期末专题练习： 圆的大题压轴题.2025-2026学年人教版九年级数学上册

期末专题练习： 圆的大题压轴题 1．如图，直线AE经过⊙O上的一点A，⊙O是△ADC的外接圆，AB是⊙O的直径，CH⊥AE于点H，点D是的中点，∠ADC＝∠EAC．取AD的中点F，连接BF． （1）求证：AE为⊙O的切线； （2）若CH＝2，AC＝5，求BF的长． 2．如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若BE＝1，BF＝2，求AD的长． 3．如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF． （2）若CD＝4，AC＝8，求弦BD的长． 4．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB＝∠BFD． （1）求证：FD是⊙O的一条切线； （2）若AB＝15，BC＝9，求DF的长． 5．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥OA于点O，AE⊥BC于点E．∠D＝2∠ACB． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AE＝3BE，CD＝5，求⊙O的半径． 6．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E． （1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图．求证：△PCB是等腰三角形； （2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，连接OH，且点O和点A都在DE的左侧，如图．若∠ACB＝60°，DH＝1，∠OHD＝80°， ①求⊙O的半径； ②求∠BDE的大小． 7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG． （1）求证：∠CAG＝∠ABE； （2）求证：CG＝CD； （3）若AB＝4，BC＝2，求GF的长． 8．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F． （1）求证：直线DF是⊙O的切线； （2）若∠A＝30°，，求DF的长． 9．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE． （1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若AB＝10cm，DC＝4cm，求AC的长； （3）若E是弧AC的中点，⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积． 10．已知四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接AC． （1）如图①，若点D为中点，∠ADC＝124°，求∠CAB和∠CAD的大小； （2）如图②，若点C为中点，过点C作⊙O的切线与弦AD的延长线交于点E，连接DB，当AD＝2，半径为3时，求EC的长． 11．如图，已知AB为半圆O的直径，弦CD∥AB．半径OC交弦AD于点E，连结BE． （1）若CD＝OA＝2，求BE的长． （2）若CE＝1，，求AE的长． 12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC． （1）求证：BC平分∠DCF； （2）G为上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长． 13．AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E． （Ⅰ）如图①，求证：AC平分∠DAB； （Ⅱ）如图②，过B作BF∥AD交⊙O于点F，连接CF，若，DC＝4，求CF和⊙O半径的长． 14．如图，AB是⊙O的直径，BD切⊙O于点B，C是圆上一点，过点C作AB的垂线，交AB于点P，与DO的延长线交于点E，且ED∥AC，连接CD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB＝12，OP：AP＝1：2，求PC的长． 15．在△ABC中，∠C＝α，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均只有一个公共点，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n． （1）当α＝90°时，b＝6，a＝8时，m＝　 　 ，n＝　 　 ． （2）如图①，α＝90°，则m＝　 　 ，n＝　 　 .（用含有a、b、c的代数式表示）；并求出△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示） （3）如图②，α＝60°，求出△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）． 16．如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，BD＝6cm． （1）求证：AC是⊙O的切线． （2）求⊙O的半径长． （3）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积（结果保留π）． 17．已知如图1，在⊙O中，弦AC⊥BD于点P，AP＝3，BP＝6，PD＝4．E是的中点． （1）求BC的长． （2）求AE的长． （3）如图2，若，连接FD交AB于点Q，试说明∠AQD的度数是否会发生变化，若不变请求出∠AQD的度数，并说明理由． 18．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF＝∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AD＝DP，OB＝3，求的长度； （3）若DE＝4，AE＝8，求线段EG的长． 19．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC，交⊙O于点D，交AC于点E，连接BD，BD交AC于点F，延长AC到点P，连接PB． （1）若PF＝PB，求证：PB是⊙O的切线； （2）如果AB＝10，BC＝6，求CE的长度． 20．如图1，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E （1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由； （2）如图2，如果∠BED＝60°，PD，求PA的长． 参考答案 1．解：（1）证明：如图，连接BD， ∵AB为⊙O的直径． ∴∠ACB＝90°， ∴∠CDB+∠CDA＝90° ∵∠CDA＝∠EAC，∠CDB＝∠CAB， ∴∠CAB+∠EAC＝90°， 即∠EAB＝90°， .∴EA⊥AB ∴AE为⊙O的切线； （2）如第（1）题图，连接DO、BC， ∵CH⊥AE， ∴∠CHA＝90°，∠CHA＝∠ACB＝90°， ∴AB， ∵点D为AB的中点， ∴， ∴AD＝BD， ∵F为AD中点， ∴DFADBD， ∵AB为⊙O的直径． ∴∠ADB＝90°， ∴， ∴， ∵BD2+DF2＝BF2， ∴， ∴， ∴， ∴BF． 2．（1）证明：∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∴∠ADO＝∠C， ∴OD∥BC． ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°， ∴四边形ODEH是矩形， ∴OD＝EH，OH＝DE， ∵OF＝OB， ∴BH＝FH＝1， ∴OD＝EH＝EH＝2， ∴AB＝2OD＝4，OH， ∴DE＝OH， ∴BD2， ∴AD2． 3．（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠ECB＝90°﹣∠ABC， ∴∠ECB＝∠A． 又∵CD＝CB， ∴， ∴∠DBC＝∠A， ∴∠ECB＝∠DBC， ∴CF＝BF； （2）解：连接OC，交BD于点G， ∵BC＝CD， ∴OC⊥BD，BD＝2BG， ∵∠ACB＝90°，BC＝CD，AC， ∴AB20， ∴⊙O的半径为10， 设OG＝x，则CG＝10﹣x， 由勾股定理，得BG2＝OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2， 即102﹣x2＝（）2﹣（10﹣x）2， 解得x＝6， ∴BG8， ∴BD＝16． 4．（1）证明：∵∠CDB＝∠CAB，∠CDB＝∠BFD， ∴∠CAB＝∠BFD， ∴FD∥AC（同位角相等，两直线平行）， ∵∠AEO＝90°， ∴∠FDO＝90°， ∴FD是⊙O的一条切线； （2）FD＝10． 5．（1）证明：∵OD⊥OA，AE⊥BC， ∴∠AOE+∠COD＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°， ∴∠COD＝∠OAE， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACB， ∴∠AOE＝∠OAC＝∠ACB＝2∠ACB， ∵∠D＝2∠ACB， ∴∠AOE＝∠D， ∵∠COD+∠D+∠OCD＝180°，∠AOE+∠OAE+∠AEO＝180°， ∴∠OCD＝∠OAE＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2） 6．（1）证明：∵AC是⊙O直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠PBC+∠ABF＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠DAE+∠ADE＝90°， ∵∠ADE＝∠ABF， ∴∠PBC＝∠DAE， ∵∠PCB＝∠DAE， ∴∠PBC＝∠PCB， ∴PB＝PC， ∴△PCB是等腰三角形； （2）连接OD，OB；AC和DE交于点M， ①∵AC是⊙O直径， ∴∠ABC＝90°， ∴BC⊥AB， ∵DE⊥AB ∴DE∥BC， 同理：BH∥DC， ∴四边形DHBC是平行四边形， ∴BC＝DH＝1， ∵∠ACB＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OC＝BC＝1， ∴⊙O的半径长是1； ②∵OD＝DH＝1， ∴∠DOH＝∠DHO＝80°， ∵DE∥BC， ∴∠OMH＝∠ACB＝60°， ∴∠MOH＝40°， ∴∠DOM＝∠DOH﹣∠MOH＝40°， ∴∠DBC∠DOC＝20°， ∴∠EDB＝∠DBC＝20°． 7．（1）证明：∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB＝90°， ∴∠CAG+∠BAG＝90°， ∵AD⊥BE， ∴∠AGB＝90°， ∴∠BAG+∠ABE＝90°， ∴∠CAG＝∠ABE； （2）证明：∵∠CGD＝∠CAG+∠ACG，∠ABC＝∠ABE+∠CBE， 由（1）知，∠CAG＝∠ABE， ∵∠CBE＝∠ACG， ∴∠CGD＝∠ABC， ∵∠ABC＝∠D， ∴∠DGC＝∠D， ∴CG＝CD； （3）FG＝． 8．（1）证明连接OD． ∵CD平分∠ACB， ∴， ∴OD⊥AB， ∵AB∥DF； ∴OD⊥DF， ∵OD为半径， ∴DF是⊙O的切线． （2）解： ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠A＝30°，AC＝2， ∴AB4， ∴OD＝2， ∵∠BOC＝2∠A＝60°， ∵DF∥AB， ∴∠COB＝∠F＝60°， ∴DF． 9．解：（1）CD与⊙O相切．理由如下： ∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝∠2， ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴OC∥AD， ∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD， ∴CD为⊙O的切线； （2）作OH⊥AD与H，如图，则AH＝HE， ∵OC⊥CD，HD⊥CD，OH⊥HD， ∴四边形OCDH为矩形， ∴OH＝DC＝4，HD＝OC＝5， 在Rt△AOH中，∵OA＝5，OH＝4， ∴AH3， ∴AD＝AH+HD＝3+5＝8， 在Rt△ADC中，∵CD＝4，AD＝8， ∴AC4（cm）； （3）∵E是弧AC的中点， ∴， ∴OE⊥AC， ∵∠1＝∠2， ∴AE＝AO， ∴AO＝EO＝AE＝5， ∴△OAE为等边三角形， 同理可得△OCE为等边三角形， ∴CE＝OC＝5，∠OCE＝60°， ∴∠DCE＝30°， ∴DECE，CDDE， ∵S弓形AE＝S弓形CE， ∴S阴影部分＝S△CDE（cm2）． 10．解：（1）如图，连接BD． ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝124°， ∴∠CBA＝180°﹣∠ADC＝180°﹣124°＝56°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝90°﹣∠CBA＝90°﹣56°＝34°． ∵点D为中点， ∴， ∴∠CAD＝∠CBD＝28°． 综上可知∠CAB＝34°，∠CAD＝28°． （2）如图，连接OC交BD于点F． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠EDF＝90°， ∵CE为⊙O的切线， ∴CE⊥OC，即∠ECF＝90°， ∵点C为中点，OC为过圆心的线段， ∴OC⊥BD，即∠CFD＝90°， ∵∠EDF＝∠ECF＝∠CFD＝90°， ∴四边形DECF是矩形， ∴CE＝DF． ∵AD＝2，半径为3，∠ADB＝90°， ∴， ∵OC⊥BD， ∴， ∴． 11．（1）解：连接AC，OD，BD，如图1所示： ∵弦CD∥AB， ∴CD∥OA， 又∵CD＝OA＝2， ∴四边形OACD是平行四边形， ∴AC＝OD，AC∥OD， ∵AB是半圆O的直径， ∴OA＝OD，∠ADB＝90°，AB＝2OA＝4， ∴OA＝AC， ∴平行四边形OACD是菱形， ∴OC⊥AD，OE＝CEOC＝1，AE＝DEAD， 在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE， ∴AE＝DE， ∴AD＝2AE， 在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD2， 在Rt△DBE中，由勾股定理得：BE； （2）AE＝6． 12．（1）证明：如图，连接OC， ∵CF是⊙O的切线，点C是切点， ∴OC⊥CF， 即∠OCF＝90°， ∴∠OCB+∠BCF＝90°， ∵CD⊥AB，AB是直径， ∴CE＝DECD＝3，∠BEC＝90°， ∴∠BCE+∠OBC＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠BCE＝∠BCF， 即BC平分∠DCF； （2）BH＝2． 13．（Ⅰ）证明：如图①，连接OC， ∵CD为⊙O的切线， ∴半径OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠OAC＝∠DAC， ∴AC平分∠DAB； （Ⅱ）解：如图②连接AF，BC， ∵∠ADC＝90°，AC＝4，CD＝4， ∴AD8， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴AB＝10， ∴⊙O的半径长是5； ∵AB是圆的直径， ∴∠AFB＝90°， ∴AF⊥BF ∵BF∥AD， ∴AF⊥AD， ∵CD⊥AD， ∴CD∥AF ∴∠DCA＝∠CAF， ∵∠DCA+∠DAC＝∠ABC+∠CAB＝90°， ∴∠DCA＝∠ABC， ∵∠ABC＝∠AFC， ∴∠CAF＝∠CFA， ∴CF＝CA＝4． ∴CF的长是4，⊙O半径长是5． 14．（1）证明：如图，连接OC， ∵BD切⊙O于点B， ∴∠OBD＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵ED∥AC， ∴∠BOD＝∠OAC，∠COD＝∠OCA， ∴∠BOD＝∠COD， 在△BOD和△COD中， ， ∴△BOD≌△COD（SAS）， ∴∠OCD＝∠OBD＝90°， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝12，AB是⊙O的直径， ∴OB＝OA＝6， ∵OP：AP＝1：2， ∴OP＝2，AP＝4， ∵∠APC＝90°，OC＝6， ∴PC4． 15．解：（1）∵α＝90°，b＝6，a＝8， ∴c＝10， 如图①，设点D，E，F分别是⊙O的切点， 连接PD，PE，PF，连接OA，OB，OC， ∵S△BCA＝S△ABO+S△ACO+S△BCO， ∴6×810m6m8m， ∴m＝2， 由已知，四边形DPEC为正方形， ∴n＝PD（CD+CE）， 由切线长定理可知，AF＝AD，BF＝BE， ∴n（CD+CE）（AD+AC+BE+BC）（AB+AC+BC）（10+6+8）＝12； 故答案为：2，12； （2）如图①，由切线的性质可知： PD⊥CD，PE⊥BC，PF⊥AB， ∵PD＝PE＝PF， 设△ABC的面积为S△ABC，周长为C△ABC， 同（1），根据面积法可知m， ∵n（CD+CE）（AD+AC+BE+BC）（AB+AC+BC）C△ABC， ∴S△ABCmn． 故答案为：，， （3）如图②， 连接CP，由切线长定理得： CD＝CE（CD+CE）（AD+AC+BE+BC）（AB+AC+BC）C△ABC， ∵PD⊥CD，PE⊥BC， ∴CP平分∠ACB， ∴∠PCE＝30°， ∴n＝PE， ∵m， ∴S△ABCmn． 16．（1）证明：连接CO． ∵∠CDB＝∠OBD＝30°， ∴∠BOC＝60°． ∵AC∥BD， ∴∠A＝∠OBD＝30°． ∴∠ACO＝90°． ∴AC为⊙O切线． 解：（2）∵∠ACO＝90°，AC∥BD， ∴∠BEO＝∠ACO＝90°． ∴DE＝BE． 在Rt△BEO中，． ∴OB＝6． 即⊙O的半径长为6cm． （3）∵∠CDB＝∠OBD＝30°， 又∵∠CED＝∠BEO，BE＝ED， ∴△CDE≌△OBE． ∴（cm2） 答：阴影部分的面积为6πcm2． 17．解：（1）∵AC⊥BD， ∴BP•PD＝AP•PC， ∵AP＝3，BP＝6，PD＝4， ∴PC＝8， ∴BC10； （2）∵BC＝10，BD＝10， ∴△BCD是等腰三角形， ∵E是的中点， ∴∠DBE＝∠CBE， ∴BM⊥CD， ∴BE是圆O的直径， ∴∠BAE＝90°， ∵， ∴∠ACB＝∠BEA， ∴， 在Rt△ABP中，AP＝3，BP＝6， ∴AB3， ∴AE＝4； （3）∠AQD的度数为45°，不会发生变化，理由如下： 设BE与AC的交点为G，过点G作GH⊥BC交于点H， 由（2）知，∠CBE＝∠DBE，∠BA＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°， ∴GH＝GP，∠BHG＝∠CHG＝90°， ∴Rt△BHG≌Rt△BPG（HL）， ∴BH＝BP＝6， ∴CH＝BC﹣BH＝4， 设GP＝x，则GH＝x，CG＝CP﹣GP＝8﹣x， 在Rt△CGH中，x2+16＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴GP＝AP＝3， ∵BP⊥AG， ∴BP垂直平分AG， ∴AB＝GB， ∴∠ABP＝∠GBP∠ABE， ∵， ∴∠BDF∠AEB， ∴∠AQD＝∠ABP+∠BDF（∠ABE+∠AEB）＝45°． 18．（1）证明：连接OD，如图1， ∵OA＝OD， ∴∠DAB＝∠ADO， ∵∠DAF＝∠DAB， ∴∠ADO＝∠DAF， ∴OD∥AF， 又∵DF⊥AF， ∴DF⊥OD， ∴DF是⊙O的切线； （2）∵AD＝DP ∴∠P＝∠DAF＝∠DAB， 而∠P+∠DAF+∠DAB＝90°， ∴∠P＝30°， ∴∠POD＝60°， ∴的长度π； （3）解：连接DG，如图2， ∵AB⊥CD， ∴DE＝CE＝4， ∴CD＝DE+CE＝8， 设OD＝OA＝x，则OE＝8﹣x， 在Rt△ODE中，∵OE2+DE2＝OD2， ∴（8﹣x）2+42＝x2，解得：x＝5， ∴CG＝2OA＝10， ∵CG是⊙O的直径， ∴∠CDG＝90°， 在Rt△DCG中，DG6， 在Rt△DEG中，EG2． 19．（1）证明：∵PF＝PB， ∴∠PFB＝∠PBF， 又∵∠DFE＝∠PFB， ∴∠DFE＝∠PBF， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC． 又∵OD∥BC， ∴OD⊥AC． ∴在直角△DEF中，∠D+∠DFE＝90°， 又∵OD＝OB， ∴∠D＝∠DBO， ∴∠DBO+∠PBF＝90°，即PB⊥AB， ∴PB是⊙O的切线； （2）解：∵OD∥BC，OA＝OB， ∴OEBC6＝3． ∵OD⊥AB， ∴EC＝AE． ∵在直角△OAE中，OAAB10＝5， ∴AE4． ∴EC＝4． 20．解：（1）直线PD为⊙O的切线．理由如下： 连接OD，如图1， ∵OD＝OB， ∴∠1＝∠OBD， ∵∠PDA＝∠PBD， ∴∠1＝∠PDA， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°，即∠2+∠1＝90°， ∴∠PDA+∠2＝90°，即∠PDO＝90°， ∴OD⊥PD， ∴PD为⊙O的切线； （2）如图2，连接OD， ∵ED和EB为⊙O的切线， ∴ED＝EB， 而∠BED＝60°， ∴△EDB为等边三角形， ∴∠EBD＝60°， ∴∠PBD＝30°， ∴∠PDA＝30°， 而∠ADB＝90°， ∴∠P＝30°， 在Rt△OAD中，ODPD1， OP＝2OD＝2， ∴PA＝PO﹣OA＝2﹣1＝1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/4 21:12:14；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $