第四章 微专题 指数型与对数型复合函数的性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦指数型与对数型复合函数的性质，围绕单调性、值域、奇偶性展开，课堂导入从指数函数、对数函数基础性质切入，通过换元法将复合函数转化为一次或二次函数，搭建从已知到未知的学习支架，如例1将f(x)=2⁻ˣ²⁺²ˣ⁺²转化为y=2ᵗ分析单调区间。 其亮点在于以换元思想为主线，例题解析注重逻辑推理（数学思维），强化练覆盖选择、填空、解答题，帮助学生用数学语言表达解题过程（如例5用奇偶性定义推导a=1），培养抽象能力和运算能力。学生能系统掌握复合函数性质研究方法，教师可直接用于课堂教学提升效率。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 微专题　指数型与对数型复合函数的性质 与指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数． 课时分层作业 微专题　指数型与对数型复合函数的性质 类型1　指数型与对数型复合函数的单调性 【例1】　求函数f (x)＝的单调区间． [解]　设t＝－x2＋2x＋2＝－(x－1)2＋3，则f (x)可转化为y＝2t． 当x∈(－∞，1]时，t＝－x2＋2x＋2单调递增； 当x∈[1，＋∞)时，t＝－x2＋2x＋2单调递减． 因为函数y＝2t为R上的增函数，所以函数f (x)＝的单调递减区间为[1，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1]． 课时分层作业 微专题　指数型与对数型复合函数的性质 【例2】　已知函数y＝lo (x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，求实数a的取值范围． [解]　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上单调递减，∵0<<1，∴y＝(x)是关于g(x)的减函数．而已知复合函数y＝lo(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增， 课时分层作业 微专题　指数型与对数型复合函数的性质 ∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立， 即 ∴2≤a≤2(＋1)， 故所求实数a的取值范围是[2，2＋2]． 类型2　指数型与对数型复合函数的值域 【例3】　已知函数f (x)＝－＋1． (1)求满足f (x)＝3的实数x的值； (2)求当x∈[－2，3]时，函数f (x)的值域． 课时分层作业 微专题　指数型与对数型复合函数的性质 [思路导引]　(1)将看成一个整体，对f (x)＝3进行化简得到·＝0，先求解的值，再解x即可． (2)令t＝，当x∈[－2，3]时，可知t∈，代入f (x)可得y＝t2－t＋1，然后配方即可求出y＝t2－t＋1在上的最大、最小值，进而求得值域． 课时分层作业 微专题　指数型与对数型复合函数的性质 [解]　(1)∵f (x)＝－＋1＝3， ∴－－2＝0， ∴·＝0， ∴＝2或＝－1(舍去)， ∴x＝－1． (2)令t＝，∵x∈[－2，3]，∴t∈． 则y＝t2－t＋1＝＋． 当t＝时，ymin＝；当t＝4时，ymax＝13， ∴当x∈[－2，3]时，函数f (x)的值域为． 【例4】　求函数f (x)＝log2(4x)·lo，x∈的值域． [解]　f (x)＝log2(4x)·lo ＝(log2x＋2)· ＝－[(log2x)2＋log2x－2]． 设log2x＝t． ∵x∈，∴t∈[－1，2]， 课时分层作业 微专题　指数型与对数型复合函数的性质 则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]， 此二次函数图象的对称轴为t＝－， ∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数， ∴当t＝－时，有最大值，且ymax＝． 当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2． ∴f (x)的值域为． 类型3　指数型与对数型复合函数的奇偶性、单调性 【例5】　已知函数f (x)＝ln (1＋x)＋ln (a－x)为偶函数． (1)求实数a的值； (2)讨论函数f (x)的单调性． [解]　(1)∵f (x)为偶函数，∴f (－x)＝f (x)， ∴ln (1－x)＋ln (a＋x)＝ln (1＋x)＋ln (a－x)， ∴ln (1－x)－ln (1＋x)＝ln (a－x)－ln (a＋x)， ∴ln ＝ln ，∴＝，整理得2x(a－1)＝0， ∵x不恒为0，∴a－1＝0，∴a＝1． 课时分层作业 微专题　指数型与对数型复合函数的性质 (2)由(1)知f (x)＝ln (1＋x)＋ln (1－x)， 要使函数f (x)有意义，应满足 ∴－1<x<1． ∴函数f (x)的定义域为(－1，1)． 任取x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2， ∴f (x2)－f (x1)＝ln (1＋x2)＋ln (1－x2)－ln (1＋x1)－ln (1－x1)＝． 当－1<x1<x2<0时， ，>0， ∴f (x2)－f (x1)>0，∴f (x2)>f (x1)， ∴f (x)在(－1，0)上单调递增； 当0≤x1<x2<1时， ，<0， ∴f (x2)－f (x1)<0，∴f (x2)<f (x1)，∴f (x)在[0，1)上单调递减． 综上可知，函数f (x)在(－1，0)上单调递增， 在[0，1)上单调递减． 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 √ 一、选择题 1．函数y＝的单调递减区间为(　　) A． B． C． D． 微专题强化练　指数型与对数型复合函数的性质 15 D　[令－x2＋4x－3≥0，即≤0，解得1≤x≤3，∴函数的定义域为．∵y＝2t单调递增，t＝在上单调递增，在上单调递减，∴y＝的单调递减区间为．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 2．若函数f (x)＝是奇函数，则使0<f (x)<3成立的x的取值范围是 (　　) A． B． C．　 D．(1，＋∞) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 √ 微专题强化练 微专题　指数型与对数型复合函数的性质 17 D　[∵f＝是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，即＝，整理可得＝，∴1－a·2x＝a－2x，∴a＝1， ∴f (x)＝， ∵0<f (x)<3，∴⇒⇒ ⇒ ∴2x>2，解得x>1． ∴使0＜f (x)＜3成立的x的取值范围为(1，＋∞)．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 18 3．若函数f (x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，4)　　 B．(－4，4] C．(－∞，4)∪[2，＋∞)　　 D．[－4，4) √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 微专题强化练 微专题　指数型与对数型复合函数的性质 19 D　[令t(x)＝x2－ax－3a，则由函数f (x)＝log2(x2－ax－3a)在区间 (－∞，－2]上单调递减，可得函数t(x)在区间(－∞，－2]上单调递 减，且t(－2)>0，即解得－4≤a<4．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 20 √ 4．(多选)已知函数f (x)＝ex－e－x，则下列说法正确的是(　　) A．函数f (x)是奇函数 B．函数f (x)是偶函数 C．函数f (x)在R上是减函数 D．函数f (x)在R上是增函数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 √ 微专题强化练 微专题　指数型与对数型复合函数的性质 21 AD　[f (－x)＝e－x－ex＝－f (x)，函数f (x)＝ex－e－x的定义域为R，函数f (x)是奇函数，A正确，B错误；y＝ex为R上的增函数，y＝e－x为R上的减函数，则函数f (x)＝ex－e－x为R上的增函数，C错误，D正确．故选AD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 22 √ 5．(多选)已知函数f (x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是 (　　) A．f (4)＝－3 B．函数y＝f (x)的图象与x轴有两个交点 C．函数y＝f (x)的最小值为－4 D．函数y＝f (x)的最大值为4 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 √ √ 微专题强化练 微专题　指数型与对数型复合函数的性质 23 ABC　[A正确，f (4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f (x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f (x)的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f (x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f (x)取最小值－4；D错误，f (x)没有最大值．故选ABC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 24 二、填空题 6．若>，则实数a的取值范围是____________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 (－∞，1)　[因为函数y＝在R上为减函数， ∴>，等价于2a＋1<4－a，解得a<1， 所以实数a的取值范围是．] (－∞，1) 微专题强化练 微专题　指数型与对数型复合函数的性质 25 7．若函数f (x)＝x ln (x＋)为偶函数，则a＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 1　[∵f (x)为偶函数，∴f (－1)＝f (1)， ∴－ln (－1＋)＝ln (1＋)， ∴ln (1＋)＋ln (－1＋)＝0， ∴ln [()2－1]＝0， ∴ln a＝0，∴a＝1． 经检验，当a＝1时，f (x)是偶函数．] 1 微专题强化练 微专题　指数型与对数型复合函数的性质 26 8．已知函数f (x)＝log5在[－2，2]上单调递增，则m的取值范围是________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 [2，3)　[由题设，令t＝－x2＋mx＋8，函数图象开口向下且对称轴为x＝m，又y＝log5t在定义域上单调递增， ∴要使f (x)在[－2，2]上单调递增，则 可得2≤m<3．] [2，3) 微专题强化练 微专题　指数型与对数型复合函数的性质 27 三、解答题 9．已知函数f (x)＝loga(－x2＋ax－9)(a＞0且a≠1)． (1)当a＝10时，求f (x)的值域和单调递减区间； (2)若f (x)存在单调递增区间，求a的取值范围． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 [解]　(1)当a＝10时，f (x)＝log10(－x2＋10x－9)＝log10[－(x－5)2＋16]，设t＝－x2＋10x－9＝－(x－5)2＋16， 由－x2＋10x－9＞0，得x2－10x＋9＜0， 得1＜x＜9，即函数的定义域为(1，9)， 微专题强化练 微专题　指数型与对数型复合函数的性质 28 此时t＝－(x－5)2＋16∈(0，16]， 则y＝log10t≤log1016， 即函数的值域为(－∞，lg 16]， 要求f (x)的单调递减区间，等价于求t＝－(x－5)2＋16的单调递减区间， ∵t＝－(x－5)2＋16的单调递减区间为[5，9)， ∴f (x)的单调递减区间为[5，9)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 29 (2)若f (x)存在单调递增区间， 当a＞1，则函数t＝－x2＋ax－9存在单调递增区间即可，则判别式 Δ＝a2－36＞0，得a＞6或a＜－6(舍)；当0＜a＜1，则函数t＝－x2＋ax－9存在单调递减区间即可，则判别式Δ＝a2－36＞0，得a＞6或a＜－6，此时a不存在． 综上，实数a的取值范围是(6，＋∞)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 $