专题04 对数函数（期末复习压轴题专项训练）数学人教B版2019必修第二册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04对数函数 目录 专题04对数函数 对数化简运算 类型二、对数模型运算 类型三、对数函数求值问题 类型四、对数函数的奇偶性求值 类型五、对数函数不等式 类型六、对数函数奇偶性解不等式 类型七、对数函数单调性 类型八、对数函数的单调性求参 类型九、对数函数的值域、最值 类型十、对数函数的值域、最值求参数 类型十一、对数函数定义域、值域为R问题 类型十二、对数函数比较大小问题 类型十三、函数对称性问题 类型十四、函数图像的应用 类型十五、对数函数零点问题 类型十六、对数函数恒成立问题 类型十七、对数函数有解问题 类型十八、对数函数新定义问题 压轴专练 典例详解 类型一、对数化简运算 1.将对数的乘积或商转化为对数的和或差； 2.将幂的对数转化为指数与对数的乘积； 3.合并同类项或进行进一步化简。 例1.(22-23高一上陕西商洛期末)已知a>1,b>1,且ab=25,则log5a·1ogb的最大值为() A.1 B.2 c.5 D.10 变式1-1.(24-25高一上陕西西安中学.期末)（多选）已知a>b>0,且a+b=2,则() A.昌+号29B.a2+b2>2 C.Iga+lgb>0 D.va+b<2 变式1-2.(24-25高一上山东威海期末)已知a>1,且意家=2，则a=_ 变式1-3.(24-25高一上云南曲靖师宗县凤山中学期末)已知实数a,b满足2+1+a=4, 1og,V2b+3+b=1,则a+2b=一 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型二、对数模型运算 例2.(24-25高一上·浙江丽水期末)一种药在病人血液中的量保持1500mg及以上才有疗效，而低于 500mg病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药2500mg,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减， 为了保持疗效，那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长间隔时间（精确到0,1）为() (参考数据：1g2≈0.30，lg3≈0.48) A.2.2 B.4.2 c.7.0 D.8.8 变式2-1.(24-25高一上江苏苏州·期末)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释 放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为1gE=4,8+1.5M.2011年3月11日，日本 东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的 32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：1g2心0.3）() A.5级 B.6级 C.7级 D.8级 变式2-2.(24-25高一上·四川宜宾期末)稀土是半导体产业重要材料，被称为工业维生素，某稀土元素生产 工艺每进行一次提纯可减少杂质10%，要将杂质减少到原来的1%以下，至少需要提纯的次数为（参考数据： 1g2≈0.301,1g3≈0.477)() A.42次 B.43次 C.44次 D.45次 变式2-3.(24-25高一上·浙江湖州期末)某“激进型理财产品”是按复利的方式计算利息，即把前一期的利息 与本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息.假设最开始本金为α元，年利率为5%，约经过（)年 后，本息和能够“增倍（即为原来的2倍）（附参考公式：1(1+x)=x-号+号等+，当x接近于0时， 1n(1+x)≈x参考数据：1n2≈0.6931,1n3≈1.0986,1n5≈1.6094 A.16 B.14 C.12 D.10 类型三、对数函数求值问题 对数是指数的逆运算，它的核心在于给定一个指数关系，反过来求出底数对应的指数。 简单来说就是对数最基础的定义也是进行化简以及求值时的出发点。 ex, x20 例3.24-25高一下广东汕头湖南区期末已知函数f(x)={1n[f(x+2)],x<0,则 f()-f(ln2)=() A.-7 B.￥ c.- D.是 变式3-1.(24-25高一上江西宜丰中学等多校期末)已知函数f(x)的定义域为 Rf(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),且f(1)=1,则f(1og2256)=() A.1 B.-1 C.2024 D.-2024 变式3-2.(24-25高一上广东华南师范大学附属中学期末)已知函数f(x)在定义域(0，+0∞上单调，若对任 意的x∈(0，+o∞，都有f(f(x)-nx)=1+e,则f(e2=() 2/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.e B.e+1 C.e+2 D.2e 变式3-3.(24-25高一下.贵州六盘水期末)若函数f(x)=a(a>1)在[1,2]上的最大值是最小值的2倍， 则f(1og25)= 方类型四、对数函数的奇偶性求值 例4.(24-25高一上·重庆南开中学校期末)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且 x∈[0,1]时，f(x)=2+1-2,则f1og5)=() A.-影 B.-昌 c.} D. 变式4-1.(24-25高一上河北沧州期末)已知函数f(x)满足f(x)=2f(x-1),当0≤x<1时， f(x)=3,则f(1og318)=() A.2 B.4 C.8 D.18 变式42.(24-25高一下广西柳州上进联考期末)已知函数f(x)=1n(x)-品，若 f(x1)+f(x2)=0,则的最小值为 变式4-3.已知函数f(x)=1+1og,g(x)=2. (1)若F(x)=f(g(x))g(f(x)),求函数F(x)在区间[1,2]上的值域： 2若H(x)=8 80HE, ①求证：H(x)+H(1-x)=1: ②求H(0)+H()+H(0)+H()+…+H(器)+H(器)的值： 3)冷G(x)=[f(x)-1]2+(4-k)f(x)+2,已知函数G(x)在区间[1,8]上有零点，求实数k的取 值范围 类型五、对数函数不等式 1.先盯住定义域（最容易丢分的地方） 对数真数必须>0，这是硬性前提。 2.化成同底对数（统一战线） 如果两边底数不同，用换底公式或换元统一。 3.根据底数大小判断单调性 总结口诀： 定义域是命根子，同底才能比真数，底大于1同向走，底在0到1反着来。 例5.(24-25高一下广西柳州高级中学.期末)已知函数fx)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞上单 调递减.若实数a满足fna)+f(-lna)≤2f1),则实数a的取值范围是() A.e,+∞ B.(0,]U[e+∞) c.(o,]U[e+∞ D.(信，e] 3/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -x2-2ax+1,X<1 变式5-1.(24-25高一下广东广州番禺区期末)已知函数f(x)= logx+2ax≥1（a>0,a≠1)， 若f(x)≤，则a的取值范围是() A.（0,] B.(0,号 c[9 D.[1) 变式5-2.(24-25高一下云南保山期末)已知函数f(x)=1n(e2x+1)-x,则不等式f(2x-3)>f(x) 的解集为 变式5-3.(24-25高一下.云南昆明期末)已知函数f(x)=1og2(1+x)-10g(1-x),其中a>0且a≠1 (1)求f(x)的定义域，判断f(x)的奇偶性，并说明理由： (2)求不等式f(x)<0的解集。 类型六、对数函数奇偶性解不等式 例6.(24-25高一上湖北部分级示范高中.期末)已知函数 f(x)=2025+1og202（2+1+x)-2025+1,则关于x的不等式f(x22x)+f3x)>2的解集 为() A.(0,+∞)B.(-1,0) C.(-∞，-1) D.(-∞，-1)U(0,+∞) 变式6-1.(24-25高一上江苏张家港塘桥高级中学期末)已知函数F(x)=10g(x2+3),且 f(1og2m)<f(2),则实数m的取值范围为() A.(4,+∞) B.(0,) c.(4) D.(0,)U(4,+∞) 变式6-2.(24-25高一上安徽蚌埠固镇县毛钼厂实验中学期末)已知函数f(x)=1og帶（a>0且 a≠1，m≠-1)是定义在(-1,1)上的奇函数 (1)求实数m的值： (2)若f(x)在(-1,1)上是增函数且满足f(b-2)+f(2b-2)>0,求实数b的取值范围. 变式6-3.(24-25高一上安微蚌埠期末)已知定义域为{xx≠0}的偶函数f(x),当x>0时 f(x)=log2x-袁 (1)求x<0时，f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性，并证明； (3)求满足不等式f(t+1)>f(1-2t)的实数t的取值范围. 类型七、对数函数单调性 复合对数函数y=10g的单调性，由两部分决定 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.外层对数函数0g2的单调性一由底数a决定 a>1:外层递增 0<a<1:外层递减 2.内层：fx)的单调性→需单独判断（比如是二次函数、分式、指数等） 3整体遵循“同增异减”原则 外增+内增→整体增 外减+内减→整体增 外增+内减→整体减 外减+内增一整体减 例7.(24-25高一上广东阳江部分学校期末)已知幂函数f(x)=(m2-5m-5)xm在(0，+∞)上单调递 增，则函数g(x)=1n(x2-mx+5)的单调递增区间为() A.(3,+∞)B.(5,+∞) C.[3,+∞) D.[5,+∞) 变式7-1.(24-25高一上河南豫东名校期末)设函数f(x)=-x2+4x+12,g(x)=logx(0<a<1) 则函数y=g(f(x))的单调递减区间为() A.(2,6) B.(6,+∞) C.(-∞，-2) D.(-2,2) a11a12a13 1a11a12 变式7-2.定义：二阶行列式a21a22 =a11222a12a21;三阶行列式D= a21a22a23 a31a32a33 D的某一元 素aj的余子式M指的是在D中划去a所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有 ln(x-1)-11n2 三阶行列式 1n(3-x)1 e2 若元素1的余子式M22=0,则x= 记元素2的余子式 -2 0 2 M33为函数f(x),则f(x)的单调减区间为 变式7-3.(21-22高一上辽宁锦州联合校期末)f(x)满足f(1+x=f(1-x),f(3)=0,且对于 VxX2∈[1，+0)，f0s XX2 <0,则(-o∞，1]是函数f(x)的单调递 (填“增”或“减”)区间，关于t的 不等式flog t+1儿 0的解集是 么类型八、对数函数的单调性求参 1.看底数定外层：先确定对数函数l0g。的单调性。当a>1时，外层函数单调递增；当0<a<1时外层函数 单调递减。 2.分析内层函数：设内层函数u=f(x),分析其单调性。若f(x)为二次函数，需结合其开口方向、对称 轴和定义域来讨论。 3.复合函数同增异减：根据“同增异减”原则确定复合函数单调性。若内外层函数单调性相同（同增或同 减)，则复合函数单调递增；若单调性相反，则复合函数单调递减。 注意定义域：必须保证内层函数u=f(x)>0,这是对数函数有意义的先决条件 例8.(24-25高一下.广西南宁部分学校期末)已知a>0且a≠1，函数 （x2-(2a+1)x+2a,x<1 f(x)={ 1og2(3ax-1),x≥1 是减函数，则α的取值范围为(). A.[克1) B.[3,1) c.(,) D.[] 5/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式8-1.(24-25高一上山东威海期末)设p:3x∈[1,2，x2-ax+1≥0，q:函数 fx)=lg(x2-5x+6)在(-∞，a上单调递减，则P成立是9成立的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 变式82.(24-25高一上云南昆明云南师范大学附属中学期末)已知函数f(x)=1ogx+景-4在 (4,十∞)上单调递减，则实数a的取值范围是() A.(-∞，0)B.[-2,4] c.[0,16] D.[16,+0∞) x2+3ax+1,X≤1 变式8-3.(24-25高一上四川内江期末)已知函数f(x)= 2a+alnx,x>1 对任意实数 XX2X1≠x2,都有型<0成立，则实数4的取值范围是」 XFX2 类型九、对数函数的值域、最值 例9.(24-25高一上山东威海·期末)定义在R上的奇函数fx)和偶函数g(x)满足fx)+gx)=1g(10+1) ,则g(x)的最小值为() A.2 B. c.21g2 D.1g2 变式9-1.(24-25高一上湖南岳阳期末)已知函数f(x)=2+10g,x∈(1,9]，则函数 y=[f(x)]+f(x2)的值域为 变式9-2.(24-25高一上山东德州期末)已知函数f(x)=(x2+ax+b)1nx,若f(x)≥0，则b2.号a2 的最小值为一 变式9-3.(24-25高一上江苏苏州部分校期末)已知函数f(x)=1og2(a+b:2),g(x)=f(x-x,a∈ R. (1)若a=b=1,求函数f(8)在[0,2]上的值域： (2)当a=1时，设P(Xy1)Q(x2y2)是函数g(x)图象上任意不同的两点，且满足点P在点Q的左侧，求 证：点P在点Q的上方 类型十、对数函数的值域、最值求参数 (3a-1)x-2,x<1 例10.(24-25高一上江苏镇江丹阳期末)若函数f(x) 1og2xx≥1 的值域为(-∞，0]，则实 数a的取值范围是() A.[3,) B.(3,3) c.(1] D.[31] 变式10-1.(24-25高一上·安微合肥第一中学.期末)己知函数f(x)=x2-4mx+5m,函数 22xx<2 g()={1og(x十1)，x≥2，若对任意的实数x,∈[0,2]，总存在实数x,ER,使得 6/14 品学科风网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 f(X1)=g(x2)成立，则实数m的取值范围为 变式102.(24-25高一下.安徽阜阳临泉县期末)已知函数f(x)=x+麦. (1)判断f(x)在区间[2，+∞)上的单调性，并证明你的判断； 2)设函数8(x)=1ogx+a,若f(x)在区间[2,4]上的值域为A,g(x)在区间[2,8]上的值域为B,且 A二B,求实数a的取值范围， 变式10-3.(4-25高一上河南漯河期末已知函数f(x)=幸为奇函数。 (1)求实数a的值； (2)设函数g(x)=1og等·log3音+m,若对任意的x1∈[3,27]，总存在x2∈(0,2]，使得 g(x1)=f(2)成立，求实数m的取值范围 类型十一、对数函数定义域、值域为R问题 1og2(x+2),-2<x<2 例11.(24-25高一上福建泉州期末)若函数f(x)= x2-2mx,x≥2 的值域为R,则m的取 值范围是() A.[32) B.(-∞，2) c.[支+m) D.[2+∞) (a-1)x-1,x≤1 变式1-1.24-25高一上费州六盘水水城区期末已知函数f(x)={1og,x+2a2-4a,x>1（a>0, 且a≠1)的值域为R,则a的取值范围是 变式11-2.(24-25高一上江西上饶期末)（多选）已知函数f8=1og,(mx2+2x+m-1),m∈R,则 下列说法正确的有() A.若函数f(x)的值域为-1，+∞，则实数m=2 B.若函数f(x)在区间-1，+o∞)上为增函数，则实数m的取值范围是(0,1] C.若函数F(x)的定义域为R,则实数m的取值花围是（中5，十0】 D.若函数f)的值域为R,则实数m的取值范围是(，十o∞】 变式11-3.(24-25高一上·云南昭通盐津县云天化中学教研联盟·期末)己知函数 f(x)=l0g (ax2-2ax+4). (1)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围： (2)若f(x)的值域为R,求a的取值范围. 类型十二、对数函数比较大小问题 第一步：看底数一判断“趋势” 如果底数a>1→函数递增：真数越大，值越大 7/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如果底数0<<1→函数递减：真数越大，值越小记住：底数决定方向，就像方向盘 第二步：看真数-一能不能直接比？ 如果底数相同，直接比真数： 如果底数不同、真数也不同→用“中间桥梁”法：找一个“公共参考点”，比如： 第三步：真数/底数都乱不同，用“换底公式”转成同底或同真数 例12.(24-25高一上湖南邵阳期末)已知函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称， 1x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时，都有(f(1)-f(x2))(x1x2)>0设 a=f(1og2),b=f(1ogg),c=f(1og4),则a,b,c的大小关系是() A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.a<b<c 变式12-1.(24-25高一上宁夏石嘴山期末)已知 f(x)=x2-x+1a=f(1og4),b=f(),c=f(1og:克)， 则下列不等式成立的是() A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.a<c<b 变式12-2.(24-25高一上浙江杭州第二中学.期末)若正实数a,b满足ea-e2b=1n号，则() A.a>2b B.a<2b C.a+b<2 D.a+b>2 变式12-3.(24-25高一上安徽宣城期末)（多选）已知函数y=f(x+1)是R上的偶函数，且fx)在 [1,+∞)上单调递增，a=f(log28),b=f(-ln2,c=f(e2),则下列说法正确的是() A.函数y=f(x的图象关于直线x=1对称B.a,b,c的大小关系是：b<c<a c.函数y=f(x)在区间(-oo,1]上单调递减D.关于x的不等式f2x)<f(x+1)解集为(，1) 类型十三、函数对称性问题 例13.(24-25高一上广东深圳实验学校高中部期末)已知函数f(x)=1g(V9x2+1-3x)+1,正实数 a,b满足f(2a)+f(b-4)=2,则费+的最小值为()。 A.1 B.2 C.3 D.4 变式13-1.(24-25高一上海南)已知函数f(x)=(x+a)n装的图像关于直线x=2对称，则 a十b= 变式13-2.(24-25高一上广东部分学校期末)函数h(x)=1n安-引+ex的图象的对称中心坐标 为 变式13-3.(24-25高一上浙江温州期末)已知函数f(x)=1n(1+是). (1)求f(-2)+f(1)的值； (2)求函数f(x)的定义域： (3)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形 8/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型十四、函数图像的应用 例14.(24-25高一上江苏常州期末)若直线y=m与函数f(x)=1og的图象从左至右交于点A,B, 直线y=品与f(x)的图象从左至右交于点C,D,记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b, 则当m变化时，号的最小值为() A.2V2 B.2V3 c.3V2 D.3V5 变式141.(24-25高一上安徽蚌埠期末)函数：①y=1og2x-1,②y=l©g,x-1儿：③ y=logo.s-1:④y=log0sx-1)的图象（部分）如下： 则按照从左到右图象对应的函数序号是() A.①④③② B.①④②③ C.④①②③ D.③④②① 变式14-2.(24-25高一上河北石家庄石家庄二中教育集团期末)有同学通过研究性学习，探讨发现：函数 y=f(x的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数，现已知函数 f6)=lh条+x3-3x2,则f(器)+f(2器)= 变式14-3.(24-25高一上山西运城期末)（多选）己知函数f(x)=1n(2+x)-ln(2-x)川，则下列 判断正确的是() A.函数y=f(x)是奇函数 B.函数y=f(x)的最大值是ln3 C.函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.函数y=f(x)的图象与直线y=-x有三个交点 类型十五、对数函数零点问题 1.定义域优先：确保f(x)>0,这是对数成立的前提。 2.化零为整：将1ogaf(x)=0转化为f(x)=1。 3.数形结合：画出f(x)和y=1的图像，交点横坐标即为零点。 4.单调性判断：若f(x)单调，则零点唯一；否则需分段讨论。 x2+x+,x≤0 例15.(24-25高一上·云南曲靖宣威十中教育发展集团期末)已知函数f(x)= (lmx-1,x>0，若关 于x的方程f(x)=k(k∈R)有四个不同的根，它们从小到大依次记为x1,x2,x3,x4,则x1X2X4的 取值范围为() A.（0,2e] B.[0,号) c.[0,) D.(0,e] 9/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x+1,x≤0 变式15-1.(24-25高一上浙江杭州上城区杭九中.期末)（多选）已知函数 Igx,x>0 ，若存 在不相等的实数a,b,c,d满足a<b<c<d且f(a=fb)=f(c=f(d=k,则下列说法正确的是 () A.k∈(0,1 B.a+b=-2 C.cd=1 D.a+b十c+d的取值范围为 (-2,0] 变式15-2.(24-25高一上·重庆部分区.期末)（多选）已知函数 f(x)=31+x-1,g(x)=log3(x-1)+x-1,h(x)=(x-1)3+x-1的零点分别为ab,c,则有() A.C=1 B.a+b=2 C.a<c<b D.a<b<c 变式15-3.(24-25高一上山东威海期末)已知函数f(x)=4-2-6. (1)若f(x)<0,求x的取值范围： (2)若关于x的方程fx)=m有两个不相等的实数根，设为x1,x2. (i)求m的取值范围； (i)证明：X1+X2<-2. 类型十六、对数函数恒成立问题 例16.(24-25高一上江苏盐城实验高级中学期末)已知定义在R上的函数f(x)=1og,(2+1) (1)若不等式f(x2-mx+1)>f(0)恒成立，求实数m的取值范围； (2)设h(x)=x2-2mx+1,若对任意的x1∈[0,3]，存在x2∈[1,3]，使得f(x1)≥h(x2),求实数m 的取值范围 变式16-1.(24-25高一下.浙江衢州期末)已知函数f(x)=1og2(3-x)+1og(x+1). (1)当0<a<1时，求f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)≥2在x∈[0，]上恒成立，求实数a的取值范围. 变式162.(23-24高一上贵州黔南州期末)已知函数fx)=器，gx)=ln(m-x)-ln(m+x,其中 m>0,mE R. (1)当m=1时，求函数g(x)的定义域，并判断其奇偶性； (2)若g(0)-ln(f(x)≥0恒成立，求m的取值范围. 变式16-3.24-25高一上浙江杭州西湖区仁和实验学校期末已知函数f)=log,等(a为常数)是奇 函数. (1)求a的值与函数fx)的定义域. (2)若对任意的x∈[号，3]时，都有fx)<2m-1恒成立.求实数m的取值范围。 10/14 专题04 对数函数 目录 专题04 对数函数 类型一、对数化简运算 类型二、对数模型运算 类型三、对数函数求值问题 类型四、对数函数的奇偶性求值 类型五、对数函数不等式 类型六、对数函数奇偶性解不等式 类型七、对数函数单调性 类型八、对数函数的单调性求参 类型九、对数函数的值域、最值 类型十、对数函数的值域、最值求参数 类型十一、对数函数定义域、值域为R问题 类型十二、对数函数比较大小问题 类型十三、函数对称性问题 类型十四、函数图像的应用 类型十五、对数函数零点问题 类型十六、对数函数恒成立问题 类型十七、对数函数有解问题 类型十八、对数函数新定义问题 压轴专练 类型一、对数化简运算 1.将对数的乘积或商转化为对数的和或差; 2.将幂的对数转化为指数与对数的乘积; 3.合并同类项或进行进一步化简。 例1．(22-23高一上·陕西商洛·期末)已知，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】A 【分析】根据对数函数单调性可判断两数均为正数，再由基本不等式计算可求得结果. 【详解】由可得， 所以可得，当且仅当时等号成立； 所以的最大值为1. 故选：A 变式1-1．(24-25高一上·陕西西安中学·期末)（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项利用“1”的妙用及基本不等式进行判断；B选项利用进行判断；C选项结合对数运算性质，利用进行判断；D选项利用进行判断；注意验证等号成立的条件即可. 【详解】因为，且， 对于A选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即，满足，故A对； 对于B选项，因为，所以， 即，当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，所以，故B对； 对于C选项，因为，且，所以，即， 所以，故C错. 对于D选项，，则， 当且仅当时，等号成立，又，所以，故D对； 故选：ABD. 变式1-2．(24-25高一上·山东威海·期末)已知，且，则 ．． 【答案】 【分析】利用对数的运算性质化简原式，结合换元法求解方程，得到参数值即可. 【详解】因为，所以， 令，则，化简得， 即，解得或(舍去)， 故，解得，符合题意. 故答案为： 变式1-3．(24-25高一上·云南曲靖师宗县凤山中学·期末)已知实数满足，，则 . 【答案】1 【分析】由题可得及，从而得.构造函数，利用函数单调性可得即可求解. 【详解】由题可得， 又，，即， 所以. 因为函数在上单调递增， 所以，则， 所以. 故答案为：1. 【点睛】本题综合考查对数运算、指对互化及函数的单调性，解题的关键是通过将方程等价变形转化为，再构造函数，利用函数单调性即可求解. 类型二、对数模型运算 例2．(24-25高一上·浙江丽水·期末)一种药在病人血液中的量保持及以上才有疗效，而低于病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了保持疗效，那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长间隔时间(精确到)为（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设最长间隔时间为，根据条件得到，利用对数函数的单调性及对数的运算，得到，再利用换底公式，即可求解. 【详解】设从现在起到再次向病人注射这种药的最长间隔时间为， 由题有，即， 所以， 故选：A. 变式2-1．(24-25高一上·江苏苏州·期末)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：）（   ） A．5级 B．6级 C．7级 D．8级 【答案】B 【分析】先根据所给关系式分别表示出日本东北部海域地震和俄罗斯东南部地震释放的能量，再结合两者能量的倍数关系列出等式，最后通过对数运算求出俄罗斯东南部地震的震级. 【详解】设日本东北部海域发生的里氏9级地震释放的能量为， 俄罗斯东南部发生的地震震级为，释放的能量为. 对于日本东北部海域的9级地震有； 对于俄罗斯东南部的地震有. 因为日本东北部海域地震释放的能量是俄罗斯东南部地震的32000倍，即. 两边同时取对数可得，根据对数运算法则，. 又因为， 已知，所以. 将，，代入可得： ， 解得. 俄罗斯东南部地震震级大约是级. 故选：B 变式2-2．(24-25高一上·四川宜宾·期末)稀土是半导体产业重要材料，被称为工业维生素，某稀土元素生产工艺每进行一次提纯可减少杂质10%，要将杂质减少到原来的1%以下，至少需要提纯的次数为（参考数据：）（   ） A．42次 B．43次 C．44次 D．45次 【答案】C 【分析】先根据每次提纯杂质减少的比例建立杂质含量与提纯次数的关系式，再结合已知条件列出不等式，通过对数运算求解不等式得到提纯次数的范围，从而确定至少需要的提纯次数. 【详解】设原来杂质含量为，提纯次后杂质含量为. 因为每进行一次提纯可减少杂质，也就是每次提纯后杂质含量变为原来的，那么经过次提纯后，杂质含量. 要将杂质减少到原来的以下，即，也就是. 两边取常用对数可得. 则. 又因为，. 所以. 将，代入，. 则. 由于为提纯次数，必须为正整数，所以取44. 故选：C. 变式2-3．(24-25高一上·浙江湖州·期末)某“激进型理财产品”是按复利的方式计算利息，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息.假设最开始本金为a元，年利率为，约经过（    ）年后，本息和能够“增倍”即为原来的2倍附参考公式：，当x接近于0时，参考数据：，， A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】B 【分析】求出n年后本息和，应用指数对数转化，再结合对数运算解不等式即可. 【详解】设经过n年后本息和能够“增倍” 依题意可得，，即， 故n的最小整数值为 故选： 类型三、对数函数求值问题 对数是指数的逆运算，它的核心在于给定一个指数关系，反过来求出底数对应的指数。 简单来说就是对数最基础的定义也是进行化简以及求值时的出发点。 例3．(24-25高一下·广东汕头潮南区·期末)已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用分段函数及指对数运算计算求解. 【详解】函数， 则. 故选：C. 变式3-1．(24-25高一上·江西宜丰中学等多校·期末)已知函数的定义域为，且，则（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】先应用赋值法得出函数对称性进而得出得出周期，结合对数运算计算求值. 【详解】令，则， 因为，所以，令，得， 所以. 令，则， 则， 则， 令，得，所以， 则. 故选:B. 变式3-2．(24-25高一上·广东华南师范大学附属中学·期末)已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则（   ） A．e B． C． D．2e 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再求出函数值. 【详解】令，则，且，显然函数在上单调递增， 当时，，于是，令，函数在上单调递增， 又，因此，，所以. 故选：C 变式3-3．(24-25高一下·贵州六盘水·期末)若函数在上的最大值是最小值的2倍，则 . 【答案】5 【分析】根据对数函数的单调性，可求得，再结合对数运算即可求解. 【详解】因为，所以函数在单调递增， 所以其最小值为，最大值为， 因为最大值是最小值的2倍，所以，解得或（舍）， 因此， 则. 故答案为：5. 类型四、对数函数的奇偶性求值 例4．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知定义在上的奇函数满足，且时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数的周期为，可得出，结合题中函数的解析式计算可得结果. 【详解】由题知，，则，则函数为周期函数，且其周期为， 因为， ， 因为，则，所以， 所以． 故选：B. 变式4-1．(24-25高一上·河北沧州·期末)已知函数满足，当时，，则（ ） A．2 B．4 C．8 D．18 【答案】C 【分析】根据，结合对数运算性质，将转化到里面计算即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 故选：C. 变式4-2．(24-25高一下·广西柳州上进联考·期末)已知函数，若，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】由解析式得，结合已知得，且，进而有，最后应用基本不等式求最小值. 【详解】由题设，则， 所以， 又函数在上单调递增，且， 所以，且，则， 当且仅当时取等号，即的最小值为2. 故答案为：2. 变式4-3．已知函数，. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若， ①求证：； ②求的值； (3)令，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② (3) 【分析】（1）化简得二次函数，利用二次函数单调性求最值； （2）①由指数运算性质化简证明；②用倒序相加法求解； （3）设，则问题等价于在区间上有解，分离参数转化为最值问题求解. 【详解】（1） ， 当时，函数为增函数， 则函数的最大值为，函数的最小值为， 所以，函数的值域为； （2）①证明：若，则， ， ②设+ ， 则， 两式相加得，由即得， 故. + ； （3）， 设，当时，， 则函数等价于， 若函数在区间上有零点， 则等价于在上有零点， 即在区间上有解， 所以，在区间上有解， 所以，， 设，则，则，令， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，，， 当时，，所以，， 所以，实数的取值范围是. 类型五、对数函数不等式 1.先盯住定义域(最容易丢分的地方!) 对数真数必须 >0，这是硬性前提。 2. 化成同底对数(统一战线) 如果两边底数不同，用换底公式或换元统一。 3. 根据底数大小判断单调性 总结口诀: 定义域是命根子，同底才能比真数，底大于1同向走，底在0到1反着来。 例5．(24-25高一下·广西柳州高级中学·期末)已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得到，结合偶函数的对称性及区间单调性得，即可求参数范围. 【详解】由题意，知，所以， 又函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减， 所以，即或，所以或. 故选：B 变式5-1．(24-25高一下·广东广州番禺区·期末)已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先讨论当时，不等式转化为，确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论. 【详解】当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 变式5-2．(24-25高一下·云南保山·期末)已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】变形得到，得到是偶函数，且由定义法和复合函数单调性满足同增异减，得到在上单调递增，从而得到，求出解集. 【详解】， 的定义域为，，所以函数是偶函数． 令，取， 则， 因为，在R上单调递增， 所以，故， 所以，故在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减，可知在上单调递增， 所以不等式， 等价于，两边平方得，， 解得． 故答案为： 变式5-3．(24-25高一下·云南昆明·期末)已知函数，其中且． (1)求的定义域，判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，奇函数，理由见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据奇函数定义判断证明即可； （2）分和结合对数函数单调性及定义域计算求解. 【详解】（1）因为，解得，所以的定义域为． 又， 所以为奇函数． （2）， 当时，，解得，因为，所以； 当时，，解得，因为，所以． 综上所述：当时，；当时，． 类型六、对数函数奇偶性解不等式 例6．(24-25高一上·湖北部分级示范高中·期末)已知函数，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，则，可知为奇函数且在定义域上单调递增，所以可转化为，根据奇偶性和单调性可解出的范围. 【详解】令， 因为所以的定义域为， 则， 又，， 所以， 所以为奇函数； 在上为增函数，在上为增函数， 又也为增函数，所以根据函数的单调性的性质可得在上为增函数； 等价于，即， 则 解得：或， 即关于x的不等式的解集为. 故选：D 变式6-1．(24-25高一上·江苏张家港塘桥高级中学·期末)已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、单调性，由得，可得答案. 【详解】因为，所以函数的定义域为， 则定义域关于原点对称，且， 所以为偶函数， 又时，是单调递增函数，而是单调递减函数， 所以是单调递减函数， 根据对称性知时，所以是单调递增函数， 函数中，， 由得，解得或. 故选：D. 变式6-2．(24-25高一上·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·期末)已知函数且是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)若在上是增函数且满足，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数的定义可得出关于实数的等式，结合可得出实数的值； （2）由函数的奇偶性、单调性、定义域结合已知不等式可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数是奇函数，则， 即，所以，， 所以，对定义域内的都成立，所以，，解得或（舍）， 经检验，合乎题意，故. （2）由，得. 因为函数是奇函数，则， 又因为是定义在上的增函数，则，解得， 所以，的取值范围是. 变式6-3．(24-25高一上·安徽蚌埠·期末)已知定义域为的偶函数，当时. (1)求时，的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明； (3)求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)函数在区间上单调递增，证明见解析； (3) 【分析】（1）由函数奇偶性及时的解析式，求出； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3），根据在区间上的单调性，得到，求出答案. 【详解】（1）时，， 则时，，， 因为为偶函数，所以， 所以时，. （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 当时，，，且， 有， 且，从而，即， 所以函数在区间上单调递增. （3）是偶函数，定义域为， 由，得， 由（2）知函数在区间上单调递增， ， 故，解得， 即实数的取值范围为. 类型七、对数函数单调性 复合对数函数的单调性，由两部分决定: 1. 外层:对数函数的单调性 → 由底数决定 >1:外层递增 0< <1:外层递减 2.内层:f(x) 的单调性 → 需单独判断(比如是二次函数、分式、指数等) 3.整体:遵循“同增异减”原则 外增 +内增 → 整体增 外减 +内减 → 整体增 外增 +内减 → 整体减 外减 +内增 → 整体减 例7．(24-25高一上·广东阳江部分学校·期末)已知幂函数在上单调递增，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数的定义与性质求解值，再由复合函数的单调性得答案． 【详解】由函数是幂函数，且在上单调递增， 得，解得： 函数， 由，解得或， 而函数在上单调递增，且函数是定义域内的增函数， 则函数的单调递增区间为 故选：B. 变式7-1．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)设函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得函数的定义域，再利用复合函数的单调性求解. 【详解】解：依题意，，则，解得， 即函数的定义域为， 显然函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递减， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为． 故选：D 变式7-2．定义：二阶行列式；三阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式，若元素1的余子式，则 ；记元素2的余子式为函数，则的单调减区间为 . 【答案】 / / 【分析】由，根据余子式定义转化为二阶行列式列方程可解出；利用余子式定义将转化为二阶行列式经过运算化简得解析式，再借助复合函数单调性同增异减求解减区间即可. 【详解】由三阶行列式根据题意得， 元素的余子式， 解得； 元素2的余子式 则函数 由解得，则定义域为， 令， 则当，函数单调递增，又单调递增， 所以由复合函数单调性可知在区间上单调递增； 当，函数单调递减，又单调递增， 所以由复合函数单调性可知在区间上单调递减； 故单调减区间为. 故答案为：；（填也正确）. 变式7-3．(21-22高一上·辽宁锦州联合校·期末)满足，，且对于，，则是函数的单调递 （填“增”或“减”）区间，关于的不等式的解集是 . 【答案】 增 【分析】由函数单调性的定义可得第一空；利用函数的对称性，结合第一空的单调性与对数函数的性质可解第二空. 【详解】因为满足，所以关于对称， 对于，， 则在上函数单调递减，所以在上函数单调递增，且； 因为，所以， 结合对数函数的定义域知，解得， 故答案为：增；. 类型八、对数函数的单调性求参 1.看底数定外层:先确定对数函数的单调性。当 >1时，外层函数单调递增;当0< <1时外层函数单调递减。 2.分析内层函数:设内层函数u=f(x)，分析其单调性。若f(x)为二次函数，需结合其开口方向、对称 轴和定义域来讨论。 3.复合函数同增异减:根据“同增异减”原则确定复合函数单调性。若内外层函数单调性相同(同增或同减)，则复合函数单调递增;若单调性相反，则复合函数单调递减。 注意定义域:必须保证内层函数u=f(x)>0，这是对数函数有意义的先决条件 例8．(24-25高一下·广西南宁部分学校·期末)已知且，函数是减函数，则a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由是减函数，列不等式组，解出即可. 【详解】因为是减函数，所以，解得． 故选：B. 变式8-1．(24-25高一上·山东威海·期末)设，，q：函数在上单调递减，则成立是成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别求出，成立时对应的的取值范围，再根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】因为：，. 所以成立的充分必要条件是：或，解得. 又成立的充分必要条件为： . 所以成立是成立的必要不充分条件. 故选：B 变式8-2．(24-25高一上·云南昆明云南师范大学附属中学·期末)已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论结合基本初等函数的单调性及特殊值计算求参. 【详解】因为函数在上单调递减， 令，因为单调 递减，所以在上单调递增， 所以当时，在单调递增，， 所以时满足在上单调递增，即得； 当时，在单调递增，， 所以时满足在上单调递增，即得； 当时，在单调递增，， 所以时不满足在上单调递增； 综上可得. 故选：C. 变式8-3．(24-25高一上·四川内江·期末)已知函数对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】可知在定义域内单调递减，根据分段函数单调性以及对数函数性质列式求解即可. 【详解】由题意可知：在定义域内单调递减， 则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 类型九、对数函数的值域、最值 例9．(24-25高一上·山东威海·期末)定义在上的奇函数和偶函数满足，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数的奇偶性求函数的解析式，再结合对数的运算法则和基本不等式可求函数的最小值. 【详解】 因为函数，分别为上的奇函数和偶函数， 所以 . 所以 ， 由（当且仅当时取“”）. 所以. 故选：D 变式9-1．(24-25高一上·湖南岳阳·期末)已知函数，，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用换元，得到一元二次函数，结合其图象性质即可求得函数值域. 【详解】因，，， 则由，解得：， 即函数的定义域为， 设，则，且在上单调递增， 故当时，即时，；当，即时，， 因，故函数的值域为. 故答案为：. 变式9-2．(24-25高一上·山东德州·期末)已知函数，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值，即可求解； 【详解】函数定义域为，而，，， 要使，则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数在上的唯一一个零点，易得， 又，且开口向上， 所以，只需， 所以， 当时，取得最小值， 故答案为： 变式9-3．(24-25高一上·江苏苏州部分校·期末)已知函数，，a∈R. (1)若，求函数在上的值域； (2)当时，设是函数图象上任意不同的两点，且满足点P在点Q的左侧，求证：点P在点Q的上方. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用指数函数、对数函数的单调性求值域； （2）利用函数的单调性的定义证明. 【详解】（1）当时， ， ，则， 因为对数函数在定义域上单调递增， 所以， 所以. 故函数f(x)在上的值域是. （2）当时，函数， 任取定义域内的，且， 则 . 因为，所以，所以， 根据函数的定义域可知，，所以， 又因为，所以， 所以， 所以， 所以，所以是定义域上的减函数， 所以点P在点Q的左侧时，点P在点Q的上方． 类型十、对数函数的值域、最值求参数 例10．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性，分和时，结合对数函数的性质讨论即可. 【详解】因为函数的值域为， 可知在内单调递减，则，解得， 可得当时，，即在内值域为，符合题意； 且在内不单调递减， 若在内单调递增，则，解得， 此时，符合题意； 若在内为常函数，则，解得， 此时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围是． 故选：A． 变式10-1．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知函数，函数，若对任意的实数，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用求两个函数的值域，把等式成立问题转化为值域的包含关系，从而可求参数的范围. 【详解】由函数， 当时，，即， 当时，，即，所以可知的值域为， ， 由题意可知，函数在的值域应是函数值域的子集， 故当时，解得， 当时，，此时无解， 当时，，此时无解， 综上综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 变式10-2．(24-25高一下·安徽阜阳临泉县·期末)已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并证明你的判断； (2)设函数，若在区间上的值域为，在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2)实数的取值范围为. 【分析】（1）任取，计算并判断的正负即可得解； （2）根据函数单调性依次求出集合，再由其子集关系列不等式即可求解. 【详解】（1）函数在区间上的单调递增，证明如下： 任取，则， 因为，所以即， 所以函数在区间上的单调递增. （2）由（1）可知在区间上的值域为， 因为函数单调递减， 所以在区间上的值域为， 因为，所以. 所以满足题意的实数的取值范围为. 变式10-3．(24-25高一上·河南漯河·期末)已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据奇函数定义计算可得； （2）利用换元法以及二次函数单调性将问题转化成值域的包含关系，解不等式可得结果. 【详解】（1）函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得， 解得.此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意； 所以. （2）由（1），显然在上单调递减. 可得在的值域， 又 设，则， 当时，有，当时，有， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，可知， 于是.解得. 所以实数的取值范围是. 类型十一、对数函数定义域、值域为R问题 例11．(24-25高一上·福建泉州·期末)若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过函数单调性，求出分段函数在上的值域，再通过对参数的范围讨论，通过二次函数的性质求出函数在上的值域，通过并集为全集求出参数的范围，从而求得结果. 【详解】∵函数在上单调递增， ∴当时，， 令，， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为， 要想函数的值域为，则，即， ∴， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即函数的值域为， ∵，∴此时函数的值域为，即， 综上所述：. 故选：C. 变式11-1．(24-25高一上·贵州六盘水水城区·期末)已知函数（，且）的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分两种情况求出函数， 值域，由两函数值域并集为R可得答案. 【详解】当时，函数单调递增，值域为； 函数单调递增，值域为， 由值域为R可得 ， 则，得； 当时，函数单调递减，值域为； 函数单调递减，值域为， 则， 则 综上，的取值范围是. 故答案为： 变式11-2．(24-25高一上·江西上饶·期末) （多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若函数的值域为，则实数 B．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】AC 【分析】对于A，运用复合函数得性质，结合二次函数图象性质列方程，求出即可；对于B，运用复合函数单调性判定，结合分类讨论，即可解题；对于C，因为的定义域为，分类讨论，得；对于D，因为的值域为R，和分类讨论，结合二次函数性质计算. 【详解】对于A，因为的值域为，所以的最小值为， 显然，否则没有最小值，由二次函数图象性质可知， 所以，解得，故A正确； 对于B，因为函数在区间上为增函数， 当时，，定义域为，不符合题意； 当时，由复合函数单调性可知在单调递增， 则，且， 又在上恒成立， 联立，解得，故B错误. 对于C，因为的定义域为，所以恒成立， 当时，由有意义，可得，显然不满足题意； 当时，则，解得，故C正确； 对于D，因为的值域为R，当时显然满足题意； 当时，则解得， ∴．故 D错误. 故选：AC. 变式11-3．(24-25高一上·云南昭通盐津县云天化中学教研联盟·期末)已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得答案； （2）即函数值域包含所有的正数，据此可得答案. 【详解】（1）因的定义域为，则， 则或； （2）因的值域为，则的值域包含所有正数. 则. 类型十二、对数函数比较大小问题 第一步:看底数 -- 判断“趋势” 如果底数 a>1→ 函数递增:真数越大，值越大 如果底数 0<a<1→函数递减:真数越大，值越小记住:底数决定方向，就像方向盘 第二步:看真数 -- 能不能直接比? 如果底数相同，直接比真数: 如果底数不同、真数也不同 → 用“中间桥梁”法:找一个“公共参考点”，比如: 第三步:真数/底数都乱不同，用“换底公式”转成同底或同真数 例12．(24-25高一上·湖南邵阳·期末)已知函数的图象关于直线对称，，当时，都有设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易得函数在上单调递增．且函数是定义在R上的偶函数，再由，比较三个数的大小即可． 【详解】由题意可知，当时，， 由可得，则函数在上单调递增． 又函数的图象关于直线对称， 由函数图象平移变化可知，函数是定义在R上的偶函数， 则． 由于函数在单调递增，即比较三个数的大小． ， 注意到，因为，所以， ∴，∴． 因为，所以， ∴，∴，所以． ∴，即． 故选：A 变式12-1．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)已知，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式可得为偶函数且在上单调递增，由对数运算计算可得结果. 【详解】易知定义域为， 由可知为偶函数， 则， 当时，有，故在上单调递增， 而， 又，即，因此， 故选：A． 变式12-2．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期末)若正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，然后利用函数单调性比较大小即可得， 【详解】因为正实数，满足 所以， 因为，所以， 即， 设，则， 又在单调递增， 所以，C，D中不等关系无法确定， 故选：B 变式12-3．(24-25高一上·安徽宣城·期末) （多选）已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．a，b，c的大小关系是： C．函数在区间上单调递减 D．关于x的不等式解集为 【答案】ACD 【分析】根据函数奇偶性以及对称性，判断A；判断的单调性，可判断C；利用函数的单调性判断B；结合函数的对称性、单调性求解不等式，判断D. 【详解】由函数是上的偶函数，所以函数的图象关于y轴对称， 则函数的图象关于直线对称，即，A正确； 因为在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以C正确； 因为， 而，且函数在上单调递增，所以， 即，所以B错误； 由于函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减， 故可化为，即， 即，解得，即的解集为，D正确， 故选：ACD 类型十三、函数对称性问题 例13．(24-25高一上·广东深圳实验学校高中部·期末)已知函数，正实数满足，则的最小值为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由已知得到函数的图象关于点对称，类比奇偶性，得到函数的单调性、进而求得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】， 这说明的图象关于点对称，类似奇函数，在原点两侧单调性相同， 由于时在上单调递增且函数值恒正， 可推出在上单调递减，因此是减函数． ，即， 因此，当即时取得， 故选：B． 变式13-1．(24-25高一上·海南·)已知函数的图像关于直线对称，则 . 【答案】2 【分析】求出函数定义域，由函数图像关于直线对称得到定义域也关于直线对称，求得的值，由对称轴得到，代入函数解析式，整理求得，即可得出结果. 【详解】∵函数的定义域为，即，解得或， 即函数的定义域. ∵函数图像关于直线对称，∴， ∵则，即，即，∴， ∴. 故答案为：2. 变式13-2．(24-25高一上·广东部分学校·期末)函数的图象的对称中心坐标为 . 【答案】 【分析】法一，根据函数对称性的定义列式运算得解；法二，求出函数的定义域，且，根据对称性可得对称中心横坐标为，代回求出对称中心的纵坐标，得解. 【详解】解法一：设图象的对称中心坐标为，则， 所以， 整理可得， 此式对定义域内的任意值都成立，则必有，所以， 回代可得，解得，故对称中心坐标为. 解法二：易知函数的定义域为，且， 故图象的对称中心横坐标为， 将其代入中，可得， 所以图象的对称中心坐标为. 故答案为：. 变式13-3．(24-25高一上·浙江温州·期末)已知函数． (1)求的值； (2)求函数的定义域； (3)证明：曲线是中心对称图形． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据解析式可求函数值的和； （2）根据对数的真数为正可得关于自变量的不等式，故可求函数的定义域； （3）由函数解析式可得，故可证函数的图象为中心对称. 【详解】（1）因为，故. （2）令，故，故或， 故函数的定义域为. （3）因为， 故的图象关于中心对称. 类型十四、函数图像的应用 例14．(24-25高一上·江苏常州·期末)若直线与函数的图象从左至右交于点，，直线与的图象从左至右交于点，，记线段和在轴上的投影长度分别为，，则当变化时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设A，B，C，D的横坐标分别为，根据题意得到，，再由求解. 【详解】设A，B，C，D的横坐标分别为， 则，， ，所以，， 所以， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故选：D 变式14-1．(24-25高一上·安徽蚌埠·期末)函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：    则按照从左到右图象对应的函数序号是（   ） A．①④③② B．①④②③ C．④①②③ D．③④②① 【答案】B 【分析】将函数写成分段函数，结合函数定义域，单调性作出判断，得到答案. 【详解】，对应的图象为从左到右第一个， 令，得，故定义域为， 且， 对应的图象为从左到右第三个， ，对应的图象为从左到右第四个， 令，解得或，故的定义域为， ， 由复合函数可知，在上单调递减， 在上单调递增， 对应的图象为从左到右第二个， 按照从左到右图象对应的函数序号是①④②③. 故选：B 变式14-2．(24-25高一上·河北石家庄石家庄二中教育集团·期末)有同学通过研究性学习，探讨发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，现已知函数，则 . 【答案】 【分析】结合题意函数图象的对称中心为，函数图象的对称中心为，进而确定的对称中心为，则有，代入求值即可. 【详解】对于函数图象的对称中心为，证明如下： 由题意为奇函数，所以，即， 所以，所以， 所以恒成立，即，解得， 所以函数图象的对称中心为； 对于函数图象的对称中心为，证明如下： 由题意为奇函数，所以，即， 所以，化简得， 所以，解得， 所以函数图象的对称中心为；所以图象的对称中心为， 故函数图象的对称中心为， 所以函数图象的对称中心为， 所以，所以. 故答案为： 变式14-3．(24-25高一上·山西运城·期末) （多选）已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的最大值是 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象与直线有三个交点 【答案】AD 【分析】选项A，根据奇函数的定义可判断；选项B，根据由函数是奇函数，考虑时，由的正负分为和分别求函数的值域即可；选项C由函数的定义域可判断；选项D结合函数的奇偶性和单调性画出图象即可判断. 【详解】选项A：由，得函数的定义域为， ，故函数是奇函数，A正确； 选项B：由于函数是奇函数，先考虑， 当时，， 此时函数在区间上单调递增， 因，故，， 当时，， 此时函数在区间上单调递减， 因时，，， 故时，， 由奇函数的性质，当时，，故B错误； 选项C：由函数的定义域为，可知函数的图象不关于直线对称，故C错误； 选项D： 如图所示，结合选项B可知， 当时，，当时，， 所以函数的图象与直线有三个交点，故D正确， 故选：AD 类型十五、对数函数零点问题 1.定义域优先:确保 f(x)>0，这是对数成立的前提。 2.化零为整:将 logaf(x)=0 转化为 f(x)= 1。 3.数形结合:画出 f(x) 和 y=1 的图像，交点横坐标即为零点。 4.单调性判断:若 f(x)单调，则零点唯一;否则需分段讨论。 例15．(24-25高一上·云南曲靖宣威十中教育发展集团·期末)已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知与的图象有4个交点，结合函数的图象，可得，，，代入运算求解即可. 【详解】作出函数的图象， 关于的方程有四个不同的解， 可知与的图象有4个交点， 结合图象可得，且，即， 又因为，即， 可得，所以，即， 则， 因为在内单调递增，且，， 可知，即，可得， 所以的取值范围是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 变式15-1．(24-25高一上·浙江杭州上城区杭九中·期末) （多选）已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】作出与的图象，数形结合可得，判断A；由对称性可得，判断B；可求得，判断C；可得，结合对勾函数可求得取值范围判断D. 【详解】对于A，作出与的图象如图所示：    要想满足，则，故A正确； 由对称性可知，故B错误； 令，解得，所以，由， 所以，所以，故C正确； ，其中， 令，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：函零点问题：将函数零点问题或方程解的问题化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度. 变式15-2．(24-25高一上·重庆部分区·期末) （多选）已知函数的零点分别为，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由与的交点，画出图像逐项判断； 【详解】由题意三个函数零点可转换成（红线），（黑线），（绿线）函数图像与（紫线）的交点横坐标大小比较，画出图像： 由图像可知， 由，并结合图像可得：， 又，的图像可看做：，向右平移一个单位得到， 所以，的图像关于对称， 且与垂直，相交于， 所以， 综上可知ABC正确，D错误， 故选：ABC 变式15-3．(24-25高一上·山东威海·期末)已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，设为，． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用换元法结合指数函数性质求解不等式即可. （2）（i）将方程有根问题转化为函数交点问题，结合二次函数的性质求解参数范围即可. （ii）利用韦达定理得到，结合求出的参数范围得到，再利用指数函数性质求解不等式，证明原命题即可. 【详解】（1）对于，令， 则可化为， 若，则，即， 解得，得到，解得， 则的取值范围为. （2）（i）若关于的方程有两个不相等的实数根， 则方程有两个不相等的正实数根， 得到与有两个不相同的横坐标大于的交点， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 而，最小值为，故， （ii）因为方程有两个不相等的正实数根， 所以有两个不相等的正实数根， 而我们把方程的两个根设为，， 则设的两个根为， 由韦达定理得，即， 结合，得到， 即，解得，原命题得证. 类型十六、对数函数恒成立问题 例16．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复合函数的单调性判断函数的单调性，由得出，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，求出函数在上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最小值，结合题意可得出关于实数的不等式，综合求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 变式16-1．(24-25高一下·浙江衢州·期末)已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合对数的运算法则求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可求解； （2）结合复合函数的单调性求出的单调性，利用单调性求出最值，结合恒成立问题即可求解. 【详解】（1）由，得，所以的定义域为， ， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又，为减函数， 所以的单调递增区间为． （2）由题意得当，， 当时，由（1）得在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意， 当时，为增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以， 即，解得，综上所述，． 变式16-2．(23-24高一上·贵州黔南州·期末)已知函数，其中. (1)当时，求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，奇函数； (2). 【分析】（1）把代入，求出函数的定义域并判断奇偶性. （2）利用对数函数单调性变形给定不等式，再利用基本不等式及一元二次不等式求解. 【详解】（1）当时，函数，则，解得， 所以函数的定义域为， ， 所以是奇函数. （2）依题意，，不等式， 由不等式恒成立，得恒成立， 即恒成立，而，当且仅当时取等号， 因此，因为，解得， 所以的取值范围是. 变式16-3．(24-25高一上·浙江杭州西湖区仁和实验学校·期末)已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 【答案】(1)；函数的定义域为； (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义，求得，再通过函数解析式舍去，求解一元二次不等式即得函数的定义域； （2）先根据对数型复合函数的单调性求出函数在上的值域，再利用不等式恒成立即可求出参数m的取值范围. 【详解】（1）因是奇函数，故， 即得，则有，因不恒为0，故， 当时，，由，可得， 即函数的定义域为：， 又，故是奇函数； 当时，因，函数没有意义. 综上，且函数的定义域为. （2）由（1）得， 因，函数在上为减函数，故得， 又因在上为增函数，故有，即， 依题意对任意的恒成立，故，解得， 故实数m的取值范围为. 类型十七、对数函数有解问题 例17．(24-25高一上·山东潍坊寿光第一中学·期末)设函数. (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，解不等式； (3)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）把代入，求出，再利用偶函数定义推理得证. （2）根据对数函数的单调性结合定义域列出不等式组即可求解. （3）分离常数后利用复合函数的单调性求得函数的最值即可求解. 【详解】（1）当时，函数，则， 函数定义域为， ， 所以函数是偶函数. （2）当时，，不等式， 则，由得或，由得，因此， 所以原不等式的解集为. （3）当时，，方程， 即，函数，在上都单调递增， 因此函数在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以实数的取值范围是． 变式17-1．(24-25高一上·浙江杭州上城区杭九中·期末)已知，函数和函数． (1)若函数图象的过点，求满足不等式的t的最小整数值； (2)当时，对任意的实数，若总存在实数使得成立，求正实数m的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据条件，解出的值，然后解出不等式即可； （2）首先求出的值域，然后由条件可得的值域是在上的值域的子集，然后分、两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为函数图象过点， 则，解得， 所以，即， 于是等价于，即， 又，解得， 故满足不等式的的最小整数为2. （2）当时，， 因为， 所以的值域是. 依题意知，对任意的实数，若总存在实数使得成立， 则的值域是在上的值域的子集， 而且，所以在上不能单调递增， 且只需在上的最小值小于等于， 故， 或（舍去）， 即正实数m的取值范围为. 变式17-2．(24-25高一上·云南曲靖宣威十中教育发展集团·期末)已知函数. (1)若存在，使得不等式有解，求的取值范围； (2)对于定义域内的，若且，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分析的单调性并将问题转化为“存在，使得不等式有解”，根据二次函数的最值可求解出结果. （2）求出函数，再借助基本不等式求出的范围，进而用表示出，由此求的范围. 【详解】（1）函数， 由函数在上单调递增，得函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，由存在，不等式有解， 得存在，不等式有解，即存在，不等式有解， 而当时，，则，所以实数的取值范围为. （2）依题意，， 由，得， 而，即，当且仅当时取等号， 解得，即，又， 则，即， 因此，而，则， 于是， 所以的取值范围为. 变式17-3．已知函数，． (1)直接写出时，的最小值． (2)若，求证：在上存在唯一零点． (3)若，有且仅有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据基本不等式可求得的最小值； （2）先判断的单调性，再证，根据零点存在性定理即可得证； （3）由题意，求出的值，令，将存在两个个零点转化为在上存在一个零点或两个零点为和2，再结合二次函数分情况讨论即可. 【详解】（1）根据题意，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以时，的最小值为2 （2）当时，， 令， 所以函数在上单调递增， 又因为在上单调递增， 所以在区间上单调递减 又， 而，， 且 所以 又，， 则，所以． 又在区间上单调递减，所以在上存在唯一零点 （3）由，解得，则， 令，则 ∴有且仅有两个零点等价于在上有且仅有一个零点或两个零点为和2 令，则在上有且仅有一个零点或两个零点为和2. （ⅰ）若零点为和2，则无解； （ⅱ）若，则，令可得，故满足题意； （ⅲ）若，图象的对称轴为， 由在上有且仅有一个零点，则有 ①或 整理得或 解得， ②，解得. 综上，的取值范围为 类型十八、对数函数新定义问题 例18．(24-25高一上·安徽蒙城第一中学·期末)已知函数的定义域为，若，使得对都成立，则称为型函数． (1)证明：每一个指数函数（且）都是型函数； (2)若函数是型函数，求实数的值； (3)已知函数在定义域上的函数值恒大于0，且为型函数，当时，．若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据定义代入计算证明即可； （2）代入化简，利用指数函数的性质求解即可； （3）根据已知条件和二次函数性质，分段处理分类讨论，确保不等式恒成立即可求解. 【详解】（1）证明：因为， 所以（且）是型函数， 即每一个指数函数都是型函数． （2）因为函数是型函数， 所以， 显然，则，所以， 整理得对于定义域内任意恒成立， 所以，解得． （3）因为为型函数，所以， 当时，， 因为，所以，满足； 当时，恒成立， 令，则，所以在上恒成立，则恒成立， 因为在上单调递增，且，故． 当时，， 则， 因为，所以， 令，则当时，恒成立． 由上可知，所以在上恒成立， 则在上恒成立， 因为，当且仅当时取得等号，所以． 综上可知，，故实数的取值范围为． 变式18-1．(24-25高一下·贵州六盘水·期末)若定义域为的函数满足，则称函数为“a型”弱对称函数. (1)若函数为“1型”弱对称函数，求m的值； (2)若函数为“4型”弱对称函数，且恰有3个零点，，，求的值； (3)若函数为“2025型”弱对称函数，且恰有101个零点，当对任意满足条件的函数恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2)8 (3)4545 【分析】（1）根据“1型”弱对称的条件，代入运算求得； （2）利用“4型”弱对称性，零点成对出现，结合有奇数个零点，确定必有一个零点为2，进而求得答案； （3）根据题意，设，则，讨论和，且，得到，利用基本不等式求的范围，进而求得的最大值. 【详解】（1）因为为“1型”弱对称函数，所以， ，化简整理得恒成立， ，即. （2）因为为“4型”弱对称函数，所以， 若是的零点，则也是零点，而恰有3个零点， 所以2显然是其中一个零点，不妨设，则， . （3）由题，，且， 对于的零点，有，则， 若，则，故45必为的一个零点， 若，且，则， 所以 ， 又对任意满足条件的函数恒成立，故， 所以的最大值为4545. 变式18-2．若存在实数使得，则称函数为的“函数”. (1)若为的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求的解析式； (2)设函数，是否存在实数使得为的“函数”，且同时满足：（i）是偶函数；（ii）的值域为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）利用为奇函数，为偶函数，可得答案； （2）假设存在实数使得为，的“函数”，可得，根据是偶函数，可得，再利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）因为为，的“函数”， 所以①，所以， 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， 联立①②，解得； （2）存在，且，理由如下， 假设存在实数，使得为，的“函数”， 则， (i)因为是偶函数，所以， 即，即， 又，可得， 因为需对任意成立，所以； (ii) ， 因为，当且仅当即时取等号， 所以， 由于的值域为，所以，所以， 又因为，所以. 综上所述，存在满足要求. 变式18-3．(24-25高一上·广东清远·期末)若对定义域内任意，都有，则称函数为“步长”增函数． (1)已知函数，判断是否为“2步长”增函数，并说明理由； (2)若函数是“步长”增函数，求的最小值； (3)若函数为上的“2024步长”增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)是“2步长”增函数，理由见解析 (2) (3)． 【分析】（1）由单调性及新定义即可判断； （2）由恒成立，得到恒成立，进而可求解； （3）结合新定义，由和两类情况讨论求解； 【详解】（1）函数是“2步长”增函数．理由如下： 因为的定义域为在上都是单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以是“2步长”增函数． （2）因为是“步长”增函数， 所以恒成立， 所以 恒成立， 即恒成立， 由，解得或， 因为，所以． （3）若，在上单调递增，则恒成立，符合题意； 若，分以下情况： ①当时，单调递增，则恒成立； ②当时，，单调递增，则恒成立； ③当时，若，则，解得； ④当或时，若，则． 综上，的取值范围是． 【点睛】难点点睛：时，分，，，或求解. 压轴专练 一、单选题 1．已知幂函数在上单调递减，设，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性以及定义，可得其函数解析式，利用对数函数和指数函数的单调性，比较大小，结合幂函数的奇偶性和单调性，可得答案. 【详解】由题意，可得，解得，则，显然该函数为偶函数， 由函数在其定义域上单调递增，则， 由函数在其定义域上单调递增，则， 故，即， 由函数在上单调递减，则. 故选：C. 2．(24-25高一上·山东日照·期末)设函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分和讨论求解. 【详解】当时，由，可得，即，解得， 当时，由，可得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：B. 3．(24-25高一上·广东揭阳第二中学·期末)函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数“同增异减”可得到结果. 【详解】因为函数，则， 解得或，所以函数的定义域为， 令，则函数在定义域上为单调递减函数， 而在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则可得的单调递减区间为. 故选：A. 4．(24-25高一下·福建安溪第八中学·)若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性，分和时，结合对数函数的性质讨论即可. 【详解】因为函数的值域为， 可知在内单调递减，则，解得， 可得当时，，即在内值域为，符合题意； 且在内不单调递减， 若在内单调递增，则，解得， 此时，符合题意； 若在内为常函数，则，解得， 此时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围是． 故选：A． 5．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】首先要找到函数图象恒过的定点，得出和的值，进而得到的值.然后利用均值不等式来求的最小值. 【详解】对于对数函数，当时，（且）. 对于指数函数，当时，（且）. 所以当时，. 即函数的图象恒过定点，所以，. 已知，把，代入可得. 将进行变形，. 展开式子得. 因为，，根据均值不等式，有. 则.当且仅当时等号成立. 故选：C 6．(24-25高一上·海南·)已知正实数，满足，，，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由题设可得，进而可得，根据对数及二次函数性质求最值. 【详解】由题设，可得， 所以， 当，时，的最大值是2. 故选：B 7．(24-25高一上·山西运城·期末)已知函数，，若，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先由得，进而由二次函数的性质可得其最大值. 【详解】由得，得，故， 由得， 因单调递增，故，即， 故， 由二次函数的性质可知，当时，得的值最大为， 故选：B 8．(24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔讷河第一中学·期末)已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出的图象，根据与有个公共点求得的取值范围. 【详解】画出的图象如下图所示， 有4个零点，即与有个公共点， 所以的取值范围是. 故选：A 二、多选题 9．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（   ） A． B．， C．若，且m，n均不等于1，，则 D．若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0 【答案】ACD 【分析】先根据题意得出的解析式，根据计算易于判断A，B两项，对于C项，可根据已知推出，结合基本不等式判断；对于D项，则需要等价转化，运用参变分离法，分区间讨论得出的范围进行判断. 【详解】由题意知，则， 对于A，，A正确； 对于B，，，不妨取，则，B错误； 对于C，，且m，n均不等于1， 由得，即，结合可知， 则，故， 当且仅当，即时等号成立，C正确； 对于D，当时，，则由恒成立， 得恒成立，即恒成立， 令，则， 设，由于在上单调递减，故， 则，故； 当时，，结合题意可知得恒成立， 即恒成立， 此时令，同理可得， 由于在上单调递增，在上单调递减， 故，则，故， 综合上述可知m的值为0，D正确， 故选：ACD 10．(24-25高一上·吉林长春慧泽高中·期末)已知函数，若方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（    ） A．方程有2个不相等实数根 B．函数在上单调递增 C．函数无最值 D．实数的取值范围为 【答案】AC 【分析】画出函数图象，根据图象可以判断ABC是否正确，对于D选项，将方程是为一元二次方程，利用韦达定理，结合分段函数的图象性质，得到根的分布，进而求出参数的取值范围． 【详解】由函数解析式，可得函数图象如图：    由图知方程有2个的不相等实数根，函数没有最值，故A、C正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 由于方程有4个不同的实数根，令， 则有2个不同的实数根，所以恒成立， 设两个不等的实根为，由韦达定理知：， 则异号，由图可知：， 即函数有两零点 ，解得，故D错误. 故选：AC. 11．(24-25高一上·广东广州番禺区·期末)已知是函数的图象上两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断ABC；举例判断D即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，故A正确，B错误， 因为，即， 根据函数是增函数，所以，故C正确； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 故选：AC 三、填空题 12．(24-25高一上·河北承德·期末)已知函数，则函数的值域为 【答案】 【分析】根据对数函数单调性可得函数的值域，利用换元法整理函数，根据新函数的单调性可得答案. 【详解】易得是减函数，所以． 令，则，因为函数在上单调递增， 所以，即的值域为． 故答案为：. 13．(24-25高一上·湖北·期末)给出定义：若 （其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.已知. （1） ； （2）若方程恰有5个实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由定义即可求解第一空，结合新定义，画出函数图像，构造不等式求解即可解决第二空； 【详解】因为， 所以， 所以； ， 画出的图象， 要使方程恰有5个实数根， 结合图像可知，，解得. 故答案为：； 四、解答题 14．(24-25高一上·广东汕头潮阳区·期末)设函数． (1)判断的奇偶性并予以证明； (2)设，经研究，此时有，证明：； (3)设，且，若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）函数是奇函数，再利用奇函数定义推理即得. （2）根据给定条件，利用对数的运算性质化简即可得证. （3）探讨函数的单调性，结合（1）（2）的结论，求出在上的最大值与最小值的差即可得解. 【详解】（1）函数是奇函数. 函数中，由，得， ，， 所以函数是奇函数. （2）当时，， 因此，， 所以. （3）由，得，又， 由（1）（2）得， 函数，函数在上单调递减， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 当时，， 由，，得， 所以实数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $