专题03 指数函数（期末复习压轴题专项训练）数学人教B版2019必修第二册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03指数函数 目录 专题03指数函数 类型一、指数化简运算 类型二、指数模型运算 类型三、指数函数求值问题 类型四、指数函数奇偶性求值问题 类型五、指数函数奇偶性求参 类型六、奇偶性求解析式问题 类型七、指数函数不等式 类型八、指数型函数的值域、最值 类型九、已知指数函数的值域、最值求参数 类型十、指数函数的单调性求参数 类型十一、指数函数零点问题 类型十二、指数函数对称问题 类型十三、指数函数不等式恒成立问题 类型十四、指数函数有解问题 类型十五、指数函数新定义问题 压轴专练 典例详解 类型一、指数化简运算 1.指数的乘法法则化简 通过运用指数的乘法法则，可以将指数函数中的乘积化为指数相加，从而简化表达式。 2.指数的除法法则化简 利用指数的除法法则，我们可以将指数函数中的除法变为指数相减，从而使表达式更加简洁。 3.指数的幂法化简 当指数函数中含有幂的情况时，可以利用指数的幂法，将指数函数中的幂进行展开，从而化简表达式， 4.指数的负指数法化简 负指数是指数函数中一个重要的概念，通过运用负指数法则，我们可以将指数函数中的负指数转化为倒 数，从而简化表达式。 5.指数的对数法化简 利用指数和对数之间的关系，我们可以将指数函数转化为对数函数，从而简化表达式。 6.指数和根式法化简 在指数和根式的关系中，可以利用指数和根式之间的转化，将表达式中的根式化简为指数形式。 例1.(24-25高一上·山西吕梁·期末)（多选）己知m>0,n>0,且2m+n=3,则() A.mn≤号 B.mn21 C.3”+9≥12 D.品+吉≥3 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式1H1.②425高一上·云南文山文山第一中学·期未)（多选）已知实数a,b满足等式()=（宝）° ,则下列可能成立的关系式为() A.0<a<bB.0<b<a C.a<b<0 D.a=b 变式1-2.24-25高一上·湖南娄底·期末)借助信息技术计算(1+)”(neN)的值，我们发现当 n=1,2,3,10,100,1000,…时(1+)”的底数越来越小，而指数越来越大，随着n越来越大，(1+)9 会无限趋近于e（e=2.71828…是自然对数的底数).根据以上知识判断，当n越来越大时，(1+)2”会 趋近于 变式1-3.2324高一上·安徽蚌埠五河第一中学·期末)(1)求(1.5)2+(2)之-π0-(3)的值： (2)已知x十x1=7,求x2+x的值 类型二、指数模型运算 例2.(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大 速度v(单位：kms)和所携带的燃料的质量M(单位：kg)与飞行器（除燃料外）的质量m(单位：kg) 的函数关系式近似满足2宁=b+盖(a为常数).当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时， v约等于2.9kms,当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8kms, 则常数b的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 变式2-1.(22-23高一上·宁夏银川第二中学·期末)国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会 的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿 色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，己知过滤过程中废 水的污染物数量N(mgL)与时间t的关系为N=Nokt(No为最初污染物数量).如果前2个小时消除了 20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的() A.51.2% B.48.8% C.52% D.48% 变式2-2.(24-25高一上·安徽芜湖·期末)荷花定律是一个非常著名的定律.据研究者收集的信息，池塘 里荷花开放的程度，有如下规律，第一天开放的只是一小部分，第二天，它们会以前一天的两倍速度开放， 到第29天时荷花恰好开满了一半，到第30天才会开满整个池塘.下列函数能较好反映池塘里荷花开放的程 度y与时间x(1-30天)之间的变化规律的是() A.y=2x B.y=2 C.y=x2 D.y=log 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式2-3.(24-25高一下·广东广州五校（实、执信、广雅、二中、六中）·期末)（多选）双曲函数是数 学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数sh(x)=孚，双曲余弦 函数ch(x)=生拦，双曲正切函数th(x)=是，且当x>0时有th(x)<x,则下列选项正确的是 () A.[ch(x)]2-[sh(x)]2=1 B.th(x)的值域为(-1,1) C.th(x)+th (x-2)>0,x<1 D.f(x)=(x-1)[sh(x)+ch(x)],则f(合)>f(-) 类型三、指数函数求值问题 例3.(24-25高一上·山东枣庄枣庄第八中学·期末)奇函数f(x)满足，当x>0时， f(x+2)·f(x)=1,当x∈(2,0)时，f(x)=3+1，,则f(2025)=() A.-2 B.- c.青 D.4 变式31.Q425高一上·山东潍坊五县联考·期术)（多选）已知函数风)=条，则《) A.f(x)的图象关于y轴对称 B.fx)在(-克，)上单调递增 c.f()+f(0s)+f()+…+f(器)=-2024 D.关于x的方程f)吉~a=0有3个解的充要条件是a<-1 变式3-2.，(21-22高一上·辽宁锦州联合校·期末)已知f(x)=+,a是大于0的常数. (1)求f): (2)求f(x)+f(1-x)的值； (3)利用(2)的结论求f()+f(0)+f(z)+…+f(8器)的值. 变式3-3.2425高一上·陕西西安西咸新区·期末)已知函数fx)的定义域为Ry=f(x)+2+是奇函 数，y=f(x-2+是偶函数，则f(1)=（) A. B. C.- D.0 类型四、指数函数奇偶性求值问题 1.偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。 2.奇函数在原点有定义时，原点对称的区间上，函数值的符号一定相反， 3.偶函数在原点有定义时，原点对称的区间上，函数值的符号一定相同 4.奇偶性是针对定义域区间而言的，离开定义域区间谈论奇偶性是没有意义的。 例4.(24-25高一上·陕西西安西咸新区·期末)已知函数fx)的定义域为Ry=f(8+2+1是奇函数， 3/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=f(x)-2x+2是偶函数，则f(1)=() A.易 B.寺 c.- D.0 变式4-1.(24-25高一上·云南曲靖会泽县·期末)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且 f(x+2)=f(x-2),若x∈[0,2]时，f(x)=2-1,则f(99)=() A.3 B.-1 c.- D.1 变式4-2.(24-25高一上·江西抚州·期末)若函数f(x)在R上是单调函数，且满足对任意x∈R,都有 f[f(x)-2-x]=-平，则f(4)=() A.12 B.14 C.16 D.18 变式4-3.(24-25高一上·湖南郴州·期末)已知函数f(x)为R上的奇函数，且f(x)+f(8+3)=0, 当xE[0,1]时，f(x)=ex-,则f(2021)+f(2022)的值为() A.e-吉 B.0 C.吉-e D.1 类型五、指数函数奇偶性求参 利用奇偶性求参数的值，常用的解题方法包括： 1.定义法 2.特殊值法 3.利用函数的特点分析法 4.利用定义域关于原点对称等方法。 例5.24-25高一上·重庆部分区·期末)若函数f(x)=器+1是奇函数，则满足f(x)>·专的实数x 的取值范围为() A.(-0∞，1) B.(-∞，-1)U(1,+∞) C.(-10)U(1,+∞) D.(-∞，-1)U(0,1) 变式5-1.(24-25高一上·广东茂名电白区·期末)对于函数f(x)=1+泽（≠0）， (1)若函数f(x)是增函数，求a的取值范围； (2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？ 变式52.2425商-上山东零庄台儿庄区·期未)设f(x)=号 (a,b为实常数) (1)若f(x)是奇函数，求a与b的值； (2)若f(x)定义域不为R且是奇函数时，求函数f(x)的值域， 变式5-3.24-25高一上·广东深圳龙华区·期末)已知函数f(x)=a本为奇函数， (1)求实数a的值； (2)判断f(x)的单调性，并证明你的结论： (3)若对任意的x∈R,不等式f(mx2)+f(3-2mx)>0恒成立，求实数m的取值范围. 4/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型六、奇偶性求解析式问题 1.明确己知条件与目标：首先确认函数的奇偶性、己知解析式的区间以及所求解析式的区间。注意定义域 是否包含原点，因为奇函数在(x=0)处必有(f(0)=0)。 2.“设谁求谁”：在所求解析式的区间上设自变量(x)。例如，若已知(x>0)时的解析式，要求(x<0)时的 解析式，则设(x<0)。 3.利用对称性转换：由于定义域关于原点对称，当(x)在所求区间时，(-x)必在已知区间。将(-x)代入已 知解析式，得到(f(x))。 4.应用奇偶性定义：根据函数的奇偶性，建立(f(x)与(f(x)的关系。对于奇函数：(f(-x)=-f(x),因 此(f(x)=-f(-x))。对于偶函数：(f(-x)=f(x),因此(f(x)=f(-x)。 例6.已知函数f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)+g(x)=2 (1)求f(x),g(x): ②)当a≥0时，判断af(x)+(1-a)和器的大小关系。 变式61.24-25高一上·湖南岳阳·期末)已知函数f(x)=岩，x∈(-2,2)，满足f(0)=0, f(1)=中· (1)求函数f(x)的解析式： (2)判断函数f(x)的奇偶性，并用定义证明 变式6-2.(24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·)定义域均为R的奇函数f(x)与偶函数g(x)满足 f(x)+g(x)=e*. (1)求函数f(x)与g(x)的解析式： 2)证明：[f(x)]2[g(x)]2=-1: (3)设函数F(x)=[f(x)]+[g(x)]2-m,F(x)>0恒成立，求m的取值范围. 变式6-3.(24-25高一上·河北邯郸·期末)若函数f(x为奇函数，g(x)为偶函数，且满足 f(x)+g(x)=2 (1)求fx)和gx的解析式： ②记4冈=器。 (i)判断h(x)的奇偶性，并用定义证明h(x)的单调性； (ii)若h(5+t3+h(4t-2t3<0成立，求实数t的取值范围. ≈类型七、指数型函数不等式 1.同底数比较法 当指数不等式的底数相同时，我们可以比较指数大小来解决不等式。 2.对数法 对数法是解决指数不等式常用的方法之一。通过取对数将指数不等式转化为对应的对数不等式，然后通 过求解对数不等式得到解集。 3.分类讨论法 当指数不等式中的底数是分数或负数时，我们可以通过分类讨论的方法来解决。将不等式中的底数进行 5/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 分类讨论，分别解决每个分类下的指数不等式，最后将得到的解集进行合并得到最终的解集。 4.图像法 对于一些较为复杂的指数不等式，我们可以通过绘制函数图像的方法来解决。将指数函数图像绘制在坐 标系中，通过观察图像的性质找到使不等式成立的解集。 例7. (②3-24高一上·四川凉山舞族安宁河联盟·期末)不等式()2≤3￥4的解集为】 变式7-1.24-25高一下·湖南湘潭·期末)已知函数f(x)=x3(克+) (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由： (2)证明：f(x)>0. 变式7-2.(24-25高一下·贵州六盘水部分学校·期末)己知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x≥0时， f(x)=号. (1)求f(x)的解析式： (2)求不等式f(x+1)>f(2x)的解集. 变式7-3.(24-25高一下·贵州毕节·期末)己知函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时， f(x)=x2-x. (1)求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在区间(0，支)上的单调性，并用定义法给出证明： (3)令g(x)=f(x)+1,x∈（告，+∞），求不等式g(2)<g(1+2)的解集. 类型八、指数型函数的值域、最值 1.求值域前务必先确定函数的定义域 2.复杂函数可尝试多种方法综合求解 3.画函数图像能帮助直观理解值域范围 例8.20-21高一上·江苏南通启东·期中)函数区=（生）2的值域为 变式8-1.(2425高一上·安徽芜湖·期末)己知函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=ex (1)当x<0时，求函数f(x)的解析式： (2)当x∈[-1,4)时，求函数f(x)的值域 变式8-2.(24-25高一下·云南红河州、文山州)已知函数f(x)=孚，g(x)=, h(x)=器 (1)判断函数h(x)的奇偶性： hx)+h(y) 2)证明：h(x+y)=+时： (3)若F(x)=[f(x)]2-mg(x)+2的最小值为克，求实数m的值 变式8-3.(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)已知二次函数fx)满足f(x+2)-f(x)=4x+6 ，且f(-1)=0,函数g(x)=2x (1)求函数fx)的解析式： 6/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②)记函数8= 2x+1 8 （1)若(2的=-号，求实数t的值； (i)求p(x)=(3+h(9)-3在区间-1,1]上的最大值 类型九、已知指数函数的值域、最值求参数 3*+ax<a 例9.已知函数 x2+2ax,x2a 存在最小值，则a的取值范围是() A.（-0∞-1] B.(-∞0]U[3,+0) c.(-∞-1]U[3,+∞) D.(-∞-1]U[0,3] 变式9-1.(2223高一上·江苏常州教科院附属高级中学·期末)若a<0, 已知函数8)=若为奇函数。 (1)求实数a的值. (2)用定义证明f(x)的单调性. (3)若函数f(x在区间[m,n](m<n)上的值域是[k·3,k·3](kER),求k的取值范围. 变式9-2.(24-25高一上·江苏苏州·期末)已知函数f(x)=4+a2-1(aER) (1)当a=2时，求方程f(x)=6的解： (2)若存在xo∈[1,2]，使得f(xo)≥1，求a的取值范围： (3)若函数g(x)=f(x)十f(x)在R上的最小值为-2，求a的值. 变式9-3.(24-25高一上·山东德州·期末)已知函数f(x)=3-(m-1)3(m∈R)是定义在R的奇函 数 (1)若集合A={xIf(x)≥0}，B={x川2x-m<4,求AnB; (2)设g(x)=f2(x)-2af(x),且g(x)在[1，+∞)上的最小值为-9，求实数a的值. 类型十、指数函数的单调性求参数 a8x≤2 例10.2425商一上·江苏南通海门区·期未已知函数f(x)={-(x-1)2+a,x>2,在R上单调 递减，则实数a的取值范围是() A.(0,1) B.(0,] c.(0,) D.[克1) 变式10-1.(24-25高一上·山东日照·期末)若函数fx)=2x2a+3在区间(2,3)上单调递增，则实数a的取 值范围是() A.（-0m,4] B.（-∞，6 C.[6,+∞ D.[4+∞ 7/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2a-1)x+8a-2,x<1 变式10-2.24-25高一上·安徽宣城·期末)函数f(x)= a8x≥1 在R上单调递减， 则a的取值范围是 变式10-3.(2425高一上·湖北武汉·期末)己知定义在R上的函数 42 f(x)=+a-m(a>0,a≠1，meR) (1)若m=1,求f(x)的值域； (2)是否存在m,使f(x)是奇函数？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由； (3)若函数f(x)在R上是减函数，求实数a的取值范围. 么类型十一、指数函数零点问题 例11.24-25高一上·四川绵阳·期末)已知函数(x)=2-1+器 -m-1有三个不同的零点，则实 数m的取值范围为() A.（-∞，支)B.(克，1) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 2x-x2x≤0 变式11-1.(2425高一上·安徽黄山·期末)（多选）已知函数f(x)= 2x1,x>0，若关于x的方 程2f2(x)+(16a)·f(x)-3a=0有4个不同的实根，则实数a可能的取值有() A.-立 B.-吉 C.- D.- 变式11-2.(24-25高一上·贵州遵义播州区·期末)已知f(x)=3-1+,若关于x的方程 [f(x)]2.(a+2)f(x)+2a=0有四个实根，则实数a的取值范围是】 变式11-3.(24-25高一上·广西柳州区域联合校·期末)已知定义在R上的偶函数f(x),当x≥0时， f(x)=3-a(a∈R),且f(3)=26 (1)求a的值，并求函数f(x)在R上的解析式： (2)求方程f(x)=2的解集. 类型十二、指数函数对称问题 例12.2425高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知函数fx)=e1-e+1+a和g)=紫依 次交于三点A,B,C,且满足AB=BC,则a的值为() A.2 B.-2 C.4 D.-4 变式12-1.(24-25高一·浙江衢州·期末)己知函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)中心对称的充要条 件是函数y=f(x十a)-b为奇函数，则函数f(x)=方图象的对称中心是() A.(1,1) B.（2寺) c.(0,-) D.(0,支) 变式12-2.(24-25高一上·河南濮阳·期末)已知函数f(x)=4之的图象是中心对称图形，则其对称中心 8/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的坐标为」 变式12-3.(24-25高一上·山东菏泽第一中学·期末)已知函数f(x)=3+k·3 (1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值： (2)对于给定的常数k>0,是否存在实数m,使得函数f(x)的图象关于直线x=m对称，如果存在，求 出m的值，如果不存在，说明理由； ③)当k=1时，比较f(1)f(2)f(3)…f(2024)与(32025+2)2012的大小，并给出证明. 类型十三、指数函数不等式恒成立问题 例13.(24-25高一下·四川德阳·期末)若f(x)是定义在R上的偶函数，对Vx1x2∈(-0∞，0]，当x1≠x2时， 都有2>0，若关于x的不等式（得）>(e网在R上恒成立，则a的取值范围是（) 2 A.(-∞，0] B.(-∞，0) C.(0,+∞) D.{0} 变式13-1.(24-25高一上·云南昆明·期末)已知函数f(x)=2x+a-2x的图象经过点P(2,15). (1)求a的值； (2)求不等式f(3x2)+f(-2x-1)>0的解集； (3)若VxE(0,+∞)，f(x+是+m)>6成立，求实数m的取值范围 变式13-2.(2425高一下·广东深圳深圳科学高中·期末)已知函数f(x)=3+(k-2)·3*(x∈R)为 奇函数 (1)求实数k的值，判断函数f(x)的单调性（无需证明），并求不等式f(3x-2)-f(x+1)>0的解集； (2)若对Vx∈[-2，-1]，不等式f(x)+m×3≤6恒成立，求实数m的取值范围， 变式13-3.(24-25高一下·湖南长沙明德中学·期末)已知f(x)+g(x)=ex,其中f(x)为奇函数， g(x)为偶函数， (1)求f(x)的解析式并指出f(x)的单调性（无需证明）： (2)若对于任意的实数x>0,都有f(x2-mx+3)>f(m)成立，求实数m的取值范围； (3)若对于任意的实数x1∈[0，+∞)，总存在实数x2∈[1,3]，使得4[g(x1)]2-2f(x1)>nx2+1成 立，求实数n的取值范围. 类型十四、指数函数有解问题 例14.(24-25高一下·浙江金华十校·期末)已知二次函数f8)=ax2-(2a+1)x+2. (1)若a=1,求fx)>0的解集： (2)若方程f(2)=0在x∈[2,3]上有解，求实数a的取值范围. 变式14-1.(24-25高一上·贵州遵义播州区·期末)已知函数f(x)=2+a·2为定义在R上的奇函数. (1)求a的值； (2)判断并证明函数fx)的单调性： 9/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)记g(x)=2·2-fx),若扫xoe(克，1)，使得m~g(2x)+2f(x)-2m-1=0成立，求实数m的取值范 围 变式14-2.(24-25高一下·河北张家口尚义县第一中学等校·)若函数 g(x)=2ax2+7ax+2+b(a>0)在区间[-1,0]上有最大值8和最小值3，设f(x)=(x≠0) (1)求a,b的值： (2)若不等式f(2)-k·2≥0在xE[0,2]上有解，求实数k的取值范围. 变式14-3.(24-25高一上·北京密云区·期末)已知函数fx)=ex+aex. (1)当a=1时，证明：fx)为偶函数： (2)当a=-1时，直接写出fx)的单调性，并解不等式f(2x-1)>e2-e2; (3)当a>0时，是否存在实数a,使得fx)的最小值为4，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由. 类型十五、指数函数新定义问题 例15.(24-25高一上·四川自贡第一中学校·期末)对任意实数a,b定义运算“⊙”： |a,a-b≤2 a⊙b= {b,a-b>2,，设f(x)=3+1⊙(1-x),若函数fx)与函数g(x)=x2-6x在区间 (m,m+1)上均为减函数，则实数m的取值范围是() A.[-1,2] B.(0,3] c.[0,2] D.[1,3 变式15-1.(24-25高一上·云南昆明五华区·期末)（多选）双曲函数在许多数学、物理及工程问题中都 有广泛的应用，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数.已知双曲正弦函数为snh(x)=g, 双曲余弦函数为cosh(x)=(其中e为自然对数的底数)，则() A.[cosh(x)]2+[sinh(x)]2=1 B.[cosh(x)]2-[sinh(x)]2=1 C.sinh(2x)=2sinh (x)cosh(x) D.cosh(2x)=[sinh(x)]2+[cosh(x)]2 变式15-2.(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1, 在其定义域内都存在唯一的x2,使f(1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”. (1)判断函数g(x)=x是否为“依赖函数”，并说明理由： (2)若函数f(x)=2x2在定义域[m,n](n>m>0)上为“依赖函数”，求mn的取值范围： 3)已知函数h(x)=(x-)2(a<)在定义域[，3]上为“依赖函数”.若存在实数x∈[，3]，使得 对任意的t∈R,不等式h(x)≥-t2+(s-t)x恒成立，求实数s的最大值. 变式15-3.2425高一上·安徽毫州涡阳县·期末)已知函数f(x)= e 2(m≠0)是偶函数. 10/13 专题03指数函数 目录 专题03 指数函数 类型一、指数化简运算 类型二、指数模型运算 类型三、指数函数求值问题 类型四、指数函数奇偶性求值问题 类型五、指数函数奇偶性求参 类型六、奇偶性求解析式问题 类型七、指数函数不等式 类型八、指数型函数的值域、最值 类型九、已知指数函数的值域、最值求参数 类型十、指数函数的单调性求参数 类型十一、指数函数零点问题 类型十二、指数函数对称问题 类型十三、指数函数不等式恒成立问题 类型十四、指数函数有解问题 类型十五、指数函数新定义问题 压轴专练 类型一、指数化简运算 1.指数的乘法法则化简 通过运用指数的乘法法则，可以将指数函数中的乘积化为指数相加，从而简化表达式。 2.指数的除法法则化简 利用指数的除法法则，我们可以将指数函数中的除法变为指数相减，从而使表达式更加简洁。 3.指数的幂法化简 当指数函数中含有幂的情况时，可以利用指数的幂法，将指数函数中的幂进行展开，从而化简表达式， 4.指数的负指数法化简 负指数是指数函数中一个重要的概念，通过运用负指数法则，我们可以将指数函数中的负指数转化为倒数，从而简化表达式。 5.指数的对数法化简 利用指数和对数之间的关系，我们可以将指数函数转化为对数函数，从而简化表达式。 6.指数和根式法化简 在指数和根式的关系中，可以利用指数和根式之间的转化，将表达式中的根式化简为指数形式。 例1．(24-25高一上·山西吕梁·期末)（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用基本不等式可判断A；利用基本不等式，结合指数幂的运算法则可以判定C；取中一个较小，一个较大时可得出反例从而否定B；利用乘1法，结合基本不等式可以判定D. 【详解】因为.所以 即，得（当且仅当时，等号成立），故A正确； 当时，满足，此时，故B错误； （当且仅当时，等号成立），故C错误； 由得，所以 （当且仅当时，等号成立），故D正确. 故选：AD 变式1-1．(24-25高一上·云南文山文山第一中学·期末)（多选）已知实数a，b满足等式，则下列可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先由等式，得出；对于选项A和B，分析的情形即可；对于选项C，分析的情形即可；对于选项D，分析的情形即可. 【详解】因为，所以． 对于选项A和B，当时，，只能，选项A不成立，选项B正确； 对于选项C，当时，，只能，选项C正确； 对于选项D，当时，且，只能，等式成立，选项D正确； 故选：BCD． 变式1-2．(24-25高一上·湖南娄底·期末)借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）．根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于 【答案】 【分析】由，结合题意可得，当越来越大时，会无限趋近于,即可得解. 【详解】由题意知， 由越来越大时，会无限趋近于， 故越来越大时，会无限趋近于，则会无限趋近， 故会无限趋近于. 故答案为：. 变式1-3．(23-24高一上·安徽蚌埠五河第一中学·期末)（1）求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）利用幂的运算性质运算即可得解. （2）利用幂的运算性质及完全平方公式运算即可得解. 【详解】解：（1） . （2）由题意，，则 ∴， ∵，∴，∴. 类型二、指数模型运算 例2．(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期末)在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意得到方程组，联立求出，进而求出. 【详解】由题意得，当时，①， 当时，②， ②-①得，，解得，负值舍去， 所以，解得. 故选：A. 变式2-1．(22-23高一上·宁夏银川第二中学·期末)国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（mg/L）与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（    ） A．51.2% B．48.8% C．52% D．48% 【答案】B 【分析】先通过“前2小时消除了20%的污染物”求出 ，再令可求出，进而得到答案. 【详解】依题意有， 可得， 当时， 因此，前6个小时消除了污染物的48.8%. 故选∶B． 变式2-2．(24-25高一上·安徽芜湖·期末)荷花定律是一个非常著名的定律.据研究者收集的信息，池塘里荷花开放的程度，有如下规律，第一天开放的只是一小部分，第二天，它们会以前一天的两倍速度开放.到第29天时荷花恰好开满了一半，到第30天才会开满整个池塘.下列函数能较好反映池塘里荷花开放的程度y与时间x（1-30天）之间的变化规律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数的运算可得. 【详解】由题意“到第29天时荷花恰好开满了一半， 到第30天才会开满整个池塘”可得当时的值是时的值的二倍， 所以只有指数函数符合. 故选：B. 变式2-3．(24-25高一下·广东广州五校（实、执信、广雅、二中、六中）·期末)（多选）双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是（     ） A． B．的值域为 C．，则 D．，则 【答案】ABD 【分析】直接验证A选项即可；求得，结合指数函数的基本性质可求得的值域，可判断B选项；分析函数的单调性与奇偶性，解不等式可判断C选项；当时，由化简得出，由此可判断D选项. 【详解】对于A选项， ，A对； 对于B选项，， 因为，则，故，故， 即函数的值域为，B对； 对于C选项，对任意的，，故函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以， 即，故函数为上的增函数，且为奇函数， 由可得， 故，解得，C错； 对于D选项，， 当时，由整理可得， 即，故，D对. 故选：ABD. 类型三、指数函数求值问题 例3．(24-25高一上·山东枣庄枣庄第八中学·期末)奇函数满足，当时，，当时，，则=（   ） A．-2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】利用已知可得，可得是以为周期的周期函数，利用奇函数的性质求得，可求. 【详解】因为，所以，所以， 所以是以为周期的周期函数， 又时，，所以， 又因为为奇函数，所以，所以所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于由已知求得， 得周期，进而求得函数值. 变式3-1．(24-25高一上·山东潍坊五县联考·期末)（多选）已知函数，则（   ） A．的图象关于y轴对称 B．在上单调递增 C． D．关于x的方程有3个解的充要条件是 【答案】BCD 【分析】先求得函数的定义域，利用奇函数的定义可判断A；利用单调性的定义可证在上单调递增，利用奇函数的性质可判断B；计算可得，可判断C；数形结合可判断D. 【详解】函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，故A错误； 当时，，，且， ， 因为，所以，又，所以， 所以，所以，所以在上单调递增， 又函数为奇函数，所以在上单调递增，故B正确； ， 所以，故C正确； 关于x的方程有3个解，则关于x的方程有3个解， 所以与的图象有3个交点， 作出图象如图所示： 由图象可得，所以关于x的方程有3个解的充要条件是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：方程的解的个数，函数零点个数问题，常常通过转化为两函数的图象的交点个数问题解决. 变式3-2．．(21-22高一上·辽宁锦州联合校·期末)已知f（x）＝，a是大于0的常数． (1)求； (2)求的值； (3)利用（2）的结论求＋＋+…＋的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】(1) 直接代入求值即可； (2) 由f(x)＝，得f(1－x)＝，然后相加再化简可得定值； (3)结合（2）的结论求解即可. 【详解】（1）. （2）由f(x)＝，得f(1－x)＝， 所以 故有． （3）由（1）(2)知，＋＋+…＋ =++…＋＋＝1×1010+＝ 变式3-3．(24-25高一上·陕西西安西咸新区·期末)已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】令，，根据奇偶性得到关于、的方程组，求出的解析式，再代入计算可得. 【详解】令，， 依题意可得是奇函数，是偶函数， 则，， 即，解得， 则. 故选：B 类型四、指数函数奇偶性求值问题 1.偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。 2.奇函数在原点有定义时，原点对称的区间上，函数值的符号一定相反, 3.偶函数在原点有定义时，原点对称的区间上，函数值的符号一定相同 4.奇偶性是针对定义域区间而言的，离开定义域区间谈论奇偶性是没有意义的。 例4．(24-25高一上·陕西西安西咸新区·期末)已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】令，，根据奇偶性得到关于、的方程组，求出的解析式，再代入计算可得. 【详解】令，， 依题意可得是奇函数，是偶函数， 则，， 即，解得， 则. 故选：B 变式4-1．(24-25高一上·云南曲靖会泽县·期末)已知函数是定义在R上的偶函数，且，若时，，则（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】D 【分析】先判断函数的周期性，利用周期性和偶函数的性质计算即得. 【详解】由可得， 故为周期函数，且4是函数的一个周期， . 故选：D 变式4-2．(24-25高一上·江西抚州·期末)若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】利用函数在上是单调函数可知为常数，利用换元可得到关于的方程，可解出的值，从而求解. 【详解】对任意，都有，且函数在上是单调函数， 为常数， 设，则， ， 与在上单调递增， 有唯一解，解得， ，. 故选：D. 变式4-3．(24-25高一上·湖南郴州·期末)已知函数为上的奇函数，且，当时，，则 的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】首先利用奇函数的性质求出的值，再根据已知条件推出函数的周期，然后将所求的通过周期转化到已知区间上进行计算. 【详解】因为函数是上的奇函数，那么. 已知当时，，所以，解得. 此时. 已知，则. 用代替可得：. 所以，这表明函数的周期. 因为，所以. 由可得. 又因为是奇函数，所以. 当时，，则，所以. 因为，所以. 那么. 所以的值为. 故选：C. 类型五、指数函数奇偶性求参 利用奇偶性求参数的值，常用的解题方法包括： 1.定义法 2.特殊值法 3.利用函数的特点分析法 4.利用定义域关于原点对称等方法。 例5．(24-25高一上·重庆部分区·期末)若函数是奇函数，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数为奇函数求得，再确定其单调性即可求解； 【详解】是奇函数，又定义域为, 所以，得，经检验符合； 所以， 由在上单调递增，易知在上单调递减， 又， 所以等价于， 所以， 所以不等式的解集为， 故选：A 变式5-1．(24-25高一上·广东茂名电白区·期末)对于函数， (1)若函数是增函数，求的取值范围； (2)是否存在实数使函数为奇函数？ 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）根据增函数的定义求参数的取值范围. （2）根据奇函数的定义求参数的值. 【详解】（1）函数的定义域为，在上任取且， 若函数是增函数，则，即， 故 ∵，∴． 所以，的取值范围是． （2）假设存在实数使函数为奇函数， 则，都有． 所以，，即， 所以，. 所以时函数为奇函数． 变式5-2．(24-25高一上·山东枣庄台儿庄区·期末)设（为实常数） (1)若是奇函数，求与的值； (2)若定义域不为且是奇函数时，求函数的值域． 【答案】(1)或． (2)． 【分析】（1）根据得到方程，化简得到，从而得到方程组，求出与的值； （2）在（1）基础上，得到．进而求出值域. 【详解】（1）是奇函数时，． 即对定义域内任意实数都成立， 即． 对定义域内任意实数都成立，所以，所以或； （2）当时，，定义域为，不符合题意； 当时，． 当时，因为，故，则．所以； 当时，． 综上所述：函数的值域为． 变式5-3．(24-25高一上·广东深圳龙华区·期末)已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由是奇函数得，代入整理得； （2）判断单调性采用定义法，设为区间内的任意两个值，且，计算出 ，说明函数是增函数； （3）结合函数奇偶性、单调性转化为对任意恒成立恒成立，然后分类讨论求解. 【详解】（1）由题意可得：=， ∵是奇函数， ∴，即 ， 所以 ， ∴，即， 即. （2）是上的增函数，证明如下： 设为区间内的任意两个值，且， 则，， ∵= = ， 即， ∴是上的增函数. （3）由（1）（2）知，是上的增函数，且是奇函数. ∵， ∴， ∴， 即对任意恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，只需，解得， 综上，实数的取值范围 类型六、奇偶性求解析式问题 1.明确已知条件与目标:首先确认函数的奇偶性、已知解析式的区间以及所求解析式的区间。注意定义域是否包含原点，因为奇函数在(x=0)处必有(f(0)=0)。 2.“设谁求谁”:在所求解析式的区间上设自变量(x)。例如，若已知(x>0)时的解析式，要求(x<0)时的解析式，则设(x<0)。 3.利用对称性转换:由于定义域关于原点对称，当(x)在所求区间时，(-x)必在已知区间。将(-x)代入已知解析式，得到(f(-x))。 4.应用奇偶性定义:根据函数的奇偶性，建立(f(-x))与(f(x))的关系。对于奇函数:(f(-x)=-f(x))，因此(f(x)=-f(-x))。对于偶函数:(f(-x)=f(x))，因此(f(x)=f(-x))。 例6．已知函数为偶函数，为奇函数，且满足. (1)求； (2)当时，判断和的大小关系. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由函数和的奇偶性得出函数和的解析式， （2）利用作差法判断化简可得，进而判断可得出结果． 【详解】（1）由题设可知，由于为偶函数，为奇函数， 则，则， 解得； （2） ， 由于，当且仅当时取等号， 且， 则，即． 变式6-1．(24-25高一上·湖南岳阳·期末)已知函数，，满足，． (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并用定义证明． 【答案】(1) (2)为奇函数，证明见解析 【分析】（1）利用函数值代入解析式，得到方程组，求解即得； （2）利用奇函数的定义计算化简即可判别. 【详解】（1）因为，，所以 得，，所以 （2）因的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数． 变式6-2．(24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·)定义域均为的奇函数与偶函数满足． (1)求函数与的解析式； (2)证明：； (3)设函数恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据和的奇偶性得，联立可得； （2）代入，计算可得； （3）代入，得，再由基本不等式可得. 【详解】（1）①， 为奇函数，为偶函数 ② 由①②联立方程组解得 （2） ． （3） 由恒成立可得恒成立． （当且仅当时等号成立） ，故的取值范围是 变式6-3．(24-25高一上·河北邯郸·期末)若函数为奇函数，为偶函数，且满足 (1)求和的解析式； (2)记； （i）判断的奇偶性，并用定义证明的单调性； （ii）若成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)，； (2)（i）在R上单调递减，证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据函数的奇偶性可得关于与的方程组，求解即可； （2）（i）由奇偶性的定义即可判断的奇偶性，由单调性的定义即可证明的单调性； （ii）由的奇偶性与单调性将不等式脱去“h”，可得关于t的一元二次不等式，求解即可． 【详解】（1）由①，得， 根据和的奇偶性，得②， 由①和②，得，. （2）（i）由，则为奇函数， 又， 任取，，且，有， 因为函数在R上单调递增，所以， 因此，即，则在R上单调递减． （ii）因为，所以， 所以，因此，则，解得， 所以实数t的取值范围是. 类型七、指数型函数不等式 1.同底数比较法 当指数不等式的底数相同时，我们可以比较指数大小来解决不等式。 2.对数法 对数法是解决指数不等式常用的方法之一。通过取对数将指数不等式转化为对应的对数不等式，然后通过求解对数不等式得到解集。 3.分类讨论法 当指数不等式中的底数是分数或负数时，我们可以通过分类讨论的方法来解决。将不等式中的底数进行分类讨论，分别解决每个分类下的指数不等式，最后将得到的解集进行合并得到最终的解集。 4.图像法 对于一些较为复杂的指数不等式，我们可以通过绘制函数图像的方法来解决。将指数函数图像绘制在坐标系中，通过观察图像的性质找到使不等式成立的解集。 例7．(23-24高一上·四川凉山彝族安宁河联盟·期末)不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】首先由指数函数性质化简不等式，然后移项，解不等式即可． 【详解】不等式可化为，因为函数为增函数， 所以，移项整理为， 解得或． 所以原不等式的解集为． 故答案为：． 变式7-1．(24-25高一下·湖南湘潭·期末)已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)证明：. 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据奇偶性定义判断函数即可； （2）分类讨论和两种情况即可证明. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 因为，因为，解得， 定义域为，关于原点对称， ， 故，所以为偶函数； （2）当时，，所以，则， 所以 当时，，得， 所以，则， 所以； 综上，. 变式7-2．(24-25高一下·贵州六盘水部分学校·期末)已知定义在上的偶函数满足：当时，. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由时的解析式及奇偶性，求出时的的解析式，即可得到的解析式； （2）利用是偶函数，将转化为，再根据在上单调性，继续转化为，将其两边同时平方后转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）设，则， 因为当时，，所以， 因为是定义在上的偶函数，所以， 所以. （2）因为是定义在上的偶函数，且， 所以. 又因为在上单调递增， 在上也单调递增， 所以在上单调递增， 所以，两边同时平方可得， 即，即，解得. 所以不等式的解集为. 变式7-3．(24-25高一下·贵州毕节·期末)已知函数是定义域为的偶函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法给出证明； (3)令，，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）设，则，利用偶函数即可求的解析式，然后写出可得函数的解析式； （2）区间上任取，，且，作差，根据的符合证明单调性； （3）先确定函数在的单调性，再根据单调性解不等式得，然后解不等式组即可. 【详解】（1）设，则, ∵时，, ∴, ∵是定义域为的偶函数, ∴, ∴, ∴. （2）由（1）知，当时，, 所以函数在区间上单调递减, 证明如下： 在区间上任取，，且, 由, 又∵, ∴，, ∴, ∴, ∴, ∴函数在区间上单调递减. （3）∵当时, ∴在上单调递增, ∵, ∴, ∴, ∴不等式的解集为. 类型八、指数型函数的值域、最值 1.求值域前务必先确定函数的定义域 2.复杂函数可尝试多种方法综合求解 3.画函数图像能帮助直观理解值域范围 例8．(20-21高一上·江苏南通启东·期中)函数的值域为 ． 【答案】 【解析】首先求出的范围，然后结合指数函数的图象可得答案. 【详解】因为，所以 故答案为： 变式8-1．(24-25高一上·安徽芜湖·期末)已知函数是偶函数，当时，. (1)当时，求函数的解析式； (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数的性质可得； （2）由指数函数的单调性可得. 【详解】（1），则，结合题意得， 是偶函数，， 时，. （2）由（1）知 当， 当，的值域为. 变式8-2．(24-25高一下·云南红河州、文山州·)已知函数，，. (1)判断函数的奇偶性： (2)证明：； (3)若的最小值为，求实数的值. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的概念进行判断. （2）分别写出与，进行化简整理即可. （3）先明确的解析式，利用换元法，结合二次函数的性质，分类讨论求函数的最小值，利用最小值为，可得实数的值. 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 由题意，得， 因为， 所以为奇函数. （2）由，则， ， 所以得证. （3）由，得， 令，所以，， ①当时，在上单调递增，，解得； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得（舍去）. 综上所述，实数的值为. 变式8-3．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)已知二次函数满足，且，函数． (1)求函数的解析式； (2)记函数． （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）求在区间上的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）设出二次函数的解析式，利用待定系数法求出解析式. （2）（ⅰ）由（1）求出函数，代入求解方程即得；（ⅱ）求出函数，换元并结合指数型复合函数单调性求出新元的范围，再利用二次函数求出最大值. 【详解】（1）设二次函数，，由， 得，整理得， 则，解得，，则，由，得， 所以函数的解析式为. （2）（ⅰ）由，得， 函数，． 则，由，得，令， 则，整理得，而，解得，即，解得， 所以. （ⅱ）由（ⅰ）得 ， 令，函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 当时，，， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 类型九、已知指数函数的值域、最值求参数 例9．已知函数存在最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先结合指数函数单调性求出时的值域，再分和两种情况讨论时的最小值，最后结合分段函数存在最小值列不等式组，并求解即可. 【详解】当时，单调递增，则有． 当时，，若，即时，；若，则在上单调递增，此时． 若存在最小值，必有或， 解得或，则a的取值范围是． 故选：D 变式9-1．(22-23高一上·江苏常州教科院附属高级中学·期末)若，已知函数为奇函数． (1)求实数的值． (2)用定义证明的单调性． (3)若函数在区间上的值域是，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）先判定函数定义域，借助求参数，再验证即可； （2）利用单调性的定义，作差证明即可； （3）根据（2）的结论，将问题转化为二次方程的根的个数问题，利用韦达定理计算即可. 【详解】（1），则恒成立，所以定义域为R， 则，所以， 此时，符合题意， 故 （2）由上知， 不妨设，所以， 因为，且在R上单调递增，所以， 即，即在R上单调递增； （3）由上知在R上单调递增，所以， 整理得， 则是关于的方程的两个不等正根， 所以，解不等式组得. 变式9-2．(24-25高一上·江苏苏州·期末)已知函数. (1)当时，求方程的解： (2)若存在，使得，求的取值范围： (3)若函数在上的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，直接求解一元二次方程； （2）分离参数得在上有解，求函数的最值得解； （3）先得为偶函数，利用换元法研究函数在上的最小值即可. 【详解】（1）当时，函数. 令，当时，，方程可化为， 解得，所以； 当时，，方程可化为， 解得，舍去. 综上所述，方程的解为. （2）当时，，所以， 由题意得在上有解， 即在上有解， 所以在上有解， 因为在上的最小值为，所以. （3）因为的定义域为，， 所以为偶函数. 由题意知，只需考虑函数在上的最小值. 当时，，. 因为， 所以. 令，则在上单调递增，所以， . 当即时，在上单调递增， 所以，舍去； 当即时，，解得（正值舍去）. 综上所述，的值是. 【点睛】关键点点睛：第（3）问中研究函数在上的最小值，令，进而利用二次函数最值的研究法求解. 变式9-3．(24-25高一上·山东德州·期末)已知函数是定义在的奇函数. (1)若集合，，求； (2)设，且在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得可求出，然后再验证即可求出的解析式，再解不等式求出集合，从而可求出； （2）令，则将转化为，，然后分和两种情况结合二次函数的性质求出其最小值，然后列方程可求得结果. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数， 所以，可得， 当时，， 所以，， 所以为奇函数，所以； 由，得，即， 因为，所以， 所以，即； . 所以 （2）令，因为和在上递增， 所以在上递增， 所以时，， 可化为 ，， 当时，在上为减函数，在上为增函数， 所以或, 又，所以合题意. 当时，在上为增函数, ，解得不合题意，舍去, 综上可知. 类型十、指数函数的单调性求参数 例10．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 变式10-1．(24-25高一上·山东日照·期末)若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 变式10-2．(24-25高一上·安徽宣城·期末)函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据各段上的单调性和分段处函数值的大小关系可得关于的不等式组，求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，所以， 所以． 故的取值范围是. 故答案为:. 变式10-3．(24-25高一上·湖北武汉·期末)已知定义在上的函数. (1)若，求的值域； (2)是否存在，使是奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若函数在上是减函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)存在 (3) 【分析】（1）当时，利用指数函数的性质即可得出值域； （2）根据函数为奇函数利用求，再检验即可； （3）根据函数为减函数，利用单调性定义转化为成立，再由指数函数单调性得解. 【详解】（1）当， ， 设，则， 因为，所以， 所以，即的值域是， （2）若是定义在上的奇函数， 则，即， 所以，即， 此时，， 所以， 所以存在，使为奇函数. （3）因为在上的单调递减，设，且， 则，即， 因为， 所以 ， 因为，所以 因为，所以只需 即， 因为，所以. 【点睛】关键点点睛：函数变形时，需要对指数的运算熟练且变形能力强，对运算能力要求较高. 类型十一、指数函数零点问题 例11．(24-25高一上·四川绵阳·期末)已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则转化为，函数有三个不同的零点，转化为有两个根，一个根在另一根在，根据二次方程根的分布即可求解. 【详解】令，则，由函数有三个不同的零点， 转化为有两个零点，一个零点或另一个零点，则， 则一元二次方程的两根为，即的一个根在另一根在， 令，则有， 即实数的取值范围为， 故选：B. 变式11-1．(24-25高一上·安徽黄山·期末)（多选）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】将方程的根的问题转化为图象交点问题，由一元二次方程解得或，要想有个交点，则两条直线与图象各有个交点，根据图象得到的范围，进而得到可能的取值. 【详解】由得或， 根据二次函数和指数函数图象得到图象，当时，， 并在同一坐标系中画出，与图象有个交点， 要使得关于的方程有4个不同的实根，则直线与图象有个交点，且两条直线不重合， 根据图象可知且，解得且，所以ACD符合， 故选：ACD. 变式11-2．(24-25高一上·贵州遵义播州区·期末)已知，若关于的方程有四个实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数图像，根据，可得，或，结合函数图像，分情况讨论方程解的情况，即可得解. 【详解】 由， 且当时，函数单调递减，且， 当时，函数单调递增，且， 作出函数图象如图所示， 又方程有四个不同的解， 即或共四个不同的解， 且时，方程有两个解， 所以方程有两个解，且， 结合函数图象可知，， 综上所述， 故答案为：. 变式11-3．(24-25高一上·广西柳州区域联合校·期末)已知定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求函数在上的解析式； (2)求方程的解集. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由偶函数的性质有列方程求参数，再应用偶函数求时的解析式，即可得在上的解析式； （2）根据（1）所得解析式，讨论、分别求对应解，即可得解集. 【详解】（1）因为是定义在上的偶函数，且，所以， 即，解得，所以时，， 设，则，则， 故； （2）由，分类讨论如下， 当时，； 当时，； 综上所述，方程的解集为或. 类型十二、指数函数对称问题 例12．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知函数和依次交于三点A，B，C，且满足，则a的值为（    ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 【答案】C 【分析】求出函数的对称中心，由给定条件可得点是它们相同的对称中心，由此求出值. 【详解】函数定义域为R，， 因此函数的图象关于点对称；函数的定义域为R， ， 因此函数的图象关于点对称，而函数的图象依次交于三点， 因为，所以点关于点对称，因此函数的图象对称中心相同，且为点，所以. 故选：C 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 变式12-1．(24-25高一·浙江衢州·期末)已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得的定义域，从而得到，再利用奇函数的性质列式求得，从而得解. 【详解】对于，有，解得， 所以的定义域为， 而的图象的对称中心为，则， 所以为奇函数，则有， 即， 所以，故. 故选：C. 变式12-2．(24-25高一上·河南濮阳·期末)已知函数的图象是中心对称图形，则其对称中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用反比例函数的对称性得到对称中心的横坐标为，再设对称中心的坐标为，利用列式即可解得. 【详解】已知图象关于原点对称，故的图象关于点对称， 令，解得， 故对称中心的横坐标为2，故设其对称中心的坐标为， 则，可知，解得， 故其对称中心的坐标为． 故答案为：. 变式12-3．(24-25高一上·山东菏泽第一中学·期末)已知函数 (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)对于给定的常数，是否存在实数，使得函数的图象关于直线对称，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由； (3)当时， 比较与 的大小，并给出证明. 【答案】(1) (2)存在， (3)相等，证明见解析 【分析】（1）根据奇函数的定义列方程求； （2）假设存在满足条件，由次可得函数为偶函数，结合偶函数性质列方程求； （3） ，展开结合指数幂运算及性质证明结论. 【详解】（1）因为为奇函数， 所以， 故， 所以， 因此， （2）存在. 假设函数的图象关于直线对称， 则函数为偶函数， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，， 因此当时，使得函数的图象关于直线对称； （3）             . 类型十三、指数函数不等式恒成立问题 例13．(24-25高一下·四川德阳·期末)若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知不等式和偶函数性质判断出在定义域上的单调性，将转化为，，结合含绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】由可知：当时，， 即当时，， 可得在上单调递增， 因为是定义在上的偶函数，偶函数的图象关于轴对称， 所以在上单调递减，且，， 可得，即， 又因为，， 所以， 易知，恒成立，因此，，即，, 的值域是，的值域是， 解得. 故选：D. 变式13-1．(24-25高一上·云南昆明·期末)已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)若成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入点的坐标可得解析式； （2）判断奇偶性和单调性，利用性质可解不等式； （3）利用单调性转化为，结合基本不等式可求答案. 【详解】（1）因为函数的图象经过点，所以，解得. （2），定义域为，，即为奇函数； 因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 等价于，即， 所以，解得或，故解集为. （3）由（2）可知函数为增函数，，所以； 等价于，即在恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以在上的最小值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 变式13-2．(24-25高一下·广东深圳深圳科学高中·期末)已知函数为奇函数. (1)求实数k的值， 判断函数的单调性（无需证明）， 并求不等式的解集； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，单调递增，； (2). 【分析】（1）根据函数是奇函数应用计算求参，再代入验证，根据指数函数单调性判断函数单调性，再应用单调性解不等式即可； （2）根据解析式及不等式化简，得出恒成立，再结合指数函数及二次函数最值计算求解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，所以， 所以， ，所以符合函数是奇函数，所以； 因为单调递增，单调递减， 所以单调递增， 因为，所以， 所以，所以，解集为：. （2），，所以， 所以， 令，所以，， 当时，， 所以，即. 变式13-3．(24-25高一下·湖南长沙明德中学·期末)已知，其中为奇函数，为偶函数． (1)求的解析式并指出的单调性（无需证明）； (2)若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，在上单调递增 (2) (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，构成方程组即可求解； （2）由已知，对于任意的实数，成立，即，即转化为求函数最小值，即可求得实数的取值范围； （3）由（1）知，，可得，由存在，，即可求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为①，为奇函数，为偶函数， 则，即②， 联立①②，得，， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上单调递增. （2）由（1）得单调递增， 因为，所以， 整理得对于任意的成立，则， 令，则， 当且仅当时，即时取等号，所以. （3）由（1）知，，， 则 ， 令，则， 则原题目转化为存在，使得成立， 当，成立，当时，， 综上，. 类型十四、指数函数有解问题 例14．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)已知二次函数． (1)若，求的解集； (2)若方程在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）用换元法令，则在上有解，求出方程的根，根据题意列式即可求解. 【详解】（1）当时，，解得或, 故解集为 （2）令，为增函数， 因为，所以， 即在上有解， 解得，或（舍去）， 所以，即. 变式14-1．(24-25高一上·贵州遵义播州区·期末)已知函数为定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)记，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见详解. (3) 【分析】（1）根据定义在上的奇函数的性质得，即可求解的值； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）利用换元法令，转化得，使得成立，利用二次函数的图象与性质列不等式，求解即可. 【详解】（1）因为函数为定义在上的奇函数， 所以，即，解得. 当时，，， 且，满足题意，故. （2）函数在上单调递增，证明如下： 取，且， 则 因为，则，即，又，则， 所以，即， 因此，函数在上单调递增. （3）由题意，，. 因为，使得成立， 即，使得成立， 令，则，因为函数在上单调递增， 所以由，解得， 所以，使得成立， 即，使得成立， 即 ， 因为所以，， 因此，实数的取值范围是 . 变式14-2．(24-25高一下·河北张家口尚义县第一中学等校·)若函数在区间上有最大值8和最小值3，设. (1)求的值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数在闭区间上的单调性，利用最值得出方程组可解得； （2）将不等式有解问题转化成，由二次函数单调性可得结果. 【详解】（1）易知函数关于对称， 因此在区间上单调递增， 所以可得，解得， 因此的值分别为 （2）由（1）可得，所以； 不等式等价于； 令，可得， 不等式在上有解等价为； 由二次函数性质可得在上单调递增， 所以，因此. 即可得实数的取值范围为. 变式14-3．(24-25高一上·北京密云区·期末)已知函数． (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，直接写出的单调性，并解不等式； (3)当时，是否存在实数a，使得的最小值为4，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)在上递增，不等式解集为 (3)存在， 【分析】（1）当时，利用函数奇偶性定义可证明为偶函数； （2）当时，根据指数函数的单调性可得的单调性，将不等式化为，再利用函数的单调性求解即可； （3）当时，根据基本不等式求出函数的最小值，再根据的最小值为4，列方程求解即可， 【详解】（1）当时，，的定义域为R，定义域关于原点对称， 因为，所以是偶函数； （2）当时，， 因为都是R上的单调递增函数， 所以在上递增， 不等式，即， 所以， 即不等式的解集为； （3）当时，，且， 所以，当且仅当，即时等号成立， 因为的最小值为4，所以， 即存在，使得的最小值为4. 类型十五、指数函数新定义问题 例15．(24-25高一上·四川自贡第一中学校·期末)对任意实数定义运算“”：，设，若函数与函数在区间上均为减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据新定义求出的表达式，再分别分析与的单调区间，最后根据两个函数在区间上均为减函数来确定的取值范围. 【详解】令，在上单调递增. 又，所以当时，， 此时；当时，，此时. 即. 当时，，因为指数函数在上单调递增， 在上单调递增，根据复合函数“同增异减”的原则， 可知在上单调递增； 当时，是一次函数，斜率， 所以在上单调递减. 对于二次函数，其对称轴为， 二次项系数，所以在上单调递减，在上单调递增. 因为与在区间上均为减函数，在上单调递减， 在上单调递减，所以， 解不等式得，结合，可得. 综上，实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】方法点睛： 对于新定义运算的函数，要根据定义准确写出函数的表达式，通过分析组成函数的各个基本函数的单调性，利用函数值的大小关系确定函数的分段情况，进而得出函数的单调性. 已知两个函数在同一区间上的单调性求参数范围时，需根据各自函数的单调区间列出关于参数的不等式组求解. 变式15-1．(24-25高一上·云南昆明五华区·期末)（多选）双曲函数在许多数学、物理及工程问题中都有广泛的应用，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数.已知双曲正弦函数为，双曲余弦函数为（其中为自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】因为，， 对于AD， ，不恒为，故A错误，D正确； 对于B： ，故B正确； 对于C，，故C正确； 故选：BCD. 【点睛】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 变式15-2．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． (1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； (3)已知函数在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)不是“依赖函数”，理由见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）通过特例说明函数不是“依赖函数”. （2）根据“依赖函数”的概念探索的关系，再结合二次函数求的取值范围. （3）先根据“依赖函数”的概念确定的值，再结合二次函数在给定区间上恒成立的问题和函数的单调性求实数的最大值. 【详解】（1）对于函数的定义域内存在， 则，故不是“依赖函数”． （2）因为在递增， 故，即，， 由，故，得， 从而， 设， 当时，函数单调递增， 故. （3）由，故在上单调递增， 所以，解得或（舍）. 所以存在，使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 由， 得，由，可得， 又在单调递增， 故当时，， 从而，解得， 综上，故实数的最大值为． 变式15-3．(24-25高一上·安徽亳州涡阳县·期末)已知函数（）是偶函数． (1)求实数m的值； (2)类比函数周期的概念，定义函数周期点的概念：设函数的定义域为，对于非零实数a，令，（），若存在最小正整数T使得，则称a是函数的周期为T的周期点．判断是否存在周期点，并说明理由． (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)存在；理由见解析 (3) 【分析】（1）函数是偶函数，所以，计算可得； （2）假设存在的周期为1的周期点，根据周期点的定义若可求得的取值，即可证得存在周期点； （3）通过分析可知在上单调递增，结合为偶函数，可得当时，恒成立，即，，进而得解. 【详解】（1）由已知，即 化简得， 因为上式恒成立，故. （2）由（1）可知，，， 假设存在的周期为1的周期点， 则，得，化简得， 因为，所以得，， 故存在周期为1的周期点. （3）当时，，均为增函数， 且，，故在上单调递增． 由（1）知为偶函数，故在上单调递减． 由已知，当时，恒成立， 即当时，恒成立， 故，． 令，， 如图作出函数图象，由图象可知： 当时，函数取得最大值为8． 故，所以k的取值范围是. 压轴专练 一、单选题 1．函数，且，则和的不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，分，和，三种情况讨论，结合指数函数的单调性判断正负，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 当时，可得，，则，即； 当时，，，则，即； 当时，，，则，即， 综上可得，. 故选：C. 2．(24-25高一下·广东汕头潮阳实验学校·期末)已知和是函数图象上的两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用均值不等式结合指数运算进行求解即可. 【详解】已知和是函数图象上的两点， 可得：，，由于， 因此，当且仅当，即时等号成立. 得：. 故选：D 3．(24-25高一下·安徽阜阳临泉县·期末)已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数在定义域内单调递减，结合分段函数解析式，每一段应是减函数，且分界点处左段函数的函数值不小于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可. 【详解】因为函数对任意的，都有，所以函数在定义域内单调递减， 则一定有，解不等式组得. 故选：B. 4．(24-25高一上·江苏苏州部分校·期末)若为奇函数，且当时，不等式恒成立，则实数b的所有可取值构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合函数的定义域可得，代入不等式，分情况求解即可. 【详解】函数的定义域为，且为奇函数， 可得，即，经检验符合条件； 当时，不等式，即恒成立， 当时，， 当时，，所以，此时， 当时，，所以，此时， 综合可得. 故选：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是利用定义域为的奇函数在处的函数值为求出，再将不等式变形，结合不等式恒成立的条件确定的值. 5．(24-25高一上·江西上饶·期末)设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定定义，把问题转化为两个函数在区间同增或同减列出恒成立的不等式，再借助指数函数单调性求解. 【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增， 若区间为函数的“稳定区间”，令， 则函数与函数在区间上同增或者同减， ①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 于是，解得； ②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 于是，不等式组无解， 所以实数的取值范围为 故选：A 6．(24-25高一上·广东华南师范大学附属中学·期末)已知函数，若，，且，则的最小值是（   ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为， 又，所以为奇函数， 又，所以，所以， 又函数在单调递减，所以，所以，， 所以 ，当且仅当，即，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 7．(24-25高一上·安徽合肥第六中学·期末)记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质． ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③若，则一定存在正实数，使得具有性质； ④已知，若函数具有性质，则． 其中错误结论的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】利用性质可判断①；利用基本不等式结合性质可判断②；根据函数的值域可判断③；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断④. 【详解】对于①，设函数是定义在上的偶函数， 对任意的，，所以，所有偶函数都具有性质，①对； 对于②，对任意的，， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故对任意的，， 所以，具有性质，故②对； 对于③，因为， 又函数的值域为，所以，不存在实数，使得，故③错； 对于④，， 因为，易知，因为，则，则， 所以，，即，所以，， 要使得恒成立，则， 又因为，则， 所以，若函数具有性质，则，故④对， 故选：C. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 8．(24-25高一上·陕西安康·期末)已知正数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】正数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4. 故选：B 【点睛】易错点睛：同一问题，多次使用基本不等式求最值，注意各次运用时等号成立的条件要具有一致性，否则，等号可能不被取到. 二、多选题 9．设定义在上的函数满足：①当时，；②，则（ ） A． B．为减函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，令即可验算；对于B，令，则，结合单调性的定义即可判断；对于C，令即可判断；对于D，若要判断是否成立，只需判断是否成立，结合基本不等式以及单调性即可判断. 【详解】对于A，在中，令得，，解得，故A正确； 对于B，令，则，此时有，即，即为增函数，故B错误； 对于C，令得，，故C正确； 对于D，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立. 由B选项分析可知，为增函数， 所以，所以，即，故D正确. 故选：ACD. 10．(24-25高一上·浙江杭州下沙区杭四吴山·期末)已知函数是定义在上的以4为周期的函数，对任意整数，区间．当时，．集合在上有两个不相等的实根，则（   ） A． B．是函数的一个对称中心 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A：利用函数周期为4，把转化为，在这个区间有对应表达式，代入求出值为1；对于B：根据是否成立即可判断；对于C：运用周期性和奇偶性判断；对于D：时，，是由平移得到.找到直线过点时的值为，根据两图象有两个不同交点确定的范围. 【详解】已知函数的周期为，则. 当时，，所以，故，选项A正确. 当时，，，所以在上是偶函数， 结合周期性，易知函数图象关于轴对称，即在R上也是偶函数. 又函数的周期为，则，即不是对称中心，选项B错误. 因为函数的周期为，所以，由于是偶函数，所以，选项C正确. 当时，，则. 在上有两个不相等的实根，即与在上有两个不同交点. 当时，，的图象是由向右平移4k个单位得到的. 当直线过点时，，故要使与在上有两个不同交点， 则，即，选项D正确. 故选：ACD. 11．(24-25高一上·河北唐山·期末)已知函数，，则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B．为奇函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据和为增函数可直接判断的单调性；对于B，利用奇函数的定义即可判断；对于C和D，只需分别化简计算等式两边解析式即可判断. 【详解】对于A，由，因与在上均为增函数， 故在上单调递增，即A正确； 对于B，不妨记，函数定义域为， 且，即为奇函数，故B正确； 对于C，因，而， 故，即C错误； 对于D，因，， 故，即D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于给定函数，判断其单调性和奇偶性等性质的问题，一般从单调性和奇偶性定义出发进行推理判断，有些函数，还可根据其组成的函数单调性，直接判断其单调性，在判断等式时，需要整体处理意识. 三、填空题 12．(24-25高一上·云南昆明云南师范大学附属中学·期末)已知函数的对称中心是，若正数满足，则的最小值是 ． 【答案】10 【分析】根据题意分析的对称中心可得的值，即可得，又由，结合基本不等式的性质分析可得结果. 【详解】根据题意, 则有，所以， 故的对称中心为，可得； 又正数满足，即可得； 所以 ； 当且仅当时，即时，等号成立 此时的最小值是10. 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数解析式求得对称中心，得出，再由基本不等式的推广计算可得结果. 13．(24-25高一上·广东肇庆·期末)定义设，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】分析与的大小关系，作出函数的图象即可确定最大值. 【详解】设， 作出函数的图象，由图象可得，当或时，， 当时，，当时，，当时，， ∴， 画出图象，由图象可知． 故答案为：4. 四、解答题 14．(24-25高一上·陕西汉中·期末)已知函数． (1)求证：； (2)用单调性定义证明函数是减函数； (3)若，解关于的不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）应用指数运算律计算化简证明即可； （2）应用单调性定义证明即可； （3）应用（1）及（2），结合单调性得出一元二次不等式，再分三种情况分别计算求解. 【详解】（1）∵，∴． （2）函数的定义域为，对任意的，且， ∵函数在上单调递增，∴，即， ∴，即，∴函数在上单调递减． （3）∵，∴， ∴．不等式，即， 又由（2）知函数在上单调递减，∴，∴， 当时，解，得或； 当时，，解得； 当时，方程的两个实数根为， 若，即时，不等式的解集为空集； 若，即时，不等式的解集为； 若，即时，不等式的解集为． 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为空集； 当时，所求不等式的解集为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $