山东省泰安市岱岳区2025-2026学年七年级上学期数学期末预测卷

泰安市岱岳区2025-2026学年七上期末预测卷 一、单选题（共48分） 1．（本题4分）如图，在等腰直角中，，点F为上一点，连接，过点C，B分别作于点D，交的延长线于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（本题4分）如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 3．（本题4分）如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 4．（本题4分）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（    ） A．A B．B C．C D．D 5．（本题4分）如图，在中，，，，D是边的中点，在的延长线上取一点E，连接并延长，交边于点F．若，则的长为（    ）． A．1 B． C． D． 6．（本题4分）的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 7．（本题4分）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（    ） A． B． C． D． 8．（本题4分）下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．17是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．0.9的算术平方根是0.03 9．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 10．（本题4分）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． 11．（本题4分）如图，直线分别与、轴交于、两点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点的坐标为；③直线的解析式为；④点的坐标为．正确的有（   ）． A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 12．（本题4分）A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共24分） 13．（本题4分）如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为 ． 14．（本题4分）如图，平分，，点D是上的动点，若，则长度的最小值为 ． 15．（本题4分）如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短路程为 ． 16．（本题4分）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 17．（本题4分）若不同两点和到x轴的距离相等，则实数a的值为 ． 18．（本题4分）文博校园科艺节上，同学们在操场进行无人机表演，甲、乙两架无人机离操场地面的高度y（单位：米）与表演时间x（单位：秒）的图象如图所示，表演开始时甲、乙离地的高度分别是5米、15米，在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过6米的时间可持续 秒． 三、解答题（共78分） 19．（本题12分）如图，在中， (1)求证∶为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 20．（本题13分）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 21．（本题13分）为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点位置，洒水车由向移动，学校与路段上的两个路口的距离分别为，，经测量，发现在及以内的区域会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 22．（本题13分）（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，（ ） 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，（ ） ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 23．（本题13分）已知A，B两地公路长，甲、乙两车同时从A地出发沿同一公路驶往B地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上的C处取回货物，于是甲车立即原路返回C地，取了货物又立即赶往B地（取货物的时间忽略不计），结果两车同时到达B地．两车的速度始终保持不变，设两车出发后，甲、乙距离A地的距离分别为和，它们的函数图象分别是折线和线段． (1)求A、C两地之间的距离； (2)甲、乙两车在途中相遇时，距离A地多少千米？ 24．（本题14分）如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①当时，求点的坐标； ②在①的条件下，是否存在第一象限内的点，使为等腰直角三角形，若存在，请直接写出符合点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．A 【分析】本题考查了全等三角形性质，分当时，当时，两种情况分析，然后根据全等三角形的性质即可求解，解题的关键是注意分类讨论，利用对应边相等列方程求解． 【详解】解：设t秒后，与全等， 根据题意得：，， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上所述，a的值为2或． 故选：A 3．D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，余角定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． ①利用等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可； ②根据等角的余角相等得出，利用证明即可； ③利用角平分线的性质得出相等角，利用①②的结论得出相等角，然后利用等角对等边即可； ④延长交于点，证明，得出，然后利用三角形边和角的关系即可得出结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴； 故①正确，符合题意； ②∵，是的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故②正确，符合题意； ③∵平分， ∴， 由②得， ∴， 由①得， ∴， 即， ∴， 由②得， ∴， ∵， ∴， ∴； 故③正确，符合题意； ④如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为钝角， ∴在中，， ∴； 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为①②③④； 故选：D． 4．C 【分析】本题围绕最短路径问题展开，掌握利用轴对称性质，将折线转化为线段求最短路径是解题的关键． 要在直线上找一点使最短，根据两点之间线段最短及轴对称的性质，需作出其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点． 【详解】解：作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点； 通过观察图形，可知该交点为点． 故选：C． 5．D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，过点F作于点H，则，得出是等腰直角三角形，，，由含30度直角三角形的性质得出，设，则，，根据勾股定理求出，进而即可求出． 【详解】解：过点F作于点H， 则， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵D是边的中点，， ∴， 设，则，， 在中， ， ∵， ∴， 解得， ∴， 则， 故选D． 6．B 【分析】本题考查了直角三角形的判定、勾股定理的逆定理，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据直角三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A：∵，， ∴， ∴，是直角三角形，故该选项不合题意； B：设，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，，不是直角三角形，故该选项符合题意； C：，满足勾股定理的逆定理，，是直角三角形，故该选项不合题意； D：，，， ∴，满足勾股定理的逆定理，，是直角三角形，故该选项不合题意． 故选：B ． 7．C 【分析】本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点，根据两点之间线段最短即可知的长度即为最短距离．利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，，， ∴． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键． 根据平方根与算术平方根的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、是16的平方根，故原说法正确，不符合题意； B、17是的算术平方根，故原说法正确，不符合题意； C、的算术平方根是，故原说法正确，不符合题意； D、0.9的算术平方根不是0.03，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 9．C 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、坐标与图形变化-对称、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作轴于点F，作交FA的延长线于点E，由，得，由翻折得，则可证明，得，则，求得，即可解答． 【详解】解：作轴于点F，作交FA的延长线于点E，如图 ， ∵， ∴． ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵点C的横坐标为7，纵坐标为， ∴． 故选C． 10．A 【分析】本题考查一次函数图象与性质．根据题中选项的图，假定其中一条直线的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案． 【详解】解：A、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； B、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； C、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； D、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 故选：A． 11．B 【分析】本题是一次函数的综合题、考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活应用这些性质解决问题是关键．根据直线的解析式求出点、点的坐标，由勾股定理求出的长即可判断①；由折叠的性质可得：，，，由勾股定理可求出的长，进而求出点的坐标，可判断②；利用待定系数法可求的解析式，可判断③；由面积公式可求的长，从而得出点的纵坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点的坐标，可判断④． 【详解】解：直线分别与、轴交于点、， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点，故②不正确； 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：，故③正确； 如图，过点作于，   ， ， ， ， 当时，， ， 点的坐标为，故④不正确． 故选：B． 12．C 【分析】根据图象获得信息后，利用待定系数法，路程，速度，时间的关系等处理信息解答即可． 本题考查了一次函数的图象，待定系数法，根据解析式计算，熟练掌握一次函数的性质，待定系数法是解题的关键． 【详解】解：根据可得，时间过了甲的路程为0，即乙比甲提前出发， 故①正确； 甲个小时行驶了， 故甲的速度为， 故②正确； 设甲的解析式为， 根据题意，得， 解得， 所以， 设乙的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故乙的解析式为， 当时，，， 故， 时，甲、乙两人相距， 故③错误； 当甲运动前，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得； 当甲运动后，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得； 故或时，乙比甲多行驶． 故④正确， 故选：C． 13．10 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质． 延长、交于点F，利用角平分线的定义和全等三角形证明，得出的长度，再通过角度关系证明，从而得到． 【详解】解：延长、交于点F， 平分，，， ，， ， ， ，则. ∵， ， 又∵ ∴， ， 又∵，， ， ． 故答案为：． 14．3 【分析】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，确定出最小时的位置是解题的关键． 根据垂线段最短可知，当时最短，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，进而求解． 【详解】解：如下图所示：过点P作，垂足为点, ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 即当点D运动到点的位置时，长度最短，最小值为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理分类讨论．根据几何体的展开图分三种情况讨论，并利用勾股定理求解即可． 【详解】解：①如图①， 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在中，； ②如图②， 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在中，； ③如图③， 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ， 在中，， ， 蚂蚁爬行的最短距离是， 故答案为：． 16．9 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，熟练掌握整式的运算法则进行化简是解题的关键，根据已知得出，根据整式的运算法则进行化简，再代入求出即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ． 故答案为：9． 17． 【分析】本题考查了解绝对值方程，点到坐标轴之间的距离． 利用不同两点到x轴的距离相等，得出，解方程求出a的值，检验是否符合题意，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， ∴或， ∴或， 当时， ，不符合题意， 当时， ，符合题意， 故答案为：． 18．24 【分析】 本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机离操场地面的高度y与表演时间x的函数解析式，再分情况讨论，即当时，，当时，，解得x的值，作差即可． 【详解】 解：设， 将，分别代入， 即， 解得：， 则， 设， 将，分别代入， 即， 解得， ， 当时，， 即， 解得：， 当时，， 即， 解得：， (秒）， 答：在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过6米的时间可持续24s． 故答案为：24． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）在中，根据三角形内角和定理并结合已知求出，即可得证； （2）先根据垂直的定义以及三角形的内角和定理求出，然后根据角平分线的定义求出，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵在中，，， 且， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：∵， ∴， 又， ∴ 又∵平分，且由（1）得：， ∴， ∴. 20．(1)，； (2)3 【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算； （2）由（1）及立方根的定义可直接求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，； （2）当，时，， ∴的立方根为3． 21．会受到影响，影响时间为4分钟 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及三角形的面积等知识，利用勾股定理，求出学校会受到影响区域（线段）的长度是解题的关键．在中，由，可得出，过点作于点，利用面积法可求出的长，由该值小于260，学校会受到影响，设直线上点到点的距离为，连接，利用勾股定理，可求出的长，结合，可求出的长，再利用时间路程速度，即可求出学校受影响的时长． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴． 过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴学校会受到影响． 设直线上点到点的距离为，连接，如图所示： 则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴受影响时间为（分钟）， 答：学校会受到影响，受4分钟影响． 22．(1)三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系，正确画出图形是解题关键． （1）根据所给推理正确填空即可； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，根据轴对称的性质可得路线，，即为所求． 【详解】（1）解：如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形任意两边之和大于第三边） 点与点关于直线对称， 直线垂直平分 ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ， ． 故答案为：三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）解：如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． ，，则， 根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求． 23．(1)A、C两地之间的距离是 (2)甲、乙两车在途中相遇时，距离A地144千米 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）由图象和题意可得，甲行驶的总的路程，从而可以求得甲接到电话返回C处的距离，从而可以得到A、C两地之间的距离； （2）根据题意和图象，可以得到的解析式和的解析式，从而可以求得两车相遇时的时间和距离A地的距离． 【详解】（1）解：由图象可知， 甲车行驶的路程是，可以得到甲行驶的速度是， 甲行驶的总路程是， 故甲从接到电话到返回C处的路程是， 故A、C两地之间的距离是， 即A、C两地之间的距离是； （2）解：由图象和题意可得，甲从接到电话返回C处用的时间为：小时， 故点Q的坐标为， 设过点的直线解析式为， 则， 解得， 即直线的解析式为， 设过点，的直线的解析式为， 则，得， 即直线的解析式为， 则， 解得． 即甲、乙两车在途中相遇时，距离A地144千米． 24．(1)， (2)①  ②存在；、、、 【分析】本题考查一次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，解题关键在于掌握待定系数法求一次函数的解析式、割补法求面积、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质． （1）把点的坐标代入直线解析式可求得，则直线的解析式为，令可求得，故此可求得点的坐标； （2）①由题垂直平分可知，将代入直线的解析式可求得点的坐标，设点的坐标为，然后依据可得到的面积与的函数关系式为；由得到关于的方程可求得的值，从而得到点的坐标； ②分别按为直角边且，为直角边且，为斜边且点在右侧，为斜边且点在左侧四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵把代入得， ∴直线的函数表达式为：． 令得：，解得：， ∴点的坐标为； （2）解：①∵直线垂直平分， ∴． ∵将代入得：． ∴点的坐标为． ∵点的坐标为， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，解得：． ∴点的坐标为； ②存在． 如图所示，作于点，过点作轴，垂足为， 为等腰直角三角形，为直角边， ，， 轴， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点的坐标为； 如图所示，作于点，过点作，垂足为，连接， 为等腰直角三角形，为直角边， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点的坐标为； 如图所示，过点作，垂足为，再过点作于点， 设点， ∵为等腰直角三角形，为斜边， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，直线：， ∴， 解得． ∴点的坐标为； 如图所示，过点作，垂足为，再过点作于点， 设点， ∵为等腰直角三角形，为斜边， ∴，， ∵，延长线于， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，，直线：， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为、、、． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $