专题06 圆中的综合题（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题06 圆中的综合题 题型一：圆与三角形的综合题 题型二：圆与四边形的综合题 题型三：圆与相似三角形的综合题 题型四：圆与锐角三角函数的综合题 题型一：圆与三角形的综合题 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的直径，为上一点（点不与、重合），与是过点的两条弦，且，，于点，于点N． (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)求证：当点在上运动时，的值不变，并求出这个定值． 2．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，等腰内接于，，过点作的垂线交于点． (1)求证：； (2)如图2，当圆心恰好落在上时，求的度数； (3)如图3，延长交于点，点在线段上，，若，，求线段的长． 3．（2024·广东汕头·统考一模）如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，CD为⊙O的切线，过D作，与的延长线相交于E． (1)求证：CD＝DE； (2)若BD＝1，DE＝，求△ADE的面积； (3)在（2）的条件下，作的平分线CF与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求的长． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知：如图，，是的两条互相垂直的弦，垂足为，是弦的中点，是的平分线，半径交弦于点． (1)延长，交于点，求证：； (2)若是的中点，求证：； (3)如图，延长交于点，连接，若的延长线交于点，，，求的半径． 5．（2024秋·湖南长沙·九年级校联考期中）如图：已知等腰，，在上，延长交于点，过点作，交于点，连接，连接，是的内心．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交于点，求证：； (3)如图3，过点作的垂线，垂足为，当时时，求的长度． 6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，AB为的直径，C为上一点，D为弧BC的中点，连接AD、BC相交于E，过点B作的切线交AD的延长线于F； (1)求证：； (2)过点D作，垂足为H，求证：； (3)延长DH交于G，连接CG，交AD于N，，求的半径． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）在图1和图2中，是等边的外接圆． 【阅读】 如图1，连接，延长交弦于点，交于点，连接．求证：； 小明给出了自己的证明方法如下： 三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形， ， ，则为等边三角形， 同理可得：也为等边三角形， ． 【理解】 （1）如图2，若为上任意一点，连结、，则___________， 若的半径为1，则___________． （2）在图2中，问题原型中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 【应用】 （3）如图3，四边形内接于，，平分，且，若的半径为7，求四边形的面积． 题型二：圆与四边形的综合题 8．（2024秋·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，四边形内接于，是直径，，连接，，过点D的直线与的延长线相交于点E，且． (1)求的度数． (2)若，，求，的长． (3)若，，直接写出的长． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1，四边形是的内接四边形，延长交于点E，延长交于点F，． (1)求证：； (2)如图2，若A是的中点，设，，用含的代数式表示； (3)若是的角平分线，，，求的长． 10．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图1，四边形内接于，，交于点． (1)如图2，当是直径时，，求的度数； (2)如图3，过点作于点， ①当，时，求的长； ②求证：． 11．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）[感知]如图①，为等边的外接圆．为的直径，线段与交于点E，探究线段的数量关系． 小明同学的做法是：过点C作的垂线交延长线于点F，连接．易证．进而得出，．则线段的数量关系是： ______． [探究]如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，D为弧上一点，于E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由． [应用]如图③，是的外接圆，是直径，．点D在上，且点D与点C位于线段两侧，过点C作线段的垂线，交线段于点E，若点E为的三等分点，则的值为______． 12．（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 13．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，内接于，为的直径，．连接，，交延长线于点． (1)证明：平分； (2)若平分， ①当时，求的长； ②设，直接写出与的函数关系式． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，在矩形中， ， ，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是；②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 15．（2024秋·广东广州·九年级统考期末）如图，是正方形，是的直径，点E是上的一动点（点E不与点B，C重合），连接． (1)若，求的度数； (2)若为的切线，连接交于点F，求证：； (3)若，过点A作的垂线交射线于点M，求的最小值． 16．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图1，已知是的直径，弦于点，点是线段延长线上的一点，连结交于点，连接交于点，连接和． (1)求证：． (2)若，且，求的长． (3)如图2，连接，若四边形为平行四边形，求的值（直接写出答案）． 题型三：圆与相似三角形的综合题 17．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，是中点，平分交于点，点是上一点，过、两点，交于点，交于点 (1)求证：与相切； (2)当，时，求的半径． 18．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，是半的直径，点在半上，，，连接、AC． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 19．（2025·云南临沧·一模）如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求证：四边形是平行四边形． (3)设与交于点，若的半径为，，求的长． 20．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，过的三个顶点A，B，C，交边于点F．连接，，，其中与交于点G．连接并延长交于点E，且满足． (1)请写出线段与的数量关系，并说明理由； (2)①证明：是等腰三角形； ②当时，求的值． 21．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，四边形内接于，为直径，，于． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长； (3)在（）条件下，如图，是线段上一点，，连接并延长交于，求的长． 22．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知是的外接圆，是直径，点是上的一点，连接，，并延长交的延长线于点，过点作与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求证：是中点； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 23．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，已知内接于，是直径，点在上，，过点作，垂足为，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)连接，设的面积为，四边形的面积为，若的半径为3，求的长． 24．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图 1，四边形 是 的内接四边形， 为对角线，且 为 的直径， ，已知 ， ． (1)求 的长； (2)如图 2， 为 上一点，过 作 ，其反向延长线交 于点 ，连结 、 、 ，若 ， ① 求 的值； ②试求 的长． 题型四：圆与锐角三角函数的综合题 25．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，内接于，为直径，延长至点，连接，为上方圆上一点，连接．若，，．    (1)求的值； (2)若，求证： 为的切线． 26．如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，的延长线与的外接圆交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 27．（2024秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M是AC上一点，以CM为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，过点D作DE⊥AC于点F，DE交⊙O于点E，连接CD、CE． (1)求证：∠B＝∠DCE； (2)若MF＝2，sinB＝，求CD的长． 28．（2024·浙江宁波·模拟预测）在Rt△ABC中，已知，，过A、D，B三点画圆O，是直径，的平分线恰好过圆心O，交于点E，且． (1)求证：． (2)求的值． (3)若的延长线与的延长线交于点H，直接写出的长． 29．如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作圆O （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）已知AO交圆O于点E，延长AO交圆O于点D，tan∠D=，求的值； （3）如图2，在（2）条件下，若AB与⊙O的切点为点F，连接CF交AD于点G，设⊙O的半径为3，求CF的长． 30．如图，是的直径，D是的中点，于E，过点D作的平行线，连接并延长与相交于点G．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的值． 31．（2025·福建三明·二模）如图1，和是的直径，且，点是延长线上的一点．连接交于点（点在线段上，且不与点、点重合）． (1)若，求证：； (2)如果． ①如图2，若，求证：是的中点； ②若为等腰三角形，求线段的长． 32．（2025·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，过A作于点H，交于点E，以为直径作与相交于点F，连接并延长交于点G，连接并延长交射线于点P． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图1，与相交于点Q，若点Q为的中点，求的值； (3)如图2，已知，，求的长． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆中的综合题 题型一：圆与三角形的综合题 题型二：圆与四边形的综合题 题型三：圆与相似三角形的综合题 题型四：圆与锐角三角函数的综合题 题型一：圆与三角形的综合题 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的直径，为上一点（点不与、重合），与是过点的两条弦，且，，于点，于点N． (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)求证：当点在上运动时，的值不变，并求出这个定值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）如图：连接，证明，再根据全等三角形的性质可得，再运用角平分线的判定定理即可证明结论； （2）证明为等腰直角三角形，则，则，进而求得的长； （3）如图：连接，设圆O的半径为r， 是等腰直角三角形则、，由 ，，然后代入求解即可． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：∵平分，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）证明：的值不变，且值为，理由， 如图：连接，设圆O的半径为r， 由（2）知，是等腰直角三角形， ∴、， 在中，， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，等腰内接于，，过点作的垂线交于点． (1)求证：； (2)如图2，当圆心恰好落在上时，求的度数； (3)如图3，延长交于点，点在线段上，，若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了圆的基本性质，全等的性质与判定，三角形内角和，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，掌握圆的基本性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和得出，，即可得到结论； （2）证明，得出度数； （3）在上取一点，使得，过点作于点，于点，由等腰三角形的性质和判定可得，证明，由，可得的长，在和中，根据勾股定理列方程，即可求出的长． 【详解】（1）证明：， ， ． ， ， ． 又， ． （2）解：过点，且，由垂径定理得， 在和， ， ． 设，由（1）知， ，， ，解得，即． （3）在上取一点，使得， ，． ，． ． ． 如图，过点作于点，于点， ，， ． ， ． 在和中， ． ． ， ． ，即． 令，在中，， 在中，， ． 3．（2024·广东汕头·统考一模）如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，CD为⊙O的切线，过D作，与的延长线相交于E． (1)求证：CD＝DE； (2)若BD＝1，DE＝，求△ADE的面积； (3)在（2）的条件下，作的平分线CF与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）半径相等知，由是⊙O切线知，再根据，得出，即可证得结论； （2）根据题中条件得到、长度，结合三角形面积公式求解即可； （3）连接BF、PB、AF，由CF平分∠ACB得，AF＝BF，AB为直径，AB＝2，可得BF＝AF＝，由P为△ABC的内心，可得∠FPB＝∠FBP，进而可求得PF的长． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ， 是⊙O的切线， ，即， ， ， ， ， ； （2）解：设⊙O的半径为，则， ， ， 由（1）已证， ， 在Rt△COD中，，即，解得， ∴AB＝2r＝4，AD＝AB＋BD＝5， ∴； （3）解：连接，如图所示： 是⊙O的直径， ， 平分， ， 由圆周角定理得：， Rt△ABF是等腰直角三角形，， ， 由（2）中得AB＝4， ，解得，   为△ABC的内心， ， ， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及到等腰三角形的性质、切线的性质、勾股定理求线段长、三角形面积公式运用、圆周角定理、角平分线性质、等腰直角三角形性质和三角形内心等知识，根据题中描述正确作出辅助线是解决问题的关键． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知：如图，，是的两条互相垂直的弦，垂足为，是弦的中点，是的平分线，半径交弦于点． (1)延长，交于点，求证：； (2)若是的中点，求证：； (3)如图，延长交于点，连接，若的延长线交于点，，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)的半径为． 【分析】考查了圆的综合题，本题是垂径定理以及全等三角形的判定与性质的综合应用，正确求得的度数是解决本题的关键． （）根据是的中点，即可证明，并且，则，根据角平分线的性质以及角平分线的定义即可证得； （）过点作，可证四边形是矩形，证明，则，然后根据垂径定理即可证得； （）延长交于点，连接，首先求得的度数，然后在直角中，利用三角函数求得半径的长． 【详解】（1）证明：如图，是弦的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作，可证四边形是矩形， 则， 点是的中点， 在和中， ， ∴， ， ， 即：， ， ， ， ； （3）如图，延长交于点，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， 又， ， 在中，， ， ， 在中，， 的半径为． 5．（2024秋·湖南长沙·九年级校联考期中）如图：已知等腰，，在上，延长交于点，过点作，交于点，连接，连接，是的内心．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交于点，求证：； (3)如图3，过点作的垂线，垂足为，当时时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）证明是直径，再证明，可得结论； （2）连接，证明，可得结论； （3）如图3中，过点作交的延长线于点，作的内切圆，切点分别为，，．证明四边形是正方形，再证明，推出，因为与内切于点，，，推出，，，可得． 【详解】（1）证明：如图1中，    ， ， 是直径， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （2）证明：如图2中，连接．    是的内心， ，， ，，， ， ； （3）解：如图3中，过点作交的延长线于点，作的内切圆，切点分别为，，．    ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 与内切于点，，， ，，， ． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内切圆，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问 6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，AB为的直径，C为上一点，D为弧BC的中点，连接AD、BC相交于E，过点B作的切线交AD的延长线于F； (1)求证：； (2)过点D作，垂足为H，求证：； (3)延长DH交于G，连接CG，交AD于N，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等弧所对应的圆周角相等求出，再根据切线性子定理以及直径所对应的圆周角为直角，推出，从而证明． （2）根据等弧所对应的圆周角相等推出，根据垂径定理推出，利用证明和全等，推出，从而证明． （3）根据等弧所对应的圆周角相等推出，再根据垂径定理逆定理推出，推出，从而证明，再利用圆内接四边形对角互补推出相等，证明和求出长度，再利用正切求出对应比例值，从而求出长度，即可求解的半径． 【详解】（1）证明：连接AC， 为的直径， ， ， 切于点B， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：连接OC，OD交BC于点M， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：连接AC、AG、DC，作的延长线于 ， ， ， 直径， ， ． ． ． ． ． ． 在和中， ． ． ， 在和中， ， ， ． 在中，． ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是圆综合题，涉及到的知识点有圆周角定理、垂径定理、切线的性质、利用正切值概念求边长以及全等三角形的判定．解题的关键能否利用已知条件作对辅助线． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）在图1和图2中，是等边的外接圆． 【阅读】 如图1，连接，延长交弦于点，交于点，连接．求证：； 小明给出了自己的证明方法如下： 三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形， ， ，则为等边三角形， 同理可得：也为等边三角形， ． 【理解】 （1）如图2，若为上任意一点，连结、，则___________， 若的半径为1，则___________． （2）在图2中，问题原型中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 【应用】 （3）如图3，四边形内接于，，平分，且，若的半径为7，求四边形的面积． 【答案】（1），；（2）结论成立，理由见解析；（3） 【分析】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形性质及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质与判定是解题关键， （1）先求出，连接，过点O作于点D，先求出，进而求出结论； （2）延长到点E，使，连接，先证明是等边三角形，再证明即可证明结论； （3）连接，过点C作交延长线于点M，先证明，设，则，求出，连接，过点O作于点F，求出，再根据求出，延长，得出为边上的高，进而求出结论． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ， ， ， 连接，过点O作于点D，如下图： 则， ， ， ， ， ， ， ； （2）结论成立，理由如下： 延长到点E，使，连接，如下图， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）连接，过点C作交延长线于点M，如下图， 平分， ， ， ， 是等边三角形， 由（2）知，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 连接，过点O作于点F， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 延长， 垂直平分，， 经过点A，即为边上的高， ， ∴四边形的面积． 题型二：圆与四边形的综合题 8．（2024秋·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，四边形内接于，是直径，，连接，，过点D的直线与的延长线相交于点E，且． (1)求的度数． (2)若，，求，的长． (3)若，，直接写出的长． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）连接，易得：，进而得到：，根据圆周角定理，得到，即，从而得到，即； （2）勾股定理求出的长，根据圆周角定理以及，可得为等腰直角三角形，进而求出的长，过点作，交的延长线与点，易证，得到，，进而求出的长，再求出的长即可； （3）根据（2）可知：，即可得解． 【详解】（1）解：连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 过点作，交的延长线与点， 则：， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得：，即： ∴； （3）解：由（2）可知：． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1，四边形是的内接四边形，延长交于点E，延长交于点F，． (1)求证：； (2)如图2，若A是的中点，设，，用含的代数式表示； (3)若是的角平分线，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)4 【分析】本题主要考查了圆的性质、圆的内接四边形的性质、垂直平分线的判定与性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形，等知识点，灵活运用相关性质和判定定理成为解答本题的关键． （1）先根据已知条件结合对顶角相等、三角形外角的性质可得，然后再根据圆的内接四边形对角互补即可证明结论； （2）先根据等弧所对的弦相等求得，再说明，即是的垂直平分线；从而得到，；然后再根据直角三角形的性质可得，进而求得即可． （3）过点D作于点M，得到，则，推导出，是等腰直角三角，且，得到，，解得，即，，再由，求出，则，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵的内接四边形 ∴ ∴，即． （2）解：连接，如图 ∵A是的中点， ∴ ， ∴，点A在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． （3）过点D作于点M，如图 ∴， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴，是等腰直角三角形，且， ∴，， 解得，即， ∴， ∵， ∴， 即 解得， ∴． 10．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图1，四边形内接于，，交于点． (1)如图2，当是直径时，，求的度数； (2)如图3，过点作于点， ①当，时，求的长； ②求证：． 【答案】(1)的度数为 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、正方形的性质与判定、垂径定理以及勾股定理： （1）的度数就是，连接，先求出，用相减即可； （2）①过作于，令，交点为，先证明是正方形，结合垂径定理求出，从而得到后利用勾股定理即可； ②延长，交于点，连接，先证明，由于是直径，可以求出，所以，利用双垂直得到，进而证明． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴， ， ， ∴， 即的度数为； （2）①过作于，令，交点为， ∵，，， ， ∴四边形为矩形， ，，， ， ∴四边形为正方形， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， ； ②证明：连接并延长，交于点，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）[感知]如图①，为等边的外接圆．为的直径，线段与交于点E，探究线段的数量关系． 小明同学的做法是：过点C作的垂线交延长线于点F，连接．易证．进而得出，．则线段的数量关系是： ______． [探究]如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，D为弧上一点，于E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由． [应用]如图③，是的外接圆，是直径，．点D在上，且点D与点C位于线段两侧，过点C作线段的垂线，交线段于点E，若点E为的三等分点，则的值为______． 【答案】[感知] ；[探究] 上述结论成立，证明见解析；[应用] 【分析】本题主要考查了圆的综合题，涉及了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质： [感知] 过点C作的垂线交延长线于点F，连接，证明，，即可求解； [探究] 过点C作的垂线交延长线于点G，连接，证明，，即可求解； [应用] 过点C作的垂线交延长线于点H，可证明四边形是矩形，再由四边形是的内接四边形，可证明，可证得，从而得到，，可证明四边形是正方形，从而得到，即可求解． 【详解】解：[感知]过点C作的垂线交延长线于点F，连接， ∵为等边的外接圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： [探究] 上述结论成立，证明如下： 如图，过点C作的垂线交延长线于点G，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； [应用]如图，过点C作的垂线交延长线于点H， ∵是直径，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点E为的三等分点，点D与点C位于线段两侧， ∴， 设，则， ∴， ∴； 故答案为： 12．（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，可得，然后根据是的外接圆，可得，从而得到，即可求证； （2）连接，设交于点F，根据垂径定理和圆周角定理可得，，从而得到，再根据图中阴影部分面积为，即可求解； （3）过点M作于点H，证明，可得，可证明，从而得到，然后在中，解直角三角形可得，，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的外接圆， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，设交于点F， 由（1）得：是等边三角形，， ∴， ∵E是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：如图，过点M作于点H， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 13．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，内接于，为的直径，．连接，，交延长线于点． (1)证明：平分； (2)若平分， ①当时，求的长； ②设，直接写出与的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知，根据等弧或同弧所对圆周角相等得到，，则有，由此即可求解； （2）①如图，作，垂足为，可证，得到，再证，得到，则，根据为的直径，平分，得到，在中，由勾股定理得到，代入计算即可求解； ②根据为的直径，平分，得到，，，如图所示，过点作于点，过点作于点，则都是等腰直角三角形，根据锐角三角函数的计算得到，再证明，得到，，由，得到即可求解． 【详解】（1）证明：由圆内接四边形的性质可知， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：①如图，作，垂足为， ∵，平分（已证）， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴； ②∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴都是等腰直角三角形， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对圆周角相等，直径或半圆所对圆周角为直径，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，锐角三角函数的计算等知识的综合运用，掌握圆与四边形，三角形的综合运用，数形结合思想是解题的关键． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，在矩形中， ， ，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是；②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 【答案】(1)，相离 (2)； (3) 【分析】（1）过点作于，交于，根据矩形的性质，得出，，再根据圆周角定理和平行线的性质，得出的直径是，，再根据题意，得出当时，，，进而根据线段之间的数量关系，得出，，再根据勾股定理，得出的值，进而得出的半径，再根据中位线的性质得出的值，进而得出的值，即可判断与直线的位置关系； （2）①根据、运动的速度与、的比相等，得出圆心在对角线上，再根据图形和题意，得出和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，根据中点的性质得出，再根据勾股定理解得的值，进而得出的长，即为圆心的运动路径长；②当与相切时，设切点为，连接并延长交于，再根据线段之间的数量关系和题意，得出，，再根据勾股定理解得的值，再根据圆的性质，得出，再根据中位线的性质，得出，根据线段之间的数量关系，列出关于的方程，求解即可得出答案； （3）过作，交的延长线于点，连接，证明，再根据全等三角形的性质得出，根据线段之间的数量关系得出，再根据勾股定理，列出方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，，， ∵ ， ， ∴，， ∴， ∴的半径为， ∵，是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相离． 故答案为：；相离； （2）解：①如图， ∵、运动的速度与、的比相等， ∴圆心在对角线上， 由图可知，和两点在时在点重合， 当时，直径为对角线，是的中点， ∴，由勾股定理，可得， ∴， ∴圆心的运动路径长是． 故答案为：； ②如图，当与相切时， 设切点为，连接并延长交于， 则，， 则，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴的值为； （3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为． 【点睛】本题是四边形与圆的综合问题，主要考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理、中位线的性质、切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 15．（2024秋·广东广州·九年级统考期末）如图，是正方形，是的直径，点E是上的一动点（点E不与点B，C重合），连接． (1)若，求的度数； (2)若为的切线，连接交于点F，求证：； (3)若，过点A作的垂线交射线于点M，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据圆周角定理可得，然后根据直角三角形的性质即可解答； （2）如图：连接交于点F，先证明可得，根 据等腰三角形三线合一的性质可得，然后再证明，最后根据全等三角形的 性质即可解答； （3）如图2：连接相交于点T，设于点N,设交于点Q，先证明 ，进一步证明，再根据和证明，并证明 得到，最后根据证明得到， 说明点M在以为直径的圆上，如图3：设圆心为H，连接，则 ，根据勾股定理求出，再说明 (当且仅当 点M在线段上时等号成立)，求出AM的最小值即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图：连接交于点F， ∵为的切线， ∴， 由正方形和圆的性质可得：． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图2，连接相交于点T，设于点N，设交于点Q， ∵正方形， ∴，，，， ∴点T在上， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； 点M在以为直径的圆上，设圆心为H， 如图3：连接， 则: ， ∵， ∴， ∵， ∴当且仅当点M在线段上时等号成立， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾 股定理、正方形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 16．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图1，已知是的直径，弦于点，点是线段延长线上的一点，连结交于点，连接交于点，连接和． (1)求证：． (2)若，且，求的长． (3)如图2，连接，若四边形为平行四边形，求的值（直接写出答案）． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）先根据垂径定理，得，结合圆周角定理，得， ，因为内接四边形，对角互补，再进行角的等量代换，即可作答． （2）连接与相交于一点H，根据线段的和差关系，得，因为弦于点且勾股定理列式，得，代入数值，计算得，再，根据勾股定理 计算，即可作答． （3）连接，易知四边形为菱形，因为内接四边形，对角互补，再进行角的等量代换，证明，得，结合垂径定理，得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可作答． 【详解】（1）解：∵弦于点 ∴ ∵是的直径， ∴ 即 ∵四边形是的内接四边形 ∴ ∴； （2）解：如图：连接与相交于一点H， ∵ ∴ ∵弦于点 ∴ 在中， 即 解得 ∴ ∵ ∴ 设 在中， 在中， 即 ∴ 解得 ∴ （3）解：如图，连接 ∵四边形为平行四边形，且易知 ∴四边形为菱形 ∵四边形是的内接四边形 ∴ ∴ ∵由（1）知； ∴ ∴ ∵是的直径， ∴ ∵四边形为菱形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了垂径定理，圆内接四边形、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型三：圆与相似三角形的综合题 17．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，是中点，平分交于点，点是上一点，过、两点，交于点，交于点 (1)求证：与相切； (2)当，时，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，根据等腰三角形性质推出，由角平分线的定义及等边对等角得和，继而推出，得出，根据切线的判定定理推出即可； （2）如图，连接，根据勾股定理得，设的半径为，证明得，得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，是中点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，连接， ∵，， 由（1）知：， 在中，， ∴， 设的半径为，则， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 即的半径为． 【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解（1）小题的关键是推出，解（2）小题的关键是根据相似三角形的性质得出关于的方程． 18．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，是半的直径，点在半上，，，连接、AC． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用直径所对圆周角为直角、等腰三角形性质，结合已知角的关系，证明，从而证得是切线； （2）通过得到直角，结合角的等量关系证明三角形相似，设未知数表示边长，利用勾股定理列方程求解的长． 【详解】（1）证明：连接． ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：∵，是的直径， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的切线判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握圆的切线判定方法、相似三角形的性质并合理设参计算是解题的关键． 19．（2025·云南临沧·一模）如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求证：四边形是平行四边形． (3)设与交于点，若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和垂径定理得到，利用平行线的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用等腰三角形的性质定理，圆周角定理和平行线的判定定理得到，再利用平行四边形的判定定理解答即可； 中位线定理得到，，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 平分， ， ， ， ． 为的半径， 是的切线； （2）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：连接，与交于点，如图， 的半径为， ，． 是的直径， ， ． 由（1）知：， ， ，， 为的中位线， ， ． ， ， ， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定定理，垂径定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的关键． 20．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，过的三个顶点A，B，C，交边于点F．连接，，，其中与交于点G．连接并延长交于点E，且满足． (1)请写出线段与的数量关系，并说明理由； (2)①证明：是等腰三角形； ②当时，求的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）延长交于点M，可得，根据垂径定理可得； （2）①由四边形为平行四边行得到，由圆周角定理可得，即可得到，推出，即是等腰三角形； ②当时，，得到，再由，求出，得到，即可说明，推出，，由相似得到，解方程即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，延长交于点M， 由题意可知为直径，， ∴垂直平分，， ∴； （2）①证明：∵四边形为平行四边行， ∴， ∴， 由圆周角定理可得， ∴，即， ∴， ∴是等腰三角形； ②解：当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理得， 解得（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解一元二次方程． 21．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，四边形内接于，为直径，，于． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长； (3)在（）条件下，如图，是线段上一点，，连接并延长交于，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）连接，证明是等边三角形，得，然后 弧长公式求解即可； （）连接，交于点，设，则，由勾股定理求出，则，，根据弧、弦、圆心角的关系得，证明，由，，得，从而求解； （）连接，过作于点，则，由勾股定理求出，，然后分别证明，，最后根据性质即可求解． 【详解】（1）如图，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为； （2）如图，连接，交于点， ∵，， ∴设，则， ∵， ∴， 在中由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）如图，连接，过作于点，则， 由（）得：，， ∴， ∴，同理得：， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，弧长公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理及推论，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 22．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知是的外接圆，是直径，点是上的一点，连接，，并延长交的延长线于点，过点作与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求证：是中点； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； (3) 【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角，结合同角的余角相等，再结合圆周角定理完成角的等量代换； （2）通过线段比例关系证明三角形相似，结合圆周角与圆心角的关系，推导弧的等量关系； （3）借助相似三角形的性质求出圆的半径，再利用相似三角形对应线段成比例计算线段长度，再结合勾股定理建立方程求解目标线段的长． 【详解】（1）证明：是直径， ， ， ， ， ， 又， ． （2）证明：如图，连接， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 是中点． （3）解：如图，连接， 由（2）得， ， ， 即的半径为， ，， 是直径， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ，即， 解得：， 设， 在中，， 在中，， ， 解得：， 则． 【点睛】本题考查了圆的性质（直径与圆周角、圆周角定理）、相似三角形的判定与性质，同角的余角相等以及勾股定理的应用，熟练掌握圆的相关定理与几何计算方法是解题的关键． 23．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，已知内接于，是直径，点在上，，过点作，垂足为，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)连接，设的面积为，四边形的面积为，若的半径为3，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用平行线的性质，圆周角定理，垂直的定义和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用圆周角定理，三角形的内角和定理和等腰三角形的性质定理解答即可； （3）过点O作于点H，设，利用直角三角形的边角关系定理求得，则，利用梯形的面积公式求得，从而得到关于的方程，解方程求得，再利用勾股定理解答即可得出结论． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：过点O作于点H，如图， 由（1）知：， ∴， ∴ ∵的半径为3， ∴， 设， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 24．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图 1，四边形 是 的内接四边形， 为对角线，且 为 的直径， ，已知 ， ． (1)求 的长； (2)如图 2， 为 上一点，过 作 ，其反向延长线交 于点 ，连结 、 、 ，若 ， ① 求 的值； ②试求 的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）连结，设与交于点P，由垂径定理可得P为中点，结合O为圆心，可求出，求出，然后利用勾股定理即可求解； （2）①先证明，再证明得，设，由，，，再利用勾股定理求出即可求解． ②证明得，求出，，再证明得，进而可求出 的长． 【详解】（1）解：连结，设与交于点P ∵， ∴， ∴， ∴P为中点， ∵O为圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）①∵， ∴． ∵ 为 的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴．           ②∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又由①得， ∵， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形中位线，圆周角定理，解直角三角形，以及相似三角形的判定与性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 题型四：圆与锐角三角函数的综合题 25．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，内接于，为直径，延长至点，连接，为上方圆上一点，连接．若，，．    (1)求的值； (2)若，求证： 为的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、切线的判定、矩形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理得，由勾股定理可得，再由正弦的定义计算即可得出答案； （2）连接，，作于，则，证明四边形为矩形，得出，即可得证． 【详解】（1）解： 为直径， ，即， 由勾股定理得：， ； （2）证明：如图，连接，，作于，则，    为直径， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 为的切线． 26．如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，的延长线与的外接圆交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可知，根据圆周角定理可知，根据圆内接四边形对角互补可证，等量代换可证结论成立； （2）根据圆周角定理可知是圆的直径，所以可知，根据直角三角形两锐角互余可证，所以可得，根据的长度即可求出的长度． 【详解】（1）证明：是的外角的平分线， ， ， ， ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、直角三角形的性质、解直角三角形、角平分线的性质，解决本题的关键是根据圆周角定理和圆内接四边形对角互补的性质找角之间的关系． 27．（2024秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M是AC上一点，以CM为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，过点D作DE⊥AC于点F，DE交⊙O于点E，连接CD、CE． (1)求证：∠B＝∠DCE； (2)若MF＝2，sinB＝，求CD的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OD，根据垂直的性质推出∠ADF＝∠DOA，根据垂径定理、圆周角定理得到∠DOA＝∠DCE，根据平行线的判定与性质得到∠B＝∠ADF，等量代换即可得解； （2）连接DM，设⊙O的半径R，根据题意知R＞2，根据三角函数定义得到DF＝R，解直角三角形得到R＝5，据此解直角三角形即可得解． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵AB与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB， ∴∠ADO＝90°， ∴∠ADF+∠ODF＝90°， ∵DE⊥AC， ∴∠DFO＝90°，∠DCA＝∠ECA， ∴∠DOF+∠ODF＝90°， ∴∠ADF＝∠DOA， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD＝∠ECA， ∴∠DCE＝2∠DCO， ∵∠DOA＝2∠DCO， ∴∠DOA＝∠DCE， ∵∠ACB＝90°，∠AFD＝90°， ∴DF∥BC， ∴∠B＝∠ADF， ∴∠B＝∠DCE； （2）解：连接DM， 设⊙O的半径R，根据题意知R＞2， ∴OD＝OC＝OM＝R， ∵MF＝2， ∴OF＝R﹣2，CM＝2R， 由（1）知，∠B＝∠DOF， ∵sinB＝， ∴sin∠DOF＝， 即＝， ∴DF＝R， 在Rt△DOF中，DF2+OF2＝OD2， 即， ∴R＝5或R＝（舍去）， ∴OF＝3，DF＝4， ∴DM＝， ∵CM为⊙O直径， ∴∠CDM＝90°，   ∴CD＝． 【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理，熟记切线的性质、圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 28．（2024·浙江宁波·模拟预测）在Rt△ABC中，已知，，过A、D，B三点画圆O，是直径，的平分线恰好过圆心O，交于点E，且． (1)求证：． (2)求的值． (3)若的延长线与的延长线交于点H，直接写出的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求出，再根据，得，由又是直径，得，即可得答案； （2）作交的延长线与点G，设，求出，又因为，根据代入计算即可； （3）连结，先证，得，再根据（2）结论得，代入，求出，由，求出x，即可得解． 【详解】（1）解：如下图，连结， ，平分， ， ， ， ， 又是直径， ， ； （2）如（1）图，作交的延长线与点G，设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如（1）图，连结， 由题意可知：， 由， ， ， 由（2）可知：， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是，勾股定理，正切，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握相关定理． 29．如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作圆O （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）已知AO交圆O于点E，延长AO交圆O于点D，tan∠D=，求的值； （3）如图2，在（2）条件下，若AB与⊙O的切点为点F，连接CF交AD于点G，设⊙O的半径为3，求CF的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F，然后证明OC=OF即可； （2）连接CE，先求证∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，则，而tan∠D＝，即可求解； （3）连接CF交AD于点M，由（2）可知，AC2=AE•AD，先求出AE，AC的长，则AO可求出，证△CMO∽△ACO，可得OC2=OM•OA，求出OM，CM，则CF=2CM可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点O作OF⊥AB于点F ∵AO平分∠CAB， OC⊥AC，OF⊥AB， ∴OC=OF， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：如图，连接CE， ∵ED是⊙O的直径， ∴∠ECD=90°， ∴∠ECO+∠OCD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACE+∠ECO=90°， ∴∠ACE=∠OCD， ∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC， ∴∠ACE=∠ODC， ∵∠CAE=∠CAE， ∴△ACE∽△ADC， ∴， ∵tan， ∴； （3）由（2）可知：， ∴设AE=x，AC=2x， ∵△ACE∽△ADC， ∴， ∴AC2=AE•AD， ∴（2x）2=x（x+6）， 解得：x=2或x=0（不合题意，舍去）， ∴AE=2，AC=4， ∴AO=AE+OE=2+3=5， 如图，连接CF交AD于点M ， ∵AC，AF是⊙O的切线， ∴AC=AF，∠CAO=∠OAF， ∴CF⊥AO， ∴∠ACO=∠CMO=90°， ∵∠COM=∠AOC， ∴△CMO∽△ACO， ∴， ∴OC2=OM•OA， ∴OM=， ∴CM==， ∴． 【点睛】此题考查了圆的综合问题，涉及勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，解方程，圆的切线判定，切线长定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线才能解决问题． 30．如图，是的直径，D是的中点，于E，过点D作的平行线，连接并延长与相交于点G．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由垂径定理得出，平分，证出，即可得出是的切线； （2）由圆周角定理得出，证明，得到，变形可得结果； （3）由垂径定理得出，，由勾股定理求出，证明，得出对应边成比例，由圆周角定理得出，求出，得出、、，求出的长，再由三角函数的定义即可得出结果． 【详解】（1）解：证明：连接OD，如图所示：    ∵D是的中点， ∴，平分， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵D是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵D是的中点，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵AB是的直径， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、垂径定理、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要证明三角形相似才能得出结果． 31．（2025·福建三明·二模）如图1，和是的直径，且，点是延长线上的一点．连接交于点（点在线段上，且不与点、点重合）． (1)若，求证：； (2)如果． ①如图2，若，求证：是的中点； ②若为等腰三角形，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；②线段的长或 【分析】（1）连接，根据，证明，得出，结合等腰三角形的性质可得，根据等腰三角形的判定即可证明； （2）①过作于，连接交于点M，根据直径对直角可得，根据，结合等腰三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质得出，结合，根据等腰三角形的性质得出，即可证点是的中点． ②分三种情况讨论，当时，不符合题意；当时，连接，证明，即可得解；当时，连接，设与交于，先证明是的中位线，是的中位线，可得，再根据勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ， ， ， ， ， ， ，即， ∴． （2）解：①过作于，连接交于点M， ∵是直径， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ∵， ， 即点是的中点． ②如图，连接， 当时，如图， ， ， ， 由①知，不符合题意； 当时，连接， 和是的两条直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，连接，设与交于， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ∴是的中位线， ， ， ， ， ， 综上所述，线段的长或． 【点睛】本题考查了圆综合，勾股定理，三角函数，中位线，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是综合运用以上知识点，运用分类讨论思想． 32．（2025·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，过A作于点H，交于点E，以为直径作与相交于点F，连接并延长交于点G，连接并延长交射线于点P． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图1，与相交于点Q，若点Q为的中点，求的值； (3)如图2，已知，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由矩形的性质得出，由垂径定理得出，由对顶角相等得出，进而可得出，即是等腰三角形． （2）由矩形的性质得出，， ，由平行线的性质得出，，由相似三角形的性质得出，结合点Q为的中点即可得出，进而可得出，最后根据正弦的定义求解即可． （3）延长和交于点N，连接交于点M，连接和，则，即可求得，，，和，利用解直角三角形得，进一步求得，，结合求得和，根据求得，即可求得，利用即可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵为的直径，且， ∴垂直且平分， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即是等腰三角形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ， ∴，， ∴， ∵点Q为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：延长和交于点N，连接交于点M，连接和，如图， 由（1）知，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是等腰三角形，为公共边， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， 则，， ∵为直径， ∴三角形为直角三角形， 则， ∵， ∴，解得， 则， ∵， ∴， ∴，解得， 则， ∵， ∴， ∴，即，解得， 则， ∵， ∴， 那么，，解得． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、垂径定理、等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质和解直角三角形，解题的关键是熟悉三角形的性质和解直角三角形． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $