微专题03 一次函数与实际问题12题型（专项训练）数学苏科版2024八年级上册

微专题03 一次函数与实际问题 一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 题型一 行程问题 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示桌面长为，小球与木块（大小、厚度忽略不计）同时从出发向沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球到达处的挡板后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块后又被反弹向挡板，如此反复，直到木块到达，同时停止．设小球的运动时间为，木块与小球之间的距离为，图②是与的部分函数关系图像，结合图像回答下列问题． (1)小球第一次到达挡板的时间是______s，小球的速度为______，木块的速度为______； (2)小球第一次返回时，求与的函数关系式； (3)当小球从出发至第一次、相遇时，小球与木块距离为时，直接写出的值为______． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度是______，图中______； (2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍？ 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）小明开车去某地旅游，汽车出发前油箱有油，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图像表示的是从出发后，油箱中剩余油量（L）与行驶时间（h）之间的关系． (1)汽车行驶h后加油，中途加油L； (2)求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式； (3)已知加油前、后汽车都以匀速行驶，如果加油站距目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）甲、乙两地相距．慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，沿同一路线匀速驶往乙地，两车同时到达乙地后，慢车立即保持原速，沿原路返回甲地．快车在乙地休息后，提速50％，沿原路匀速返回，又与慢车同时回到甲地，在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示． (1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间t之间的函数图象． (2)______． (3)已知从甲地到乙地的路程中，距离乙地处有一个治安警亭． ①若，在整个行程中（不含行程终点甲地），t的值是多少时，两车与警亭的距离相等？ ②若两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，则s的取值范围是_______． 题型二 工程问题 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）甲、乙两个工程组同时铺设高速路段的沥青路面，两组工程队每天铺设沥青路面的长度均保持不变，合作一段时间后，乙工程队因维修设备而停工，甲工程队单独完成了剩下的任务，甲、乙两工程队铺设沥青路面的长度之和（单位：m）与甲工程队铺设沥青路面的时间（单位：天）之间的关系如图所示． (1)乙工程队铺设沥青路面____________天；甲每天铺设____________米． (2)求乙工程队停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲工程队铺设沥青路面的总长度与乙工程队铺设沥青路面的总长度相等时，乙工程队已经停工____________天． 6．（22-23八年级下·吉林·期末）为了推进乡村振兴发展，某地决定对A，B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后，因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．甲、乙两个工程队修筑公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：    (1)乙工程队每天修路___米，甲工程队每天修路___米，a的值为___，b的值为___； (2)直接写出：甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式； (3)求乙工程队修公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系式； (4)若该项工程由甲、乙两工程队从开始就合作施工，直到任务完成，直接写出：完成任务所需的时间． 7．（24-25八年级上·山西太原·期末）神舟二十号是中国载人航天工程计划于2025年发射的第二十艘载人飞船，任务期间，主要实施航天员出舱活动和货物气闸舱出舱任务，继续开展空间科学实验和技术试验，开展平台管理工作、航天员保障相关工作以及科普教育等重要活动．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元． (1)求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？ 题型三 调运问题 8．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）现从，两个蔬菜村向甲，乙两地运送蔬菜，，两个蔬菜村各有蔬菜吨，吨，其中甲地需要蔬菜吨，乙地需要蔬菜吨，从村运往甲地运费为元吨，运往乙地运费为元吨；从村运往甲地运费为元吨，运往乙地运费为元吨． 怎样调运蔬菜才能使总运费最少？最少运费为多少？ 9．（22-23八年级下·山东济宁·期末）某运输公司安排大、小两种货车辆恰好一次性将吨的农用物资运往、两村，两种大、小货车的载货能力分别为吨/辆和吨/辆，其运往、两村的运费如下表： 车型 村（元/辆） 村（元/辆） 大货车 小货车 (1)求大、小货车各用了多少辆？ (2)现安排前往村的大、小货车共辆，所运物资不少于吨，其余货车将剩余物资运往村，设大、小两种货车到，两村的总运输成本为元，前往村的大货车为辆．写出与之间的函数解析式，当为何值时，调运总费用取得最小值，最少费用是多少？ 10．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 (1)厂生产了______吨救灾物资、厂生产了______吨救灾物资； (2)设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； (3)当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． 11．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地_________台，乙厂运往A地_________台，乙厂运往B地_________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ (3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了百元，其它不变，若要使费用最低的调运方案不变，请直接写出m的取值范围． 题型四 计时问题 12．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）漏刻是中国古代的一种计时工具，漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分（厘米）是时间（分钟）的一次函数，且当时间分钟时，厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误． （分钟） …… 10 20 30 40 （厘米） …… 2.6 3.2 3.6 4.4 (1)你认为的值记录错误的数据是______，请利用正确的数据确定函数表达式； (2)当小棍露出部分为14厘米时，对应的时间为多少？ 13．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 14．（24-25八年级上·江苏南京·期末）现有甲、乙两个容器，每个容器都装有进水管和出水管，甲容器原来没有水，乙容器原有一定的水量．首先打开甲容器的进水管注水，第10分钟同时打开甲、乙两容器的出水管排水，第15分钟关闭甲容器的进水管，直到甲、乙两容器水排完．甲、乙两容器中的水量、（单位：L）与时间x（从甲容器注水开始计时，单位：）的函数关系如图所示．请结合图像信息，解答下列问题： (1)甲容器进水管的注水速度是 ；乙容器出水管的排水速度是 ； (2)求甲容器出水管的排水速度及线段对应的函数表达式； (3)当 时，两容器中的水量差为180 L． 15．（22-23八年级上·江苏·期末）高度为120厘米的圆柱形容器注满了水（即容器的水位高度为120厘米），上端有一关闭状态的注水口，底端有一关闭状态的放水口，如图1所示．现先打开放水口，放水速度为12厘米/分钟（即：仅打开放水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度下降12厘米），放水口打开一段时间后，再打开注水口，同时保持放水口开放状态，继续经过一段时间后关闭放水口，同时注水口仍保持开放状态，直至容器注满水时立即关闭注水口．圆柱形容器的水位高度记为（厘米），从打开放水口时开始计时，至容器注满水时停止计时，时间记为（分钟），已知关于的函数图象如图2所示．根据图中所给信息，解决下列问题： (1)的值为______； (2)求注水速度（注水速度即：仅打开注水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度上升的高度）； (3)求图2中线段所在直线的解析式； (4)在圆柱形容器的水位高度变化过程中，当满足：（厘米）时，时间（分钟）的取值范围是______． 题型五 分配问题 16．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）某学校积极响应江阴市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． (1)求y与x的函数表达式，其中； (2)若购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 17．（22-23八年级上·广东深圳·期末）某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 18．（24-25八年级下·河南安阳·期末）在甲骨文邮局，推出了一系列以安阳历史文化为主题的精致文创产品．小明购买2个青铜器盲盒和3个妇好鸮尊摆件，共花费210元；小刚购买3个青铜器盲盒和1个妇好鸮尊摆件，共花费140元． (1)求青铜器盲盒和妇好鸮尊摆件的单价各是多少元． (2)一位外地游客计划购买青铜器盲盒和妇好鸮尊摆件共10个，且青铜器盲盒的数量不超过妇好鸮尊摆件数量的一半．请设计一种购买方案，使得总费用最少，并求出最少费用． 19．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）这个夏天，江苏的顶流话题非“苏超”莫属！朋友圈、抖音全被刷屏，网友们边看球赛边玩梗．梭子蟹大闸蟹、云雾茶碧螺春、海鲜汤包……年月日，连云港主场迎战苏州，一场“舌尖上的德比”未踢先火，更因两地特色被戏称为“蟹王争霸赛”．为给赛事加码，连云港放出“宠粉大招”——广大球迷专属优惠：即日起至月日，凡持有年江苏省城市足球联赛购票凭证的球迷，凭购票记录和身份证，可享受在观赛当日及前、后天内（十一假期不含在内）连云港市域内景区、酒店优惠． 已知连云港某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．凡球迷圆团体入住一律五折优惠．一个人的团体在月日到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房． (1)如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)一天元的住宿费是否为最低？如果不是最低，请尝试设计一个方案，使得一天的住宿费用最低，并求出最低费用． 题型六 体积问题 20．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） (2)点的纵坐标表示的实际意义是 ； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ (4)若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 21．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图①，、两个圆柱形容器放置在同一水平桌面上，开始时容器中盛满水，容器中盛有高度为的水，容器下方装有一只水龙头，容器向容器匀速注水．设时间为，容器、中的水位高度、与时间之间的部分函数图像如图②所示．根据图中数据解答下列问题： (1)容器向容器注水的速度为__________（结果保留）； 容器的底面直径___________；（提示：圆柱体积=圆柱的底面积×圆柱的高） (2)当容器注满水后，容器停止向容器注水，同时开启容器的水龙头进行放水，放水速度为．请在图②中画出容器中水位高度与时间的函数图像，并说明理由； (3)当容器注满水后，容器继续向容器注水，同时开启容器的水龙头进行放水，放水速度为，直至容器、水位高度相同时，立即停止放水和注水，求容器向容器全程注水时间． 22．（2024·山西阳泉·模拟预测）阅读与思考 物理现象中的一次函数 实验结果：浸在液体中的物体会受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开的液体所受的重力，即，g是一个常数，近似取值为，表示液体的密度，表示排开液体的体积．当液体的密度不变时，物体在液体中所受浮力F是它浸没在液体中的体积V的函数，且物体浸在液体中的体积越大，浮力就越大． 例如：现有一个长方体物品，当它浸在水中时受到的浮力，水的密度为，若该长方体物品的底面积为，那么该物品浸入水中的深度为多少米？ 解：设该物品浸入水中的深度为． 由题意，得．解得． 该物品浸入水中的深度为． 实验探究：某兴趣小组想测一测一个空食品盒在水中漂浮时的装载质量．他们将一个底面积为的圆柱形平底空食品盒放入装水的桶中，桶中水足够深，食品盒下表面始终与水面平行，如图①所示．该兴趣小组将装载质量与食品盒浸入水中的深度的关系绘制成了图②所示的函数关系图，实验发现当装载质量为0时，食品盒浸入水中的深度为． (1)请结合实验现象，观察图②，解释点A的实际意义：__________； (2)根据以上材料，当装载质量不超过时，装载质量与食品盒浸入水中的深度成一次函数关系，若装载质量为时，食品盒浸入水中的深度是．请你帮助该小组求出这个一次函数的解析式； (3)若这个食品盒的高度是，最大装载质量为，请求出a的值． 23．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在两个完全相同的甲、乙容器中，最初，容器甲有高的水，容器乙放了一个长方体，且容器底面积是长方体底面积的4倍．从甲容器向乙容器用虹吸原理注水（虹吸装置的体积忽略不计），当注满时，容器乙中液面与长方体上底面相平．设容器甲中的液面高为（单位：），容器乙中的液面高为（单位:）．小科绘制了、关于时间x（单位：s）的函数图象如图2所示．回答下列问题：    (1)a的值为________；容器甲的液面下降速度是________： (2)求b的值以及关于x的函数表达式； (3)当容器甲中的液面高与容器乙中的液面高相差时，求此时x的值． 题型七 最大利润问题 24．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）深圳市南山区的无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．(利润售价进价) 种类 种配件 种配件 进价(元/件) 售价(元/件) (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 25．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）某商场销售一台型冰箱的利润为元，销售一台型冰箱的利润为元．该商场计划一次购进两种型号的冰箱共台，其中型冰箱的进货量不超过型冰箱的倍，设购进型冰箱台，这台冰箱的销售总利润为元． (1)求关于的函数解析式； (2)该商场购进型，型冰箱各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？ 26．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）某文具店出售普通练习本和精装练习本，15本普通练习本和10本精装练习本的销售总额为145元；20本普通练习本和5本精装练习本的销售总额110元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价； (2)已知普通练习本的进价为2元/本，精装练习本的进价为7元/本，该商店计划购进500本练习本，其中普通练习本的数量不低于精装练习本数量的2倍，请你帮文具店设计进货方案，使这500本练习本全部售完后，文具店获得利润最大，并求出最大利润． 27．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）某公司有A型产品80件，B型产品120件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中140件给甲店，60件给乙店，且都能卖完．甲店销售A型产品利润每件400元，销售B型产品利润每件340元；乙店销售A型产品利润每件320元，销售B型产品利润每件300元． (1)若公司要求总利润不低于70280元，求出公司能采用几种不同的分配方案？ (2)为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利m元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 题型八 阶梯计费问题 28．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）． 用水量x（立方米） 应交水费y（元） 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 (1)求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； (2)若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 29．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： 居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 0.50 第二档： 0.55 第三档： 0.80 本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元 30．（25-26八年级上·全国·课后作业）某收费自习室策划了A，B两种收费方式如下表： 收费方式 月使用费/元 包时自习室时间/h 超时费/（元/h） A 12 40 0.5 B m n 0.6 设每月使用自习室的时间为xh，方案A，B的收费金额分别为元．下图所示的是与x之间函数关系的图象． (1)请根据图象填空：_______，_______． (2)与之间的函数关系式为_______． (3)如果每月使用自习室的时间为60h，选择哪种收费方式合算？请说明理由． 31．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）天然气收费标准如下表所示： 用气类型 气价 居民生活用气 阶梯气价（每年每户） 及以下部分 3.35元 部分（不包含包含） 3.93元 以上部分 4.80元 设某户每月用气量为，应交燃气费为（元）． (1)写出用气量未超过时，与之间的函数关系式； (2)当小明家交燃气费为1156.8元时，求小明家用气量． 32．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进，两种品牌的足球共50个，其中品牌足球的价格为100元/个，购买品牌足球所需费用（单位：元）与购买数量（单位：个）之间的关系如图所示． (1)购买数量个时，品牌足球的价格_____元/个； (2)求出当时，与的函数表达式： (3)若购买种品牌足球的数量不超过30个，但不少于种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用（单位：元）最低，并求出最低费用． 33．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）某企业计划购买A、B两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5200元，B型笔记本电脑每台6400元，设购买A型笔记本电脑x台，购买两种型号的笔记本电脑共需要总费用y元． (1)求出y与x之间的函数表达式 (2)若因为经费有限，该企业预算不超过8.6万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得大于B型笔记本电脑数量的4倍，请问该企业共有几种购买方案?哪种方案费用最省，并求出该方案所需费用 题型九 方案选择问题 34．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．    如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是________； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 35．（23-24八年级上·安徽淮北·期中）在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材吨和乙种钢材吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有两种不同规格的车厢共节，使用型车厢每节费用为元，使用型车厢每节费用元． (1)设运送这批钢材的总费用为元，这列货车挂型车厢节，试写出用车厢节数表示总费用的公式． (2)如果每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，装货时按此要求安排两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？ (3)在（）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？ 36．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，于2025年9月3日在天安门广场举行“九三阅兵”．在本次阅兵中首次展示了多种新型武器，展现了我们国家捍卫和平的能力与力量.某商家在此契机下购进了“歼35”和“歼”两种隐形战机模型共80件进行销售，已知购进3件“歼35”模型和2件“歼”模型共需540元，购进2件“歼35”模型和3件“歼”模型共需560元． (1)求购进这两种模型的单价分别为多少元？ (2)设购进“歼”模型件（），购买这两种模型80件共花费元，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若“歼35”模型的售价为120元/件，“歼”模型的售价为150元/件．该商家计划购进这批模型所花的总费用不超过8900元，要使这批模型全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 37．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 38．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）2025年1月7日西藏定日县发生6.8级地震，自治区应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 3 4 27 第二次 4 5 35 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车辆．求货车所需总费用与之间的函数关系式；当所需总费用为2350元，该如何安排拉货？ 题型十 新情境问题 39．（24-25八年级上·陕西西安·期末）2025年春晚吉祥物“巳升升”的设计灵感源自中华传统文化，整体造型参考了甲骨文中的“巳”字，呈现出憨态可掬且富有古意的形象．某商店计划购进大号和中号两种型号“巳升升”共60个（两种型号都要），其成本与售价如表所示： 价格类型 成本（元/件） 售价（元/件） 中号 40 60 大号 55 100 若设购进大号“巳升升”的数量为x件，销售完两种型号“巳升升”的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若大号“巳升升”的数量不超过中号“巳升升”数量的2倍，请问如何购买两种型号的吉祥物才能获利最大？并求出最大利润． 40．（2025·河南焦作·二模）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．某商家连续两周销售“滨滨”和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售量（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 25 10 3080 第2周 40 15 4840 (1)分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； (2)根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，设购进“滨滨”摆件个，两种摆件全部售完时所获的利润为元． ①求与的函数关系式； ②该商家如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少元？ 题型十一 跨学科问题 41．（2025八年级下·全国·专题练习）物理课上，老师正在展示光的反射规律，某同学借此情境编写了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，是正方体展示盒的截面，其中点，点的坐标分别为，，且轴，点处放置一支激光笔，激光笔发射的光线是直线的一部分． (1)点为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点，求所在直线的解析式； (2)已知在正方体展示盒的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），感光元件就会发光，求符合条件的的整数值． 42．（24-25八年级上·广西百色·期末）高铁站候车大厅的饮水机（图1）有温水和开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度区间最接近人体体温． (1)若共接水，先接温水，求再接开水的时间； (2)若共接水，设接温水的时间为，水杯里水的温度为．求关于的函数关系式，及达到最佳水温时的取值范围． 43．（23-24八年级下·福建泉州·期末）【综合与实践】杆秤是一种生活中常见的称重工具，它的设计巧妙地运用了物理原理，使得测量物体质量变得简单而准确．杆秤的物理原理，包括杠杆原理、力的平衡以及刻度与读数等方面的内容．某兴趣小组想利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米． 任务一：确定和的值． 当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡； 当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡； （1）求和的值． 任务二：确定刻线的位置． （2）根据任务一，求关于的函数解析式． 44．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 45．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，杠秤是我国传统的称重工具，它利用秤砣到秤纽的水平距离，得出秤钩上所挂物体的重量． 2 4 6 8 10 1 1.5 2 2.5 3 (1)当提小秤纽称重时，秤钩上所挂物体的重量是秤砣到小秤纽的水平距离的一次函数，所记录的若干次称重数据如表所示： 与之间的函数表达式为__________； 若秤砣到小秤纽的最大水平距离为，求提小秤纽可称的最大物重． (2)在（1）的条件下，若物重大于提小秤纽可称的最大物重，则提大秤纽称重，此时秤钩上所挂物体的重量是秤砣到大秤纽的水平距离的一次函数．已知大、小秤纽的水平距离为，提大秤纽称物重的秤砣位置分别与提小秤纽称物重的秤砣位置重合，求提大秤细可称的最大物重． 题型十二 新考法问题 46．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）随着新能源技术的日益发展与提升，新能源汽车深受广大民众的喜爱．某品牌新能源汽车的电池电量与充电时间之间近似满足一次函数关系，小明观察并记录某次充电数据如下表： 【观察记录】 充电时间 … 10 20 30 40 50 60 … 电量 … 30 40 50 60 70 80 … (1)求该品牌汽车的电池电量W与充电时间t的函数关系式； (2)该品牌新能源汽车的最大充电量为，如果当电池的电量剩余20%时，对汽车开始充电，求充满电池电量需要多少时间； (3)下图是小明根据车辆行驶过程中剩余电量与行驶里程画出的图像，其中段刻画了该车在省电模式下的行驶状态，段刻画了车辆开着空调的行驶状态．已知车辆在段行驶过程中每100km电耗比段高50%，请根据图像计算从B到C过程中车辆行驶的里程数． 47．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）利用杆秤称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得等式：，其中秤盘质量克，重物质量x克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．如图，秤盘与零刻度线的距离为3厘米，零刻线与末刻线的距离为50厘米，秤盘质量克，秤砣质量克．某兴趣小组利用等式制作简易杆秤． (1)确定秤纽的位置：当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请求出l，a的值； (2)确定杆秤的最大称重质量：根据（1）中l，a的值，求y关于x的函数解析式，并求杆秤的最大称重质量（秤砣移至末刻线D处，秤得的物体质量）； (3)制作杆秤的刻度：将零刻线开始至末刻度线之间的线段平均分成10份（格），标注刻度值，则点E处应标注的刻度值为______克． (4)该小组成员利用制作好的杆秤称重物时，误用了60克的秤砣进行称重，称得重物的质量为500克，则该重物的实际质量为_____克． 48．（24-25八年级上·广东深圳·期中）根据背景素材，在两种解决方法里选择其中一种作答． 计算遮雨棚的高度 背 景 素 材 如图，只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（，结果精确到） 问题解决 解 决 方 法 一 如下图某小组同学通过测量不同层数的高度，完成了如下的表格： 油桶层数 1 2 3 4 遮雨棚高度 （1）根据表格内容，求出遮雨棚高度和层数的关系式： （2）当油桶层数是层时，这样遮雨棚高度是多少？ 解 决 方 法 二 如下图某小组同学根据油桶的摆放方式，绘制了如下截面图，、、三点都是对应圆的圆心， （1）判断的形状，并说明理由； （2）求出遮雨棚的高度. 49．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）两地分别有垃圾30吨，20吨，现要把这些垃圾全部运到两个垃圾处理厂进行处理，其中26吨运到厂．运费标准（单位：元/吨）如下表： 厂 厂 地 20 25 地 40 35 设从地运到处理厂吨． (1)从地运到处理厂______吨，从地运到处理厂______吨，从地运到处理厂______吨（用含的式子表示）； (2)从两地运到厂的运费为元，运到厂的运费为元． ①怎样安排运输可以使运输总费用最节省，请求出该费用； ②按照规定，处理厂还会对两地的垃圾收取垃圾处理费，其中垃圾处理厂每吨收取元，垃圾处理厂每吨收取5元．在①的条件下，若这批垃圾全部处理完总费用（运输费和垃圾处理费）不超过1518元，请直接写出符合条件的的最大整数值为______． 50．（23-24八年级下·福建福州·期末）启航中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】启航中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为． 【收集数据】小组成员分工进行数据收集并整理如下： 【建立模型】成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】（1）与的函数关系式为______；与的函数关系式为______． （2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． （3）根据小敏的想法，请设计该路段8时至20时的可变车道方案，并说明理由． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆/分钟） 11 14 17 20 23 51．（23-24八年级下·江苏常州·期末）古希腊数学家、物理学家阿基米德曾说过一句豪言壮语：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话夸赞的其实是“杠杆原理”．如图1，“杠杆原理”可通俗地理解为：动力×动力臂=阻力×阻力臂．生活中，筷子、剪刀、羊角锤、钓鱼竿、跷跷板……，“杠杆原理”的应用无处不在． (1)最简单的“杠杆原理”应用：天平． 如图2，天平两端的托盘底部中心与支点的距离分别是、，且，设左侧托盘所放物体的质量是，右侧托盘所放砝码的质量是．当游码归零时，天平恰好保持平衡，由“杠杆原理”得与的数量关系为__________； (2)现代人的杠杆智慧：手机自拍杆． 如图3，一只手的握点O为支点，另一只手在点A处竖直向上用力，手机放置在自拍杆的点B处，且自拍杆与水平方向的夹角始终保持不变，手机的重力是，由“杠杆原理”得： ①当点A固定，增大时，所用的力F__________（填“增大”或“减小”）； ②当点B固定，增大时，所用的力F__________（填“增大”或“减小”）； (3)古代人的杠杆智慧：杆秤． 如图4，将质量为的待测物挂于秤钩处，提起提纽，在秤杆上移动质量为的秤砣，，，秤杆总长度是． ①当秤杆保持水平时，m与l的函数表达式为__________，m的最大值是___________； ②将待测物与秤砣互换位置，在秤杆上移动待测物．当秤杆保持水平时，求m与l的函数表达式．此时，m是否有最大值？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 一次函数与实际问题 一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 题型一 行程问题 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示桌面长为，小球与木块（大小、厚度忽略不计）同时从出发向沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球到达处的挡板后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块后又被反弹向挡板，如此反复，直到木块到达，同时停止．设小球的运动时间为，木块与小球之间的距离为，图②是与的部分函数关系图像，结合图像回答下列问题． (1)小球第一次到达挡板的时间是______s，小球的速度为______，木块的速度为______； (2)小球第一次返回时，求与的函数关系式； (3)当小球从出发至第一次、相遇时，小球与木块距离为时，直接写出的值为______． 【答案】(1)16；； (2) (3)当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是，进而可得小球P的速度为，求出速度和，然后计算出点的速度，故可判断得解； （2）先求解，再利用待定系数法计算可以得解； （3）依据题意，先求出小球P运动前的函数关系式，然后把代入解析式和（2）中解析式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，观察函数图象，可得， 小球P第一次到达挡板l的时间是， ∴小球P的速度为， 由题意，， 又， ∴， ∴木块Q的运动速度． 故答案为：16；； （2）解：由（1）得：， 设小球P第一次返回时，， 将，代入得， 解得， ∴． （3）解：由题意，设小球P运动前的函数关系式为， 函数过， ∴， ∴， ∴此时函数为， ，又令， ∴， 又当小球运动到后，结合（3）函数关系式为， ∴令， 解得， 综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度是______，图中______； (2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍？ 【答案】(1)70，300 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出A、B、C两两之间的距离是解题的关键． （1）利用时间、速度、路程之间的关系求解； （2）利用待定系数法求解； （3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，甲车小时行驶的路程为， 甲车行驶的速度是， ∴A、C两地的距离为：， 故答案为：70；300； （2）解：由图可知E，F的坐标分别为，， 设线段所在直线的函数解析式为， 则， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； （3）解：由题意知，A、C两地的距离为：， 乙车行驶的速度为：， C、B两地的距离为：， A、B两地的距离为：， 设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍， 分两种情况，当甲乙相遇前时： ， 解得； 当甲乙相遇后时： ， 解得； 综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）小明开车去某地旅游，汽车出发前油箱有油，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图像表示的是从出发后，油箱中剩余油量（L）与行驶时间（h）之间的关系． (1)汽车行驶h后加油，中途加油L； (2)求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式； (3)已知加油前、后汽车都以匀速行驶，如果加油站距目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【答案】(1)2，40 (2) (3)够用，见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及速度，路程和时间的关系是解题的关键． （1）根据图象作答即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据时间＝路程速度求出汽车从加油站到目的地需用的时间，再计算出汽车每小时的油耗，从而求出到达目的地需要的油量并与从加完油后出发时油箱中的油量比较大小即可得出结论． 【详解】（1）由图象可知，汽车行驶2h后加油，中途加油． 故答案为：2，40； （2）设加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为： ； （3）油箱中的油够用．理由如下： 汽车从加油站到目的地需用的时间为， 汽车每小时的油耗为， 到达目的地需要的油量为， ， ∴油箱中的油够用． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）甲、乙两地相距．慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，沿同一路线匀速驶往乙地，两车同时到达乙地后，慢车立即保持原速，沿原路返回甲地．快车在乙地休息后，提速50％，沿原路匀速返回，又与慢车同时回到甲地，在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示． (1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间t之间的函数图象． (2)______． (3)已知从甲地到乙地的路程中，距离乙地处有一个治安警亭． ①若，在整个行程中（不含行程终点甲地），t的值是多少时，两车与警亭的距离相等？ ②若两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，则s的取值范围是_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①或2或3时，两车与警亭的距离相等；② 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意以及将实际问题结合函数观点思考问题是解题的关键． （1）根据快车行车轨迹即可得解； （2）根据快车去时和回时的速度和时间建立方程求解即可； （3）①根据题意可求出快车和慢车的速度，进而求出慢车离甲地的距离的函数图象解析式和，以及快车离甲地的距离的函数图象、，进而再根据两车的行车路线分类讨论，建立方程求解即可； ②先求出慢车离甲地的距离的函数图象解析式和，以及快车离甲地的距离的函数图象、，再令它们分别等于，求出t值，根据两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，建立不等式，求解即可． 【详解】（1）解：如图，折线即为所求． ； （2）解：根据图形可知，快车去乙地时速度为，用时小时，返回速度为，用时1小时， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：①时， ∵， ∴， ∵返回时，， ∴从甲地到乙地时，， ∴， ， ， 慢车从甲地到乙地时，， ∴， 解得； 慢车、快车同时到达乙地时，； 慢车从乙地回甲地时，， ∴， 解得； 综上所述，或2或3； ②根据题意可知， ∴，， ∵返回时，， ∴从甲地到乙地时，， ∴，， 令，即， 解得； 令，即， 解得， 令，即， 解得， 令，即， 解得， 根据题意可得，，即， 解得， 故答案为：． 题型二 工程问题 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）甲、乙两个工程组同时铺设高速路段的沥青路面，两组工程队每天铺设沥青路面的长度均保持不变，合作一段时间后，乙工程队因维修设备而停工，甲工程队单独完成了剩下的任务，甲、乙两工程队铺设沥青路面的长度之和（单位：m）与甲工程队铺设沥青路面的时间（单位：天）之间的关系如图所示． (1)乙工程队铺设沥青路面____________天；甲每天铺设____________米． (2)求乙工程队停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲工程队铺设沥青路面的总长度与乙工程队铺设沥青路面的总长度相等时，乙工程队已经停工____________天． 【答案】(1)30；3 (2) (3)10 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． （1）由图可知，前30天甲乙两工程队合作，30天以后甲工程队单独做，据此计算即可； （2）设乙工程队停工后关于的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量的取值范围； （3）先计算甲乙两工程队每天各铺设沥青多少千米，再计算乙工程队铺设沥青的总长度，设乙工程队已停工的天数为，根据甲工程队铺设沥青的总长度与乙工程队铺设沥青的总长度相等列方程计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两工程队合作，30天以后甲工程队单独做， 甲工程队铺设沥青了60天，乙工程队铺设沥青了30天， ∴甲每天铺设（米）； 故答案为：30；3； （2）解：设乙工程队停工后关于的函数解析式为， 将和两个点代入，可得， 解得， ； （3）解：甲工程队每天铺设沥青（米）， 甲乙合作每天铺设沥青（米）， 乙工程队每天铺设沥青（米），乙工程队铺设沥青的总长度为（米）， 设乙工程队已停工的天数为， 则， 解得：， 答：乙工程队已停工的天数为10天． 6．（22-23八年级下·吉林·期末）为了推进乡村振兴发展，某地决定对A，B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后，因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．甲、乙两个工程队修筑公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：    (1)乙工程队每天修路___米，甲工程队每天修路___米，a的值为___，b的值为___； (2)直接写出：甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式； (3)求乙工程队修公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系式； (4)若该项工程由甲、乙两工程队从开始就合作施工，直到任务完成，直接写出：完成任务所需的时间． 【答案】(1)180，90，360，900 (2) (3) (4)6（天） 【分析】（1）根据函数图象即可求解； （2）根据函数图象中的数据运用待定系数法即可求解； （3）根据函数图象中的数据运用待定系数法即可求解； （4）根据前三问求出公路总长即可解答． 【详解】（1）解：根据函数图象可得乙工程队每天修路（米）， ∵当修了a（米）时，乙工程队用了2天，甲工程队用了4天， ∴甲工程队每天修路（米）， ∴，， 故答案为：180，90，360，900； （2）解：设甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为，将点代入得， ∴甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为； （3）解：设乙工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为， 将点，代入得： ， 解得：， ∴乙工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为； （4）解：公路总长为（米）， 甲、乙两工程队从开始就合作施工，每天修路（米）， ∴需要（天）． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用． 7．（24-25八年级上·山西太原·期末）神舟二十号是中国载人航天工程计划于2025年发射的第二十艘载人飞船，任务期间，主要实施航天员出舱活动和货物气闸舱出舱任务，继续开展空间科学实验和技术试验，开展平台管理工作、航天员保障相关工作以及科普教育等重要活动．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元． (1)求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)20元，30元 (2)当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获得利润最大，最大利润是1700元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用， 对于（1），先设每件甲，乙种航天载人飞船模型的进价是x，y元，再根据总进价相等列出方程组，求出解即可； 对于（2），设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润是w元，则购进件乙种航天载人飞船模型，根据题意列出一次函数，再根据一次函数的性质，并结合得出最大利润即可． 【详解】（1）解：设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是y元，根据题意，得 ， 解得， 所以每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是30元； （2）解：设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润是w元，则购进件乙种航天载人飞船模型，根据题意，得 ， 即. ∵， ∴w随着m的增大而增大． ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值是， 此时． 答：当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获得利润最大，最大利润是1700元． 题型三 调运问题 8．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）现从，两个蔬菜村向甲，乙两地运送蔬菜，，两个蔬菜村各有蔬菜吨，吨，其中甲地需要蔬菜吨，乙地需要蔬菜吨，从村运往甲地运费为元吨，运往乙地运费为元吨；从村运往甲地运费为元吨，运往乙地运费为元吨． 怎样调运蔬菜才能使总运费最少？最少运费为多少？ 【答案】从A蔬菜村向甲地运送蔬菜吨，向乙地运送蔬菜吨，从蔬菜村向甲地运送蔬菜吨时，总运费最少，最少运费是元 【分析】设从蔬菜村向甲地运送蔬菜吨，总运费为元．根据题意，列不等式组，求得，然后根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设从蔬菜村向甲地运送蔬菜吨，总运费为元． 则 解得： ， 随的增大而增大 当时，有最小值 答：从蔬菜村向甲地运送蔬菜吨，向乙地运送蔬菜吨，从蔬菜村向甲地运送蔬菜吨时，总运费最少，最少运费是元． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组，掌握一次函数的性质是解题的关键． 9．（22-23八年级下·山东济宁·期末）某运输公司安排大、小两种货车辆恰好一次性将吨的农用物资运往、两村，两种大、小货车的载货能力分别为吨/辆和吨/辆，其运往、两村的运费如下表： 车型 村（元/辆） 村（元/辆） 大货车 小货车 (1)求大、小货车各用了多少辆？ (2)现安排前往村的大、小货车共辆，所运物资不少于吨，其余货车将剩余物资运往村，设大、小两种货车到，两村的总运输成本为元，前往村的大货车为辆．写出与之间的函数解析式，当为何值时，调运总费用取得最小值，最少费用是多少？ 【答案】(1)大货车用8辆，小货车用7辆； (2)当时，调运总费用取得最小值，最少运费为元． 【分析】（1）设大货车用辆，小货车用辆，根据大、小两种货车共辆，运输吨物资，列方程组求解即可； （2）设前往村的大货车为辆，则前往村的大货车为辆，前往村的小货车为辆，前往村的小货车为[]辆，根据表格所给运费，求出与的函数关系式；由函数关系式求使总运费最少的货车的最少费用． 【详解】（1）解∶设大货车用辆，小货车用辆，根据题意得∶ ， 解得， 答：大货车用辆，小货车用辆； （2）解；前往村的大货车为辆，则前往村的大货车为辆，前往村的小货车为辆，前往村的小货车为[]辆， 根据题意得∶， ∴与的函数解析式为， ，且为整数； ∵现安排前往村的大、小货车共辆，所运物资不少于吨， ∴， 解得∶， 又∵， ∴且为整数， ∵，>， ∴随的增大而增大， ∴当时，最小，最小值为， ∴当时，调运总费用取得最小值，最少运费为元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往村的大货车数的关系． 10．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 (1)厂生产了______吨救灾物资、厂生产了______吨救灾物资； (2)设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； (3)当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． 【答案】(1)300 , 200 (2) ，A厂运往甲地40吨，运往乙地260吨，B厂200吨全部运往甲地时费用最少． (3)a的最小值为10 【分析】（1）设这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨，根据题意列方程组解答即可； （2）根据题意得出与之间的函数关系式以及的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可； （3）根据题意以及（2）的结论可得，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可． 【详解】（1）解：设这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； 则 解得： 答：这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； （2）如图，两厂调往甲、乙两地的数量如下： 目的地生产厂家 甲 乙 A B ∴ 当时运费最小 所以总运费的方案是：厂运往甲地吨，运往乙地吨，厂吨全部运往甲地时费用最少． （3）由（2）知： 当时， ， 所以的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解． 11．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地_________台，乙厂运往A地_________台，乙厂运往B地_________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ (3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了百元，其它不变，若要使费用最低的调运方案不变，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)当甲厂运往地30台，地30台，乙厂将40台都运往地时，费用最低，最低费用为91000元； (3) 【分析】（1）根据题意列代数式即可； （2）设运输费为百元，根据题意列出关于x的一次函数解析式，求出x的取值范围，根据一次函数的性质可得答案； （3）设运输费为百元，根据题意列出关于x的一次函数解析式，整理后根据费用最低的调运方案不变可得，进而可求m的取值范围． 【详解】（1）解：∵甲厂设备有60台，设从甲厂运往A地的有x台设备， ∴甲厂运往B地台，乙厂运往A地台， ∴乙厂运往B地台， 故答案为：，，； （2）设运输费为百元， 依题意得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当最小时，最小， ∵；；， ∴， ∴当时，有最小值910百元， ∴当甲厂运往地30台，地30台，乙厂将40台都运往地时，费用最低，最低费用为91000元； （3）解：设运输费为百元， 依题意得， ∵使费用最低的调运方案不变， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了列代数式，一次函数的应用，正确理解题意，找出合适的数量关系列出一次函数解析式是解题的关键． 题型四 计时问题 12．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）漏刻是中国古代的一种计时工具，漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分（厘米）是时间（分钟）的一次函数，且当时间分钟时，厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误． （分钟） …… 10 20 30 40 （厘米） …… 2.6 3.2 3.6 4.4 (1)你认为的值记录错误的数据是______，请利用正确的数据确定函数表达式； (2)当小棍露出部分为14厘米时，对应的时间为多少？ 【答案】(1)， (2)200 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，求出函数解析式是关键． （1）分析表格中数据即可得到结论；利用正确的数据，由待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴y的值记录错误的数据是； 设， ∵， ∴， 解得：， ∴y与x的解析式为； （2）解：将代入函数解析式得：， 解得． 答：对应的时间是200分钟． 13．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析 【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键． 14．（24-25八年级上·江苏南京·期末）现有甲、乙两个容器，每个容器都装有进水管和出水管，甲容器原来没有水，乙容器原有一定的水量．首先打开甲容器的进水管注水，第10分钟同时打开甲、乙两容器的出水管排水，第15分钟关闭甲容器的进水管，直到甲、乙两容器水排完．甲、乙两容器中的水量、（单位：L）与时间x（从甲容器注水开始计时，单位：）的函数关系如图所示．请结合图像信息，解答下列问题： (1)甲容器进水管的注水速度是 ；乙容器出水管的排水速度是 ； (2)求甲容器出水管的排水速度及线段对应的函数表达式； (3)当 时，两容器中的水量差为180 L． 【答案】(1)60；40 (2)甲容器出水管的排水速度，段的函数表达式为 (3)或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，待定系数法等； （1）由图象得甲容器进水管的注水速度（），乙容器出水管的排水速度：（），即可求解； （2）设甲容器出水管的排水速度得，解方程，即可求解；求出 ，设段的函数表达式为，由待定系数法，即可求解； （3）分段讨论：当时，当时，当时，列方程，即可求解； 理解横纵坐标的实际意义，掌握待定系数法，能根据实际意义用方程和函数进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 甲容器进水管的注水速度：（）， 乙容器出水管的排水速度：（）； 故答案：、； （2）解：设甲容器出水管的排水速度， ， 解得：， 故甲容器出水管的排水速度， 第分钟甲容器的水量为： （）， ， 设段的函数表达式为，则有 ， 解得：， 故段的函数表达式为； （3）解：当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 故答案：或或． 15．（22-23八年级上·江苏·期末）高度为120厘米的圆柱形容器注满了水（即容器的水位高度为120厘米），上端有一关闭状态的注水口，底端有一关闭状态的放水口，如图1所示．现先打开放水口，放水速度为12厘米/分钟（即：仅打开放水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度下降12厘米），放水口打开一段时间后，再打开注水口，同时保持放水口开放状态，继续经过一段时间后关闭放水口，同时注水口仍保持开放状态，直至容器注满水时立即关闭注水口．圆柱形容器的水位高度记为（厘米），从打开放水口时开始计时，至容器注满水时停止计时，时间记为（分钟），已知关于的函数图象如图2所示．根据图中所给信息，解决下列问题： (1)的值为______； (2)求注水速度（注水速度即：仅打开注水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度上升的高度）； (3)求图2中线段所在直线的解析式； (4)在圆柱形容器的水位高度变化过程中，当满足：（厘米）时，时间（分钟）的取值范围是______． 【答案】(1) (2)注水速度为16厘米/分钟 (3) (4) 【分析】（1）根据关于的函数图象给出的信息结合放水速度求解即可； （2）根据关于的函数图象信息结合值，先求出段的进水速度（段的进水速度注水速度放水速度），再求段的注水速度，列方程求解即可； （3）设所在直线的解析式为，将点和点的坐标代入求解即可； （4）计算出时对应的两个时间，取两者之间即可． 【详解】（1）（厘米），（分钟）， ∴的值为， 故答案为：； （2）段的进水速度为：（厘米/分钟）， 段的注水速度为：（厘米/分钟）， ∴， 解得， ∴，， ∴注水速度为16厘米/分钟； （3）设所在直线的解析式为， 由（2）可知， ∴，， 将点，代入， 得，解得， 所在直线的解析式为； （4）∵， ∴结合图象可知，在线段和线段上， 当在线段上时，（分钟）， 在线段上时，（分钟）， ∴当满足：（厘米）时，时间（分钟）的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合来解决问题． 题型五 分配问题 16．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）某学校积极响应江阴市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． (1)求y与x的函数表达式，其中； (2)若购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1)（且x为正整数） (2)当购买A种树苗11棵，B种树苗10棵时，费用最省，此时费用为1690元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设购买A种树苗x棵，则设购买B种树苗棵，根据总费用A种树苗单价A中树苗数量 B种树苗单价B中树苗数量列式求解即可； （2）根据购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，（且x为正整数）； （2）解：∵购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量， ∴， 解得， ∴（x为正整数）， ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y最小，最小为1690，此时， ∴当购买A种树苗11棵，B种树苗10棵时，费用最省，此时费用为1690元． 17．（22-23八年级上·广东深圳·期末）某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件 (2)当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的一次函数关系式． （1）设甲种奖品的单价为元/件，乙种奖品的单价为元/件，根据“购买1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为，由甲种奖品不少于20件，可得出关于的取值范围，再由总价单价数量，可得出关于的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为元/件，乙种奖品的单价为元/件， 依题意，得：， 解得：， 答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件． （2）解：设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元， 甲种奖品不少于20件， ． 依题意，得：， ， 随值的增大而增大， 当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元． 18．（24-25八年级下·河南安阳·期末）在甲骨文邮局，推出了一系列以安阳历史文化为主题的精致文创产品．小明购买2个青铜器盲盒和3个妇好鸮尊摆件，共花费210元；小刚购买3个青铜器盲盒和1个妇好鸮尊摆件，共花费140元． (1)求青铜器盲盒和妇好鸮尊摆件的单价各是多少元． (2)一位外地游客计划购买青铜器盲盒和妇好鸮尊摆件共10个，且青铜器盲盒的数量不超过妇好鸮尊摆件数量的一半．请设计一种购买方案，使得总费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1)青铜器盲盒的单价为30元，妇好鸮尊摆件的单价为50元 (2)购买青铜器盲盒3个，购买妇好鸮尊摆件7个，总费用最少，为440元 【分析】题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数与实际问题等知识．解决本题关键是认真审题，根据题意确定数量关系，并应用数量关系确定所用数学知识解决问题． （1）设青铜器盲盒的单价为a元，妇好鸮尊摆件的单价为b元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设购买青铜器盲盒个，则购买妇好鸮尊摆件个，总费用为y元，根据题意可得的取值范围，列出关于y的函数，根据一次函数性质即可设计购买方案． 【详解】（1）解：设青铜器盲盒的单价为a元，妇好鸮尊摆件的单价为b元． 根据题意得解得， 答：青铜器盲盒的单价为30元，妇好鸮尊摆件的单价为50元． （2）解：设购买青铜器盲盒个，则购买妇好鸮尊摆件个，总费用为y元． ， 解得， 又为整数， 的整数， ， 随x的增大而减小， 当时，， 此时， 答：购买青铜器盲盒3个，购买妇好鸮尊摆件7个，总费用最少，为440元． 19．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）这个夏天，江苏的顶流话题非“苏超”莫属！朋友圈、抖音全被刷屏，网友们边看球赛边玩梗．梭子蟹大闸蟹、云雾茶碧螺春、海鲜汤包……年月日，连云港主场迎战苏州，一场“舌尖上的德比”未踢先火，更因两地特色被戏称为“蟹王争霸赛”．为给赛事加码，连云港放出“宠粉大招”——广大球迷专属优惠：即日起至月日，凡持有年江苏省城市足球联赛购票凭证的球迷，凭购票记录和身份证，可享受在观赛当日及前、后天内（十一假期不含在内）连云港市域内景区、酒店优惠． 已知连云港某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．凡球迷圆团体入住一律五折优惠．一个人的团体在月日到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房． (1)如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)一天元的住宿费是否为最低？如果不是最低，请尝试设计一个方案，使得一天的住宿费用最低，并求出最低费用． 【答案】(1)租住了三人间间，双人间间 (2)一天元的住宿费不是最低，住宿费用最低的设计方案：人住三人间，人住双人间，则费用最低，为元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，（1）设租住了三人间有间，双人间有间．注意凡团体入住一律五折优惠，根据“租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元”列方程组求解即可； （2）设三人间住了人，则双人间住了人，住宿费三人间的人数双人间的人数，再结合的取值范围及实际情况，运用函数的性质即可得解； 解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． 【详解】（1）解：∵凡团体入住一律五折优惠， ∴三人间为每人每天（元），双人间为每人每天（元）， 设租住了三人间有间，双人间有间， 依题意，得：， 解得：， 答：租住了三人间间，双人间间； （2）设三人间住了人，则双人间住了人， ∴一天的住宿费用为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当x满足、为整数，且最大时，即时，住宿费用最低， 此时， ∴一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元， ∴住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间，则费用最低，为元． 题型六 体积问题 20．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） (2)点的纵坐标表示的实际意义是 ； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ (4)若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 【答案】(1)乙，甲； (2)乙槽中铁块的高度为14厘米； (3)注水2分钟； (4)84立方厘米． 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题．解题时注意应用一次函数的性质，理解图象的实际意义． （1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，相应的线段表示表示的意义可求； （2）点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平； （3）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间； （4）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积． 【详解】（1）图2中折线表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系． 故答案为：乙，甲； （2）由图象可知，水面上升到与铁块上面重合后，水面上升的速度发生变化，故到点B的纵坐标表示的实际意义是乙槽中铁块的高度为14厘米． 故答案为：乙槽中铁块的高度为14厘米； （3）设线段、的解析式分别为： ， ， ∵经过点和，DE经过和 ，解得， ，解得， ∴解析式为，解析式为， 令， 解得， ∴注水2分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相同； （4）若乙槽中没有铁块，则乙槽水位上升高度为厘米， ∴乙槽中铁块体积为立方厘米． 21．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图①，、两个圆柱形容器放置在同一水平桌面上，开始时容器中盛满水，容器中盛有高度为的水，容器下方装有一只水龙头，容器向容器匀速注水．设时间为，容器、中的水位高度、与时间之间的部分函数图像如图②所示．根据图中数据解答下列问题： (1)容器向容器注水的速度为__________（结果保留）； 容器的底面直径___________；（提示：圆柱体积=圆柱的底面积×圆柱的高） (2)当容器注满水后，容器停止向容器注水，同时开启容器的水龙头进行放水，放水速度为．请在图②中画出容器中水位高度与时间的函数图像，并说明理由； (3)当容器注满水后，容器继续向容器注水，同时开启容器的水龙头进行放水，放水速度为，直至容器、水位高度相同时，立即停止放水和注水，求容器向容器全程注水时间． 【答案】(1)； (2)作图见解析；理由见解析 (3)秒 【分析】（1）根据题意可知，注水速度注水体积注水时间，圆柱体积圆柱的底面积圆柱的高，代入公式求解即可； （2）根据题意，放水时间放水体积放水速度，求出时间补全图像； （3）根据题意，圆柱的高圆柱体积圆柱的底面积，代入公式求解． 【详解】（1）解：由图像可知，4秒内容器内水的高度下降了，由，则注水速度， 由图像可知，4秒内容器内水的高度上升了，从而得到容器增加的水的体积等于容器减少的水的体积，则， ，解得； （2）解：由（1）知，前4秒内容器注入水的体积为 ，得到注满后容器中水的总体积为 ， 放水速度为， 放空所需要的时间为：（秒， 作出图像如下： （3）解：由图知，将容器注满水用时，设直至容器、水位高度相同时，从容器开始放水的时间为， 根据题意，容器开始装水体积为 ，注满容器用了水的体积为 ， 由（1）知，容器向容器注水速度为， 容器在放水过程中，剩余的水量 ， 由（1）知，容器住满水的总体积为 ，放水速度为， 容器在放水过程中，剩余的水量 ， 当容器、水位高度相同时，即，解得， 当容器、水位高度相同时，容器向容器全程注水时间为秒． 【点睛】本题考查了一次函数与注水的相关问题，熟记注水速度注水体积注水时间、圆柱体积圆柱的底面积圆柱的高，读懂题意，灵活运用公式是解题的关键． 22．（2024·山西阳泉·模拟预测）阅读与思考 物理现象中的一次函数 实验结果：浸在液体中的物体会受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开的液体所受的重力，即，g是一个常数，近似取值为，表示液体的密度，表示排开液体的体积．当液体的密度不变时，物体在液体中所受浮力F是它浸没在液体中的体积V的函数，且物体浸在液体中的体积越大，浮力就越大． 例如：现有一个长方体物品，当它浸在水中时受到的浮力，水的密度为，若该长方体物品的底面积为，那么该物品浸入水中的深度为多少米？ 解：设该物品浸入水中的深度为． 由题意，得．解得． 该物品浸入水中的深度为． 实验探究：某兴趣小组想测一测一个空食品盒在水中漂浮时的装载质量．他们将一个底面积为的圆柱形平底空食品盒放入装水的桶中，桶中水足够深，食品盒下表面始终与水面平行，如图①所示．该兴趣小组将装载质量与食品盒浸入水中的深度的关系绘制成了图②所示的函数关系图，实验发现当装载质量为0时，食品盒浸入水中的深度为． (1)请结合实验现象，观察图②，解释点A的实际意义：__________； (2)根据以上材料，当装载质量不超过时，装载质量与食品盒浸入水中的深度成一次函数关系，若装载质量为时，食品盒浸入水中的深度是．请你帮助该小组求出这个一次函数的解析式； (3)若这个食品盒的高度是，最大装载质量为，请求出a的值． 【答案】(1)空食品盒未装载物品时，浸入水中的深度为 (2) (3)a的值为 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题，利用待定系数法求出相关函数关系式是解答本题的关键． （1）根据题意结合图象解答即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据（2）的结论计算即可． 【详解】（1）根据题意和图象可知：点A的实际意义是：空食品盒未装载物品时，浸入水中的深度为． （2）设此一次函数的解析式为． 当时，， ， ． ． （3）该食品盒完全浸入水中时，． 由（2）知，， ， 解得． 答：a的值为． 23．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在两个完全相同的甲、乙容器中，最初，容器甲有高的水，容器乙放了一个长方体，且容器底面积是长方体底面积的4倍．从甲容器向乙容器用虹吸原理注水（虹吸装置的体积忽略不计），当注满时，容器乙中液面与长方体上底面相平．设容器甲中的液面高为（单位：），容器乙中的液面高为（单位:）．小科绘制了、关于时间x（单位：s）的函数图象如图2所示．回答下列问题：    (1)a的值为________；容器甲的液面下降速度是________： (2)求b的值以及关于x的函数表达式； (3)当容器甲中的液面高与容器乙中的液面高相差时，求此时x的值． 【答案】(1)10；1 (2)； (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用， （1）根据题意可得为容器甲有高的水；根据图象可得容器甲的水放完，即可解答； （2）根据图像可得为容器甲放完水时，容器乙中水面高度，根据容器底面积是长方体底面积的4倍，即可解答；再设，利用待定系数法即可解答； （3）得到关于的解析式，分类讨论，即或，两种情况，列方程，即可解答； 观察图象提供的信息，再分析高度、时间和容积的关系即可找到解题关键． 【详解】（1）解：根据题意可得容器甲有高的水，故， 根据图象可得容器甲的水放完，故容器甲的液面下降速度是 ， 故答案为：；1 （2）解：根据图像可得为容器甲放完水时，容器乙中水面高度， 设长方形底面积为，则容器底面积为， 水的体积为， 容器乙实际可装水的底面积为， 容器乙中水面高度为，即， 设， 把代入，可得， 解得， ； （3）解：设， 把代入函数解析式可得， 解得， ， ①当时，可得， 解得； ②当时，可得， 解得， 当容器甲中的液面高与容器乙中的液面高相差时，此时x的值为或． 题型七 最大利润问题 24．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）深圳市南山区的无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．(利润售价进价) 种类 种配件 种配件 进价(元/件) 售价(元/件) (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)的值为 (2)当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据“用元可购进产品件和产品件”列方程求解即可； （2）设购进种配件件，则购进种配件件，根据“种配件进货件数不低于种配件件数的倍”列不等式，得出（为正整数），再设两种配件全部售出后获得的总利润为元，根据“利润售价进价”列函数关系式，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 答：的值为； （2）设购进种配件件，则购进种配件件， 依题意得：， 解得：， 为正整数， 设两种配件全部售出后获得的总利润为元， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为：， 此时， 答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元． 25．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）某商场销售一台型冰箱的利润为元，销售一台型冰箱的利润为元．该商场计划一次购进两种型号的冰箱共台，其中型冰箱的进货量不超过型冰箱的倍，设购进型冰箱台，这台冰箱的销售总利润为元． (1)求关于的函数解析式； (2)该商场购进型，型冰箱各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)购进型冰箱台，型冰箱台时，总利润最大，最大利润为元． 【分析】本题主要考查了一次函数及一元一次不等式的应用，解题的关键是确定一次函数的增减性． （1）根据题意列出关系式，整理即可； （2）利用“型冰箱的进货量不超过型冰箱的倍”列不等式求出的范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：据题意得，，即， ∴关于的函数解析式为：． （2）解：根据题意得，， 解得， 由（1）可知， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值， ， 台， ∴该商店购进型冰箱台，型冰箱台时，才能使销售总利润最大，最大利润为元． 26．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）某文具店出售普通练习本和精装练习本，15本普通练习本和10本精装练习本的销售总额为145元；20本普通练习本和5本精装练习本的销售总额110元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价； (2)已知普通练习本的进价为2元/本，精装练习本的进价为7元/本，该商店计划购进500本练习本，其中普通练习本的数量不低于精装练习本数量的2倍，请你帮文具店设计进货方案，使这500本练习本全部售完后，文具店获得利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)普通练习本的销售单价是3元，精装练习本的销售单价是10元； (2)当购进334本普通练习本，166本精装练习本时，这500本练习本全部售完后，文具店获得利润最大，最大利润是832元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设普通练习本的销售单价是x元，精装练习本的销售单价是y元，根据“15本普通练习本和10本精装练习本的销售总额为145元；20本普通练习本和5本精装练习本的销售总额110元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m本普通练习本，则购进本精装练习本，根据购进普通练习本的数量不低于精装练习本数量的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设这500本练习本全部售完后获得的总利润为w元，利用总利润=每本的销售利润×购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设普通练习本的销售单价是x元，精装练习本的销售单价是y元， 根据题意得： ， 解得：． 答：普通练习本的销售单价是3元，精装练习本的销售单价是10元； （2）解：设购进m本普通练习本，则购进本精装练习本， 根据题意得：， 解得：． 设这500本练习本全部售完后获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵，且m为正整数， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 此时（本）． 答：当购进334本普通练习本，166本精装练习本时，这500本练习本全部售完后，文具店获得利润最大，最大利润是832元． 27．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）某公司有A型产品80件，B型产品120件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中140件给甲店，60件给乙店，且都能卖完．甲店销售A型产品利润每件400元，销售B型产品利润每件340元；乙店销售A型产品利润每件320元，销售B型产品利润每件300元． (1)若公司要求总利润不低于70280元，求出公司能采用几种不同的分配方案？ (2)为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利m元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 【答案】(1)有四种不同的分配方案 (2)见解析 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，不等式组的应用，得到总利润的关系式是解决本题的关键． （1）根据所有产品数量及所给产品数量分别得到甲店B型商品，乙店A型商品，乙店B型商品的数量，那么总利润等于每件相应商品的利润相应件数之和，再根据根据各个店面的商品的数量为非负数可得自变量的取值范围； （2）根据让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润可得m的取值，结合（1）得到相应的总利润，根据m的取值结合函数的性质可得最大值的方案即可． 【详解】（1）解：设公司给甲店A型产品x件，则甲店B型产品有件；乙店A型有件，B型有件．公司总利润为W元，根据题意得： ． 由， ， 由，解得 ， 为整数， ， ∴有四种不同的分配方案； （2）解：依题意： ， ， ， 当时，越大，W越大，得出即甲店A型80件，B型60件；乙店A型0件，B型60件，能使总利润最大， 当时，为定值，符合题意的各种方案使总利润最大， 当时，越小，W越大，得出即甲店A型20件，B型120件；乙店A型60件，B型0件，使总利润最大． 题型八 阶梯计费问题 28．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）． 用水量x（立方米） 应交水费y（元） 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 (1)求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； (2)若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)该户居民用水20立方米 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据表格中的数据，可以写出每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； （2）先判断该户居民用水量的范围，然后根据（1）中的关系式，即可计算出该户居民用水多少立方米． 【详解】（1）解：由题意可得， 当时，， 当时，， 由上可得，每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式是； （2）解：∵， ∴该户居民用水超过12立方米， 设该户居民用水a立方米， 则， 解得， 答：该户居民用水20立方米． 29．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： 居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 0.50 第二档： 0.55 第三档： 0.80 本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元 【答案】(1) (2)这个家庭本月的实际用电量为210度 (3)小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系． （1）当时，成一次函数关系，实付金额等于度内的用电付出金额与超出度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式； （2）先计算出元的用电量超出度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解； （3）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：当时，则 ， 答：当时，与之间的函数关系式为； （2）解：∵度电费为：， 度电费为：， ， 该家庭本月用电量属于第二档，令，则， 解的， 答：这个家庭本月的实际用电量为210度． （3）解：当时，则； ， 把代入得元； 当时，则， 当时，则元． 答：小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元． 30．（25-26八年级上·全国·课后作业）某收费自习室策划了A，B两种收费方式如下表： 收费方式 月使用费/元 包时自习室时间/h 超时费/（元/h） A 12 40 0.5 B m n 0.6 设每月使用自习室的时间为xh，方案A，B的收费金额分别为元．下图所示的是与x之间函数关系的图象． (1)请根据图象填空：_______，_______． (2)与之间的函数关系式为_______． (3)如果每月使用自习室的时间为60h，选择哪种收费方式合算？请说明理由． 【答案】(1)10；50 (2) (3)选择种收费方式合算，见解析． 【分析】（1）根据表格和图象可以得到、的值，从而可以解答本题； （2）根据表格中的数据可以求得之间的函数关系式； （3）将分别代入和函数解析式，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：由函数图象可知，，， 故答案为：，； （2）解：由图象知：超时费（元/h）； 当时，， 故答案为： ； （3）解：当时， ， ∵， ∴如果每月上网时间小时，选择B方式上网学习合算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意较合算的收费的方式应通过具体值的代入得到结果． 31．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）天然气收费标准如下表所示： 用气类型 气价 居民生活用气 阶梯气价（每年每户） 及以下部分 3.35元 部分（不包含包含） 3.93元 以上部分 4.80元 设某户每月用气量为，应交燃气费为（元）． (1)写出用气量未超过时，与之间的函数关系式； (2)当小明家交燃气费为1156.8元时，求小明家用气量． 【答案】(1) (2)小明家用气量为 【分析】本题考查一次函数，一元一次方程的应用． （1）应交燃气费每月用气量气价； （2）先求出x范围，再列方程即可． 【详解】（1）解：由表格可知，当时，， 当时，， ∴用气量未超过时，y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵（元），（元）， ∴小明家用气量超过，但不超过，即， ∴， 解得； ∴小明家用气量为． 32．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进，两种品牌的足球共50个，其中品牌足球的价格为100元/个，购买品牌足球所需费用（单位：元）与购买数量（单位：个）之间的关系如图所示． (1)购买数量个时，品牌足球的价格_____元/个； (2)求出当时，与的函数表达式： (3)若购买种品牌足球的数量不超过30个，但不少于种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用（单位：元）最低，并求出最低费用． 【答案】(1)120 (2) (3)当购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个时，总费用最少，最低费用是元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一次函数的增减性及一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据“所需费用÷购买数量”列式计算即可; （2）利用待定系数法解答即可； （3）设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球个，列关于m的一元一次不等式组并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W的值最小，求出其最小值及的值即可． 【详解】（1）解：购买数量个时，B品牌足球的价格 (元/个)， 故答案为：120； （2）解：设当时，y与x的函数关系式为， 得，解得 即当时，y与x的函数关系式为； （3）解：设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球个， ∵， 解得， ∵， ∵， ∴W随着m的增大而减小， ∴当时，W取得最小值，此时， ∴， 答：当购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个时，总费用最少，最低费用是元． 33．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）某企业计划购买A、B两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5200元，B型笔记本电脑每台6400元，设购买A型笔记本电脑x台，购买两种型号的笔记本电脑共需要总费用y元． (1)求出y与x之间的函数表达式 (2)若因为经费有限，该企业预算不超过8.6万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得大于B型笔记本电脑数量的4倍，请问该企业共有几种购买方案?哪种方案费用最省，并求出该方案所需费用 【答案】(1) (2)共有4种购买方案，购买型笔记本电脑12台，型笔记本电脑3台费用最省，费用为81600元． 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出一次函数是解此题的关键． （1）根据题意直接可以写出y与x之间的函数表达式； （2）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出，再由一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得． ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：∵学校预算不超过万元，购买A型笔记本电脑的数量不得大于B型笔记本电脑数量的4倍， ∴， 解得：， ∴共有4种购买方案，其中， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∴购买型笔记本电脑12台，型笔记本电脑3台费用最省，为81600元． 题型九 方案选择问题 34．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．    如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是________； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1)； (2)直立电梯一次性最多可以运输辆购物车； (3)共有种运输方案，理由见解析． 【分析】（）根据“一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加”，列出函数关系式； （）把代入解析式，求出的值即可； （）设用扶手电梯运输次，直立电梯运输次，根据题意得 ，求出的取值范围即可； 本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是列出函数解析式和不等式组． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴车身总长与购物车辆数的表达式为， 故答案为：； （2）解：当时，， 解得：，（辆）， 答：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车； （3）解：有3种，设用扶手电梯运输次，直立电梯运输次， 由（）得：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车， ∴ ， 解得：， ∴为正整数， ∴ ，，， ∴共有种运输方案： 扶手电梯运次，直立电梯运次； 扶手电梯运次，直立电梯运次； 扶手电梯运次． 35．（23-24八年级上·安徽淮北·期中）在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材吨和乙种钢材吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有两种不同规格的车厢共节，使用型车厢每节费用为元，使用型车厢每节费用元． (1)设运送这批钢材的总费用为元，这列货车挂型车厢节，试写出用车厢节数表示总费用的公式． (2)如果每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，装货时按此要求安排两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？ (3)在（）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？ 【答案】(1)； (2)种； (3)安排型车厢节，型车厢节运输运费最少，最少运费为元 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可； （）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （）根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出一次函数解析式和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 即； （2）解：由题意可得，， 解得， ∵为整数， ∴或或或或或， ∴共有种安排车厢的方案； （3）解：∵，， ∴的值随的增大而减小， ∴当时的值最小，即安排型车厢节，型车厢节运输运费最少， 此时，最少运费元． 36．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，于2025年9月3日在天安门广场举行“九三阅兵”．在本次阅兵中首次展示了多种新型武器，展现了我们国家捍卫和平的能力与力量.某商家在此契机下购进了“歼35”和“歼”两种隐形战机模型共80件进行销售，已知购进3件“歼35”模型和2件“歼”模型共需540元，购进2件“歼35”模型和3件“歼”模型共需560元． (1)求购进这两种模型的单价分别为多少元？ (2)设购进“歼”模型件（），购买这两种模型80件共花费元，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若“歼35”模型的售价为120元/件，“歼”模型的售价为150元/件．该商家计划购进这批模型所花的总费用不超过8900元，要使这批模型全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)购进“歼35”模型的单价是100元，购进“歼20S”模型的单价120元 (2) (3)购进“歼35”模型35件，购进“歼20S”模型45件可使商家获得最大利润，最大利润是2050元 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键． （1）设购进“歼35”模型的单价是a元，购进“歼”模型的单价b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设购进“歼”模型件（），则购进“歼35”模型件，根据数量乘以单价，列出一次函数关系式，即可求解． （3）根据题意先求得，设商家获得的利润是W元，列出一次函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设购进“歼35”模型的单价是a元，购进“歼20S”模型的单价b元. 根据题意，得， 解得. 答：购进“歼35”模型的单价是100元，购进“歼20S”模型的单价120元. （2）设购进“歼20s”模型年（），则购进“歼35”模型件 根据题意，得. 答：y与x之间的函数关系式为. （3）根据题意，得， 解得， ∵， ∴， 设商家获得的利润是W元，则， ∵， ∴W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W值最大， ，（套）. 答：购进“歼35”模型35件，购进“歼20S”模型45件可使商家获得最大利润，最大利润是2050元. 37．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 38．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）2025年1月7日西藏定日县发生6.8级地震，自治区应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 3 4 27 第二次 4 5 35 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车辆．求货车所需总费用与之间的函数关系式；当所需总费用为2350元，该如何安排拉货？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨． (2)；安排甲种货车2辆，乙种货车3辆参与运货 【分析】本题主要考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出货车所需总费用w与a之间的函数关系；由解方程即可解答． 【详解】（1）解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货m吨、n吨， 由表格可得：， 解得． 答：甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨． （2）解：设甲种货车a辆，则乙种货车辆， 由题意可得：， 即货车所需总费用w与a之间的函数关系是； 当时，由得， ， 故当所需总费用为2350元，安排甲种货车2辆，乙种货车3辆参与运货． 题型十 新情境问题 39．（24-25八年级上·陕西西安·期末）2025年春晚吉祥物“巳升升”的设计灵感源自中华传统文化，整体造型参考了甲骨文中的“巳”字，呈现出憨态可掬且富有古意的形象．某商店计划购进大号和中号两种型号“巳升升”共60个（两种型号都要），其成本与售价如表所示： 价格类型 成本（元/件） 售价（元/件） 中号 40 60 大号 55 100 若设购进大号“巳升升”的数量为x件，销售完两种型号“巳升升”的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若大号“巳升升”的数量不超过中号“巳升升”数量的2倍，请问如何购买两种型号的吉祥物才能获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)（，且为整数） (2)购买大号“巳升升”件，中号“巳升升”件时利润最大，且为2200元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解数量关系并确定出等量关系是解答本题的关键； （1）根据总利润=两种吉祥物利润之和列出函数解析式； （2）根据“大号“巳升升”的数量不超过中号“巳升升”数量的2倍”，得出x的取值范围，再根据函数的性质求出函数的最值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴y与x之间的函数关系式为（，且为整数）； （2）解：由题意得，， 解得：， ∵一次函数中，， ∴随着的增大而增大， ∴当时，利润最大，为元， 此时， 答：购买大号“巳升升”件，中号“巳升升”件时利润最大，且为2200元． 40．（2025·河南焦作·二模）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．某商家连续两周销售“滨滨”和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售量（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 25 10 3080 第2周 40 15 4840 (1)分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； (2)根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，设购进“滨滨”摆件个，两种摆件全部售完时所获的利润为元． ①求与的函数关系式； ②该商家如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少元？ 【答案】(1)“滨滨”“妮妮”摆件的零售价格都为88元/件 (2)①；②购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大，最大利润为2330元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）①设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件（100－m）个，根据题意即可确定与的函数关系式；②首先确定的取值范围，再根据一次函数的性质，并结合实际即可确定答案． 【详解】（1）解：设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件， 根据题意，列得方程组， 解得， 答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价格都为88元/件； （2）①设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件（100－m）个， 根据题意得：， 所以与的函数关系式； ②“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍， ，解得：， 由①知，为正整数， 随的增大而减小， 当取最小值67时，有最大值，最大值为2330， 此时，， 所以购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大，最大利润为2330元． 题型十一 跨学科问题 41．（2025八年级下·全国·专题练习）物理课上，老师正在展示光的反射规律，某同学借此情境编写了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，是正方体展示盒的截面，其中点，点的坐标分别为，，且轴，点处放置一支激光笔，激光笔发射的光线是直线的一部分． (1)点为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点，求所在直线的解析式； (2)已知在正方体展示盒的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），感光元件就会发光，求符合条件的的整数值． 【答案】(1) (2)4或5 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握光的反射定律及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）求出点的坐标并利用待定系数法求出所在直线的解析式即可； （2）取点关于轴的对称点，根据点的坐标得到的坐标，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点；设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且，将的坐标代入，将用含的代数式表示出来；再分别将点、的坐标代入得到对应的值，从而得到的取值范围，进而求得的整数值． 【详解】（1）解：，，且轴， ， 点为平面镜的中点， ， 点的坐标为， 将和分别代入， 得， 解得， 所在直线的解析式为； （2）解：如图，取点关于轴的对称点． ， ， 根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点， 设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且， 将代入， 得， ， ， 当反射光线经过时，得， 解得； 当反射光线经过时，得， 解得， ， 为整数， 或5． 42．（24-25八年级上·广西百色·期末）高铁站候车大厅的饮水机（图1）有温水和开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度区间最接近人体体温． (1)若共接水，先接温水，求再接开水的时间； (2)若共接水，设接温水的时间为，水杯里水的温度为．求关于的函数关系式，及达到最佳水温时的取值范围． 【答案】(1)接开水的时间为 (2)， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式、一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出关系式是解题的关键． （1）设接开水的时间为，根据先接温水在接开水，共接水，结合开水喝温水的水流速度，找出等量关系式列方程解答即可； （2）根据等量关系“温水体积温水升高的温度开水体积开水降低的温度”列出函数解析式，然后结合列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设接开水的时间为．         根据题意得，         解得．             答：接开水的时间为． （2）解：根据题意得，     化简，得．         ，             ． 43．（23-24八年级下·福建泉州·期末）【综合与实践】杆秤是一种生活中常见的称重工具，它的设计巧妙地运用了物理原理，使得测量物体质量变得简单而准确．杆秤的物理原理，包括杠杆原理、力的平衡以及刻度与读数等方面的内容．某兴趣小组想利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米． 任务一：确定和的值． 当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡； 当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡； （1）求和的值． 任务二：确定刻线的位置． （2）根据任务一，求关于的函数解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）依据题意，又当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，可得,且，进而计算可以得解； （2）依据题意，由（1）可知：，，则，进而可以得解． 【详解】解：（1）由题意得：，， 当，时，，   ；     当，时，，    ；     联立①②可得，     解得．     （2）由（1）可知：，， ∴，     ∴． ∴关于的函数解析式为． 44．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】(1)弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 45．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，杠秤是我国传统的称重工具，它利用秤砣到秤纽的水平距离，得出秤钩上所挂物体的重量． 2 4 6 8 10 1 1.5 2 2.5 3 (1)当提小秤纽称重时，秤钩上所挂物体的重量是秤砣到小秤纽的水平距离的一次函数，所记录的若干次称重数据如表所示： 与之间的函数表达式为__________； 若秤砣到小秤纽的最大水平距离为，求提小秤纽可称的最大物重． (2)在（1）的条件下，若物重大于提小秤纽可称的最大物重，则提大秤纽称重，此时秤钩上所挂物体的重量是秤砣到大秤纽的水平距离的一次函数．已知大、小秤纽的水平距离为，提大秤纽称物重的秤砣位置分别与提小秤纽称物重的秤砣位置重合，求提大秤细可称的最大物重． 【答案】(1) ，提小秤纽可称的最大物重为 (2)提大秤纽可称的最大物重为 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系及一次函数的增减性是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； 根据一次函数的增减性和的取值范围求出y的最大值即可； （2）将，分别代入y与x之间的函数表达式，求出对应的x的值，从而分别求出对应的m的值；利用待定系数法求出y，与m之间的函数表达式，并根据一次函数的增减性和m的取值范围求出y的最大值即可． 【详解】（1）解：设与x之间的函数表达式为 (为常数，且)． 将，和，分别代入， 得 解得 与x之间的函数表达式为． 故答案为∶ ． ， 随的增大而增大． ， 当时，的值最大，． 提小秤纽可称的最大物重为． （2）解：设．由时，，得． 同理可得．解方程组 得 ． ， 随的增大而增大． 当时，的值最大，． 提大秤纽可称的最大物重为． 题型十二 新考法问题 46．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）随着新能源技术的日益发展与提升，新能源汽车深受广大民众的喜爱．某品牌新能源汽车的电池电量与充电时间之间近似满足一次函数关系，小明观察并记录某次充电数据如下表： 【观察记录】 充电时间 … 10 20 30 40 50 60 … 电量 … 30 40 50 60 70 80 … (1)求该品牌汽车的电池电量W与充电时间t的函数关系式； (2)该品牌新能源汽车的最大充电量为，如果当电池的电量剩余20%时，对汽车开始充电，求充满电池电量需要多少时间； (3)下图是小明根据车辆行驶过程中剩余电量与行驶里程画出的图像，其中段刻画了该车在省电模式下的行驶状态，段刻画了车辆开着空调的行驶状态．已知车辆在段行驶过程中每100km电耗比段高50%，请根据图像计算从B到C过程中车辆行驶的里程数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，画函数图象，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意，求出每分钟充电功率，再充满电量所需要时间． （3）根据图象，求出不开每公里能耗，再依据题意求出开空调的能耗，由消耗电量即可求出从B到C过程的路程． 【详解】（1）解：设充电量W与时间t的函数关系式为，把，代入得： ， 解得：， ∴充电量W与时间t的函数关系式为； （2）根据题意可得：每分钟充电量为： ， 充满电量需要的时间为： ． 答：如果当电池的电量剩余20%时，对汽车开始充电，充满电池电量需要96分钟． （3）由图可知段车辆每电耗为： 段车辆每100km电耗为：， 答：从B到C过程中车辆行驶的里程数为， 47．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）利用杆秤称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得等式：，其中秤盘质量克，重物质量x克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．如图，秤盘与零刻度线的距离为3厘米，零刻线与末刻线的距离为50厘米，秤盘质量克，秤砣质量克．某兴趣小组利用等式制作简易杆秤． (1)确定秤纽的位置：当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请求出l，a的值； (2)确定杆秤的最大称重质量：根据（1）中l，a的值，求y关于x的函数解析式，并求杆秤的最大称重质量（秤砣移至末刻线D处，秤得的物体质量）； (3)制作杆秤的刻度：将零刻线开始至末刻度线之间的线段平均分成10份（格），标注刻度值，则点E处应标注的刻度值为______克． (4)该小组成员利用制作好的杆秤称重物时，误用了60克的秤砣进行称重，称得重物的质量为500克，则该重物的实际质量为_____克． 【答案】(1)； (2)，最大称重质量为1000克； (3)600； (4)602． 【分析】本题主要考查一次函数的应用、解一元一次方程，读懂题意，根据题干的描述正确列出等式是解题关键． （1）由知，，再把，，，，代入，求出，； （2）将，，，代入，求得，当时可求出杆秤的最大称重质量； （3）求出每一刻度的称重，再乘以6即可； （4）先计算出称重时值的长度为，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把，，，，代入，得： ， 解得，， ∴； （2）解：将，，，代入，得， ， 解得，； 当时，即， ∴， 即杆秤的最大称重质量是1000克； （3）解：克， 故答案为：600； （4）解：由（1）知， 当重物质量为500克时，则有： ， 解得，， 而小组成员错误称量时，值的长度为，用了60克的秤砣进行称重， 所以有：， 解得，， 即物体实际重量为602克， 故答案为：602． 48．（24-25八年级上·广东深圳·期中）根据背景素材，在两种解决方法里选择其中一种作答． 计算遮雨棚的高度 背 景 素 材 如图，只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（，结果精确到） 问题解决 解 决 方 法 一 如下图某小组同学通过测量不同层数的高度，完成了如下的表格： 油桶层数 1 2 3 4 遮雨棚高度 （1）根据表格内容，求出遮雨棚高度和层数的关系式： （2）当油桶层数是层时，这样遮雨棚高度是多少？ 解 决 方 法 二 如下图某小组同学根据油桶的摆放方式，绘制了如下截面图，、、三点都是对应圆的圆心， （1）判断的形状，并说明理由； （2）求出遮雨棚的高度. 【答案】解决方法一：（1）  （2）  解决方法二：（1）是等边三角形，理由见解析  （2）． 【分析】本题考查一次函数的应用和勾股定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 解决方法一：（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入计算函数值即可； 解决方法二：（1）根据三边相等的三角形是等边三角形判定即可； （2）利用勾股定理计算即可． 【详解】解：解决方法一： （1）解：设遮雨棚高度和层数的关系式为，把，代入得： ，解得， ∴遮雨棚高度和层数的关系式为， （2）当时，， ∴遮雨棚的高度为； 解决方法二：（1）是等边三角形，理由为： ∵，，， ∴， ∴是等边三角形； （2）∵， ∴， ∴， ∴遮雨棚的高度为． 49．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）两地分别有垃圾30吨，20吨，现要把这些垃圾全部运到两个垃圾处理厂进行处理，其中26吨运到厂．运费标准（单位：元/吨）如下表： 厂 厂 地 20 25 地 40 35 设从地运到处理厂吨． (1)从地运到处理厂______吨，从地运到处理厂______吨，从地运到处理厂______吨（用含的式子表示）； (2)从两地运到厂的运费为元，运到厂的运费为元． ①怎样安排运输可以使运输总费用最节省，请求出该费用； ②按照规定，处理厂还会对两地的垃圾收取垃圾处理费，其中垃圾处理厂每吨收取元，垃圾处理厂每吨收取5元．在①的条件下，若这批垃圾全部处理完总费用（运输费和垃圾处理费）不超过1518元，请直接写出符合条件的的最大整数值为______． 【答案】(1)，， (2)①从地运到处理厂吨，从地运到处理厂吨，从地运到处理厂吨，从地运到处理厂吨，可以使运输总费用最节省，为元；② 【分析】本题考查了列代数式、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）①求出关于的关系式，再根据一次函数的性质即可得出答案；②根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设从地运到处理厂吨， ∴从地运到处理厂吨， 从地运到处理厂吨， 从地运到处理厂吨 （2）解：①由题意得：，， ∴， 由题意得：， 解得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，可以使运输总费用最节省，为（元）， ∴从地运到处理厂吨，从地运到处理厂吨，从地运到处理厂吨，从地运到处理厂吨，可以使运输总费用最节省，为元； ②由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴的最大整数值为． 50．（23-24八年级下·福建福州·期末）启航中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】 启航中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为． 【收集数据】 小组成员分工进行数据收集并整理如下： 【建立模型】 成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】 兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】 （1）与的函数关系式为______；与的函数关系式为______． （2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． （3）根据小敏的想法，请设计该路段8时至20时的可变车道方案，并说明理由． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆/分钟） 11 14 17 20 23 【答案】（1），；（2）自西向东方向更拥堵；（3）在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向；理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）由（1）得，，，当时，算出，． 根据可变车道为自东向西方向，得出自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2，即可求出，，即可判断； （3）在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，． 分为当时，，和当时，，求解即可； 【详解】解：（1）设为常数，且． 将和代入， 得， 解得， ∴． 设为常数，且． 将和代入， 得， 解得， ∴． 故答案为：，． （2）由（1）得，，， 当时，，． 可变车道为自东向西方向， 自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2， ，． ， 自西向东方向更拥堵． （3）在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，． 当时，， ，解得， ， ． 当时，， ，解得， ， ． 综上所述，在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向． 51．（23-24八年级下·江苏常州·期末）古希腊数学家、物理学家阿基米德曾说过一句豪言壮语：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话夸赞的其实是“杠杆原理”．如图1，“杠杆原理”可通俗地理解为：动力×动力臂=阻力×阻力臂．生活中，筷子、剪刀、羊角锤、钓鱼竿、跷跷板……，“杠杆原理”的应用无处不在． (1)最简单的“杠杆原理”应用：天平． 如图2，天平两端的托盘底部中心与支点的距离分别是、，且，设左侧托盘所放物体的质量是，右侧托盘所放砝码的质量是．当游码归零时，天平恰好保持平衡，由“杠杆原理”得与的数量关系为__________； (2)现代人的杠杆智慧：手机自拍杆． 如图3，一只手的握点O为支点，另一只手在点A处竖直向上用力，手机放置在自拍杆的点B处，且自拍杆与水平方向的夹角始终保持不变，手机的重力是，由“杠杆原理”得： ①当点A固定，增大时，所用的力F__________（填“增大”或“减小”）； ②当点B固定，增大时，所用的力F__________（填“增大”或“减小”）； (3)古代人的杠杆智慧：杆秤． 如图4，将质量为的待测物挂于秤钩处，提起提纽，在秤杆上移动质量为的秤砣，，，秤杆总长度是． ①当秤杆保持水平时，m与l的函数表达式为__________，m的最大值是___________； ②将待测物与秤砣互换位置，在秤杆上移动待测物．当秤杆保持水平时，求m与l的函数表达式．此时，m是否有最大值？请说明理由． 【答案】(1) (2)①增大；②减小 (3)①，19；②，没有最大值，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数，反比例函数的应用，正确理解题意，弄清楚各量间的数量关系是解题的关键． （1）由“杠杆原理”得，再根据即得答案； （2）由“杠杆原理”得，所以，①根据正比例函数的性质，即可得到答案；②根据反比例函数的性质，即可得到答案； （3）①根据“杠杆原理”得，再根据正比例函数的性质，即可解答；②根据“杠杆原理”得，再根据反比例函数的性质，即可解答． 【详解】（1）由“杠杆原理”得，而， 所以； 故答案为：． （2）由“杠杆原理”得， 所以 ①当点A固定，增大时，和G不变，所以F是关于正比例函数，所以当增大时，所用的力F也随之增大； ②当点B固定，增大时，和G不变，所以F是关于反比例函数，所以当增大时，所用的力F反而减小； 故答案为：①增大；②减小． （3）①根据“杠杆原理”得， ， ， ， ， ， 随着l的增大而增大， 当时，取最大值，最大值为19； 故答案为：，19． ②由“杠杆原理”得， 与l的函数表达式为， 根据反比例函数的性质， m随l的增大而减小， ， 没有最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $