专题11一次函数概念及图象与性质精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦一次函数核心知识，系统梳理一次函数与正比例函数的定义及从属关系，详解图象画法（两点法）、特征（直线、象限分布）、性质（k与b的意义、增减性）、平移与平行规律，建立数形结合思想，为后续计算、应用题及综合题奠定基础。 该资料以结构化知识体系为支架，覆盖19类题型并标注难度星级，通过“两点法”作图培养几何直观，用待定系数法求解析式发展推理能力，结合实际问题强化模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺。

专题11一次函数概念及图象与性质精讲学案 核心立意 掌握一次函数、正比例函数的定义与从属关系，能准确识别一次函数；熟练掌握一次函数图像画法、图像特征、增减性、象限分布、平移规律与平行规律，建立解析式与图像对应的数形结合思想，为一次函数计算、应用题、综合题打基础。 一次函数定义 ①形如 y=kx+b（k、b 为常数，k0）的函数叫做一次函数； ②自变量 x 的次数必须为1，不含平方、分母、根号； ③k0 是判定一次函数的必备条件。 正比例函数定义 ①当一次函数中 b=0 时，函数变为 y=kx (k0)，即为正比例函数； ②正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 一次函数判定标准 ①自变量次数为1； ②系数 k0； ③解析式为整式形式。 一次函数解析式求法 ①采用待定系数法； ②设解析式 y=kx+b； ③代入两组 x、y 对应值； ④列方程求出 k、b，确定函数关系式。 一次函数图像基础 1. 图像形状与作图方法 ①一次函数 y=kx+b(k0) 的图像是一条直线； ②通用作图：两点法； ③优先取坐标轴交点 (0,b)、(-,0)，两点连线即可画出完整直线。 2. 正比例函数图像特征 ①y=kx(k0) 图像经过坐标原点；②是过原点的一条直线。 一次函数核心性质（必考重点） 1. 系数k的意义（决定增减、倾斜） ①k>0：图像从左到右上升，y 随 x 增大而增大； ②<0)：图像从左到右下降，y 随 x 增大而减小； ③|k| 越大，直线越陡；|k| 越小，直线越平缓。 2. 系数b的意义（决定与y轴交点） ①b>0：直线交 y 轴正半轴； ②b=0：直线过原点（正比例函数）； ③<0：直线交 y 轴负半轴。 3. 一次函数象限分布规律 ①k>0、b>0：经过一、二、三象限； ②k<0：经过一、三、四象限； ③<0、b>0)：经过一、二、四象限； ④k<0：经过二、三、四象限。 一次函数平移与平行规律 1. 平移规律 ①y=kx+b 由 y=kx 上下平移得到； ②b>0 向上平移 b 个单位；b<0 向下平移 |b| 个单位； ③左右平移（左加右减，针对x，务必加括号） 向左平移m个单位：y=k(x+m)+b 向右平移m个单位：y=k(x-m)+b ④平移只改变解析式，不改变 k、不改变倾斜程度、不改变增减性。 2. 直线平行规律 ①两直线 y1=k1x+b1、y2=k2x+b2 ②满足 k1=k2 且 b1b2，两直线互相平行。 ①k0 是一次函数硬性条件，k=0 变为常函数，不是一次函数； ②正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数； ③增减性只由 k 决定，与 b 无关； ④判断图象过哪些象限，必须同时看 k、b 符号； ⑤平移只变常数项，斜率保持不变，极易混淆； ⑥实际问题中的一次函数图像多为射线或线段，不是完整直线。 题型 考察方向 难度 题型一 正比例函数的定义 ★ 题型二 识别一次函数 ★ 题型三 根据一次函数的定义求参数 ★★ 题型四 列一次函数解析式并求值 ★★ 题型五 求一次函数解析式 ★★★ 题型六 正比例函数的图象 ★★ 题型七 正比例函数的性质 ★★ 题型八 判断一次函数的图象 ★★★ 题型九 根据一次函数解析式判断其经过的象限 ★★★ 题型十 已知函数经过的象限求参数范围 ★★★ 题型十一 一次函数图象与坐标轴的交点问题 ★★★ 题型十二 求一次函数自变量或函数值 ★★ 题型十三 一次函数图象平移问题 ★★★ 题型十四 一次函数图象的对称与旋转问题 ★★★★ 题型十五 判断一次函数的增减性 ★★ 题型十六 根据一次函数增减性求参数 ★★★ 题型十七 一次函数的增减性判断自变量的变化情况 ★★ 题型十八 比较一次函数值的大小 ★★ 题型十九 一次函数的规律探究问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档基础；★★★中档综合；★★★★拔高压轴 题型一： 正比例函数的定义 解题思路：①对照定义y=kx（k为常数，k≠0）；②自变量次数必须为1，解析式是整式，不含分母、根号；③核心检验：k≠0。 1．若关于变量，的函数是正比例函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．有下列式子：①；②；③；④．其中表示y是x的正比例函数的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列变量之间的关系，属于正比例函数关系的是（    ） A．铁的密度为，铁块的质量随它的体积的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C．圆的面积随半径的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量随行驶路程的变化而变化 题型二：识别一次函数 解题思路：①标准形式y=kx+b（k、b为常数，k≠0）；②自变量次数为1，排除x2、、等形式；③验证k≠0；④正比例函数是特殊的一次函数。 4．下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 5．下列函数关系中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 6．在①y＝﹣8x：②y＝﹣：③y＝+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：根据一次函数的定义求参数 解题思路：①两个限制条件：自变量次数=1、一次项系数k≠0；②列方程满足次数要求，列不等式排除k=0；③求公共解，检验后写出参数结果。 7．直线的截距是________． 8．若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．若直线经过点和，则关于的函数解析式为_________． 10．若点在函数的图象上，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 题型四：列一次函数解析式并求值 解题思路：①审题找到等量关系；②整理成y=kx+b标准形式；③标注自变量实际取值范围；④代入自变量，求出对应函数值。 11．自国家卫生健康委员会等多部门提出“体重管理年”的全民健康行动后，有越来越多的人更加关注自己的身体健康问题．体重千克的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉千克，天（）后的体重为千克，则与的关系式为_______． 12．已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为______． 13．如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（   ） A．12 B．16 C．20 D．25 题型五：求一次函数解析式 解题思路：①待定系数法；一次函数设y=kx+b，正比例直接设y=kx；②代入两组x、y对应值，列二元一次方程组；③解方程组求k、b；④回代写出完整解析式。 14．已知正比例函数，当自变量x的值为时，函数值，则比例系数______． 15．已知一次函数的图象经过点、，则此函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 16．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，平移直线，使其过点，得到直线，则在第一象限内，与之间整点的个数（不含边界）有______个． 17．对于每个，函数是，，，这三个函数中的最小值，则函数的最大值是（    ） A． B．6 C．4 D． 题型六：正比例函数的图象 解题思路：①y=kx(k≠0)图像是过原点的直线；②两点法画图：选(0,0)与(1,k)连线；③由k正负判断直线倾斜方向。 18．已知正比例函数，，，的图象如图所示，则比例系数中最大的是（     ） A． B． C． D． 19．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、．若正比例函数与线段有交点，写出一个可能的值为______    20．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（　　） A．B．C． D． 题型七：正比例函数的性质 解题思路：①由k符号判断增减性：k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小；②|k|越大，直线越陡；③图像恒过原点。 21．已知正比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 22．在平面直角坐标系中，已知点，是直线（）上的两点，且，请写出一个符合条件的k的值__________． 23．对于函数，下列说法中错误的是（     ） A．函数图象不经过第二象限 B．函数图象经过点 C．随的增大而增大 D．当时， 题型八：判断一次函数的图象 解题思路：①由k符号确定直线升降趋势；②由b符号确定直线与y轴交点位置；③结合k、b正负组合匹配图像。 24．函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 25．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是________________． 26．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（     ） A．B．C．D． 题型九：根据一次函数解析式判断其经过的象限 解题思路：①k定增减方向，b定与y轴交点位置；②结合k、b正负组合判断经过象限；③正比例函数过原点。 27．一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 28．如图，在点，，，中，一次函数的图象不可能经过的点是________． 29．已知点，在直线的图象上，当时，，且，则在平面直角坐标系中，它的图象大致是（   ） A． B． C． D． 题型十：已知函数经过的象限求参数范围 解题思路：①根据经过象限，反推k、b的正负；②列出含参数的不等式（组）；③解不等式组，得到参数取值范围。 30．一次函数的图象如图所示，则、的取值范围是（     ） A．， B．， C．， D．， 31．若关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是_______． 32．已知关于的一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_________． 33．已知一次函数与（m，n为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（     ） A． B．C．D． 题型十一：一次函数图象与坐标轴的交点问题 解题思路：①求y轴交点：令x=0，求y，坐标(0,b)；②求x轴交点：令y=0，解方程求x，坐标(-,0)；③交点常用来求线段长、三角形面积。 34．一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 35．函数的图象与的图象交x轴于同一点，那么（     ） A． B． C． D． 36．函数的图象与函数的图象交于x轴上一点，那么的值是（     ） A． B． C． D． 37．如图，直线交坐标轴于，两点，等边三角形的边在轴上，且点为线段的中点，若将沿轴方向竖直向上平移，当点落在直线上时，点的坐标为______________． 题型十二：求一次函数自变量或函数值 解题思路：①已知x代入解析式直接求y；已知y，解方程求x；②实际问题中，结果要符合自变量取值范围；③检验结果合理性。 38．若点在函数的图象上，则的值是________． 39．已知点为直线上一点，坐标如图所示，则的值为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 40．一次函数，当，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．3 41．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，沿直线平移后得到，点A的对应点落在x轴上，则点B与其对应点间的距离为___________ 题型十三：一次函数图象平移问题 解题思路：①口诀：上加下减常数项，左加右减自变量（仅针对y=kx+b形式）；②平移只改变b，斜率k保持不变；③分清上下、左右平移，注意左右平移要加括号。 42．若将直线向上平移1个单位长度，则平移后的直线所对应的函数关系式是__________． 43．将函数的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 44．直线向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线______． 45．在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数，且）的图象向左平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则下列各点在一次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 题型十四：一次函数图象的对称与旋转问题 解题思路：①优先取直线上两个关键点（坐标轴交点）；②先求出对称/旋转后的新坐标；③用待定系数法求新解析式；④看清对称轴、旋转中心与角度，必要时分类讨论。 46．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 47．如图，直线与y轴交于点A，将直线l绕点A旋转后，所得直线的表达式为________． 48．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称点（或点）的纵坐标为函数与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为______． 49．将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 题型十五：判断一次函数的增减性 解题思路：①增减性只看k符号，和b无关；②k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小；③正比例函数规则相同。 50．下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 51．函数中，当时，函数的最小值和最大值分别为____________． 52．如图，若函数图象上任意两点，均满足，下列四个函数图象中所有正确的函数图象的序号是（     ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 题型十六：根据一次函数增减性求参数 解题思路：①由增减性反推k>0或k<0；②列出参数不等式；③解不等式求参数范围，牢记前提k≠0。 53．已知一次函数中，随的增大而增大．请写出一个符合要求的的值：________． 54．在一次函数中，函数y的值随x的值增大而减小，那么常数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 55．一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是____________（用“”连接） 56．如图，在平面直角坐标系中，，，，点是线段上一点（不与点，重合），直线的解析式为，当随增大而减小时，点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 题型十七：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 解题思路：①先判断k正负，确定增减方向；②根据函数值变大/变小，反向推出自变量变化趋势；③分清自变量、函数值是同向还是反向变化。 57．已知一次函数，当时，则函数值y的取值范围是_______ 58．若一次函数（、为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 59．若关于x的一次函数，当时，，则b的值可以为_________． 60．对于一次函数，下表列出5组自变量与其对应的函数值，其中恰好有一个函数值有误，则这个错误的函数值是（   ） 0 1 2 3 3 6 9 13 15 A．3 B．6 C．13 D．15 题型十八：比较一次函数值的大小 解题思路：①优先用增减性直接比较（简便）；②也可以代入自变量算出函数值再比较；③注意自变量是否在有效取值范围内。 61．已知点，都在直线上，则，大小关系是（     ） A． B． C． D．不能比较 62．已知是的一次函数，函数与自变量的部分对应值如表所示， … … … … 比较大小：____________（填“”“”或“”）． 63．若是的一次函数，其中，之间对应的部分数据如下表： 2 3 5 3 则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 题型十九：一次函数的规律探究问题 解题思路：①先算出前几组点坐标、函数值；②观察坐标或数值，找到等差、循环等变化规律；③归纳通项；④代入序号验证并求解。 64．如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A．B． C． D． 65．如图，在平面直角坐标系中，点都在直线上，点都在轴上，都是等腰直角三角形，其中都是直角．如果点的坐标为，那么点的纵坐标是（   ） A．2025 B． C． D． 66．如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 解答题 1．如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数（、为常数）的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2．求点坐标及一次函数的函数解析式． 2．已知函数． (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求的值 3．一次函数的图象上有两个不同的点 (1)若，则　； (2)若，，求； (3)若且，记，试求的最大值． 4．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 5．已知一次函数的图像经过点， (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数图像上，并说明理由； (3)若图像上有两点，，比较，的大小．（用两种不同的方法） 6．已知一次函数的图象不经过第三象限，且m为正整数． (1)求m的值； (2)画出该一次函数的图象； (3)当时，根据函数图象，求x的取值范围， 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、．直线（为常数，）与直线交于点，且点的横坐标为． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求的值； (3)将直线向上平移个单位长度，得到的新直线交轴于点，当时，求的值． 8．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出的取值范围． 9．阅读理解与一题多变问题：探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 探究过程：小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组得出：无论k取何值，一次函数的图象一定经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数的图象是“点旋转直线”． (1)一次函数的图象经过的定点P的坐标是______． (2)已知一次函数的图象与x轴．y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一次函数概念及图象与性质精讲学案 核心立意 掌握一次函数、正比例函数的定义与从属关系，能准确识别一次函数；熟练掌握一次函数图像画法、图像特征、增减性、象限分布、平移规律与平行规律，建立解析式与图像对应的数形结合思想，为一次函数计算、应用题、综合题打基础。 一次函数定义 ①形如 y=kx+b（k、b 为常数，k0）的函数叫做一次函数； ②自变量 x 的次数必须为1，不含平方、分母、根号； ③k0 是判定一次函数的必备条件。 正比例函数定义 ①当一次函数中 b=0 时，函数变为 y=kx (k0)，即为正比例函数； ②正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 一次函数判定标准 ①自变量次数为1； ②系数 k0； ③解析式为整式形式。 一次函数解析式求法 ①采用待定系数法； ②设解析式 y=kx+b； ③代入两组 x、y 对应值； ④列方程求出 k、b，确定函数关系式。 一次函数图像基础 1. 图像形状与作图方法 ①一次函数 y=kx+b(k0) 的图像是一条直线； ②通用作图：两点法； ③优先取坐标轴交点 (0,b)、(-,0)，两点连线即可画出完整直线。 2. 正比例函数图像特征 ①y=kx(k0) 图像经过坐标原点；②是过原点的一条直线。 一次函数核心性质（必考重点） 1. 系数k的意义（决定增减、倾斜） ①k>0：图像从左到右上升，y 随 x 增大而增大； ②<0)：图像从左到右下降，y 随 x 增大而减小； ③|k| 越大，直线越陡；|k| 越小，直线越平缓。 2. 系数b的意义（决定与y轴交点） ①b>0：直线交 y 轴正半轴； ②b=0：直线过原点（正比例函数）； ③<0：直线交 y 轴负半轴。 3. 一次函数象限分布规律 ①k>0、b>0：经过一、二、三象限； ②k<0：经过一、三、四象限； ③<0、b>0)：经过一、二、四象限； ④k<0：经过二、三、四象限。 一次函数平移与平行规律 1. 平移规律 ①y=kx+b 由 y=kx 上下平移得到； ②b>0 向上平移 b 个单位；b<0 向下平移 |b| 个单位； ③左右平移（左加右减，针对x，务必加括号） 向左平移m个单位：y=k(x+m)+b 向右平移m个单位：y=k(x-m)+b ④平移只改变解析式，不改变 k、不改变倾斜程度、不改变增减性。 2. 直线平行规律 ①两直线 y1=k1x+b1、y2=k2x+b2 ②满足 k1=k2 且 b1b2，两直线互相平行。 ①k0 是一次函数硬性条件，k=0 变为常函数，不是一次函数； ②正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数； ③增减性只由 k 决定，与 b 无关； ④判断图象过哪些象限，必须同时看 k、b 符号； ⑤平移只变常数项，斜率保持不变，极易混淆； ⑥实际问题中的一次函数图像多为射线或线段，不是完整直线。 题型 考察方向 难度 题型一 正比例函数的定义 ★ 题型二 识别一次函数 ★ 题型三 根据一次函数的定义求参数 ★★ 题型四 列一次函数解析式并求值 ★★ 题型五 求一次函数解析式 ★★★ 题型六 正比例函数的图象 ★★ 题型七 正比例函数的性质 ★★ 题型八 判断一次函数的图象 ★★★ 题型九 根据一次函数解析式判断其经过的象限 ★★★ 题型十 已知函数经过的象限求参数范围 ★★★ 题型十一 一次函数图象与坐标轴的交点问题 ★★★ 题型十二 求一次函数自变量或函数值 ★★ 题型十三 一次函数图象平移问题 ★★★ 题型十四 一次函数图象的对称与旋转问题 ★★★★ 题型十五 判断一次函数的增减性 ★★ 题型十六 根据一次函数增减性求参数 ★★★ 题型十七 一次函数的增减性判断自变量的变化情况 ★★ 题型十八 比较一次函数值的大小 ★★ 题型十九 一次函数的规律探究问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档基础；★★★中档综合；★★★★拔高压轴 题型一： 正比例函数的定义 解题思路：①对照定义y=kx（k为常数，k≠0）；②自变量次数必须为1，解析式是整式，不含分母、根号；③核心检验：k≠0。 1．若关于变量，的函数是正比例函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】形如（为常数且）的函数是正比例函数，要求常数项为0，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴常数项满足， 解得． 2．有下列式子：①；②；③；④．其中表示y是x的正比例函数的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①；②，都是关于的正比例函数； ③中的的次数为2，不符合正比例函数的定义，不是关于的正比例函数； ④中的的次数为2，不是关于的正比例函数； 综上，表示是的正比例函数的有2个． 3．下列变量之间的关系，属于正比例函数关系的是（    ） A．铁的密度为，铁块的质量随它的体积的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C．圆的面积随半径的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量随行驶路程的变化而变化 【答案】A 【详解】解：选项A，由质量公式，得，符合正比例函数定义，符合题意； 选项B，矩形周长为，可得，整理得，不符合正比例函数定义，不符合题意； 选项C，由圆的面积公式得，不符合正比例函数定义，不符合题意； 选项D，设单位路程耗油量为常数，可得，不符合正比例函数定义，不符合题意． 题型二：识别一次函数 解题思路：①标准形式y=kx+b（k、b为常数，k≠0）；②自变量次数为1，排除x2、、等形式；③验证k≠0；④正比例函数是特殊的一次函数。 4．下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义：形如（、是常数，且）的整式函数叫做一次函数，逐一判断选项． 【详解】解：选项A：中自变量的次数为2，是二次函数，不符合题意； 选项B：是反比例函数，不是整式函数，不符合题意； 选项C：符合一次函数的形式（，），是一次函数，符合题意； 选项D：不是自变量的一次整式，不属于一次函数，不符合题意． 5．下列函数关系中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】形如（、为常数，）的函数是一次函数． 【详解】解：A选项最高次数为2，不符合一次函数的定义； B选项分母含有未知数，不符合一次函数的定义； C选项展开得，最高次数为2，不符合一次函数的定义； D选项符合形式，其中，，满足，符合一次函数的定义． 6．在①y＝﹣8x：②y＝﹣：③y＝+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，正比例函数属于一次函数；一次函数是形如 的形式，结合题中所给表达式，比照定义形式即可解答． 【详解】解：①y＝﹣8x是正比例函数，属于一次函数，符合题意； ②不是一次函数，不符合题意； ③不是一次函数，不符合题意； ④中未知数次数是二次，不是一次函数，不符合题意； ⑤y＝0.5x﹣3是一次函数，符合题意； 一次函数有①y＝﹣8x和⑤y＝0.5x﹣3， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义：一般地，形如（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 题型三：根据一次函数的定义求参数 解题思路：①两个限制条件：自变量次数=1、一次项系数k≠0；②列方程满足次数要求，列不等式排除k=0；③求公共解，检验后写出参数结果。 7．直线的截距是________． 【答案】 【详解】已知直线解析式为，对应可得，因此直线的截距为． 8．若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数要求自变量的次数为，且一次项系数不为，据此列出条件计算即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解得． 9．若直线经过点和，则关于的函数解析式为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将两点坐标代入直线解析式，消去参数，整理即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：直线经过点和． 将两点坐标代入直线解析式，得 整理第一个等式，移项得 整理第二个等式，移项得 联立得 移项，合并同类项得． 10．若点在函数的图象上，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】将点代入函数，得到，即可求出代数式的值． 【详解】解：点在函数的图象上， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征，代数式求值，解题关键是掌握函数的图象上的点符合函数解析式． 题型四：列一次函数解析式并求值 解题思路：①审题找到等量关系；②整理成y=kx+b标准形式；③标注自变量实际取值范围；④代入自变量，求出对应函数值。 11．自国家卫生健康委员会等多部门提出“体重管理年”的全民健康行动后，有越来越多的人更加关注自己的身体健康问题．体重千克的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉千克，天（）后的体重为千克，则与的关系式为_______． 【答案】（且x为整数） 【分析】解题思路是梳理实际问题中的等量关系，即天后的体重等于初始体重减去天一共减掉的体重，代入对应数量整理即可得到关系式． 【详解】解：由题意可知，小丽初始体重为千克，平均每天减掉千克，则天一共减掉的体重为千克， 根据等量关系：天后体重初始体重天减掉的体重可得： ， 又∵天数为非负整数，且题目给出， ∴自变量范围为且x为整数， 即与的关系式为（且x为整数）． 12．已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，完全平方公式的变形运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 根据一次函数的性质可得，根据勾股定理可得，，根据完全平方公式的变形运算即可求解． 【详解】解：根据题意，点在“勾股一次函数”的图象上， ∴，即， ∴， ∵是直角的三边，为斜边， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，（负值舍去）， 故答案为： ． 13．如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（   ） A．12 B．16 C．20 D．25 【答案】B 【分析】设正比例函数为，根据条件可得，再结合均为5代入计算即可． 【详解】解：设正比例函数为， 当输入为0时，， ，解得， ，解得， 当均为5时， ，解得， ． 题型五：求一次函数解析式 解题思路：①待定系数法；一次函数设y=kx+b，正比例直接设y=kx；②代入两组x、y对应值，列二元一次方程组；③解方程组求k、b；④回代写出完整解析式。 14．已知正比例函数，当自变量x的值为时，函数值，则比例系数______． 【答案】 【分析】将已知的和代入正比例函数，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵正比例函数解析式为，当时，， ∴将，代入解析式，得， 解得． 15．已知一次函数的图象经过点、，则此函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵函数图象经过点和， ∴，解得， ∴此函数的解析式为． 16．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，平移直线，使其过点，得到直线，则在第一象限内，与之间整点的个数（不含边界）有______个． 【答案】4 【分析】先求得的解析式为，结合图形，即可求解． 【详解】解：设的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 如图所示， 在第一象限内，与之间整点的个数（不含边界）有，，，，共4个整点． 17．对于每个，函数是，，，这三个函数中的最小值，则函数的最大值是（    ） A． B．6 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，在同一坐标系中画出，，这三个函数图象，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，在同一坐标系中画出，，这三个函数图象如下． 又联立方程组， ∴． ∴结合图象可得满足题意的最大值为． 故选：D． 题型六：正比例函数的图象 解题思路：①y=kx(k≠0)图像是过原点的直线；②两点法画图：选(0,0)与(1,k)连线；③由k正负判断直线倾斜方向。 18．已知正比例函数，，，的图象如图所示，则比例系数中最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的图像与系数的关系及直线越陡，越大，可得答案． 【详解】解：∵正比例函数，经过一、三象限，，经过二、四象限， ∴，，，， ∵直线越陡，越大， ∴，即比例系数中最大的是． 19．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、．若正比例函数与线段有交点，写出一个可能的值为______    【答案】（答案不唯一） 【分析】分别求正比例函数经过点和时的值，即可找到的取值范围，从而可选择一个合适值． 【详解】解：当正比例函数经过点第一象限时，， 当正比例函数经过点时，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数比例系数，利用数形结合求出正比例函数系数的范围是解题关键． 20．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键，先根据一次函数与坐标轴的交点排除A、B、C，进而可得出D正确． 【详解】解：，一次函数过点． A、一次函数过点， 由一次函数的图象可得，即， 而正比例函数图象可得，不合题意； B、一次函数不过点，不合题意； C、一次函数不过点，不合题意； D、一次函数过点， 由一次函数的图象可得，即， 而正比例函数图象可得，符合题意． 故选：D． 题型七：正比例函数的性质 解题思路：①由k符号判断增减性：k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小；②|k|越大，直线越陡；③图像恒过原点。 21．已知正比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】结合正比例函数的性质，把点代入计算，即可作答． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， ∴. 22．在平面直角坐标系中，已知点，是直线（）上的两点，且，请写出一个符合条件的k的值__________． 【答案】（答案不唯一，小于的数均可） 【详解】解：∵点，是直线上的两点， 且，， ∴随的增大而减小， ∴， ∴小于的数均可，答案不唯一． 23．对于函数，下列说法中错误的是（     ） A．函数图象不经过第二象限 B．函数图象经过点 C．随的增大而增大 D．当时， 【答案】B 【分析】根据正比例函数中系数，结合函数性质逐个判断选项，即可找出错误说法． 【详解】解：是正比例函数，其中 对A选项，∵，函数图象经过第一、三象限，不经过第二象限，∴A说法正确 对B选项，将代入，得，∴函数图象不经过点，B说法错误 对C选项，∵，∴随的增大而增大，C说法正确 对D选项，由得，当时，，解得，∴D说法正确 综上，说法错误的是B． 题型八：判断一次函数的图象 解题思路：①由k符号确定直线升降趋势；②由b符号确定直线与y轴交点位置；③结合k、b正负组合匹配图像。 24．函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质，注意一次项系数与函数的增减性之间的关系． 根据题意，易得，而，结合一次函数的性质，可得答案． 【详解】解：∵函数，，而， ∴图象经过一、二、四象限． 故选：B． 25．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是________________． 【答案】 【分析】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大． 【详解】解：由图象可得：，，，， 由于直线比陡，直线比陡， ，， ， 故答案为：． 26．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（     ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】观察已知一次函数的图象，判断和的正负，由的正负推导的正负，结合的正负，确定目标函数的图象即可． 【详解】解： 对于原函数，直线从左到右是下降的， ∴， ∵直线与轴交于正半轴， ∴， 目标函数， ∵， ∴， ∴直线是下降的， ∵， ∴直线与轴交于负半轴， ∴函数的图象为选项D． 题型九：根据一次函数解析式判断其经过的象限 解题思路：①k定增减方向，b定与y轴交点位置；②结合k、b正负组合判断经过象限；③正比例函数过原点。 27．一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象大致是． 28．如图，在点，，，中，一次函数的图象不可能经过的点是________． 【答案】点 【分析】根据k与b的符号确定一次函数图象经过的象限，结合各点所在的象限进行判断． 【详解】解：在函数中，、， 则该一次函数图象经过第二、三、四象限， 由图可知，点M在第二象限，点N在第一象限，点P在第四象限，点Q在第三象限， 因此，其图象不可能经过点N． 29．已知点，在直线的图象上，当时，，且，则在平面直角坐标系中，它的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据随的变化情况判断的符号，再结合判断的符号，从而确定直线经过的象限． 【详解】解：点，在直线上，当时，， ∴随的增大而增大， ， ， ， 直线经过第一、二、三象限，观察选项，只有A选项符合． 题型十：已知函数经过的象限求参数范围 解题思路：①根据经过象限，反推k、b的正负；②列出含参数的不等式（组）；③解不等式组，得到参数取值范围。 30．一次函数的图象如图所示，则、的取值范围是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：观察图形可知：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴，． 31．若关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】对于一次函数（为常数，），当时，的图象经过第一、三、四象限，据此列出不等式组求解即可. 【详解】解：关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限， ， 解不等式， 可得：， ． 32．已知关于的一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义和一次函数图象与系数的关系，列出关于的不等式组，求解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：是关于的一次函数， ，即， 一次函数图象不经过第二象限， ， 解不等式，得 ， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 即的取值范围是． 33．已知一次函数与（m，n为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（     ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】首先根据这两个函数图象的性质判断出哪一条直线表示一次函数，哪一条直线表示正比例函数； 再根据各个选项中一次函数和正比例函数的图象判断两个函数的系数m、n范围是否相符合，由此即可解题； 【详解】解：根据正比例函数图象的性质可知，该函数图象经过原点，即经过原点的直线代表正比例函数，另一条直线代表一次函数， A、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； B、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； C、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； D、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论一致，故本选项正确． 题型十一：一次函数图象与坐标轴的交点问题 解题思路：①求y轴交点：令x=0，求y，坐标(0,b)；②求x轴交点：令y=0，解方程求x，坐标(-,0)；③交点常用来求线段长、三角形面积。 34．一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴上的点纵坐标为，据此求解一次函数图象与轴交点的横坐标即可． 【详解】解：令，得， 解得， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为． 35．函数的图象与的图象交x轴于同一点，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用轴上点的纵坐标为0，结合两函数与轴交点横坐标相等列等式求解． 【详解】解：在中，令，则，解得， 在中，令，则，解得， ∵两函数图象交轴于同一点， ∴， 整理得， ∴． 36．函数的图象与函数的图象交于x轴上一点，那么的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用轴上点的纵坐标为0的性质，先分别求出两个函数与轴交点的横坐标，再根据交点为同一点得到横坐标相等，整理即可求出的值． 【详解】解：当时，解得， 当时，解得 ∵两个函数图象交于轴上同一点， ∴， ∴． 37．如图，直线交坐标轴于，两点，等边三角形的边在轴上，且点为线段的中点，若将沿轴方向竖直向上平移，当点落在直线上时，点的坐标为______________． 【答案】 【分析】先求出，得到，从而可得，，由等边三角形的性质可得，作轴于点，求出，设向上平移个单位，则平移后的点的坐标为，点的坐标为，再将点的坐标代入一次函数计算即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，解得，即， ∴， ∵点为线段的中点， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， 如图，作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵将沿轴方向竖直向上平移， ∴设向上平移个单位，则平移后的点的坐标为，点的坐标为， ∵将沿轴方向竖直向上平移，点落在直线上， ∴， ∴， ∴当点落在直线上时，点的坐标为． 题型十二：求一次函数自变量或函数值 解题思路：①已知x代入解析式直接求y；已知y，解方程求x；②实际问题中，结果要符合自变量取值范围；③检验结果合理性。 38．若点在函数的图象上，则的值是________． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的横坐标代入函数解析式即可求得的值． 【详解】∵点在函数的图象上， ∴将，代入得：． 39．已知点为直线上一点，坐标如图所示，则的值为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， ∴的值为4． 40．一次函数，当，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一次函数函数值，一次函数的增减性，掌握系数与增减性的关系是解题关键． 根据解析式可得该函数y随x的增大而减小，则当时取得最大值，求出此时y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴该函数y随x的增大而减小， ∴当时，时取得最大值， 此时， 故选：D． 41．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，沿直线平移后得到，点A的对应点落在x轴上，则点B与其对应点间的距离为___________ 【答案】5 【分析】由平移的性质得，得点的纵坐标为3，进而求得点的坐标，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点A的坐标为，△OAB沿直线平移后得到，点A的对应点落在x轴上， ∴， ∴点的纵坐标为3， ，解得， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十三：一次函数图象平移问题 解题思路：①口诀：上加下减常数项，左加右减自变量（仅针对y=kx+b形式）；②平移只改变b，斜率k保持不变；③分清上下、左右平移，注意左右平移要加括号。 42．若将直线向上平移1个单位长度，则平移后的直线所对应的函数关系式是__________． 【答案】 【分析】利用一次函数图象平移的“上加下减”规律求解即可. 【详解】解：由题意，平移后的解析式为. 43．将函数的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将函数的图象向上平移2个单位长度，得． 44．直线向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线______． 【答案】 【分析】利用一次函数平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量，逐步计算即可得到平移后的直线解析式． 【详解】解：原直线解析式为 ， 将直线向下平移个单位，根据平移规律，常数项减，得：， 再向左平移个单位，根据平移规律，将替换为，得： 展开整理得： ∴平移后得到的直线为 ． 45．在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数，且）的图象向左平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则下列各点在一次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后的解析式，结合正比例函数的特征求出k的值，再代入各点判断是否在函数图象上． 【详解】解：将的图象向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为，即， ∵平移后得到一个正比例函数的图象， ∴， 解得， ∴原一次函数解析式为； 当时，，A选项不符合题意； 当时，，B选项符合题意； 当时，，C选项不符合题意； 当时，，D选项不符合题意． 题型十四：一次函数图象的对称与旋转问题 解题思路：①优先取直线上两个关键点（坐标轴交点）；②先求出对称/旋转后的新坐标；③用待定系数法求新解析式；④看清对称轴、旋转中心与角度，必要时分类讨论。 46．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质．函数图象沿x轴对折即关于x轴对称，纵坐标变为相反数． 【详解】解：∵原函数为，对折后点变为， ∴， 即 故选：D 47．如图，直线与y轴交于点A，将直线l绕点A旋转后，所得直线的表达式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，待定系数法求解析式的综合，，则，由题意知所得直线与原直线垂直，故与y轴的正半轴的夹角为，得出点，，代入解析式，即可得出答案． 【详解】解∶ 记直线l与x轴的交点为B，旋转后得直线与x轴的交点为． 在中令，则，故点， ． 令，则，故点， ． ． ． 由题意知所得直线与原直线垂直， 故与y轴的正半轴的夹角为，即． 轴， ． ． ． ． 设， 把点，代入的解析式中有 解得 故：． 故答案为∶ ． 48．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称点（或点）的纵坐标为函数与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，一次函数的性质． 根据“对偶值”的定义，点在函数上，点在函数上，且与关于轴对称，因此它们的纵坐标相等，横坐标互为相反数．设点的坐标为， 则点的坐标为，代入求出，再求的值即可． 【详解】解：设点的坐标为， 由于点与点关于轴对称，则点的坐标为， 又∵点在函数上， ∴， 即， 解得， 则对偶值为． 故答案为：． 49．将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的旋转以及一次函数与坐标的交点问题，掌握一次函数图象的旋转是解题的关键．一次函数中，令，则，当一次函数绕原点顺时针旋转后，则的对应点为，得到，分别当和时讨论，即可解得． 【详解】解：在一次函数中，令，则， ∴直线经过点， 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转， 则的对应点为， 旋转后图象与轴交于点， ， ， ， 当时，，解得，即； 当时，，解得，与矛盾，无解； 的取值范围是， 故答案为：． 题型十五：判断一次函数的增减性 解题思路：①增减性只看k符号，和b无关；②k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小；③正比例函数规则相同。 50．下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一次函数的性质解题，当时，函数值随自变量增大而增大，当时，函数值随自变量增大而减小，只需判断各选项一次项系数的符号即可． 【详解】解： A选项中，∵，∴随增大而减小，不符合题意； B选项中，∵，∴随增大而增大，符合题意； C选项中，∵，∴随增大而减小，不符合题意； D选项中，∵，∴随增大而减小，不符合题意． 51．函数中，当时，函数的最小值和最大值分别为____________． 【答案】 和 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，，当时，； 当时，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴； 当时，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴； 综合两种情况，可得当时，， ∴函数的最小值为，最大值为. 52．如图，若函数图象上任意两点，均满足，下列四个函数图象中所有正确的函数图象的序号是（     ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据不等式判断出函数的增减性，再结合各函数图象的性质进行判断即可． 【详解】解：， 与同号， 即当时，， 当时，， ∴函数图象上随的增大而增大． 由图①可知，随的增大而减小，故不符合题意； 由图②可知，随的增大而增大，故②符合题意； 由图③可知，当时，随的增大而减小，故③不符合题意； 由图④可知，在图象所示范围内，随的增大而增大，故④符合题意； 综上所述，正确的函数图象序号是②④． 题型十六：根据一次函数增减性求参数 解题思路：①由增减性反推k>0或k<0；②列出参数不等式；③解不等式求参数范围，牢记前提k≠0。 53．已知一次函数中，随的增大而增大．请写出一个符合要求的的值：________． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的性质，当时，随的增大而增大，据此写出一个满足条件的的值即可． 【详解】解：一次函数中，随的增大而增大， ， 故可取．（答案不唯一） 54．在一次函数中，函数y的值随x的值增大而减小，那么常数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一次函数的性质求解即可． 【详解】解：一次函数，y的值随x的值增大而减小， ，解得． 55．一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是____________（用“”连接） 【答案】 【分析】由函数图象可得，，，，再结合函数的图象倾斜度比函数的图象倾斜度大，得出，即可得出结果． 【详解】解：由函数图象可得，，，， ∵函数的图象倾斜度比函数的图象倾斜度大， ∴， ∴． 56．如图，在平面直角坐标系中，，，，点是线段上一点（不与点，重合），直线的解析式为，当随增大而减小时，点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点和点的坐标判断出轴，则，且，结合一次函数的增减性可得，从而判断出选项． 【详解】解：∵，， ∴轴， ∵点是线段上一点（不与点，重合） ，且， ∵y随的增大而减小， 又 ∵， ，即， 综上，， ∴只有选项C符合． 题型十七：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 解题思路：①先判断k正负，确定增减方向；②根据函数值变大/变小，反向推出自变量变化趋势；③分清自变量、函数值是同向还是反向变化。 57．已知一次函数，当时，则函数值y的取值范围是_______ 【答案】 【分析】先判断一次函数的增减性，再代入计算边界函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 一次函数中，， ∴ 随的增大而增大， 当时，， ∵ ， ∴ ． 58．若一次函数（、为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一次函数增减性与已知点的函数值直接求解，无需计算解析式． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小， ∵函数图象经过点，即当时，， ∴不等式的解集为． 59．若关于x的一次函数，当时，，则b的值可以为_________． 【答案】（不唯一） 【分析】根据一次函数的性质判断函数的增减性，确定时的最小值在处，结合的条件求出的取值范围，再在取值范围内任取一个值即可． 【详解】解：∵一次函数，， ∴随的增大而减小． 时，， 当时，． 将代入得： ，解得：． ∴可取任意大于的数，如． 60．对于一次函数，下表列出5组自变量与其对应的函数值，其中恰好有一个函数值有误，则这个错误的函数值是（   ） 0 1 2 3 3 6 9 13 15 A．3 B．6 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数．根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值的前3个都是增加3，只有第4个是增加了4，导致第5个只增加了2． 第4个应是增加了3，即为12． 这样函数值随自变量是均匀增加，因而满足一次函数关系． ∴这个计算有误的函数值是13， 故选：C． 题型十八：比较一次函数值的大小 解题思路：①优先用增减性直接比较（简便）；②也可以代入自变量算出函数值再比较；③注意自变量是否在有效取值范围内。 61．已知点，都在直线上，则，大小关系是（     ） A． B． C． D．不能比较 【答案】A 【详解】解：， 随的增大而减小， 又， ． 62．已知是的一次函数，函数与自变量的部分对应值如表所示， … … … … 比较大小：____________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】根据待定系数法求出一次函数的解析式，根据一次函数的增减性，以及自变量的大小关系比较函数值的大小． 【详解】解：设该一次函数解析式为，将和代入解析式， 得， 解得， 该一次函数解析式为， ， 随的增大而增大， 又， ， 故答案为：． 63．若是的一次函数，其中，之间对应的部分数据如下表： 2 3 5 3 则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先求出一次函数的解析式，再利用一次函数的增减性即可解答． 【详解】解：设该一次函数解析式为 ∵当时，，当时，， ∴，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 题型十九：一次函数的规律探究问题 解题思路：①先算出前几组点坐标、函数值；②观察坐标或数值，找到等差、循环等变化规律；③归纳通项；④代入序号验证并求解。 64．如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据勾股定理求得，所以，，进而可得，，再根据平移的性质得，，，，总结出规律即可得解． 【详解】解：设点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ，， 将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得， ，，，，， 第次平移后，点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征，平移的性质，勾股定理，数字规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 65．如图，在平面直角坐标系中，点都在直线上，点都在轴上，都是等腰直角三角形，其中都是直角．如果点的坐标为，那么点的纵坐标是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列、、纵坐标得出一般规律，再按照规律求出的纵坐标即可得到答案，罗列、、纵坐标得出一般规律是解决问题的关键． 【详解】解：直线与轴交于点， ，解得， 直线解析式为， 作轴，轴，轴，如图所示： ， ；的纵坐标为1， 都是等腰直角三角形， 设， ，将坐标代入直线解析式得，解得， ，的纵坐标为， 设，则， 代入直线解析式，解得， ， 的纵坐标为， 的纵坐标为， 故选：C． 66．如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 【答案】 【分析】先根据题意求出，，根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等，垂直于轴的直线上点的横坐标相等及直线的函数表达式可知，，，，求出，；；…，可得规律，即可解答 【详解】解：在直线中，令，则，故， 在直线中，令，则，故， 根据题意将代入直线中得，故， 将代入直线中得，故， ∴， 同理可得，， ∴；；…， 由此可得，， ∴的长度为． 解答题 1．如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数（、为常数）的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2．求点坐标及一次函数的函数解析式． 【答案】， 【分析】将代入求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将代入得， ∴ 将，代入得， 解得 ∴． 2．已知函数． (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）当函数是一次函数时，x的系数，次数求解即可； （2）根据正比例函数的定义，在满足（1）中一次函数关于的条件的同时，还需满足常数项为0，即，求解的值代入即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴，， 解得，， ∴； （2）∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 3．一次函数的图象上有两个不同的点 (1)若，则　； (2)若，，求； (3)若且，记，试求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，一次函数的性质． （1）由题意得到，，根据待定系数法即可求解； （2）由题意得到，，两式相减得，进而化简即可； （3）由题意得到，，从而得到，根据得到，即可解答． 【详解】（1）解： ， 由条件可得， 解得． 故答案为：． （2）解：∵一次函数的图象上有两个不同的点， ∴， 两式相减得， 由条件可知，， ∴． （3）解：∵， ∴一次函数为， ∵该函数图象过点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴的最大值为． 4．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不在 【分析】（1）直接把点代入正比例函数，求出k的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）把点的横坐标代入正比例函数的解析式求出y的值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式； （2）解：当时，， 当时，， ∴经过点，，描点画出图象如下： （3）解：∵正比例函数的解析式为， ∴当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 5．已知一次函数的图像经过点， (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数图像上，并说明理由； (3)若图像上有两点，，比较，的大小．（用两种不同的方法） 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出时的值即可判断求解； （）方法一：利用一次函数的性质解答即可；方法二：求出，再利用作差法比较即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴这个一次函数的表达式为； （2）解：点不在这个函数图像上，理由如下： 当时，， ∴点不在这个函数图像上； （3）解：方法一：∵， ∴的值随着的增大而减小， ∵， ∴； 方法二：当时，；当时，， ∵， ∴． 6．已知一次函数的图象不经过第三象限，且m为正整数． (1)求m的值； (2)画出该一次函数的图象； (3)当时，根据函数图象，求x的取值范围， 【答案】(1) (2)一次函数图象，如图所示： (3) 【分析】（1）根据一次函数不经过第三象限，列出关于的不等式组，再结合m为正整数即可求解； （2）根据一次函数解析式，描点和连线即可； （3）由函数图象，随增大而减小，令时，，令时，，即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象不经过第三象限， ，解得， m为正整数， ； （2）解：由（1）得一次函数， 令，则；令，则， 一次函数过点和， 在直角坐标系中描出点和，过这两点作直线即可． （3）解：一次函数， 由（2）一次函数图象可知，随着增大而减少， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴当时，x的取值范围为． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、．直线（为常数，）与直线交于点，且点的横坐标为． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求的值； (3)将直线向上平移个单位长度，得到的新直线交轴于点，当时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）在直线中，令，求出值，可得点的坐标，令，求出值，可得点的坐标； （2）将代入可求出点的坐标，再将点的坐标代入直线，即可求解； （3）先求出，根据一次函数的平移规律得到直线对应的函数解析式为，进而得到，则，最后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：在直线中， 令，则， 解得， 令，则， ，； （2）解：将代入，得， ， 将点代入， 得， 解得； （3）解：， ， 直线向上平移个单位长度得到直线，且直线， 直线对应的函数解析式为， 当时，， 解得， ， ， ， 点在点的左侧， ， ， ， 解得． 8．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法代入已知点坐标求解即可； （2）根据题意列出恒成立的不等式，结合一次函数的增减性分析端点处的不等关系，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，， ∴把，代入中，得： ， 解得：， ∴这个函数的解析式为； （2）由（1）得一次函数为， ∵当时，恒成立， 整理右边不等式，得， ∵的值随x的增大而增大， ∴当时，， 要使对所有成立， ∴， 整理左边不等式，得， ∵的值随x的增大而减小， ∴当时，， 要使对所有成立， ∴， 综上所述，． 9．阅读理解与一题多变问题：探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 探究过程：小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组得出：无论k取何值，一次函数的图象一定经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数的图象是“点旋转直线”． (1)一次函数的图象经过的定点P的坐标是______． (2)已知一次函数的图象与x轴．y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把化为，再进一步求解即可； （2）求解，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， 由，得， 当时，， ； （2）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B， 当，则， ∴， 的面积为3， ， 解得或， 因为函数是一次函数， 所以，即， 解得的和均满足该条件， 故k的值为7或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $