重难点专题01 一次函数综合问题4题型9重难点（专项训练）数学苏科版2024八年级上册

重难点专题01 一次函数综合问题 题型一 一次函数面积问题 1.在求一条直线与坐标轴所围成的三角形的面积时，先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴所围成的直角三角形的两条直角边长，再利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积. 2.在求两条直线与一条坐标轴所围成的三角形的面积时，可以先分别确定两条直线与这条坐标轴的交点坐标(即可确定三角形的底)，然后求两条直线的交点坐标(即可确定三角形的高)，最后利用三角形的面积公式得出结果. 重难点一 一直线与坐标轴围成的面积 1．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图像上点的坐标特征，求出直线与坐标轴的交点坐标是解答本题的关键． 利用一次函数图像上点的坐标特征，求出直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式，求出答案． 【详解】解：根据题意得： 当时，， 直线与轴的交点坐标为； 当时，， 解得：， 直线与轴的交点坐标为， 直线与坐标轴围成的三角形的面积是， 故答案为：． 2．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一次函数，它的图象与两坐标轴所围成的图形的面积等于2，则b的值为 ． 【答案】 【分析】求出一次函数与坐标轴的交点坐标，根据面积公式求出值即可． 【详解】解：∵， 当时，；当时，； ∴一次函数与坐标轴的交点坐标为：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题．正确的求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 3．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知直线与x轴交于点A，且与两坐标轴所围成的三角形面积是8，则 ， ． 【答案】 1 【分析】把代入直线解析式得到关于k与b的方程，再由函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积是8，列出关于k与b的方程，联立求出k与b的值，即可确定出解析式． 【详解】解：直线解析式与x轴交于点A， 令，得到，即直线与y轴交点为， 根据题意得：，即， 解得：或， 当时，直线解析式为，把代入得：，不合题意，舍去； 当时，直线解析式为，把代入得：，此时解析式为， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 4．（21-22八年级下·河南洛阳·期中）一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于5，则该直线的表达式为 ． 【答案】或 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式得到，求出k即可． 【详解】解： 当x=0时，y=10 ∴与y轴交于点(0,10) 当y=0时，， ∴与x轴交于点， ∵围成的三角形的面积为5， ∴， 解得 ∴该直线的表达式为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积，解题关键是求出直线与坐标轴的交点坐标，并注意分类讨论． 5．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，已知一次函数，完成下列问题： (1)在所给直角坐标系中画出此函数的图象； (2)求直线与两坐标轴围成的面积． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题目中的函数解析式，可以求得相关点的坐标，即可画出相应的函数图象； （2）根据（1）的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数， ∴当时，；当时，， ∴函数图象与轴交于点，与轴交于点； 函数图象如图所示： （2）解：直线与两坐标轴围成的面积． 重难点二 两直线与一坐标轴围成的面积 6．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为． (1)如图，若． ①求直线、直线与y轴所围成的的面积； ②根据图像直接写出的解集． (2)若，求整数k的值． 【答案】(1)①面积为；②； (2)或6 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，图形与坐标的性质，两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． （1）①先用待定系数法求的解析式，再求出点的坐标，最后用三角形面积公式求解即可； ②直接观察图象，找出直线在直线的下面的部分，写出部分对应的自变量的取值范围； （2）先求交点坐标，再根据建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】（1）①当时，， ∴． 将代入，得． 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴的面积为：； ②当时，直线在直线的下面，即， ∴的解集为； （2）， 解得 ， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴整数k的值为5、6． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知点，点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)在轴上找一点，使其满足，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离，（2）解题的关键是：利用两点间的距离结合，找出关于的方程． （1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线的表达式； （2）设点的坐标为，结合点的坐标可得出的长，结合可得出关于的方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标，再求的面积． 【详解】（1）解：设直线所对应的函数表达式为， 将、代入， 得：，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：设点P的坐标为． ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， ∴． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集： ； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了两条直线交点问题、一次函数图象解不等式以及直线与坐标轴围成图形的面积．并利用数形结合的思想解决问题． （1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1的解析式； （2）根据图象求得即可； （3）根据可得结论． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 则的坐标为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为：； （2）解：由图象可知，不等式的解集是． 故答案为：； （3）解：∵直线与y轴相交于点C， ∴C的坐标为， 又∵直线与x轴相交于点A， ∴A点的坐标为， ∴， ∴ ． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． (1)直接写出A、C的坐标； (2)写出直线的解析式； (3)若与的面积相等，求点E的坐标． 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识点，数形结合是解此题的关键． （1）根据，求解即可； （2）用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，； （2）解：设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （3）解：∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ ∴． 重难点三 三直线围成的三角形面积 10．（21-22八年级上·陕西宝鸡·期中）一次函数的图象经过，两点． (1)此一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、一次函数与坐标轴的交点问题，掌握待定系数法求出解析式是解题关键． （1）将，两点代入即可求解； （2）求出一次函数与坐标轴的交点，根据即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入得： ， 解得： ∴ （2）解：如图所示： 令，则； ∴， ∴ ． 11．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，另一直线与轴、轴分别交于点，连接．直线与直线交于点，在轴上有一点 ，过点作轴的垂线，分别与直线交于点． (1)求的值及的面积； (2)若，求的值； (3)在轴找点使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)5；7 (2) (3)点Q的坐标为或或或 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积． （1）由直线求得E的坐标，代入求得b的值，即可求得D的坐标，再求出A，B点坐标即可求得的面积； （2）通过证得，得出，进而根据点E的坐标，求得点M的横坐标，从而求得a的值． （3）由勾股定理求出，分为底和腰两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）∵直线经过点， ∴， ∴， 把E点的坐标代入得，， 解得， ∴直线为， ∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B， 令，则；令，则， ∴， ∵直线与x轴，y轴分别交于点C，D， 令，则， ∴； ∴， ∴． （2）解：∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点， ∴M点的横坐标为， ∴a的值为． （3）解：过点作于点 ∵， ∴, ∵ ∴ ∴由勾股定理得，； 若为腰时，则，如图， ∴； 若为底时，则的垂直平分线交于，则。 设，则 ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上，点Q的坐标为或或或． 12．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，直角坐标系中，已知点坐标为，点坐标为，直线与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数关系式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)点或 【分析】本题考查了一次函数的综合，考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称，求三角形的面积等知识，解题的关键是通过解方程组求点坐标． （1）设直线解析式为，将点，代入转化为方程组求解即可； （2）先求出点和点坐标，再根据求解即可； （3）过点作的平行线交于点，则点就是所求作的点，利用待定系数法求出直线，通过解方程组求出点坐标，再求出点关于点的对称点即可得到此题答案． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 直线经过点，， ，解得 直线的函数表达式为； （2）直线交轴于点， 令，，， 点坐标为， 点与点关于轴对称， 点， ，． ， ， ． （3）在直线上存在一点，使得，理由如下： 过点作的平行线交于点，则点就是所求作的点， 设直线为：， 将点代入上式，得， 直线的解析式为 直线经过点， 直线的解析式为， 解方程组得，， ， 设点关于点的对称点为， 的坐标为，此时， 点的坐标为或． 13．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D、E，直线：分别交x轴、y轴于点C、． (1)求点A的坐标和的面积． (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M、N．若，求m的值． 【答案】(1)，的面积是 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的几何应用，一次函数的性质，待定系数法，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据点在直线上，求出直线的解析式，联立和即可求出点；求出，，，再根据即可求解； （2）根据点在线段上，点在直线上，即可得出，根据的取值范围即可求出最大值； （3）根据点，得出，，根据，列出方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴直线的解析式， 联立和可得，解得：， 故点； 在：中，令，则，故， 令，则，故， 在直线：中，令，则，故， ∴； （2）解：∵点在线段上，点在直线上， ， ， ， ∴当时，有最大值， （3）解：∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或． 14．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点和点，将直线向下平移个单位长度得到直线，已知点是直线上一点，点横坐标为，连接，所在直线记为 (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的平移、一次函数上点的坐标特征及与坐标轴的交点、两点间距离公式及点到直线的距离公式等，熟练掌握相关知识是解题的关键． ()依据一次函数“上加下减”的平移规律，直线：向下平移个单位长度得到直线的解析式为；再根据一次函数上点的坐标特征，将点横坐标代入解析式，求出 点坐标为； ()先求出线：与轴、轴的交点；接着利用两点间距离公式算出，设所在直线：，将点，点坐标代入，求得直线的解析式为：，最后根据三角形面积公式，分别求得和的面积，即为的面积为 ． 【详解】（1）解：∵直线：向下平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， ∵点是直线上一点，且D点横坐标为， ∴将代入直线的解析式为， 可得， ∴点的坐标为； （2）对于直线：， 当时，，解得， ∴点坐标为； 当时，， ∴点坐标为， ∴， 设所在直线：， 将点，点坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，，解得， ∴点坐标为， ∴， ∴， ， ∴． 15．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B．直线交于点D，交x轴于点E． (1)求直线的解析式和D点坐标； (2)如图2，点P坐标为，求的面积； (3)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点C的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）运用待定系数法求解直线的解析式即可，再把代入直线解析式即可求解D点坐标； （2）根据即可求解； （3）分两种情况，构造全等三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：把、代入得到， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上，横坐标为， 把代入可得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵点坐标为，， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3中， ①当是等腰直角三角形时，作轴于， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ②当是等腰直角三角形时，同理可得， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 16．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为y轴上一个动点． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)当与面积相等时，求实数a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点C作轴，根据等腰直角三角形的性质证明，推出，进而求出，即可得到点C的坐标； （2）由（1）知点C的坐标，利用待定系数法即可求解； （3）利用勾股定理求出，即可求出的面积为，由题意可得，根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， 设直线的函数表达式为：， 则，解得， ∴直线的函数表达式； （3）解：∵为等腰直角三角形，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∵与面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查图形与坐标、一次函数与几何综合、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 重难点四 直线将三角形分成两部分 17．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知直线：与直线平行，与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线与轴交于点，与x轴交于点D，与直线交于点． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求四边形的面积； (3)点F是线段的一个动点，连接，若线段将四边形的面积分成的两部分，请求出点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）由直线与直线平行，得到直线为，进而求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线对应的函数表达式； （2）根据两直线的解析式求得、的坐标，然后根据求解即可． （3）由题意得或，设，再由三角形面积公式求解，即可求出坐标． 【详解】（1）解：直线与直线平行， ， 直线为， 点在直线上， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：在直线中，令，则， 解得：， ， 在直线中，令，则， 解得：， ， ，， ， ， ， ， ． 故四边形的面积是． （3）解：如图， ∵线段将四边形的面积分成的两部分， ∴或， ∴或； 设， ∴或， ∴或， ∴或． 18．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当点C运动到或的位置时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ，， ， ， ， 把代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成的两部分； （3）解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：   ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时， ，，， ， 同理可得， ②若时，如图：   ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 19．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交坐标轴于、两点，点、的坐标分别为、，直线、相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，若直线上存在点，使得的面积是的面积的2倍，请求出点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为：． (2)M的坐标为：或． 【分析】本题考查一次函数的几何问题，熟练掌握基本性质和三角形面积公式是解题关键； （1）利用待定系数法直接求解即可； （2）分两种情况，当分别在点的上方和下方时，分别计算即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为：， ∵点、的坐标分别为、， ∴， 解得， 故直线的函数表达式为：． （2）解：∵直线的函数表达式为：，的图像交坐标轴于、两点，且直线、相交于点． ∴， ∴联立解得， ∴， 如图， 当在点下方时，要使得的面积是的面积的2倍， 则点为的中点， ∴； 当在点上方时， ∵， ， 又∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵在直线上， ∴， ∴， ∴, 故M的坐标为：或． 20．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知如图：在平面直角坐标系中，有三点 、、 ， (1)如图1：当时，求证：； (2)如图2：将延长到D，如果D点坐标是，则 ， 此时如果 的面积等于12，则m 的值又是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2)         的值是：或 【分析】（1）解题思路为：遇到两倍角关系的证明想到角平分线等知识，过点C作交的角平分线于点M，与相交于E，然后证明为等腰三角形即可； （2）根据B、C两点求出直线的解析式，将D点代入直线解析式中即可求出n的值，然后根据的面积分为与的面积之和为12，即可求出m的值． 【详解】（1）解：如图所示：过点C作交的角平分线于点M，与相交于E， ， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴设直线：， ∵，， ∴，解得：， ∴直线：， ∵，， ∴同理可求出直线的解析式：， ∴联立：，解得：， ∴， ∴，， ∴，从而：， ∴； （2）∵由（1）可知直线解析式：， 将代入得：， 如图所示：连接， ， ∴ ， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数背景下的代数与几何综合题．解题的关键是能够熟练掌握角平分线形成的二倍关系，利用待定系数法求解一次函数解析式，能够用割补法求解平面直角坐标系下的三角形的面积． 21．（24-25八年级上·陕西·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点A，交轴于点，点是点A关于轴对称的点，过点作轴平行的射线，交直线与点，点是射线上的一个动点． (1)点A的坐标为______，点的坐标为_______； (2)若直线与直线的交点为（不与点重合），连接，当与的面积满足时，请求出对应的点坐标． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】（1）利用坐标轴上点的特点建立方程即可得出结论； （2）先求出，，利用三角形面积关系求出点坐标，再联立直线解析式求出交点坐标即可得出结论． 此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，轴对称性质，待定系数法求一次函数解析式，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象交轴于点A，交轴于点， ∴令，则； ， 令，则， ， ； 故答案为：，； （2）解：点是点关于轴对称的点， ， 轴， 时，， ， ∵点是射线上的一个动点， 设， ，， ， ， ， 或， 或，如下图所示： ∴设直线的解析式为， 直线的解析式为①， 当时，即为， ∴直线的解析式为②， 故联立①②得， 解得，，， ， 当时，即为， ∴直线解析式为③， 故联立①③得， 解得，， ， 即：满足条件的点或 题型二 整点问题 若平面直角坐标系内的P点满足横、纵坐标都是整数，我们把这样的点P称为“整点”.例如点(4，0)、(2，-3)都是整点，在许多资料或考试中，有时也叫美点、好点或格点等.一般来说，“整点问题”难度较大，涉及图像、函数、方程、不等式、分类讨论、数形结合等知识和方法. 22．（20-21八年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点，已知直线与直线，若两直线与y轴围成的三角形区域内(不含三角形的边)有且只有三个整点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由过（1，0）时区域内由两个整点求出m=-2，由过（2，-1）时区域内有三个整点求出，综合求出区域内有三个整点可求出． 【详解】当过（1，0）时区域内由两个整点， 此时m+2=0，m=-2， 当过（2，-1）时区域内有三个整点， 此时，， 两直线与y轴围成的三角形区域内(不含三角形的边)有且只有三个整点， ． 故选择：D． 【点睛】本题考查数形结合思想求区域整点问题，掌握利用区域三角形边界整点来解决问题是关键． 23．（2024九年级·全国·竞赛）如图，直线分别与坐标轴交于，两点，若称横纵坐标都是整数的点为整点，那么内（含边界）的整点共有 个． 【答案】22 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数值的大小比较，正确理解内（含边界）的整点的含义是解答本题的关键．先用待定系数法求直线的解析式，然后分别求，1，2，，9时的函数值，可逐步求得相关整点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，两点的坐标代入得， 解得， 所以直线的解析式为， 当时，，所以线段上有4个整点，，，，， 当时，，所以在直线上有3个整点符合要求，，，， 当时，，所以在直线上有3个整点符合要求，，，， 当时，，所以在直线上有3个整点符合要求，，，， 当时，，所以在直线上有2个整点符合要求，，， 当时，，所以在直线上有2个整点符合要求，，， 当时，，所以在直线上有2个整点符合要求，，， 当时，，所以在直线上有1个整点符合要求，， 当时，，所以在直线上有1个整点符合要求，， 当时，，所以在直线上有1个整点符合要求，， 综上所述，内（含边界）的整点共有22个． 故答案为：22． 24．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与直线交点的计算，掌握交点的计算是关键． 根据题意得到点到点之间的整点有，结合题意得到点的横坐标的范围为，分别代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，顶点，且轴， ∴， ∴点到点之间的整点有， ∵线段上有3个整点（包含线段端点）时，即点的横坐标的范围为， 当，即点在直线上时，， 解得，， 当点，即点在直线上时，， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 25．（23-24九年级上·上海虹口·阶段练习）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知为整数，若函数与的图像的交点是整数点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】联立两个函数，用含的代数式表示出、，再根据、均为整数，找出符合条件的值即可． 【详解】解：联立，解得：， 函数与的图像的交点是整数点， 、均为整数， 当、时，、均为整数，符合题意， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，正确表示出、，并找出符合条件的值是解题关键． 题型三 一次函数与将军饮马问题 26．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，平面内有一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和轴对称—最短路径问题，熟练运用一次函数的性质解决问题是本题的关键． 先根据动点，利用参数法求出即点在直线上，再找出点关于直线对称点为，根据根据将军饮马模型可知当A、B、P三点在同一直线上时，取最小值，求出长即可解题． 【详解】解：∵设动点为；又因为动点， ∴， ∴，即点在直线上， 如图， 直线与x轴、y轴分别交于、两点， 易得直线与x轴、y轴分别交于、， ∴， ∴关于直线对称点为， 连接，，作轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当A、B、P三点在同一直线上时，取最小值，最小值为． 27．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，线段所在直线的函数表达式为，C是的中点，P是上一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数求点的坐标和性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，掌握轴对称最短路径的确定方法是解题的关键． 作点O关于的对称点，连接交于点D，连接，与交于点，再求出，C的坐标，根据勾股定理求出的值，即为的最小值． 【详解】解：作点O关于的对称点，连接，与交于点，连接交于点D，如图： 此时，的值最小，最小值为的长， 线段所在直线的解析式为， ，， ， C是的中点， ， 是点O关于的对称点， ，，， 四边形是正方形， ， 的最小值是． 28．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，点在轴上，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，过点作于，则的最小值，三角形面积公式得到的长度便可． 【详解】解：如图，点关于的对称点，过点作交于点，连接，，， 则， 当、、三点共线，且、重合时，为的最小值， 直线的解析式为， ∴当时，， 当时，， ∴，， ， ， ， ∴， 即， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、一次函数与坐标轴的交点、勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是利用对称性找到点、点位置，属于中考常考题型． 29．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，若是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离，如图，过分别向轴、轴作垂线、和，垂足分别是，直线交于点，在中，，． (1)平面直角坐标系内任意两点间的距离公式为：__________； (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点之间的距离为__________； (3)利用上面公式，在平面直角坐标系中的两点为轴上任一点，则的最小值和此时点的坐标； (4)应用两点间的距离公式，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)5； (4) 【分析】（）根据题意即可求解； （）利用两点间距离公式计算即可； （）作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，可知此时的值最小，利用两点间距离公式可求出的最小值，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而可求出点的坐标； （4）由原式，可得原式表示点到点和的距离之和，由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段时，代数式的值最小，进而利用两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）解：作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵， ∴的最小值为， 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； （4）解：∵原式， ∴原式表示点到点和的距离之和， 由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段时，代数式的值最小， ∴最小值． 【点睛】本题考查了两点间距离公式，轴对称的性质，两点之间线段最短，求一次函数解析式，掌握两点间距离公式是解题的关键． 30．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象为直线，已知两点、． (1)在直线位于第一象限的部分找一点C，使得．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）； (2)直接写出点C的坐标为_____． (3)若点P在x轴上，当取最小值时，请求出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，一次函数图像上的点的坐标特征，轴对称最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）作线段的垂直平分线交直线l于点C即为所求； （2）由线段垂直平分线的定义得点D是线段的中点，求出D的坐标，根据轴，即可求得点C的坐标； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则，要使最小，即最小，故当、，三点共线时，最小，最小值为，利用待定系数法求的解析式，再求与轴的交点坐标即可． 【详解】（1）作线段的垂直平分线交直线l于点C即为所求， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； （2）∵是线段的垂直平分线， ∴点D是线段的中点，轴， ∵,, ∴， 将代入，得， ∴点C的坐标为， 故答案为：； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴， ∴要使最小，即最小， ∴当、，三点共线时，最小，最小值为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，有，解得：， ∴． 题型四 一次函数与几何综合 重难点一 一次函数与全等三角形综合 31．（22-23八年级上·江苏·期末）（1）【问题解决】 ①如图①，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以为腰在第二象限作等腰直角，，点A，B的坐标分别为A__________，B__________． ②求①中点C的坐标． 小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点C向x轴作垂线交x轴于点D．请借助小明的思路，求出点C的坐标； （2）【类比探究】 数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题，如图②，在平面直角坐标系中，点A坐标，点B坐标，过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是一次函数图象上一动点，若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D与点P的坐标：______． 【答案】（1）①，；②；（2）或D，P 【分析】（1）①根据一次函数与坐标轴的交点，令时，；令时，，结合题意，即可得出答案；②过点C向x轴作垂线交x轴于点D，根据①的结论，得出，，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据线段之间的数量关系，得出，再结合图形，即可得出答案； （2）过点D作轴于F，延长交于G，根据线段之间的数量关系，得出，再设点，进而得出，，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据两点之间的距离，得出，再根据，列出方程，解出即可得出点的坐标，然后分两种情况：当时和当时，分别求出点的坐标． 【详解】解：（1）①∵一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴令时，；令时，， ∴，； 故答案为：，； ②如图①，过点C向x轴作垂线交x轴于点D， 由（1）知，，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）如图②，过点D作轴于F，延长交于G， ∴， ∵点D在直线上， ∴设点， ∴， ∵轴，， ∴， 同②的方法得，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 当时，，， ∴， ∴， 当时，，， ∴， ∴， ∴， 即：，或，． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、两点之间的距离，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答． 32．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）请根据以下素材，完成探究任务 材料一：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，则 ．（不需要证明） 材料二：如何确定点所在直线对应的函数关系式，我们可以设，这样就可以把代入，可得，利用这样的方法就可以确定点所在直线对应的函数关系式了． 【模型应用】若一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点． (1)如图2，当时，点到经过原点的直线的距离的长为8，求点到直线的距离的长； (2)如图3，当时，点在第一象限内，是等腰直角三角形，求点的坐标； (3)如图4，在平面直角坐标系中，是直线上一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ． 【答案】(1)6 (2)点的坐标为，或 (3) 【分析】（1）利用“型全等”可证明，得出，然后在中利用勾股定理求解即可； （2）分当，时，当，时，当，时，分别画图讨论即可； （3）设，如图，过作轴于，过作于，利用“型全等”可证明，可求，利用材料二中的方法求出所在直线对应的函数关系式，则当与直线垂直时，最小，然后根据等面积法求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，，则， 当时，，解得：，则， ， ， ， ， ， ， ， 即点到直线的距离的长6 ； （2）解：当时，则， 当时，，则， 当时，，解得：，则， ， 当，时，如图，过作轴于， 同理可证， ， ； 当，时，如图，过作轴于， 同理可证， ， ； 当，时，如图，过作轴于，过作轴于， ∴四边形是矩形， ， ∴， ， ， ∴四边形是正方形， ， ∴， ∴， ∴， ； 综上，点的坐标为，或； （3）解：设， 如图，过作轴于，过作于， ∵旋转， ， ， ， ， ， 令， ， ∴点在直线上运动， 当与直线垂直时，最小， 设与轴交于轴交于， 当时，， ， 当时，，解得：， ， ， ， ∴设上的高为， 则， ， 即最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数，旋转的性质，矩形的性质和判定，等腰直角三角的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形，合理分类讨论是解题的关键． 33．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）【构建模型】（1）如图1，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第一象限作等腰直角，，点的坐标为__________，点的坐标为__________． （2）求（1）中点的坐标，并求出直线的函数表达式． 【模型应用】（3）如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是__________． 【拓展延伸】（4）如图3，图1中的点是轴上的一个动点，点保持不变，连接，在点的运动过程当中，线段是否存在最小值，若存在，直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2），直线解析式为；（3）；（4）线段存在最小值 【分析】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）当时，，当时，，即可求解； （2）过点作直线于，由可得，可得，，即可得到；再设直线解析式为，代入，求出直线解析式即可； （3）过点作，交直线于，过点作轴于，先证明，得到，，即可得到，设直线解析式为，代入，计算即可； （4）如图，过点作轴于，由（2）可得，得到，由垂线段最短可得，即当与重合时最小，最小值为． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，， 当时，， ∴点，点， 故答案为：，； （2）如图①，过点作直线于， ∴， ∴， ∴， 又∵等腰直角，， ∴， ∴， ∴，， ∵点，点， ∴，， ∴， ∴点； 设直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为； （3）由（1）可得直线与轴交于点，与轴交于点， 过点作，交直线于，过点作轴于， ∴， ∴， ∴， 又∵将直线绕点顺时针旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，点， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， 故答案为：； （4）如图，过点作轴于， 同理由（2）可得， ∴，， ∵图1中的点是轴上的一个动点，点保持不变， ∴， ∴， ∴，即当与重合时最小，最小值为． 重难点二 等腰三角形存在性问题 34．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、一次函数与不等式、等腰三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点代入可确定点B的坐标，再运用待定系数法求出直线的表达式即可； （2）根据交点坐标的意义，结合函数图象确定不等式的解集即可； （3）先求得、、，然后分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：将点代入可得：，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得，解得：， ∴． （2）解：根据题意，得图象交点为， ∵， ∴． （3）解：根据题意，得， ∴，即， 同理可得，； ∴； 如图：当时，得到，此时； 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 当时，设，则，， 根据勾股定理，得，解得：， ∴． 综上所述：或或或． 35．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为正比例函数的图像上一点，轴，垂足为． (1)求的值． (2)①点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动设运动时间为．过点作交直线于点，若，求的值． ②在点的运动过程中，是否存在这样的，使得为等腰三角形．若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②当的值为2.5或4或6.4时，为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）把代入求解即可得到结论； （2）①根据两点之间距离公式得到，再由全等三角形的性质得到．分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，列方程求解即可得到结论；②由等腰三角形性质，分三种情况讨论：若；若；若，列方程求解即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在正比例函数的图象上， ∴把代入，得， ∴的值为； （2）解：①由（1）知， ∴， ①若，则． 当点在线段上时，如图所示： 得，即，解得； 当点在线段的延长线上时，如图所示： 得，即，解得； 综上所述，的值是或； ②若，如图所示： 则点在的垂直平分线上， ， ，即， 此时， ∴； 若，如图所示： 在中，，， ，即， ∴； 若，过点作于点，如图所示： 由等面积法确定， 在中，，，则由勾股定理可得， 则由等腰三角形三线合一性质可知，，即， ∴． 综上所述，当的值为2.5或4或6.4时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了正比例函数的综合题，涉及正比例函数图象与性质、两点之间距离公式、勾股定理、全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键． 36．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）已知一次函数． (1)画出这个函数的图象； (2)若这个一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，点是轴正半轴一点，且，连接，判断的形状，并说明理由； (3)在轴上是否存在一点使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)存在，点坐标为或或或 【分析】（1）用描点法作出函数图象即可； （2）先求出点A、B、C的坐标，再用勾股定理求出，，从而得出，由勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别 求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：列表： x … 0 … y … 2 0 … 描点，连接，如衅所示， （2）解：是直角三角形． 理由如下： 令，则，解得：， 令，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 画图如下： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （3）解： 分三种情况：如图， ①当时， 则， 或， ∴或； ②当时， 则， ∴， ∴； ③当时，过点P作于Q，如图， ∵，， ∴点Q是线段的中点， ∵，， ∴， 设直线解析式为， 把、代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴设直线解析式为， 把代入，得， ∴， ∴直线解析式为， 令，则， ∴． 综上，存在，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查作一次函数的图象，一次函数图象性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理的逆定理，等腰三角形，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键．注意分类讨论，以免漏解． 重难点三 等腰直角三角形存在性问题 37．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5， (2) (3)为或 (4)第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【分析】（1）根据勾股定理可得，根据轴对称的性质可得，则可得，进而可得； （2）设，则，在中,根据勾股定理列方程求出x的值，即可得C点的坐标． （3）设，则，根据列方程求出m的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． ， ． 故答案为：5，． （2）解：，则， 在中, ， ∴， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ， ， ， ∴， 解得，． ∴M点的坐标为或． （4）解：存在，理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于G点, 则， ∵， ∴， 又∵ ， 在和中， ， ， ，， ． ∴P点的坐标为． ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于H点， 同理得， ，， ∴P点的坐标为． ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于点M，轴于点N， 则， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设点P的坐标为，， 则，，， 解得：， ∴点P的坐标为． 综上可知，第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 38．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 【答案】1．（1）②④；（2）B；（3）②；（4）或3． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据“k倍伴随线”求解即可； （2）依据“k倍伴随线”求解即可； （3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以，得，再将代入可得结果； （4）先求出，，再求出直线的“k倍伴随线”为，再分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵将横、纵坐标都乘以2，得到， 将横、纵坐标都乘以3，得到， ∴在的“k 倍伴随线”上的点有②、 ④， 故答案为：②④； （2）直线经过，将这两点横、纵坐标都乘以2，得， 设直线的“2倍伴随线”关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的“2倍伴随线”关系式为， 故选：B； （3）直线中，令，得，令，得， ∴经过，将这两点横、纵坐标都乘以，得， ∵直线的“k倍伴随线”记为． ∴将代入得：， 故答案为：②； （4）直线中，令，得，令，得， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的“k倍伴随线”为， 将，，横、纵坐标都乘以，得到，， ∴， ∴直线的“k倍伴随线”为， ∵为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论： 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， 得， ∴， ∴， 综上所述，或3 39．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则①的长为_____；②点的坐标为_____．（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． （3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点C，P是线段上的一个动点，点是直线上一动点．问是否存在以点为直角顶点的等腰，若存在，请求出此时的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）， 【分析】（1）作轴于F，轴于E，根据勾股定理可得长，由对应边相等可得B点坐标； （2）过点作轴,通过证明得出点B坐标，用待定系数法求直线的函数表达式； （3）设点Q坐标为，可通过证三角形全等的性质可得a的值，由Q点坐标可间接求出P点坐标. 【详解】解：（1）如图1，作轴于F，轴于E， 由A点坐标， ， 在中，根据勾股定理可得， 为等腰直角三角形， ， 轴于F，轴于E， ， 又， ， ， ， 所以B点坐标为： ； （2）如图2，过点作轴． 为等腰直角三角形， ， 轴， ， 又， ， ∴， ∴，， ∴． 设直线的表达式为， 将和代入，得： ， 解得， ∴直线的函数表达式． （3）如图3，分两种情况，点Q可在x轴下方和点Q在x轴上方， 设点Q坐标为，点P坐标为， 当点Q在x轴下方时，连接，过点作 交其延长线于M，则M点坐标为， 为等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ， 由题意得 ， ，， 解得 ， 所以； 当点Q在x轴上方时，连接，过点作 交其延长线于N，则N点坐标为， 同理可得， ， 由题意得 ， ，， 解得 ， 所以， 综上的坐标为：． 【点睛】本题是一次函数与三角形的综合，主要考查了一次函数解析式、全等三角形的证明及性质，灵活运用全等的性质求点的坐标是解题的关键. 重难点四 特殊角存在性问题 40．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)①直接写出点的坐标 ___； ②求直线的函数关系式； (2)如图，设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．连接，在点的运动过程中是否存在点，使，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在点，使，点的坐标为或 【分析】（）①根据函数解析式可得点坐标，进而根据对称性可得点坐标；②利用待定系数法解答可得直线的函数关系式； （）分点在轴的下方和上方两种情况，根据勾股定理列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：（）①当时；当时， ∴，， ∵点与点关于轴对称， ∴， 故答案为：； ②设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）存在点，使，理由如下： 如图，当点在轴的下方时， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，，， ∴， 解得， ∴； 当点在轴的上方时， 由对称性同理可得； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 41．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若． (1)求线段的长度与直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 【答案】(1)3； (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． （1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式； （2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【详解】（1）解：由题知，设，则． 在中，， 即：， 解得， ∴，， 又，代入中， ∴，     解得， ∴． （2）设，则， 由折叠性质知：． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴． （3）或，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∴，， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) 设直线解析式为：， 则， 解得， ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： 设直线解析式为：， 则， 解得， ∴直线解析式为：， 联立得： 解得， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，同理可得 综上所述，或 42．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点是线段上一点，将沿着折叠，点落在点处，连接． (1)求点、点的坐标； (2)若点落在线段上，求点的坐标； (3)在轴是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（）把和分别代入一次函数解析式解答即可求解； （）由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，即得，设，则，在中，利用勾股定理求出的值即可求解； （）分点在轴右侧和左侧两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的判定和性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：当点落在线段上，如图， ∵，， ∴，， ∴， 由折叠得，，，，则， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：当点在轴右侧时，如图，过点作于点，过点作轴于，过点作的延长线于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， 设点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； 当点在轴左侧时，如图，过点作，则， ∵， ∴， 由上可知，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理，一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 43．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、 (1)填空：点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)在x轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q为平面内一点，且为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点P的坐标为或 (3)点Q的坐标为或或或或或 【分析】（1）对于，当时，，当时，，由此可得点A，点B的坐标； （2）先求出，根据，得，则有以下两种情况：①当点P在点A的右侧时，根据三角形外角性质得，则，进而得，由此可得点P的坐标；②当点P在点A的左侧时，作点A关于y轴的对称点E，连接，则，，，根据三角形外角性质得，则，进而得，由此可得点P的坐标，综上所述即可得出答案； （3）先求出点，点，则，，依题意有以下6中情况：①当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点F，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；②当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点H，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；③当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点G，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；④当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点K，证明和全等得，，则，由此可得点Q的坐标；⑤当以为斜边，，且点Q在的上方时，过点Q作轴于点T，轴于点R，先证明和全等，则设，，进而得四边形是正方形，则，，，由此得，则，，据此可得点Q的坐标；⑥当以为斜边，，且点Q在的下方时，过点Q作轴于点M，轴于点N，先证明和全等，则设，，进而得四边形是正方形，则，，，由此得，则，，据此可得点Q的坐标，综上所述即可得出所有满足条件的点Q的坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， 点A的坐标为，点B的坐标为； 故答案为：；； （2）解：在x轴上存在点P，使得， 点A的坐标为，点B的坐标为， ，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 有以下两种情况： ①当点P在点A的右侧时，如图1所示： 是的一个外角， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； ②当点P在点A的左侧时，作点A关于y轴的对称点E，连接，如图2所示： ，，， 是的一个外角， ， ， ， ， 点P的坐标为， 综上所述：点P的坐标为或； （3）解：对于，当时，，当时，， 点C的坐标为，点D的坐标为， ，， 当为等腰直角三角形时，有以下6中情况： ①当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点F，如图3所示： ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点Q的坐标为； ②当以点D为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点H，如图4所示： 同理可证明：， ，， ， 点Q的坐标为； ③当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的上方时，过点Q作轴于点G，如图5所示： 同理可证明：， ，， ， 点Q的坐标为； ④当以点C为直角顶点，为腰，点Q在的下方时，过点Q作轴于点K，如图6所示： 同理可证明：， ，， ， 点Q的坐标为； ⑤当以为斜边，，且点Q在的上方时，过点Q作轴于点T，轴于点R，如图7所示： ， 四边形是矩形， 同理可证明：， ，设， 矩形是正方形， ， ，， ， 解得：， ， 点Q的坐标为； ⑥当以为斜边，，且点Q在的下方时，过点Q作轴于点M，轴于点N，如图8所示： 四边形为矩形， 同理可证明：， ，设， 矩形是正方形， ， ，， ， 解得：， ， 点Q的坐标为， 综上所述：所有满足条件的点Q的坐标为或或或或或． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定等知识点，熟练掌握一次函数的图象，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 重难点五 其它存在性问题 44．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与坐标轴交于，两点，点是点关于轴的对称点，直线与直线交于点，连接． (1)求直线的解析式； (2)在直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为直角边，点为直角顶点，构造等腰直角，点位于轴的上方，点是直线上一点，若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为： (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形性质与判定等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）由待定系数法即可求解； （2）由即可求解； （3）当M在左侧时，，则，得到直线，进而即可求解；当M在右侧时，同理即可求解． 【详解】（1）在中，令得，令得， ，， 点C是点A关于y轴的对称点， ， 把代入得：， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为：； （2）设交轴于点，设点， 同理，由点A、P的坐标得，直线的解析式为：， 则点，则， ， 解得：或； 即点的坐标为或； （3）过D作轴于K，过作轴于T，如图： ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线解析式为， 当M在左侧时，， ∴， 设直线解析式为 把代入得， 解得：， ∴直线解析式为， 联立上式和的表达式得：， 解得：， ； 当M在右侧时，在延长线上取点H，使，连接并延长交直线于M，如图： 设， ，， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线解析式为， 联立上式和的表达式得：， 解得：， 即点， 综上所述，M的坐标为或． 45．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求不等式的解集； (3)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，正确求出交点坐标，是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （2）根据函数图象直接得出的解集即可； （3）联立两直线解析式，解方程组得到点D的坐标，以及点E的坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：； （2）解：当时，，解得， ∴， 根据函数图象可知，不等式的解集是：． 故答案为：； （3）解：联立， 解得：， ∴点D的坐标为， 把代入得：， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，，此时点P的坐标为； 当时，，此时点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或． 46．（21-22八年级下·河南三门峡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)求三角形的面积； (3)动点M在线段和射线上运动，是否存在点M，使三角形的面积是三角形的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在，点的坐标是或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设直线的表达式为：，再把和分别代入，进行计算，即可作答． （2）先得出，再结合三角形面积公式列式计算，即可作答． （3）设直线的表达式为，把代入，求出直线的表达式为，因为三角形的面积是三角形的面积的，得出点的横坐标为1或，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：设直线的表达式为：， ∵过点的直线与直线相交于点， ∴把和分别代入， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， （2）解：∵，， ∴， ∴， （3）解：存在，过程如下： 设直线的表达式为，把代入， 则， 解得：， ∴直线的表达式为， ∵三角形的面积是三角形的面积的， ∴点到轴的距离是， ∴点的横坐标为1或， 当点的横坐标为1时， 在中，当时，， 则点的坐标为， 在中，当时，， 则点的坐标为， 当点的横坐标为时， 在中，当时，， 则点的坐标为， 综上，点的坐标是或或． 47．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． (1)求点D的坐标； (2)求直线的解析表达式； (3)求的面积； (4)在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)点的坐标是或． 【分析】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键． （1）已知的解析式，令求出的值即可； （2）设的解析式为，由图联立方程组求出，的值； （3）联立方程组，求出交点的坐标，继而可求出； （4）与底边都是，根据与的面积相等，可得点的坐标． 【详解】（1）解：由，令，得， ， ； （2）解：设直线的解析表达式为， 由图象知：，；，，代入表达式， ， ， 直线的解析表达式为； （3）解：由， 解得， ， ， ； （4）解：与底边都是，与的面积相等， 高就是点到直线的距离， ∵点纵坐标的绝对值为3，则到距离也为3， 点纵坐标是3， 当点在直线上时， 第一种情况，当时，则， ∴； 第二种情况，当时，则，与点重合，不符合题意； 当点在直线上时， 第一种情况，当时，则， ∴； 第二种情况，当时，则，与点重合，不符合题意； 综上所述，点的坐标是或． 48．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D．点D的横坐标为4，直线与轴相交于点E． (1)直线的函数表达式为：__________；（直接写出结果） (2)点Q为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点Q的坐标； ②点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②存在，或 【分析】（1）先求出点D坐标，再利用待定系数法求解； （2）①当时，，当时，，结合点D和点E的坐标，即可求解；②分“点D落在x正半轴上”和“点D落在y轴的负半轴上”两种情况，根据轴对称的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：点D的横坐标为4，点D在一次函数的图象上， 将代入，得， ， 将，代入， 得：， 解得， 直线的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：①将代入，得， ， 将的面积分为两部分时，有两种情况： 当时，， ， ，， 点Q的横坐标为，纵坐标为； ； 当时，， ， ，， 点Q的横坐标为，纵坐标为； ， 综上可知，点Q的坐标为或； ②存在，点Q的坐标为或．求解过程如下： 一次函数与y轴的交点坐标为，即， 当点D落在x正半轴上(记为点)时，如图，作轴于点H，连接， ，， ，， ， 由轴对称的性质得，， 在和中，， ， ， ， ， 轴， 点Q的纵坐标为3， 将代入，得，解得， 点Q的坐标为； 当点D落在y轴的负半轴上（记作)时，如图，过点Q作于M，于N， 由轴对称的性质得，， 平分， ， ，，， ，，， ， ， 解得， ∴点Q的横坐标为． 将代入，得， 点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、角平分线的性质定理、轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 49．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线：与直线相交于点，交轴负半轴于点．已知点的横坐标为的面积为10． (1)点的坐标为________； (2)求直线对应的函数表达式； (3)若为线段上的一个动点，将沿着直线翻折，点是否存在某个位置，使得点的对应点恰好落在轴正半轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）将点B横坐标代入即可求解； （2）根据的面积为10，求出，，再用待定系数法求解即可； （3）过点B作轴于点E，则，由翻折得：，则在中，，那么，则的中点为，由翻折可得直线垂直平分，直线经过的中点，可求直线的表达式为，再与直线联立即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将代入得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图， ∵的面积为10， ∴， ∴， 当， ∴， ∵C在y轴负半轴， ∴， 将，代入 得：， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为； （3）解：存在，理由如下， 过点B作轴于点E， ∵ ∴， 由翻折得：， ∵， ∴在中，， ∴， 则的中点为， 由翻折可得直线垂直平分， ∴直线经过的中点， 设直线的表达式为：， 代入，的中点得：， 解得：， ∴直线的表达式为， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与图形的变换，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，翻折的性质，勾股定理． 50．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且． (1)求A、B两点坐标； (2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)11 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，轴对称的性质及勾股定理，用平移的思想解决问题是就本题的关键． （1）根据坐标轴上点的特点即可得出结论； （2）将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：在一次函数中，令时，， ， 令时，， ， ； （2）解：如图，将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小， 由作图可得 点O关于直线的对称点， ， ， 四边形的周长最小值 51．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； (3)过点作直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在；点的坐标为或或 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积为，当时，，可得，解得，即得，再求值直线的解析式；当时，同理可得，待定系数法求出直线的解析式即可； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ， ∴， ， ， ， 把代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积为， 当时，如图：    此时， ， 即， 解得：， 在中令，得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 当时，如图：    此时， ， 即， ， 在中令，得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 综上所述，当的面积被直线分成的两部分时，直线的解析式为或； （3）解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：   ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时，， ∴， ∴点B为的中点， ∴，， ∴； ②若时，如图：   ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01 一次函数综合问题 题型一 一次函数面积问题 1.在求一条直线与坐标轴所围成的三角形的面积时，先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴所围成的直角三角形的两条直角边长，再利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积. 2.在求两条直线与一条坐标轴所围成的三角形的面积时，可以先分别确定两条直线与这条坐标轴的交点坐标(即可确定三角形的底)，然后求两条直线的交点坐标(即可确定三角形的高)，最后利用三角形的面积公式得出结果. 重难点一 一直线与坐标轴围成的面积 1．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 2．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一次函数，它的图象与两坐标轴所围成的图形的面积等于2，则b的值为 ． 3．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知直线与x轴交于点A，且与两坐标轴所围成的三角形面积是8，则 ， ． 4．（21-22八年级下·河南洛阳·期中）一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于5，则该直线的表达式为 ． 5．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，已知一次函数，完成下列问题： (1)在所给直角坐标系中画出此函数的图象； (2)求直线与两坐标轴围成的面积． 重难点二 两直线与一坐标轴围成的面积 6．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为． (1)如图，若． ①求直线、直线与y轴所围成的的面积； ②根据图像直接写出的解集． (2)若，求整数k的值． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知点，点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)在轴上找一点，使其满足，求的面积． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集： ； (3)求四边形的面积． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． (1)直接写出A、C的坐标； (2)写出直线的解析式； (3)若与的面积相等，求点E的坐标． 重难点三 三直线围成的三角形面积 10．（21-22八年级上·陕西宝鸡·期中）一次函数的图象经过，两点． (1)此一次函数的解析式； (2)求的面积． 11．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，另一直线与轴、轴分别交于点，连接．直线与直线交于点，在轴上有一点 ，过点作轴的垂线，分别与直线交于点． (1)求的值及的面积； (2)若，求的值； (3)在轴找点使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 12．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，直角坐标系中，已知点坐标为，点坐标为，直线与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数关系式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D、E，直线：分别交x轴、y轴于点C、． (1)求点A的坐标和的面积． (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M、N．若，求m的值． 14．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点和点，将直线向下平移个单位长度得到直线，已知点是直线上一点，点横坐标为，连接，所在直线记为 (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)求的面积． 15．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B．直线交于点D，交x轴于点E． (1)求直线的解析式和D点坐标； (2)如图2，点P坐标为，求的面积； (3)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点C的坐标． 16．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为y轴上一个动点． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)当与面积相等时，求实数a的值． 重难点四 直线将三角形分成两部分 17．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知直线：与直线平行，与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线与轴交于点，与x轴交于点D，与直线交于点． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求四边形的面积； (3)点F是线段的一个动点，连接，若线段将四边形的面积分成的两部分，请求出点F的坐标． 18．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 19．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交坐标轴于、两点，点、的坐标分别为、，直线、相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，若直线上存在点，使得的面积是的面积的2倍，请求出点的坐标． 20．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知如图：在平面直角坐标系中，有三点 、、 ， (1)如图1：当时，求证：； (2)如图2：将延长到D，如果D点坐标是，则 ， 此时如果 的面积等于12，则m 的值又是多少？， 21．（24-25八年级上·陕西·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点A，交轴于点，点是点A关于轴对称的点，过点作轴平行的射线，交直线与点，点是射线上的一个动点． (1)点A的坐标为______，点的坐标为_______； (2)若直线与直线的交点为（不与点重合），连接，当与的面积满足时，请求出对应的点坐标． 题型二 整点问题 若平面直角坐标系内的P点满足横、纵坐标都是整数，我们把这样的点P称为“整点”.例如点(4，0)、(2，-3)都是整点，在许多资料或考试中，有时也叫美点、好点或格点等.一般来说，“整点问题”难度较大，涉及图像、函数、方程、不等式、分类讨论、数形结合等知识和方法. 22．（20-21八年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点，已知直线与直线，若两直线与y轴围成的三角形区域内(不含三角形的边)有且只有三个整点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 23．（2024九年级·全国·竞赛）如图，直线分别与坐标轴交于，两点，若称横纵坐标都是整数的点为整点，那么内（含边界）的整点共有 个． 24．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为 ． 25．（23-24九年级上·上海虹口·阶段练习）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知为整数，若函数与的图像的交点是整数点，则的值为 ． 题型三 一次函数与将军饮马问题 26．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，平面内有一动点，则的最小值为 ． 27．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，线段所在直线的函数表达式为，C是的中点，P是上一动点，则的最小值是 ． 28．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，点在轴上，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 29．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，若是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离，如图，过分别向轴、轴作垂线、和，垂足分别是，直线交于点，在中，，． (1)平面直角坐标系内任意两点间的距离公式为：__________； (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点之间的距离为__________； (3)利用上面公式，在平面直角坐标系中的两点为轴上任一点，则的最小值和此时点的坐标； (4)应用两点间的距离公式，求代数式的最小值． 30．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象为直线，已知两点、． (1)在直线位于第一象限的部分找一点C，使得．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）； (2)直接写出点C的坐标为_____． (3)若点P在x轴上，当取最小值时，请求出点P的坐标． 题型四 一次函数与几何综合 重难点一 一次函数与全等三角形综合 31．（22-23八年级上·江苏·期末）（1）【问题解决】 ①如图①，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以为腰在第二象限作等腰直角，，点A，B的坐标分别为A__________，B__________． ②求①中点C的坐标． 小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点C向x轴作垂线交x轴于点D．请借助小明的思路，求出点C的坐标； （2）【类比探究】 数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题，如图②，在平面直角坐标系中，点A坐标，点B坐标，过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是一次函数图象上一动点，若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D与点P的坐标：______． 32．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）请根据以下素材，完成探究任务 材料一：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，则 ．（不需要证明） 材料二：如何确定点所在直线对应的函数关系式，我们可以设，这样就可以把代入，可得，利用这样的方法就可以确定点所在直线对应的函数关系式了． 【模型应用】若一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点． (1)如图2，当时，点到经过原点的直线的距离的长为8，求点到直线的距离的长； (2)如图3，当时，点在第一象限内，是等腰直角三角形，求点的坐标； (3)如图4，在平面直角坐标系中，是直线上一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ． 33．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）【构建模型】（1）如图1，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第一象限作等腰直角，，点的坐标为__________，点的坐标为__________． （2）求（1）中点的坐标，并求出直线的函数表达式． 【模型应用】（3）如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是__________． 【拓展延伸】（4）如图3，图1中的点是轴上的一个动点，点保持不变，连接，在点的运动过程当中，线段是否存在最小值，若存在，直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 重难点二 等腰三角形存在性问题 34．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为正比例函数的图像上一点，轴，垂足为． (1)求的值． (2)①点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动设运动时间为．过点作交直线于点，若，求的值． ②在点的运动过程中，是否存在这样的，使得为等腰三角形．若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由． 36．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）已知一次函数． (1)画出这个函数的图象； (2)若这个一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，点是轴正半轴一点，且，连接，判断的形状，并说明理由； (3)在轴上是否存在一点使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在请说明理由． 重难点三 等腰直角三角形存在性问题 37．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 39．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则①的长为_____；②点的坐标为_____．（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． （3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点C，P是线段上的一个动点，点是直线上一动点．问是否存在以点为直角顶点的等腰，若存在，请求出此时的坐标，若不存在，请说明理由． 重难点四 特殊角存在性问题 40．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)①直接写出点的坐标 ___； ②求直线的函数关系式； (2)如图，设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．连接，在点的运动过程中是否存在点，使，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 41．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若． (1)求线段的长度与直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 42．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点是线段上一点，将沿着折叠，点落在点处，连接． (1)求点、点的坐标； (2)若点落在线段上，求点的坐标； (3)在轴是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标． 43．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、 (1)填空：点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)在x轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q为平面内一点，且为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 重难点五 其它存在性问题 44．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与坐标轴交于，两点，点是点关于轴的对称点，直线与直线交于点，连接． (1)求直线的解析式； (2)在直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为直角边，点为直角顶点，构造等腰直角，点位于轴的上方，点是直线上一点，若，请直接写出点的坐标． 45．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求不等式的解集； (3)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 46．（21-22八年级下·河南三门峡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)求三角形的面积； (3)动点M在线段和射线上运动，是否存在点M，使三角形的面积是三角形的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 47．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． (1)求点D的坐标； (2)求直线的解析表达式； (3)求的面积； (4)在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标． 48．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D．点D的横坐标为4，直线与轴相交于点E． (1)直线的函数表达式为：__________；（直接写出结果） (2)点Q为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点Q的坐标； ②点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 49．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线：与直线相交于点，交轴负半轴于点．已知点的横坐标为的面积为10． (1)点的坐标为________； (2)求直线对应的函数表达式； (3)若为线段上的一个动点，将沿着直线翻折，点是否存在某个位置，使得点的对应点恰好落在轴正半轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 50．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且． (1)求A、B两点坐标； (2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 51．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； (3)过点作直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $