆心并随v的增大而增大 【考点题型一】圆周运动基本概念和规律（共4小题） 1．（24-25高一下·河南漯河·期末）关于匀变速曲线运动，下列说法正确的是（　　） A．速度的方向和速度变化量的方向可能相同 B．速度的大小和方向时刻在发生变化 C．速度变化量的大小和方向都发生变化 D．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 【答案】B 【详解】A．速度变化量的方向由加速度方向决定，匀变速运动中加速度恒定，故速度变化量方向不变，而物体做曲线运动，说明速度的方向和速度变化量的方向不可能相同，故A错误； B．匀变速曲线运动的加速度恒定且与速度方向不共线。例如平抛运动中，加速度（重力加速度）方向竖直向下，速度方向不断变化，同时加速度在速度方向的分量使速度大小持续增大。因此，速度的大小和方向均时刻变化，故B正确； C．速度变化量大小为，方向与加速度方向一致。匀变速运动中加速度恒定，故速度变化量方向不变，大小仅随时间线性变化，而非“时刻变化”，故C错误； D．匀速圆周运动的向心加速度方向始终指向圆心，方向不断变化，加速度不恒定，因此匀速圆周运动不是匀变速曲线运动，故D错误。 故选B。 2．（24-25高一下·宁夏银川·期末）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（　　） A．运动周期为 B．加速度的大小为 C．受摩天轮作用力的大小始终为mg D．所受合力的大小始终为 【答案】D 【详解】A．座舱运动周期为，故A错误； B．座舱的加速度的大小为，故B错误； CD．座舱做匀速圆周运动，由向心力公式可得所受合力的大小始终为 座舱所受合力提供向心力，即重力与摩天轮对座舱的作用力的合力提供向心力，因此座舱受摩天轮作用力的大小不是mg，故C错误，D正确。 故选D。 【变式1】（24-25高一下·青海海南·期末）下列关于曲线运动的说法正确的是（　　） A．物体做曲线运动时，其加速度一定是变化的 B．做圆周运动的物体，其加速度不一定指向圆心 C．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 D．加速度恒定的运动不可能是曲线运动 【答案】B 【详解】A．物体做曲线运动时，加速度是否变化取决于受力情况。例如平抛运动，加速度为重力加速度，恒定不变，故A错误。 B．圆周运动中，匀速圆周运动的加速度指向圆心，但非匀速圆周运动存在切向加速度，总加速度不指向圆心，故B正确。 C．匀速圆周运动的加速度方向始终变化，属于变加速运动，而非匀变速，故C错误。 D．加速度恒定的运动可以是曲线运动，如平抛运动，故D错误。 故选B。 【变式2】（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图所示，一小球做半径为r、线速度大小为v的匀速圆周运动，经过一段时间t从A点运动到B点，把小球在A点的速度平移到B点，用线段BC来表示，下列说法正确的是（　　） A．在时间t内，小球的路程为vt B．小球从A点到B点的速度变化量方向由B指向D C．小球在A、B两点的速度不相同，向心加速度相同 D．在时间t内，小球与圆心的连线转过的角度为 【答案】A 【详解】A．在时间内，小球的路程为，故A正确； B．小球从点到点的速度变化量用线段来表示，方向由初速度的箭头端指向末速度的箭头端，即由指向，故B错误； C．小球在A、两点的速度大小相同、方向不同，向心加速度的大小相同、方向不同，则小球在A、两点的速度与向心加速度均不相同，故C错误； D．在时间内，小球与圆心的连线转过的角度，故D错误。 故选A。 【考点题型二】集中传动装置（共2小题） （24-25高一下·天津·期末）机械手表中有大量精密齿轮，齿轮转动从而推动表针。某机械手表打开后盖如图甲所示，将其中两个齿轮简化，如图乙所示。已知大、小齿轮的半径之比为3：2，Q、P分别是大、小齿轮边缘上的点，则Q、P两点的相关物理量关系正确的是（　　） A．角速度大小之比为1：1 B．线速度大小之比为3：2 C．周期之比为2：3 D．向心加速度之比为2：3 【答案】D 【详解】B．两轮是同缘转动，则P、Q两点的线速度相等，故B错误； A．根据可知，Q、P两点的角速度大小之比为，故A错误； C．根据可知，Q、P两点的周期之比为，故C错误； D．根据可知，Q、P两点的向心加速度之比为，故D正确。 故选D。 【变式3】（24-25高一下·北京海淀·期末）古代某部科技典籍中有牛力齿轮翻车的插图，如图所示，展现了我国古代劳动人民的智慧。图中、、三个齿轮半径的大小关系为，下列说法正确的是（　　） A．的角速度比的角速度大 B．与的角速度大小相等 C．边缘的线速度比边缘的线速度大 D．与边缘的线速度大小相等 【答案】C 【详解】AB．齿轮A与齿轮B是同缘传动，边缘点线速度大小相等，根据公式 可知，半径比较大的A的角速度小于B的角速度。而B与C是同轴传动，角速度相等，所以齿轮A的角速度比C的小，故A错误，B错误； C．齿轮A、B边缘的线速度大小相等，根据公式 可知，半径大的齿轮B比C边缘的线速度大，所以齿轮A边缘的线速度比C边缘的大，故C正确； D．BC两轮属于同轴转动，故角速度相等，根据公式 可知，半径比较大的齿轮B比C边缘的线速度大。故D错误； 故选C。 【考点题型三】圆周运动中的经典模型（共10小题） 1．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图所示，质量为m的小球用长为L的细绳悬于天花板的O点，并使之在水平面内做匀速圆周运动，细绳与竖直方向夹角为，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．摆球受到绳的拉力、重力和向心力 B．摆球的向心力由重力沿细绳方向的分力提供 C．摆球做匀速圆周运动的向心加速度大小为 D．若增大细绳与竖直方向的夹角，则小球运动的周期将增大 【答案】C 【详解】A．对小球受力分析，受竖直向下的重力mg和沿细绳向上的拉力T，向心力是效果力，由这两个力的合力提供，并非独立存在的力，故A错误； B．向心力由细绳向上的拉力T沿水平方向的分力提供，故B错误； C．对小球受力分析，由牛顿第二定律得 解得，故C正确； D．由圆周运动周期公式 解得 当θ增大时，cosθ减小，故周期T减小，故D错误。 故选C。 2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）物理来源于生活，也可以解释生活。对于如图所示生活中经常出现的情况，分析正确的是（　　） A．图甲所示为洗衣机脱水桶，其脱水原理是离心运动 B．图乙中物体随水平圆盘一起做圆周运动时，处于平衡状态 C．图丙中汽车经过拱桥最高点时（不脱离桥面），速度越大，对桥面的压力越小 D．图丁中若轿车转弯时速度过小容易发生侧翻 【答案】AC 【详解】A．图甲所示为洗衣机脱水桶，其脱水原理是水滴的附着力小于所需的向心力时水滴做离心运动，从而被甩出，故A正确； B．图乙中物体随水平圆盘一起做匀速圆周运动时，所受合力提供做圆周运动的向心力，故B错误； C．图丙中汽车过拱桥最高点时，满足 因此当汽车过拱桥最高点时，速度越大，对桥面的支持力越小，即压力越小，故C正确； D．图丁中若轿车转弯时速度过大发生侧翻，是因为汽车做离心运动，即需要的向心力大于提供的向心力，故D错误。 故选AC。 3．（24-25高一下·四川泸州·期末）如图，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法正确的是（　　） A．若v0=0，则小球对管内壁无压力 B．若，则小球对管内下壁有压力 C．若，则小球对管内上壁没有压力 D．不论v0多大，小球对管内壁都有压力 【答案】B 【详解】A．设小球在最高点时管内下壁对小球有竖直向上的支持力，则有 若v0=0，可得小球所受的支持力 根据牛顿第三定律，可知小球对管内下壁有竖直向下的压力，故A错误； B．设小球在最高点时管内上壁对小球有竖直向下的压力，则有 若，可得小球所受的压力 负号说明管内下壁对小球有竖直向上的支持力，根据牛顿第三定律，可知小球对管内下壁有竖直向下的压力，故B正确； C．设小球在最高点时管内上壁对小球有竖直向下的压力，则有 若，可得小球所受的压力 即管内上壁对小球有竖直向下的压力，大小为，根据牛顿第三定律，可知小球对管内上壁有竖直向上的压力，小球对管内下壁没有压力，故C错误； D．设小球在最高点时管内壁对小球没有力的作用，则有 解得 此时小球对管内壁没有压力，故D错误。 故选B。 4．（24-25高一下·天津河东·期末）如图所示，小球a、b分别在轻质细绳和轻质细杆作用下在竖直面内做圆周运动，两小球运动的半径均为R，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球a经过最高点时的速度可能小于 B．小球b经过最高点时的速度可能小于 C．小球a经过最高点时，细绳对小球a可能没有力的作用 D．小球b经过最高点时，细杆对小球b一定有力的作用 【答案】BC 【详解】A．小球a用细绳，在最高点时，细绳只能提供拉力，根据向心力公式 因为 所以，故A错误； B．小球b用细杆，细杆可提供拉力或支持力，在最高点时，根据向心力公式 可正可负，当为支持力时，可以小于，故B正确； C．当小球a在最高点速度时，即细绳对小球a可能没有力的作用，故C正确； D．当小球b在最高点速度时，即细杆对小球b没有力的作用，故D错误。 故选BC。 5．（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，带有中心转轴的水平转盘上放置一质量为1.5kg的小物块，物块与转轴通过轻质弹簧连接，小物块处于静止状态，弹簧伸长6cm。已知弹簧的劲度系数为、原长为30cm，现让转盘从静止开始缓慢加速转动，下列说法中正确的是（    ） A．当物块与转盘间的摩擦力恰好为零时，转盘角速度为 B．当物块与转盘间的摩擦力大小为4.5N时，转盘角速度可能为 C．当转盘角速度为时，物块与转盘间的摩擦力大小为4N D．当转盘角速度由增加到的过程中物块与转盘间的摩擦力逐渐增大 【答案】B 【详解】A．弹簧的伸长量为 弹簧的弹力 此时弹簧的长度 当摩擦力恰好为零时，弹簧的弹力提供向心力，由牛顿第二定律得 代入数据解得，故A错误； B．当物块与转盘间的摩擦力大小为4.5N时，摩擦力可能指向圆心，也可能背离圆心，如果摩擦力指向圆心，则 解得，故B正确； C．当角速度时，物体做圆周运动需要的向心力 此时摩擦力 方向指向圆心，故C错误； D．转盘的角速度为时，物体做圆周运动需要的向心力 解得 方向背离圆心，角速度从增加到过程，物块与转盘间的摩擦力由背离圆心6.3N先逐渐减小到0然后指向圆心，逐渐增大到1.8N，故D错误。 故选B。 【变式4】（24-25高一下·安徽六安·期末）如图所示，光滑半圆形球面体固定在水平面上，顶部有一小物块，现给小物块一个水平初速度，不计空气阻力，下列关于小物块可能的运动说法错误的是（　　） A．一直沿球面下滑至底端 B．立即离开球面做平抛运动 C．沿球面下滑一段弧长后离开球面 D．一直做匀变速曲线运动 【答案】A 【详解】BD．小物块在最高点，由牛顿第二定律 当时，解得 当时，小物块会立即离开球面做平抛运动，平抛运动是匀变速曲线运动，BD正确； AC．当时，小物块沿球面下滑一段弧长至某点，便离开球面做斜下抛运动，C正确，A错误。 此题选择不正确的，故选Ａ。 【变式5】（24-25高一下·天津·期末）如图所示，飞车表演场地可以看成一个圆台的侧面，侧壁是光滑的，飞车表演者可以看作质点，在A和B不同高度的水平面内做匀速圆周运动。以下关于表演者在A、B两个轨道时的线速度大小（vA、vB）、角速度（ωA、ωB）、向心力大小（FnA、FnB）和对侧壁的压力大小（FNA、FNB）的说法正确的是（　　） A．vA < vB B．ωA>ωB C．FnA>FnB D．FNA=FNB 【答案】D 【详解】D．设侧壁与竖直方向的夹角为θ，以飞车为研究对象，受力如图所示 竖直方向根据平衡条件可得 可得 可知，故D正确； ABC．水平方向根据牛顿第二定律可得 可得， 由于，则有，，，故ABC错误。 故选D。 【变式6】（24-25高一下·陕西安康·期末）水平转盘上有质量分别为m、2m、4m的三个物块甲、乙、丙，物块甲、乙、丙与转盘中心轴分别相距r、r、2r，物块与转盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。当转盘的角速度为时，关于物块受到的摩擦力，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当丙恰不产生滑动时，则满足 解得 当甲乙恰不产生滑动时，则满足 解得 则当转盘的角速度为时，甲乙物块相对转盘均静止，则， 丙相对转盘产生了相对滑动，则 则，， 故选A。 【变式7】（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图所示，有关生活中的圆周运动实例分析，下列说法正确的是（　　） A．汽车经过拱桥最高点时处于超重状态 B．火车转弯超过规定速度行驶时，火车轮缘对内轨有侧向挤压 C．“水流星”表演中，在最高点处水对桶底一定有压力 D．滚筒洗衣机转速越快，脱水效果越好 【答案】D 【详解】A．汽车经过拱桥最高点时，加速度向下，汽车处于失重状态，A错误； B．火车转弯超过规定速度行驶时，火车要做离心运动，火车轮缘对外轨有侧向挤压，B错误； C．设圆周运动半径为r。根据牛顿第二定律得 解得 “水流星”表演中，在最高点处的速度等于时，水对桶底无压力，C错误； D．衣服对水滴的作用力大小是定值，不能提供足够大的向心力，水滴做离心运动，被甩出去。滚筒洗衣机转速越快，水滴做圆周运动所需要的向心力越大，衣服对水滴的作用力越不足，水滴越容易被甩出去，脱水效果越好，D正确。 故选D。 【变式8】（24-25高一下·福建福州·期末）某同学在课后设计开发了如图所示的玩具装置。在水平圆台的转轴上的O点固定一根结实的细绳，细绳长度为l，细绳的一端连接一个小木箱，此时细绳与转轴间的夹角为，且处于恰好伸直的状态。已知小木箱的质量为m，木箱与水平圆台间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，重力加速度为g，不计空气阻力。在可调速电动机的带动下，让水平圆台缓慢加速运动，试求： (1)当圆台的角速度多大时，细绳开始有拉力； (2)当圆台的角速度多大时，圆台对木箱开始无支持力； (3)当圆台的角速度时，求细绳的拉力T和圆台对木箱支持力N分别是多少； 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）当细绳中恰好有拉力时，静摩擦力达到最大，静摩擦力提供向心力，有 解得 （2）当圆台对木箱恰好无支持力时，重力和绳子张力的合力提供向心力，有 解得 （3）当圆台的角速度时，因为，细绳有拉力T和圆台对木箱也有支持力N，摩擦力指向圆心且达到最大。对小木箱有：竖直方向上 水平方向上 且 联立上几式得， 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆周运动（基础概念和规律、传动装置、绳球模型、杆球模型、圆锥摆、圆周运动中的连接体问题、圆周运动中的临界问题） 【清单01】圆周运动的基础概念和规律 一、圆周运动 1. 匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。 2. 运动性质：匀速圆周运动是变速运动，因为线速度方向时刻在变化，向心加速度方向时刻沿半径指向圆心，时刻变化。 3. 特征：匀速圆周运动中，角速度、周期、转速、速率、动能都是恒定不变的；而线速度、加速度、合外力、动量是不断变化的。 注意：匀速圆周运动与变速圆周运动的区别与联系 匀速圆周运动 变速圆周运动 运动 特点 线速度的大小不变，角速度、周期和频率都不变，向心加速度的大小不变 线速度的大小、方向都变，角速度变，向心加速度的大小、方向都变，周期可能变也可能不变 图示 受力 特点 所受到的合力为向心力，大小不变，方向变，其方向时刻指向圆心 所受到的合力不总指向圆心，合力产生两个效果： ①沿半径方向的分力Fn，即向心力，它改变速度的方向； ②沿切线方向的分力Ft，它改变速度的大小 运动 性质 非匀变速曲线运动(加速度大小不变，方向变化) 非匀变速曲线运动(加速度大小、方向都变化) 二、向心力与向心加速度 1. 向心力： （1）定义：质点做圆周运动时，受到的总是沿着半径方向指向圆心的合力，是效果力。 （2）作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。 （3）大小：=== 【注意】：向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，可以由几个力的合力或某一个力的分力提供；在匀速圆周运动中合力提供向心力；变速圆周运动中的合外力并不指向圆心，这时合外力可以分解为互相垂直的两个力：跟圆周相切的分力Fr和指向圆心方向的分力Fn，Fn产生了向心加速度，与速度垂直，改变了速度方向，Fr产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在一条直线上，它改变了速度的大小。 2．向心加速度 （1）物理意义：描述线速度方向变化快慢的物理量。 （2）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化。 （3）大小：=== 三、线速度、角速度等基本量的关系 1.圆周运动的相关物理量 物理量 公式 单位 标矢性 物理意义 线速度 m/s 矢量 描述物体位置变化的快慢和方向 角速度 rad/s 矢量 描述物体转动的快慢和方向 周期 s 标量 描述物体转动一周所用的时间 频率 Hz 标量 描述物体在单位时间内的振动次数 转速 r/s 标量 描述物体在单位时间内的运动圈数 向心加速度 m/s² 矢量 方向始终指向圆心，描述线速度变化的快慢和方向 向心力 N 矢量 方向始终指向圆心，由重力、弹力、摩擦力等合力或分力提供的效果力 ，， 2. 圆周运动各物理量间的关系 【清单02】几种传动装置 几种常见的传动装置 类型 模型 模型核心 应用规律 皮带传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即vA＝vB 角速度与半径成反比： ， 周期与半径成正比： 摩擦传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等(方向不同)，即vA＝vB 角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶ ， 周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比： 齿轮传动 同轴 传动 绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比 线速度与半径成正比： 【清单03】水平面内的圆周运动 1. 物体间恰好不发生相对滑动 的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 如果只是摩擦力提供向心力，则有F＝m，静摩擦力的方向一定指向圆心； 汽车转弯时，只由摩擦力提供向心力Ffm＝m 2. 水平转盘上运动物体模型 （1）如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。 （2）如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。 【清单04】斜面上的圆周运动 1. 模型解读：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2. 分析方法 物体在斜面上做圆周运动时，确定约束类型（凹槽/绳牵引）→正交分解（沿斜面和垂直斜面）→列法向方程→求临界参数。如下图所示，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，物体运动到斜面任意位置时由斜面内指向圆心方向的合力提供向心力。 【清单05】圆锥摆模型 1. 圆锥摆模型规律总结 (1)圆锥摆的周期 如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。 受力分析，由牛顿第二定律得：mgtanθ＝mr r＝Lsinθ 解得T＝2π＝2π。 (2)结论 ①摆高h＝Lcosθ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。 ②摆线拉力F＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力F越大。 ③摆球的加速度a＝gtanθ。 2. 圆锥摆的两种变形 变形1：具有相同锥度角的圆锥摆（摆长不同），如图甲所示。 由a＝gtanθ知A、B的向心加速度大小相等。由a＝ω2r知ωA<ωB，由a＝知vA>vB。 变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。 由T＝2π知摆高h相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB，由a＝ω2r知aA>aB。 【注意】：解决圆锥摆临界问题的技巧 圆锥摆的临界问题，主要就是与弹力有关的临界问题。 (1)绳子松弛或断开的临界条件是：①绳恰好拉直且没有弹力；②绳上的拉力恰好达最大值。 (2)接触或脱离的临界条件是物体与物体间的弹力恰好为零。 (3)对于火车转弯、半圆形碗内的水平圆周运动有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②发生相对滑动。 【清单06】汽车、火车转弯模型 水平路面车辆转弯、火车转弯模型规律总结 模型名称 模型分析 水平路面车辆转弯模型 自行车、汽车等车辆在水平路面上转弯时，重力与支持力平衡，转弯所需的向心力只能由地面对车辆的侧向静摩擦力来提供,可知最大安全转弯速度 。 火车转弯模型 ①火车在倾斜轨道上转弯，若以设计时速v0转弯，重力与铁轨支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得：,得。因为hL,θ角很小，所以,则;若火车经过弯道时的速度,外轨将受到挤压；若火车经过弯道时的速度,内轨将受到挤压。 五、汽车过拱形桥模型 拱形桥和凹形桥模型特点 概述 如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态 概述 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动 【清单07】圆周运动中的临界问题 1. 圆周运动常见的临界状态 （1）与绳或杆的弹力有关弹力恰好为0； （2）与静摩擦力有关，静摩擦力达到最大值； （3）绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 2. 三类情况分析 （1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力。 （2）绳子被拉断：绳上拉力恰好为最大承受力等。 （3）与支持面或杆的弹力有关的临界问题：要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度（或线速度）等。 【注意】：临界条件的确定： 当绳子的拉力达到最大值时，或者物体所受的静摩擦力达到最大静摩擦力时，就会出现临界情况。比如，在圆锥摆中，如果角速度逐渐增大，当绳子拉力达到其所能承受的最大值时，就达到了临界状态。此时，需要根据牛顿第二定律和向心力公式列出方程，结合临界条件来求解相关物理量。在临界状态下，对物体的受力情况和运动状态的分析不准确，导致无法正确列出方程求解。在临界状态下，物体的受力情况可能会发生变化。 【清单08】水平面内圆周运动中的多物体牵连问题 1. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上，A恰好处于圆盘中心。 （1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析， ，。 （2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。 对木块A分析，；对木块B分析，。解得临界角速度为。 结论：当时，轻绳上拉力为0；当时，A、B相对圆盘发生滑动。 2. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上。 （1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析， ，。 （2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。 对木块A分析，；对木块B分析，。解得临界角速度为。 结论：当时，轻绳上拉力为0；当时，A、B相对圆盘发生滑动。 3. A、B两物块叠放在转盘上 （1）若，则B先相对转盘发生滑动，临界角速度为。 （2）若，则则A先相对B发生滑动，则A先相对B发生滑动。 【清单09】圆周运动中的脱轨问题 圆周运动中的脱轨问题指物体因速度不足或过大而脱离原定圆周轨迹的现象，核心在于轨道支持力（或约束力）突变为零。 1. 脱轨条件与类型 凸面轨道（如拱桥顶点）： 脱轨条件：支持力 N=0（物体与轨道无挤压）。 实际速度 v>v临：离心趋势过大 → 脱离轨道做斜抛运动。 单轨模型（如绳球、环形轨道内侧）： 脱轨点：最高点 临界速度：v=√gr 【注意】：V<√gr，重力过剩 → 未达最高点即脱离，沿抛物线坠落。 2. 解题关键 脱轨判据： 轨道支持力 N≤0时必脱轨（凸面）； 约束力突减至零（如绳松弛 T=0)。 分析步骤： 确定脱轨点（常为最高点）； 由 N=0或 T=0列临界方程； 示例：小球过竖直圆环最高点时，若 v<√gr，则未达顶点即脱轨，沿圆周切线方向斜向下坠落。 【清单10】绳球模型、杆球模型两类经典模型中的临界条件——情景分析 两类模型对比分析 轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑) 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力示意图 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 F弹＝mg 讨论分析 (1)最高点，若v≥，F弹＋mg＝m，绳或轨道对球产生弹力F弹 (2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心 (2)当0<v<时，mg－F弹＝m，F弹背离圆心并随v的增大而减小 (3)当v＝时，F弹＝0 (4)当v>时，mg＋F弹＝m，F弹指向圆心并随v的增大而增大 【考点题型一】圆周运动基本概念和规律（共4小题） 1．（24-25高一下·河南漯河·期末）关于匀变速曲线运动，下列说法正确的是（　　） A．速度的方向和速度变化量的方向可能相同 B．速度的大小和方向时刻在发生变化 C．速度变化量的大小和方向都发生变化 D．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 2．（24-25高一下·宁夏银川·期末）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（　　） A．运动周期为 B．加速度的大小为 C．受摩天轮作用力的大小始终为mg D．所受合力的大小始终为 【变式1】（24-25高一下·青海海南·期末）下列关于曲线运动的说法正确的是（　　） A．物体做曲线运动时，其加速度一定是变化的 B．做圆周运动的物体，其加速度不一定指向圆心 C．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 D．加速度恒定的运动不可能是曲线运动 【变式2】（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图所示，一小球做半径为r、线速度大小为v的匀速圆周运动，经过一段时间t从A点运动到B点，把小球在A点的速度平移到B点，用线段BC来表示，下列说法正确的是（　　） A．在时间t内，小球的路程为vt B．小球从A点到B点的速度变化量方向由B指向D C．小球在A、B两点的速度不相同，向心加速度相同 D．在时间t内，小球与圆心的连线转过的角度为 【考点题型二】集中传动装置（共2小题） （24-25高一下·天津·期末）机械手表中有大量精密齿轮，齿轮转动从而推动表针。某机械手表打开后盖如图甲所示，将其中两个齿轮简化，如图乙所示。已知大、小齿轮的半径之比为3：2，Q、P分别是大、小齿轮边缘上的点，则Q、P两点的相关物理量关系正确的是（　　） A．角速度大小之比为1：1 B．线速度大小之比为3：2 C．周期之比为2：3 D．向心加速度之比为2：3 【变式3】（24-25高一下·北京海淀·期末）古代某部科技典籍中有牛力齿轮翻车的插图，如图所示，展现了我国古代劳动人民的智慧。图中、、三个齿轮半径的大小关系为，下列说法正确的是（　　） A．的角速度比的角速度大 B．与的角速度大小相等 C．边缘的线速度比边缘的线速度大 D．与边缘的线速度大小相等 【考点题型三】圆周运动中的经典模型（共10小题） 1．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图所示，质量为m的小球用长为L的细绳悬于天花板的O点，并使之在水平面内做匀速圆周运动，细绳与竖直方向夹角为，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．摆球受到绳的拉力、重力和向心力 B．摆球的向心力由重力沿细绳方向的分力提供 C．摆球做匀速圆周运动的向心加速度大小为 D．若增大细绳与竖直方向的夹角，则小球运动的周期将增大 2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）物理来源于生活，也可以解释生活。对于如图所示生活中经常出现的情况，分析正确的是（　　） A．图甲所示为洗衣机脱水桶，其脱水原理是离心运动 B．图乙中物体随水平圆盘一起做圆周运动时，处于平衡状态 C．图丙中汽车经过拱桥最高点时（不脱离桥面），速度越大，对桥面的压力越小 D．图丁中若轿车转弯时速度过小容易发生侧翻 3．（24-25高一下·四川泸州·期末）如图，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法正确的是（　　） A．若v0=0，则小球对管内壁无压力 B．若，则小球对管内下壁有压力 C．若，则小球对管内上壁没有压力 D．不论v0多大，小球对管内壁都有压力 4．（24-25高一下·天津河东·期末）如图所示，小球a、b分别在轻质细绳和轻质细杆作用下在竖直面内做圆周运动，两小球运动的半径均为R，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球a经过最高点时的速度可能小于 B．小球b经过最高点时的速度可能小于 C．小球a经过最高点时，细绳对小球a可能没有力的作用 D．小球b经过最高点时，细杆对小球b一定有力的作用 5．（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，带有中心转轴的水平转盘上放置一质量为1.5kg的小物块，物块与转轴通过轻质弹簧连接，小物块处于静止状态，弹簧伸长6cm。已知弹簧的劲度系数为、原长为30cm，现让转盘从静止开始缓慢加速转动，下列说法中正确的是（    ） A．当物块与转盘间的摩擦力恰好为零时，转盘角速度为 B．当物块与转盘间的摩擦力大小为4.5N时，转盘角速度可能为 C．当转盘角速度为时，物块与转盘间的摩擦力大小为4N D．当转盘角速度由增加到的过程中物块与转盘间的摩擦力逐渐增大 【变式4】（24-25高一下·安徽六安·期末）如图所示，光滑半圆形球面体固定在水平面上，顶部有一小物块，现给小物块一个水平初速度，不计空气阻力，下列关于小物块可能的运动说法错误的是（　　） A．一直沿球面下滑至底端 B．立即离开球面做平抛运动 C．沿球面下滑一段弧长后离开球面 D．一直做匀变速曲线运动 【变式5】（24-25高一下·天津·期末）如图所示，飞车表演场地可以看成一个圆台的侧面，侧壁是光滑的，飞车表演者可以看作质点，在A和B不同高度的水平面内做匀速圆周运动。以下关于表演者在A、B两个轨道时的线速度大小（vA、vB）、角速度（ωA、ωB）、向心力大小（FnA、FnB）和对侧壁的压力大小（FNA、FNB）的说法正确的是（　　） A．vA < vB B．ωA>ωB C．FnA>FnB D．FNA=FNB 【变式6】（24-25高一下·陕西安康·期末）水平转盘上有质量分别为m、2m、4m的三个物块甲、乙、丙，物块甲、乙、丙与转盘中心轴分别相距r、r、2r，物块与转盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。当转盘的角速度为时，关于物块受到的摩擦力，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7】（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图所示，有关生活中的圆周运动实例分析，下列说法正确的是（　　） A．汽车经过拱桥最高点时处于超重状态 B．火车转弯超过规定速度行驶时，火车轮缘对内轨有侧向挤压 C．“水流星”表演中，在最高点处水对桶底一定有压力 D．滚筒洗衣机转速越快，脱水效果越好 【变式8】（24-25高一下·福建福州·期末）某同学在课后设计开发了如图所示的玩具装置。在水平圆台的转轴上的O点固定一根结实的细绳，细绳长度为l，细绳的一端连接一个小木箱，此时细绳与转轴间的夹角为，且处于恰好伸直的状态。已知小木箱的质量为m，木箱与水平圆台间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，重力加速度为g，不计空气阻力。在可调速电动机的带动下，让水平圆台缓慢加速运动，试求： (1)当圆台的角速度多大时，细绳开始有拉力； (2)当圆台的角速度多大时，圆台对木箱开始无支持力； (3)当圆台的角速度时，求细绳的拉力T和圆台对木箱支持力N分别是多少； 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $