专题01 圆的十四大考点选择填空题专练（期末复习专项训练）九年级数学上学期浙教版

专题01 圆的十四大考点选择填空题专练 题型1 垂径定理（常考点） 题型9 切线的性质 题型2 垂径定理的应用（重点） 题型10 三角形的内切圆与内心（重点） 题型3 圆心角、弧、弦的关系 题型11 正多边形和圆（难点） 题型4圆周角定理（重点）（常考点） 题型12 弧长的计算（常考点） 题型5 圆内接四边形的性质（常考点） 题型13 扇形面积的计算（重点） 题型6 点与圆的位置关系 题型14 圆锥的计算 题型7 三角形的外接圆与外心（难点） 题型8 直线与圆的位置关系（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 垂径定理（共4小题） 1．（2024秋•嵊州市期末）如图，⊙O的半径为5，点C是弦AB上一点，若AB＝8，设OC＝x，则x的取值范围是（　　） A．3≤x≤5 B．3＜x≤5 C．4≤x≤5 D．4＜x≤5 【分析】当C与A或B重合时，OC最长，当OC垂直于AB时，OC最短，即可求出x的范围． 【解答】解： 当C与A（B）重合时，OC＝x＝5； 当OC垂直于AB时，可得出C为AB的中点， 在Rt△BOC中，OB＝5，BCAB＝4， 根据勾股定理得：OC＝x3， 则x的范围为3≤x≤5． 故选：A． 【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键． 2．（2024秋•婺城区校级期末）如图1是圆形干果盘，其示意图如图2所示，四条隔板AB，CD，EF，GH长度相等，横纵隔板互相垂直交于隔板的三等分点，测得AB＝30cm，则该干果盘的半径为（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 【分析】过点O作OK⊥AB于点K，连接OA，根据垂径定理得AK＝BKAB＝15（cm），根据正方形的性质得OK＝MKMN＝5（cm），再由勾股定理即可得出答案． 【解答】解：如图，过点O作OK⊥AB于点K，连接OA， 则AK＝BKAB＝15（cm）， ∵AM＝MN＝BNAB＝10（cm）， ∴OK＝MKMN＝5（cm）， 在Rt△AOK中，由勾股定理得， OA 5（cm）， ∴该干果盘的半径为5cm． 故选：A． 【点评】本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 3．（2024秋•瑞安市校级期末）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB与弦CD位于圆心O的异侧，AB∥CD，CD＝6，在AB上取点E，连结EO并延长交CD于点F．若OE：OF＝1：2，则AB的长为（　　） A．12 B． C．6 D． 【分析】连接OB，OD，根据AB∥CD，可得△MEO∽△NFO，即可得到，进而求得OM、ON的长度，再利用勾股定理即可求解． 【解答】解：连接OB，OD，作MN⊥CD于点N， ∵AB∥CD， ∴△MEO∽△NFO，MN⊥AB， ∴， ∵MN⊥CD， ∴， 在Rt△OND中，ON4， ∴， 在Rt△MBO中， MB， ， 故选：B． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 4．（2024秋•越城区期末）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是 　 ． 【分析】连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB一点E，交⊙O于点F．利用垂径定理，勾股定理求出OE，EF，再求出FG可得结论． 【解答】解：如图2，连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB于点E，交⊙O于点F． ∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴AC∥BD， ∵AC＝BD， ∴四边形ACDB是平行四边形， ∵∠ACD＝90°， ∴四边形ACDB是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm， ∵OG⊥CD， ∴OG⊥AB， ∴AE＝EB＝8cm， ∴OE6（cm）， ∴EF＝OF﹣OE＝10﹣6＝4（cm）， ∵EG＝AC＝BD＝5cm， ∴FG＝EG﹣EF＝5﹣4＝1（cm）， ∴圆盘离桌面CD最近的距离是1cm， 故答案为：1cm． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 题型二 垂径定理的应用（共5小题） 1．（2024秋•温州期末）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为，则改建后门洞的圆弧长是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形的性质证得△COD是等边三角形，得到∠COD＝60°，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为360°﹣60°＝300°，利用弧长公式即可求解． 【解答】解：如图，连接AC、BD相交于点O，由题意可知，CD＝AB＝2m，AD＝BC＝2m， ∵∠BDC＝90°， ∴BC是直径， ∴（m）， ∵四边形ABDC是矩形， ∴m， ∵CD＝2m， ∴OC＝OD＝CD， ∴△COD是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴门洞的圆弧所对的圆心角为360°﹣60°＝300°， ∴改建后门洞的圆弧长是（m）， 故选：C． 【点评】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键． 2．（2024秋•路桥区期末）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图，排污管道的横截面是直径为2m的圆，测得淤泥横截面（阴影部分）的宽AB为1m，则淤泥横截面的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OA，OB，再过点O作AB的垂线，垂足为M，用扇形OAB的面积减去三角形OAB的面积即可解决问题． 【解答】解：连接OA，OB，过点O作AB的垂线，垂足为M， ∵OM⊥AB，AB＝1m， ∴AM＝BM（m）． ∵⊙O的直径为2m， ∴⊙O的半径为1m． 在Rt△OAM中， OM， ∴（m2）． ∵OA＝OB＝AB＝1m， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴（m2）， ∴淤泥横截面的面积为（）m2． 故选：A． 【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，熟知垂径定理是解题的关键． 3．（2024秋•嘉兴期末）沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以O为圆心、OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D是的中点，则长度的近似值.若CD＝2，AB＝8，则l＝（　　） A．8.8 B．8.7 C．8.6 D．8.5 【分析】如图，连接OC．设OA＝r．在Rt△AOC中，利用勾股定理求出OA即可． 【解答】解：如图，连接OC．设OA＝r． ∵C是弦AB的中点，D是的中点， ∴O，C，D共线，OD⊥AB， ∴AC＝CBAB＝4， 在Rt△AOC中，OA2＝AC2+OC2， ∴r2＝42+（r﹣2）2， ∴r＝5， ∴OA＝5， ∴长度的近似值88.8． 故选：A． 【点评】本题考查垂径定理，弧长的计算，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 4．（2024秋•温州期末）某大门是轴对称图形，由矩形与哥特式尖拱组成（如图1），图2是其设计图，尖拱部分是两条等弧，圆心均落在直线AB上，圆弧的半径为米，CD＝4米．过拱尖P作PN⊥CD分别交AB，CD于点M，N．若，则高PN等于 　 　 米． 【分析】设的圆心为O，连接PO，则米，由轴对称得，AM＝2米，得米，由勾股定理求出PM＝3米，得MN＝5米，即得PN＝8米． 【解答】解：设的圆心为O，连接PO， 则米， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4米， 由轴对称知，米， ∴米， ∵PM⊥AB， ∴∠PMO＝90°， ∴米， ∵， ∴MN＝5米， ∴PN＝8米， 故答案为：8． 【点评】本题考查了圆的基本性质，矩形性质，轴对称性质，勾股定理．熟练掌握，是解题的关键． 5．（2024秋•余姚市期末）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，点C是弦AB的中点，CD⊥AB，D在上．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB．当CD＝2，AB＝12时，s＝　 　 ． 【分析】连接OC，根据垂径定理，知OC⊥AB，设圆的半径为r，根据勾股定理求出r＝OA＝10，计算求出答案． 【解答】解：连接OC，如图： ∵C是的弦AB中点，CD⊥AB， ∴OC⊥AB， ∴C，D，O共线， ∵AB＝12， ∴ACAB＝6， 设圆的半径为r，则OC＝r﹣2， 在Rt△AOC中，根据勾股定理， 得OA2＝AC2+OC2， 即r2＝62+（r﹣2）2， 解得r＝10， ∴OA＝10， ∴s＝AB1212.4． 故答案为：12.4． 【点评】本题考查垂径定理和勾股定理，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求OA的长度． 题型三 圆心角、弧、弦的关系（共3小题） 1．（2024秋•义乌市校级期末）下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②相等的弧所对的弦相等； ③相等的弦所对的弧相等； ④半径相等的两个半圆是等弧， 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．即可判定①③错误，少了条件在同圆或等圆中，而等弧，即是在同圆或等圆中的条件下判定的，所以②正确，根据等弧的定义，可判定④正确． 【解答】解：①在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．故错误； ②相等的弧所对的弦才一定相等；故正确； ③在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等，故错误； ④半径相等的两个半圆是等弧．正确． 故选：B． 【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系．此题比较简单，注意掌握定理的条件（在同圆或等圆中）是解此题的关键． 2．（2024秋•仙居县期末）如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　） A．AE＝BE B． C．AC＝BC D．OE＝CE 【分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 【解答】解：∵直径CD⊥AB， ∴AE＝BE，，， ∴AC＝BC， 故选项A、B、C的结论成立， OE与CE的关系不能确定，故选项D的结论不一定成立， 故选：D． 【点评】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理，熟记垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 3．（2024秋•义乌市期末）如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C作CD⊥AB于点F，交⊙O于点D，若BE＝6，BF＝1，则⊙O的半径长是（　　） A． B．4 C．5 D． 【分析】先根据垂径定理和点C是弧BE的中点得从，而得出CD＝BE＝6，再利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，如图，连接OD，设⊙O的半径为r， ∴，CF＝DF， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴CD＝BE＝6， ∴， ∵BF＝1，OD＝r， ∴OF＝r﹣1， ∴32+（r﹣1）2＝r2， 解得：r＝5， ∴⊙O的半径长是5， 故选：C． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 题型四 圆周角定理（共4小题） 1．（2024秋•滨江区期末）如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，连结AC，AD，CD，BD．若∠CAB＝25°，则∠CDA＝（　　） A．25° B．50° C．65° D．75° 【分析】先根据AB为⊙O的直径得出∠ADB＝90°，再由∠CAB＝25°得出∠BDC＝25°，进而可得出结论． 【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠CAB＝25°， ∴∠BDC＝∠CAB＝25°， ∴∠CDA＝∠ADB﹣∠BDC＝90°﹣25°＝65°． 故选：C． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 2．（2024秋•镇海区期末）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠ABC＝70°，则∠BAD的度数是（　　） A．20° B．35° C．40° D．55° 【分析】根据圆周角定理及三角形内角和定理求出∠ADC＝∠B＝70°，∠BAC＝20°，根据等腰三角形的性质求出∠ACD＝55°，再根据角的和差及圆周角定理求解即可． 【解答】解：∵AB是⊙O 直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°，∠ADC＝∠B＝70°， ∵CD＝AD， ∴∠DAC＝∠ACD（180°﹣70°）＝55°， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°﹣∠ACD＝35°， 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．（2024秋•滨江区期末）如图，线段AE是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，设∠DAE＝α，∠DCB＝β．若AE⊥BC，BD＝GD，则（　　） A．3α+β＝270° B．α+β＝180° C．3β﹣α＝270° D．β﹣α＝90° 【分析】由垂径定理推出，得到∠ADB＝∠ABC，由圆内接四边形的性质推出∠CDG＝∠ABC，得到∠CDG＝ADB，由等腰三角形的性质推出∠G＝DBG，由三角形的外角性质推出∠ADB＝2∠G，求出∠G＝90°﹣α，得到∠ADB＝180°﹣2α，由三角形的外角性质推出3α+β＝270°． 【解答】解：∵直径AB⊥BC， ∴， ∴∠ADB＝∠ABC， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠CDG+∠ADC＝180°， ∴∠CDG＝∠ABC， ∴∠CDG＝ADB， ∵BD＝CD， ∴∠G＝DBG， ∴∠ADB＝∠G+∠DBG＝2∠G， ∵AB⊥BC， ∴∠G＝90°﹣∠DAE＝90°﹣α， ∴∠ADB＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α， ∴∠CDG＝180°﹣2α， ∴∠BCD＝∠G+∠CDG＝90°﹣α+180°﹣2α， ∴β＝270°﹣3α， ∴3α+β＝270°． 故选：A． 【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理和圆内接四边形的性质推出∠CDG＝∠ADB． 4．（2024秋•杭州期末）如图，以△ABC的边BC为直径的半圆分别交AB，AC于点D，E，O是圆心，连结DE，OE，给出下列结论：①∠DEO＝∠A；②若∠A＝60°，则BD+CE＝BC．其中下列判断正确的是（　　） A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错 【分析】连接CD，OD，先证明∠B＝∠ODB，∠C＝∠OEC，可得出∠BOD+∠COE＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A再得出，∠DOE＝180°﹣（∠BOD+∠COE）＝180°﹣2∠A，再由OD＝OE，得出∠DEO＝∠EDO，最后由三角形内角和得出结论，从而判断①；证明△DOE是等边三角形，则DE＝OD，即BC＝2DE，但根据题目现有条件不能推导出BD+CE＝2DE，再判断②． 【解答】解：连接CD，OD， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠A， ∵∠B+∠ODB+∠BOD＝180°，∠C+∠OEC+∠COE＝180°， ∴∠BOD＝180°﹣∠B﹣∠ODB，∠COE＝180°﹣∠C﹣∠OEC， ∵OB＝OD，OC＝OE， ∴∠B＝∠ODB，∠C＝∠OEC， ∴∠BOD+∠COE＝360°﹣2∠B﹣2∠C＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A， ∴∠DOE＝180°﹣（∠BOD+∠COE）＝180°﹣2∠A， ∵OD＝OE， ∴∠DEO＝∠EDO， ∴， 故①正确； ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝90°， 又∵∠A＝60°，则∠ACD＝30°， ∴∠DOE＝2∠DCE＝60°， 又因为OD＝OE， 所以△DOE是等边三角形，则DE＝OD，即BC＝2DE， 但根据题目现有条件不能推导出BD+CE＝2DE， 即不能推导出BD+CE＝BC， 故②错误． 故选：B． 【点评】综合考查了三角形的内角和定理、圆周角定理和等边三角形的判定和性质及等腰三角形的性质．熟练运用圆周角定理及其推论、四量关系：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等． 题型五 圆内接四边形的性质（共3小题） 1．（2024秋•江山市期末）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7．则∠B的大小是（　　） A．30° B．60° C．45° D．90° 【分析】设∠A＝2x，根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程求出x，进而求出∠B． 【解答】解：设∠A＝2x，则∠B＝3x，∠C＝7x， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C＝180°，即2x+7x＝180°， 解得：x＝20°， ∴∠B＝3x＝60°， 故选：B． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 2．（2024秋•上城区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若AB＝AC，AB∥CD，则（　　） A．2∠BAC+3∠CAD＝180° B．3∠BAC+2∠CAD＝180° C．4∠BAC+3∠CAD＝360° D．3∠BAC+4∠CAD＝360° 【分析】根据AB＝AC得∠B＝∠ACB＝90°∠BAC，再根据AB∥CD得∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣（∠BAC+∠CAD），然后根据圆内接四边形的性质得∠B+∠D＝180°，即90°∠BAC+180°﹣（∠BAC+∠CAD）＝180°，由此即可得出答案． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB（180°﹣∠BAC）＝90°∠BAC， ∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣（∠BAC+∠CAD）， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠D＝180°， ∴90°∠BAC+180°﹣（∠BAC+∠CAD）＝180°， 整理得：3∠BAC+2∠CAD＝180°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，平行线的性质，圆周角定理是解决问题的关键． 3．（2024秋•鹿城区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ACB＝60°，∠D＝110°，则∠BOC的度数为 　 　 ． 【分析】首先根据圆内接四边形的形状求得∠ABC的度数，然后利用三角形的内角和求得∠CAB的度数，最后利用圆周角定理求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°， ∴∠ABC＝180°﹣∠D＝180°﹣110°＝70°， ∵∠ACB＝60， ∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣60°＝50°， ∴∠BOC＝2∠CAB＝100°， 故答案为：100°． 【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补． 题型六 点与圆的位置关系（共3小题） 1．（2024秋•婺城区期末）已知⊙O的半径为4cm．若点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆心的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【解答】解：∵⊙O的半径为4cm，点P在⊙O外， ∴OP＞4cm， 故选：D． 【点评】本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系的判断是关键． 2．（2024秋•宿城区期末）已知⊙O的半径为3，当OP＝5时，点P与⊙O的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．不能确定 【分析】根据题意得⊙O的半径为4，则点P到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点P在⊙O外． 【解答】解：∵OP＝5、r＝3， ∴OP＞r， 则点P在⊙O外， 故选：B． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r． 3．（2024秋•滨江区期末）数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，⊙B半径为4．若点A在⊙B内，则实数b的取值范围是（　　） A．b＜2 B．b＞10 C．b＜2或b＞10 D．2＜b＜10 【分析】首先确定AB的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项． 【解答】解：∵⊙B半径为4．若点A在⊙B内， ∴AB＜4， ∵点A所表示的实数为6， ∴2＜b＜10， 故选：D． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 题型七 三角形的外接圆与外心（共2小题） 1．（2024秋•钱塘区期末）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA．若∠OAB＝25°，则∠C的度数为（　　） A．105° B．110° C．115° D．120° 【分析】在⊙O上取一点E，使点E与点C在直线AB的异侧，连接AE、BE、OB，由OA＝OB，得∠OBA＝∠OAB＝25°，则∠AOB＝130°，所以∠E∠AOB＝65°，则∠C＝180°﹣∠E＝115°，于是得到问题的答案． 【解答】解：在⊙O上取一点E，使点E与点C在直线AB的异侧，连接AE、BE、OB， ∵OA＝OB，∠OAB＝25°， ∴∠OBA＝∠OAB＝25°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝130°， ∴∠E∠AOB＝65°， ∴∠C＝180°﹣∠E＝115°， 故选：C． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．（2024秋•天台县期末）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O．若∠D＝50°，则∠BAC的度数为 　 　 ． 【分析】连接BC，根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠B＝∠D＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣90°﹣50°＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 题型八 直线与圆的位置关系（共4小题） 1．（2024秋•新昌县期末）在同一平面内，半径为4的⊙P与直线AB相离，则圆心P到直线AB的距离d需满足的条件是 　 ． 【分析】根据⊙P与直线AB相离，则圆心到直线的距离大于圆的半径即可得问题答案． 【解答】解：∵半径为4的⊙P与直线AB相离， ∴圆心到直线AB的距离大于圆的半径4， ∴d＞4； 则圆心P到直线AB的距离d需满足的条件是：d＞4． 故答案为：d＞4． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键． 2．（2024秋•海曙区期末）同一平面内，已知⊙O的半径r＝2，点O到直线l的距离d＝3，则⊙O与直线l的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【分析】设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d＝r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r，由此即可判断． 【解答】解：∵⊙O的半径r＝2，点O到直线l的距离d＝3， ∴d＞r， ∴⊙O与直线l的位置关系是相离． 故选：A． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，关键是掌握判断直线与圆的位置关系的方法． 3．（2024秋•义乌市校级期末）如图，∠AOB＝45°，点M是射线OB上一点，OM＝2，以点M为圆心，r为半径作⊙M，若⊙M与射线OA有两个公共点，则半径r的取值范围是 　 　 ． 【分析】作MD⊥OA于点D，由∠DMO＝∠DOM＝45°，得OD＝MD，则OMMD＝2，所以MD，若⊙M与射线OA有两个公共点，则MD＜r≤OM，所以半径r的取值范围是r≤2，于是得到问题的答案． 【解答】解：作MD⊥OA于点D，则∠ODM＝90°， ∵∠AOB＝45°， ∴∠DMO＝∠DOM＝45°， ∴OD＝MD， ∴OMMD＝2， ∴MD， ∵当r＝MD时，⊙M与射线OA相切，此时与射线OA只有一个公共点；当r＝OM时，⊙M与射线OA有两个公共点， ∴若⊙M与射线OA有两个公共点，则MD＜r≤OM， ∴半径r的取值范围是r≤2， 故答案为：r≤2． 【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．（2024秋•上虞区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，若以C为圆心的圆与斜边AB有且只有一个公共点，则该圆半径r的取值范围为　 　 ． 【分析】此题注意两种情况：（1）圆与AB相切时；（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时．根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解． 【解答】解：如图，∵BC＞AC， ∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点． 根据勾股定理求得AB＝5． 分两种情况： （1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4； （2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4． 故答案为：3＜r≤4或r＝2.4． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系和三角形的面积等知识点，解此题的关键是画出符合条件的所有情况． 题型九 切线的性质（共2小题） 1．（2024秋•婺城区校级期末）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若∠CAB＝26°，则∠D的度数为（　　） A．38° B．45° C．52° D．64° 【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COB＝2∠CAB＝52°，进而求出∠COD，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【解答】解：如图，连接OC， ∵∠CAB＝26°， ∴∠COB＝2∠CAB＝52°， ∵OD⊥AB， ∴∠BOD＝90°， ∴∠COD＝90°﹣52°＝38°， ∵CD是半圆的切线， ∴∠OCD＝90°， ∴∠D＝90°﹣38°＝52°， 故选：C． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 2．（2024秋•婺城区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），C（0，9），点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形OABC的顶点B，与AB、BC分别相交．则圆心P的坐标为（　　） A．（6，6） B．（5，5） C．（5，6） D．（4，5） 【分析】根据⊙P与x轴、y轴都相切，设圆心P的坐标为（r，r），连接PB，过点P作PE⊥CB于点E，设⊙P与y的切点为F，连接FP并延长，与AB交于点G，由点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（0，9），得到OA＝BC＝8，OC＝AB＝9，求得PE＝9﹣y，PB＝r，BE＝8﹣r，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵⊙P与x轴、y轴都相切， 设圆心P的坐标为（r，r）， 连接PB，过点P作PE⊥CB于点E，设⊙P与y的切点为F，连接FP并延长，与AB交于点G， ∵点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（0，9）， ∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝9， ∴PE＝9﹣r，PB＝r，BE＝8﹣r， 根据勾股定理：EB2+PE2＝PB2， 即（8﹣r）2+（9﹣r）2＝r2， 解得r＝5或r＝29（不合题意舍去） ∴圆心P的坐标为（5，5）， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，勾股定理，圆的切线的性质以及垂径定理，熟练掌握相关图形的基本性质是解本题的关键． 题型十 三角形的内切圆与内心（共3小题） 1．（2024秋•新昌县期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．已知△ABC的周长为16，BC＝6，则AE＝　 　 ． 【分析】由⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD，则BF+CE＝BC，而△ABC的周长为16，BC＝6，所以AB+AC+BC＝2AE+2BC＝2AE+2×6＝16，求得AE＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD， ∴BF+CE＝BD+CD＝BC， ∵△ABC的周长为16，BC＝6， ∴AB+AC+BC＝AF+BF+CE+AE+BC＝2AE+2BC＝2AE+2×6＝16， ∴AE＝2， 故答案为：2． 【点评】此题重点考查切线长定理、三角形的周长等知识，推导出AE＝AF及BF+CE＝BC是解题的关键． 2．（2024秋•济宁月考）点O是△ABC的外心，也是△BCD的内心．若∠A＝70°，则∠BDC的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【分析】连接OB、OC，由圆周角定理可得∠BOC＝140°，由三角形的内角和可得，∠OBC+∠OCB＝40°，根据点O是△BCD的内心可得，∠DBC+∠DCB＝80°，再根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：如图，连接OB、OC， ∵点O是△ABC的外心，∠A＝70°， ∴∠BOC＝140°， 根据三角形内角和定理得， ∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝40°， ∵点O是△BCD的内心， ∴∠DBC＝2∠OBC，∠DCB＝2∠OCB， ∴∠DBC+∠DCB＝80°， ∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝100°． 故选：C． 【点评】本题主要考查圆周角定理、三角形内切圆和外接圆的应用，熟练掌握同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一般是解题关键． 3．（2024秋•宿城区期末）一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为　 　 ． 【分析】如图，作辅助线，首先证明四边形ODCF为正方形；求出AB的长度；证明AF＝AE，BD＝BE问题即可解决． 【解答】解：如图，⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F； 其中AC＝8，BC＝6；连接OD、OF； 则OD⊥BC，OF⊥AC；OD＝OF； ∵∠C＝90°， ∴四边形ODCF为正方形， ∴CD＝CF＝R（R为⊙O的半径）； 由勾股定理得： AB2＝AC2+BC2＝36+64＝100， ∴AB＝10；由切线的性质定理的： AF＝AE，BD＝BE； ∴CD+CF＝AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4， ∴R＝2， 它的内切圆半径为2． 【点评】该题主要考查了三角形的内切圆的性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、解答． 题型十一 正多边形和圆（共4小题） 1．（2024秋•慈溪市期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是40°，则该正多边形边数是（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 【分析】根据正多边形中心角的计算方法列方程求解即可． 【解答】解：设这个正多边形为正n边形，由题意得， 40°， 解得n＝9， 经检验，n＝9是原方程的解， 所以这个正多边形是正九边形， 故选：B． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的关键． 2．（2024秋•柯桥区期末）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OB、BD，则∠OBD的度数是（　　） A．17° B．18° C．19° D．20° 【分析】根据正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OC， ∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴∠BOC72°， ∠BDC∠BOC＝36°， ∵OB＝OC，BC＝CD， ∴∠OBC＝∠OCB54°，∠DBC＝∠BDC＝36°， ∴∠OBD＝54°﹣36°＝18°， 故选：B． 【点评】本题考查正多边形和圆，圆周角定理以及三角形内角和定理，掌握正五边形的性质，圆周角定理以及三角形内角和定理是正确解答的关键． 3．（2024秋•海曙区期末）如图，正十边形ABCDEFGHIJ内接于⊙O，AF，CJ交于点P，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，连接OJ，OC．首先证明JA＝JP＝OP，设JA＝JP＝OP＝m，AP＝y，利用相似三角形的性质求出y可得结论． 【解答】解：如图，连接OJ，OC． ∵正十边形ABCDEFGHIJ内接于⊙O， ∴∠AOJ＝36°，∠AOC＝72°， ∴∠JOC＝108°， ∵OC＝OJ， ∴∠OJC＝∠OCJ＝36°， ∴∠PJO＝∠POJ＝36°，∠APJ＝∠JAP＝72°， ∴JA＝JP＝OP， 设JA＝JP＝OP＝m，AP＝y， ∵∠PAJ∠AOC＝72°＝36°， ∴∠PJA＝∠JOA， ∵∠JAP＝∠OAJ， ∴△AJP∽△AOJ， ∴， ∴， ∴y2+my﹣m2＝0， ∴ym（负根已经舍去）， ∴APm，PF＝m+mmm， ∴2． 故选：D． 【点评】本题考查正多边形与圆，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题． 4．（2024秋•北仑区期末）如图，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”来估算圆周率，现将半径为a的圆十二等分构造出正方形ADGJ，矩形BFHL，矩形CEIK，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】设KC，LH交于点M，IE，LH交于点N，过点O作OP⊥MN于点P，连接OL，OM，ON，OH，利用圆的有关性质，垂径定理，等腰三角形的三线合一的性质，正方形的性质和矩形的判定与性质求得∠LOH，∠MON的度数，利用直角三角形的边角关系定理和等腰直角三角形的性质求得LM，KM，再利用三角形的面积公式求得△LMH的面积，再利用阴影部分的面积＝4S△LMK解答即可． 【解答】解：设KC，LH交于点M，IE，LH交于点N，过点O作OP⊥MN于点P，连接OL，OM，ON，OH，如图， ∵A，B，C，D•••，K，L为圆的十二等分点， ∴∠LOH120°， ∵OP⊥MN，OL＝OH， ∴∠LOPLOH＝60°，LP＝PH， ∴LP＝OL•sin60°a，OPOLa， 由题意得：点M为AJ的中点，点N为JG的中点， ∴OM⊥AJ，ON⊥JG， ∵四边形ADGJ为圆的内接正方形， ∴∠AJG＝90°， ∴四边形OMJN为正方形， ∴∠MON＝90°， ∴MP＝NP＝OPa， ∴LM＝PL﹣MP． ∵∠LKM＝45°， ∴KM＝LM， ∴， ∴阴影部分的面积＝4S△LMK＝（2）a2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的内接正多边形的性质，垂径定理，圆周角定理，正方形，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键． 题型十二 弧长的计算（共5小题） 1．（2024秋•婺城区校级期末）已知圆心角为120°的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（　　） A．2π B．4π C．12π D．24π 【分析】根据弧长公式求解即可． 【解答】解：由题意得，扇形的弧长4π． 故选：B． 【点评】本题考查了弧长的计算．此题属于基础题，只需熟记弧长公式即可． 2．（2024秋•长兴县期末）如图是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，C为上一点，OC⊥AB于D点，若，CD＝3，则的长为（　　） A．6π B．4π C．3π D． 【分析】先利用勾股定理求出圆的半径，再通过特殊角的三角函数值求出∠AOB的度数即可． 【解答】解：因为点O为圆心，且OC⊥AB， 所以点D为AB的中点， 所以AD． 令⊙O的半径为r， 在Rt△ADO中， AD2+DO2＝AO2， 即， 解得r＝6． 则sin∠AOD， 所以∠AOD＝60°， 则∠AOB＝2∠AOD＝120°． 所以的长为：． 故选：B． 【点评】本题考查弧长的计算及垂径定理，熟知垂径定理及弧长的计算公式是解题的关键． 3．（2024秋•鹿城区期末）西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为90cm，圆心角∠AOB＝100°，则的长度为（　　） A．25πcm B．50πcm C．90πcm D．100πcm 【分析】根据弧长公式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 50π（cm）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长公式是解题的关键． 4．（2024秋•永康市期末）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连接BC，以B为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，若AB＝2，则的长是 　 　 ． 【分析】连接OC，根据弧、弦、圆心角的关系求出∠BOC，由等腰三角形的判定与性质求出∠OBC的度数，由勾股定理求出BC，从而根据弧长公式求出的长即可． 【解答】解：如图，连接OC． ∵， ∴∠BOC90°， ∵OB＝OCAB＝1， ∴∠OBC45°， ∵BC， ∴2π． 故答案为：． 【点评】本题考查弧长的计算，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，掌握弧长的计算公式，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2024秋•东阳市期末）如图，直角三角板30°角的顶点A落在⊙O上，两边与⊙O分别交于B，C两点，，，则n的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OA、OB、OC，设⊙O的半径为r．根据圆周角定理求出∠BOC的度数，根据等边三角形的判定与性质将BC用含r的代数式表示出来，从而将AC用含r的代数式表示出来，由勾股定理的逆定理求出∠AOC的度数，再由弧长公式分别将和表示出来，进而求出n的值即可． 【解答】解：如图，连接OA、OB、OC． 设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝OC＝r． ∵∠BAC＝30°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝60°， ∴△BOC为等边三角形， ∴BC＝r， ∵ACBC， ∴ACr， ∵OA2+OC2＝2r2，AC2＝2r2， ∴OA2+OC2＝AC2， ∴∠AOC＝90°， ∴2πrr，2πrr， ∴， ∵n， ∴n． 故选：C． 【点评】本题考查弧长的计算、勾股定理、圆周角定理，掌握弧长的计算公式、勾股定理的逆定理、圆周角定理、边三角形的判定与性质是解题的关键． 题型十三 扇形面积的计算（共4小题） 1．（2024秋•杭州期末）某小组在“中国扇中的数学美”的项目化实践中发现，某折扇（如图）张开的角度为120°时，扇面面积为S；该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若Sn＝mS，则m与n关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】令扇形所在圆的半径为a，再根据扇形的面积公式用a表示出S，再用n和S表示出Sn，据此得出m与n之间的关系即可解决问题． 【解答】解：设扇形所在圆的半径为a， 那么S． ∵，且Sn＝mS， ∴m， ∴m是n的正比例函数． 故选：C． 【点评】本题主题考查了扇形面积的计算及函数的图象，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 2． （2024秋•余杭区校级期末）已知一个扇形的圆心角为60°，其弧长为πcm，则该扇形的面积为 　 　 cm2． 【分析】先根据弧长公式求出半径长，再利用扇形的面积公式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 令扇形的半径为rcm， 则， 解得r＝3， 所以扇形的面积为：（cm2）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了扇形面积的计算及弧长的计算，熟知扇形的面积公式及弧长公式是解题的关键． 3．（2024秋•杭州期末）如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC＝45°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，连结AD和DE．若AB＝2，则阴影部分面积为 　 　 ． 【分析】取AB的中点M，连接MD，ME，先由∠ADB＝90°得出点D是BC的中点，进而利用三角形的中位线得出DM∥AC，最终将阴影部分的面积转化为扇形MAE的面积即可解决问题． 【解答】解：取AB中点M，连接MD，ME， ∵AB为半圆的直径， ∴∠ADB＝90°． 又∵AB＝AC， ∴点D为BC中点， ∴MD为△ABC的中位线， ∴MD∥AC， ∴S△ADE＝S△AME， ∴S阴影＝S扇形MAE． ∵∠BAC＝45°，MA＝ME， ∴∠MEA＝∠BAE＝45°， ∴∠AME＝90°． ∵AB＝2， ∴MA， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了扇形面积的计算及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 4．（2024秋•金东区期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，连接DC，则线段DC＝ 　 　 cm，阴影部分的面积为 　 　 cm2． 【分析】连接AD，延长DC交AB于H点，如图，根据等腰直角三角形的性质得到AC＝BC＝2cm，AB＝4cm，∠ABC＝45°，再根据旋转的性质得到BD＝BA，∠ABD＝60°，则可判断△ABD为等边三角形，所以DA＝DB，从而可判断DH垂直平分AB，所以∠DHB＝90°，AH＝BH＝CH＝2cm，接着在Rt△BDC中计算出DH＝2cm，则DC＝DH﹣CH＝（22）cm，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S扇形ABD﹣S△BDH﹣S△ACH进行计算即可． 【解答】解：连接AD，延长DC交AB于H点，如图， ∵△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC＝2cm，ABAC＝4cm，∠ABC＝45°， ∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE， ∴BD＝BA，∠ABD＝60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴DA＝DB， 而CA＝CB， ∴DH垂直平分AB， ∴∠DHB＝90°，AH＝BHAB＝2cm， ∴CH＝BH＝2cm， 在Rt△BDC中，∵∠DBH＝60°， ∴DHBH＝2cm， ∴DC＝DH﹣CH＝（22）cm， 阴影部分的面积＝S扇形ABD﹣S△BDH﹣S△ACH2×22×2＝（π﹣22）cm2． 故答案为：（22），（π﹣22）． 【点评】本题考查了扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质和旋转的性质 题型十四 圆锥的计算（共3小题） 1．（2024秋•天台县期末）已知圆锥的侧面积为8π，母线长为4，那么这个圆锥的底面半径为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【分析】圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面积公式得到2πr×4＝8π，然后解方程即可． 【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得2πr×4＝8π， 解得r＝2， 所以这个圆锥的底面半径为2． 故选：A． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 2．（2024秋•温岭市期末）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°，弧长为6π的扇形，则圆锥的高h为（　　） A．9 B． C． D． 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，由弧长公式求出圆锥的母线，再由勾股定理计算圆锥的高即可． 【解答】解：圆锥的底面半径为6π÷2π＝3， 圆锥的母线为6π÷（2π）＝9， 利用勾股定理，得圆锥的高h6． 故选：C． 【点评】本题考查圆锥的计算、弧长的计算，掌握圆的周长计算公式、弧长计算公式、勾股定理是解题的关键． 3．（2024秋•婺城区校级期末）底面半径为4cm，母线长为6cm的圆锥的侧面积为 　 ． 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【解答】解：圆锥的侧面积2π×4×6＝24π（cm2）． 故答案为24πcm2． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． $专题01 圆的十四大考点选择填空题专练 题型1 垂径定理（常考点） 题型9 切线的性质 题型2 垂径定理的应用（重点） 题型10 三角形的内切圆与内心（重点） 题型3 圆心角、弧、弦的关系 题型11 正多边形和圆（难点） 题型4圆周角定理（重点）（常考点） 题型12 弧长的计算（常考点） 题型5 圆内接四边形的性质（常考点） 题型13 扇形面积的计算（重点） 题型6 点与圆的位置关系 题型14 圆锥的计算 题型7 三角形的外接圆与外心（难点） 题型8 直线与圆的位置关系（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 垂径定理（共4小题） 1．（2024秋•嵊州市期末）如图，⊙O的半径为5，点C是弦AB上一点，若AB＝8，设OC＝x，则x的取值范围是（　　） A．3≤x≤5 B．3＜x≤5 C．4≤x≤5 D．4＜x≤5 2．（2024秋•婺城区校级期末）如图1是圆形干果盘，其示意图如图2所示，四条隔板AB，CD，EF，GH长度相等，横纵隔板互相垂直交于隔板的三等分点，测得AB＝30cm，则该干果盘的半径为（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 3．（2024秋•瑞安市校级期末）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB与弦CD位于圆心O的异侧，AB∥CD，CD＝6，在AB上取点E，连结EO并延长交CD于点F．若OE：OF＝1：2，则AB的长为（　　） A．12 B． C．6 D． 4．（2024秋•越城区期末）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是 　 ． 题型二 垂径定理的应用（共5小题） 1．（2024秋•温州期末）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为，则改建后门洞的圆弧长是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•路桥区期末）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图，排污管道的横截面是直径为2m的圆，测得淤泥横截面（阴影部分）的宽AB为1m，则淤泥横截面的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•嘉兴期末）沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以O为圆心、OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D是的中点，则长度的近似值.若CD＝2，AB＝8，则l＝（　　） A．8.8 B．8.7 C．8.6 D．8.5 4．（2024秋•温州期末）某大门是轴对称图形，由矩形与哥特式尖拱组成（如图1），图2是其设计图，尖拱部分是两条等弧，圆心均落在直线AB上，圆弧的半径为米，CD＝4米．过拱尖P作PN⊥CD分别交AB，CD于点M，N．若，则高PN等于 　 　 米． 5．（2024秋•余姚市期末）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，点C是弦AB的中点，CD⊥AB，D在上．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB．当CD＝2，AB＝12时，s＝　 　 ． 题型三 圆心角、弧、弦的关系（共3小题） 1．（2024秋•义乌市校级期末）下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②相等的弧所对的弦相等； ③相等的弦所对的弧相等； ④半径相等的两个半圆是等弧， 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024秋•仙居县期末）如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　） A．AE＝BE B． C．AC＝BC D．OE＝CE 3．（2024秋•义乌市期末）如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C作CD⊥AB于点F，交⊙O于点D，若BE＝6，BF＝1，则⊙O的半径长是（　　） A． B．4 C．5 D． 题型四 圆周角定理（共4小题） 1．（2024秋•滨江区期末）如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，连结AC，AD，CD，BD．若∠CAB＝25°，则∠CDA＝（　　） A．25° B．50° C．65° D．75° 2．（2024秋•镇海区期末）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠ABC＝70°，则∠BAD的度数是（　　） A．20° B．35° C．40° D．55° 3．（2024秋•滨江区期末）如图，线段AE是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，设∠DAE＝α，∠DCB＝β．若AE⊥BC，BD＝GD，则（　　） A．3α+β＝270° B．α+β＝180° C．3β﹣α＝270° D．β﹣α＝90° 4．（2024秋•杭州期末）如图，以△ABC的边BC为直径的半圆分别交AB，AC于点D，E，O是圆心，连结DE，OE，给出下列结论：①∠DEO＝∠A；②若∠A＝60°，则BD+CE＝BC．其中下列判断正确的是（　　） A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错 题型五 圆内接四边形的性质（共3小题） 1．（2024秋•江山市期末）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7．则∠B的大小是（　　） A．30° B．60° C．45° D．90° 2．（2024秋•上城区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若AB＝AC，AB∥CD，则（　　） A．2∠BAC+3∠CAD＝180° B．3∠BAC+2∠CAD＝180° C．4∠BAC+3∠CAD＝360° D．3∠BAC+4∠CAD＝360° 3．（2024秋•鹿城区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ACB＝60°，∠D＝110°，则∠BOC的度数为 　 　 ． 题型六 点与圆的位置关系（共3小题） 1．（2024秋•婺城区期末）已知⊙O的半径为4cm．若点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 2．（2024秋•宿城区期末）已知⊙O的半径为3，当OP＝5时，点P与⊙O的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．不能确定 3．（2024秋•滨江区期末）数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，⊙B半径为4．若点A在⊙B内，则实数b的取值范围是（　　） A．b＜2 B．b＞10 C．b＜2或b＞10 D．2＜b＜10 题型七 三角形的外接圆与外心（共2小题） 1．（2024秋•钱塘区期末）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA．若∠OAB＝25°，则∠C的度数为（　　） A．105° B．110° C．115° D．120° 2．（2024秋•天台县期末）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O．若∠D＝50°，则∠BAC的度数为 　 　 ． 题型八 直线与圆的位置关系（共4小题） 1．（2024秋•新昌县期末）在同一平面内，半径为4的⊙P与直线AB相离，则圆心P到直线AB的距离d需满足的条件是 　 ． 2．（2024秋•海曙区期末）同一平面内，已知⊙O的半径r＝2，点O到直线l的距离d＝3，则⊙O与直线l的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．（2024秋•义乌市校级期末）如图，∠AOB＝45°，点M是射线OB上一点，OM＝2，以点M为圆心，r为半径作⊙M，若⊙M与射线OA有两个公共点，则半径r的取值范围是 　 　 ． 4．（2024秋•上虞区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，若以C为圆心的圆与斜边AB有且只有一个公共点，则该圆半径r的取值范围为　 　 ． 题型九 切线的性质（共2小题） 1．（2024秋•婺城区校级期末）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若∠CAB＝26°，则∠D的度数为（　　） A．38° B．45° C．52° D．64° 2．（2024秋•婺城区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），C（0，9），点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形OABC的顶点B，与AB、BC分别相交．则圆心P的坐标为（　　） A．（6，6） B．（5，5） C．（5，6） D．（4，5） 题型十 三角形的内切圆与内心（共3小题） 1．（2024秋•新昌县期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．已知△ABC的周长为16，BC＝6，则AE＝　 　 ． 2．（2024秋•济宁月考）点O是△ABC的外心，也是△BCD的内心．若∠A＝70°，则∠BDC的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 3．（2024秋•宿城区期末）一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为　 　 ． 题型十一 正多边形和圆（共4小题） 1．（2024秋•慈溪市期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是40°，则该正多边形边数是（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 2．（2024秋•柯桥区期末）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OB、BD，则∠OBD的度数是（　　） A．17° B．18° C．19° D．20° 3．（2024秋•海曙区期末）如图，正十边形ABCDEFGHIJ内接于⊙O，AF，CJ交于点P，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•北仑区期末）如图，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”来估算圆周率，现将半径为a的圆十二等分构造出正方形ADGJ，矩形BFHL，矩形CEIK，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 题型十二 弧长的计算（共5小题） 1．（2024秋•婺城区校级期末）已知圆心角为120°的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（　　） A．2π B．4π C．12π D．24π 2．（2024秋•长兴县期末）如图是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，C为上一点，OC⊥AB于D点，若，CD＝3，则的长为（　　） A．6π B．4π C．3π D． 3．（2024秋•鹿城区期末）西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为90cm，圆心角∠AOB＝100°，则的长度为（　　） A．25πcm B．50πcm C．90πcm D．100πcm 4．（2024秋•永康市期末）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连接BC，以B为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，若AB＝2，则的长是 　 　 ． 5．（2024秋•东阳市期末）如图，直角三角板30°角的顶点A落在⊙O上，两边与⊙O分别交于B，C两点，，，则n的值为（　　） A． B． C． D． 题型十三 扇形面积的计算（共4小题） 1．（2024秋•杭州期末）某小组在“中国扇中的数学美”的项目化实践中发现，某折扇（如图）张开的角度为120°时，扇面面积为S；该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若Sn＝mS，则m与n关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2． （2024秋•余杭区校级期末）已知一个扇形的圆心角为60°，其弧长为πcm，则该扇形的面积为 　 　 cm2． 3．（2024秋•杭州期末）如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC＝45°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，连结AD和DE．若AB＝2，则阴影部分面积为 　 　 ． 4．（2024秋•金东区期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，连接DC，则线段DC＝ 　 　 cm，阴影部分的面积为 　 　 cm2． 题型十四 圆锥的计算（共3小题） 1．（2024秋•天台县期末）已知圆锥的侧面积为8π，母线长为4，那么这个圆锥的底面半径为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（2024秋•温岭市期末）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°，弧长为6π的扇形，则圆锥的高h为（　　） A．9 B． C． D． 3．（2024秋•婺城区校级期末）底面半径为4cm，母线长为6cm的圆锥的侧面积为 　 ． $