精品解析：浙江省杭州市上城区丁荷中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

2025学年第一学期杭州市丁荷（丁信）中学期中学情调查 八年级 数学 一、选择题（本题有10小题，共30分） 1. 汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 5，6，10 B. 5，5，11 C. 3，4，8 D. 5，6，11 3. 若，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若点向右平移2个单位长度后得到点，则a，b的值分别为（ ） A. B. C. D. 5. 若一个等腰三角形有一个角为，则这个三角形顶角为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ） A. 25 B. 22 C. 19 D. 18 7. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 8. 下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的是（　　） A. 乙和丙 B. 甲和乙 C. 甲和丙 D. 只有甲 9. 杭州市丁荷中学、丁信中学组织七年级学生到屋顶农场参加实践活动，某班的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知等边三角形△ABC边长为a，等腰三角形△BDC中，∠BDC＝120º，∠MDN＝60º，角的两边分别交AB，AC于点M，N，连结MN．则△AMN的周长为( ) A. a B. 2a C. 3a D. 4a 二、填空题（本题有6小题，共18分） 11. 点在第_____象限，其关于原点的对称点坐标为____________． 12. 请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理______． 13. 如图，D是的边上一点，交于，，，若，，则_____． 14. 如图，在中，，分别是，上的点，，，若，则的面积为______． 15. 关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________． 16. 如图，在中，，点D是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点F，当为直角三角形时，________． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 解下列不等式（组）： （1） （2）． 18. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，． （1）求证：． （2）若，求． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点 A的坐标为． （1）画出 关于x轴对称的 ； （2）直接写出点 A 关于 y轴的对称点的坐标为_______； （3）在x轴上找到一点 P（标出点 P即可，不用求坐标），使的和最小，并直接写出的最小值． 20. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形． （2）当时，求． 21. 今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． （1）已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 22. 如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． （1）证明：垂直平分． （2）若的周长为18，面积为24，，求的长． 23. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 24. 如图，在中，，，D为边上一点． （1）作交于点H，若，，求． （2）作，且，连结交边于点F，连结．若． ①求证：． ②写出线段之间的等量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期杭州市丁荷（丁信）中学期中学情调查 八年级 数学 一、选择题（本题有10小题，共30分） 1. 汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】A.不是轴对称图形； B.不是轴对称图形； C.是轴对称图形； D.不是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 5，6，10 B. 5，5，11 C. 3，4，8 D. 5，6，11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了构成三角形的条件，解题关键是掌握构成三角形的条件并能运用求解． 根据构成三角形的条件，对四组数据分别通过计算，再作出判断． 【详解】解：，5，6，能组成三角形，故A符合； ，不能组成三角形，故B不符合； ，不能组成三角形，故C不符合； ，不能组成三角形，故D不符合， 故选：A． 3. 若，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：（1）把不等式的两边都加（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， 选项A、B、C正确，D错误， 故选：D． 4. 若点向右平移2个单位长度后得到点，则a，b的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查点的平移规律，根据点的平移规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，由此列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 点向右平移2个单位长度后，新点为，即， 又∵ 平移后得到点， ∴ ，且 ， 解得：， 故选：B． 5. 若一个等腰三角形有一个角为，则这个三角形顶角为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论求解． 等腰三角形有一个角为，需分该角是顶角或底角两种情况讨论顶角的度数． 【详解】解：∵ 等腰三角形有两个角相等， 若为顶角，则顶角为； 若为底角，则另一底角为，顶角为， ∴ 顶角为或， 故选：D 6. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ） A. 25 B. 22 C. 19 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案． 【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∵，， ∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD ＝AB＋AD＋CD ＝AB＋AC ＝19． 故选：C 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 7. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设，，， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 8. 下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的是（　　） A. 乙和丙 B. 甲和乙 C. 甲和丙 D. 只有甲 【答案】A 【解析】 【分析】首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS），即可求得答案． 【详解】解：在△ABC和乙三角形中，有两边a、c分别对应相等，且这两边的夹角都为50°，由SAS可知这两个三角形全等；在△ABC和丙三角形中，有一边a对应相等，和两组角对应相等，由AAS可知这两个三角形全等，所以在甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是乙和丙. 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定．此题难度不大，解题关键是注意掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意数形结合思想的应用． 9. 杭州市丁荷中学、丁信中学组织七年级学生到屋顶农场参加实践活动，某班的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出不等式． 设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了得剩余时间内平整的土地为： ，根据题意得，． 【详解】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地， ∵学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了， ∴剩余时间内平整的土地为： 根据题意得，， 故选：C． 10. 如图，已知等边三角形△ABC边长为a，等腰三角形△BDC中，∠BDC＝120º，∠MDN＝60º，角的两边分别交AB，AC于点M，N，连结MN．则△AMN的周长为( ) A. a B. 2a C. 3a D. 4a 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长． 【详解】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120° ∴∠BCD=∠DBC=30° ∵△ABC是边长为a的等边三角形 ∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60° ∴∠DBA=∠DCA=90° 延长AB至F，使BF=CN，连接DF， 在△BDF和△CDN中，BF=CN，∠DBF=∠DCN=90°，DB=DC ∴△BDF≌△CDN（SAS）， ∴∠BDF=∠CDN，DF=DN ∵∠MDN=60° ∴∠BDM+∠CDN=60° ∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边 ∴△DMN≌△DMF（SAS）， ∴MN=MF ∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=2a， 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，共18分） 11. 点在第_____象限，其关于原点的对称点坐标为____________． 【答案】 ①. 二 ②. 【解析】 【分析】题目主要考查判断点所在象限及关于原点对称的点的坐标，熟练掌握是解题关键． 根据点的坐标符号判断象限；根据关于原点对称的点坐标是原坐标横纵坐标的相反数即可求解． 【详解】解：点A的横坐标为（负），纵坐标为4（正），符合第二象限的特征（横坐标为负，纵坐标为正），因此点A在第二象限； 关于原点的对称点，其横坐标和纵坐标均取相反数，即横坐标变为2，纵坐标变为，故对称点坐标为， 故答案为：二， ． 12. 请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理______． 【答案】“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 【解析】 【分析】本题考查了逆定理，解题关键是掌握逆定理是通过交换原定理的题设和结论得到的．原定理的题设是“三角形是等腰三角形”，结论是“两个底角相等”，因此逆定理的题设应为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 【详解】解：原定理“等腰三角形的两个底角相等”的题设是“三角形是等腰三角形”，结论是“两个底角相等”， 则交换题设和结论后，得到逆定理“有两个角相等的三角形是等腰三角形”， 故答案为：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 13. 如图，D是的边上一点，交于，，，若，，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键． 由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：， ，， 又， ， ， ， 故答案为：8． 14. 如图，在中，，分别是，上的点，，，若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积；先由求出，再由得出，即可得出结论． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 15. 关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 16. 如图，在中，，点D是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点F，当为直角三角形时，________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 分三种情况：当时，根据等面积法得出，由勾股定理可求得，，然后继续利用勾股定理求解即可；②时，连接，延长交于点G，过点A作，然后证明，设，则，建立方程即可求解；根据题意得出，确定，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， 当时，如图所示， ∴， ∴即， 解得：， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，即； 当时，连接，延长交于点G，过点A作，如图所示， 由第一种情况得：， ∴， ∵折叠， ∴, ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：，即； ∵， ∴， 综上可得：或， 故答案为：或． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 解下列不等式（组）： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组． （1）直接根据解一元一次不等式的方法求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，． （1）求证：． （2）若，求． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定即可证明； （2）先运用全等三角形的性质，得，再结合三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点 A的坐标为． （1）画出 关于x轴对称的 ； （2）直接写出点 A 关于 y轴的对称点的坐标为_______； （3）在x轴上找到一点 P（标出点 P即可，不用求坐标），使的和最小，并直接写出的最小值． 【答案】（1） 如图所示，分别作点、、关于x轴的对称点、、， 连接点、、，得到即为所求； （2） （3），连接交轴于点，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了图形的轴对称变换、两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键根据轴对称的定义正确的作出图形． （1）分别作点、、关于x轴的对称点、、，连接点、、，得到即为所求； （2）根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得出结果； （3）根据两点之间线段最短可知：连接交轴于点，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴点关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：连接交轴于点，点即为所求， ∴， ∴最小值为． 20. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形． （2）当时，求． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． （1）已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【答案】（1）台风中心从B点移到D点需要6小时 （2）A市受台风影响的时间为小时 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键． （1）在中，根据勾股定理求出，台风的速度已知，即可得出台风中心从点移到点所经过长时间； （2）假设市从点开始受到台风的影响，到点结束，根据题意在图中画出图形，可知，市在台风从点到点均受影响，即得出两点的距离，便可求出市受台风影响的时间． 【小问1详解】 解：由题意得，在中， ， ， （小时）， 即台风中心从点移到点需要6小时； 【小问2详解】 解：以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ，， ， ， （小时） 市受台风影响的时间为小时． 22. 如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． （1）证明：垂直平分． （2）若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长，求出，分割法求面积，列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； 【小问2详解】 解：∵，的周长为18， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 （2）超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元 （3）有两种：当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【解析】 【分析】对于（1），设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； 对于（2），设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，根据金额不多余7500元，列不等式求解； 对于（3），根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． 【小问2详解】 解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， ∵a是整数， ∴a最大是37， 答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元． 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：， ∵，且a应为整数， ∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种： 当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，方案设计，根据题意弄清等量（不等）关系是解题的关键． 24. 如图，在中，，，D为边上一点． （1）作交于点H，若，，求． （2）作，且，连结交边于点F，连结．若． ①求证：． ②写出线段之间的等量关系并证明． 【答案】（1） （2） ①证明：过作于，过作于，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②．理由如下： 由①可得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质． （1）根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可； （2）①证明：过作于，过作于，则即可证明，得到，，，再由，可得，即可得到，则，再由，求出； ②由①可得，得到，再由勾股定理得到，利用全等三角形的判定和性质得出，，进行等量代换即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $