专题 5.2 一次函数的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 5.2 一次函数的概念 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】一次函数 1 【★题型1】正比例函数辨析 1 【要点归纳】 2 【★题型2】一次函数辨析 2 【★题型3】列一次函数表达式 2 【要点归纳】 3 【知识点二】待定系数法求一次函数的表达式 3 【★题型4】待定系数法求一次函数的解析式 3 【★★题型5】待定系数法求一次函数的解析式并求值 4 【★★★题型6】通过几何性质求求一次函数的解析式并求值 4 【要点归纳】 5 二．同步练习​ 5 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 5 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 8 一.知识梳理与题型分类精析 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】一次函数 一次函数定义：一般地，形如（为常数，）的函数叫作一次函数，其中是自变量，是的函数；特别地，当时，（为常数，）叫作的正比例函数。 【★题型1】正比例函数辨析 【例题1】（25-26八年级上·广西梧州·期中）若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列式子中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建福州·期中）已知函数是关于的正比例函数，则的值为 【要点归纳】 正比例函数的等价形式：（1）是的正比例函数；（2）（为常数，）。 【★题型2】一次函数辨析 【例题2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有 ．（请填写序号） 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·月考）在一次函数中，一次项系数和常数的值分别是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【★题型3】列一次函数表达式 【例题3】（25-26八年级上·山西晋中·期中）下列各选项中，两个变量y与x之间的关系是一次函数关系的是（   ） A．在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍会滑行，一般地，其中x表示刹车前汽车的速度（单位：） B．周长为的长方形，其面积与该长方形的一边长之间的关系 C．计划修建铁路1200千米，铺轨天数y（天）与每日铺轨量x（千米）之间的关系 D．声音在空气中的传播速度约为，声音在空气中的传播距离与传播时间之间的关系 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）写出下题中与之间的关系式，并判断是否是的一次函数：在速度为的匀速运动中，路程与时间的关系． （2）已知一个长方形的长为，宽为，周长为，求与之间的关系式，并判断是否为的一次函数． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）正方形的面积与它的边长x（）之间的关系； （2）某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； （3）汽车从离A站的B地出发，以的速度沿射线方向匀速行驶，汽车到A站的距离y（）与匀速行驶的时间x（h）之间的关系． 【要点归纳】 一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 【知识点二】待定系数法求一次函数的表达式 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法. 　 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值，从而列二元一次方程组求值。 【★题型4】待定系数法求一次函数的解析式 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象经过点和，求这个一次函数的解析式． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数中，当时，；当时，，求一次函数的表达式． 【变式2】在平面直角坐标系中，有，两点，已知点A关于y轴的对称点为点C． （1）写出点C的坐标； （2）写出过B、C两点的函数表达式． 【★★题型5】待定系数法求一次函数的解析式并求值 【例题5】（23-24八年级下·安徽芜湖·月考）已知y与x成正比例关系，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式． （2）若点在这个函数的图象上，求a的值． 【变式1】（23-24七年级下·四川乐山·期中）已知，当时，；当时，． （1）求、的值； （2）当取何值时，的值不大于． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）已知直线过点． （1）求； （2）求线段的长度． 【★★★题型6】通过几何性质求一次函数的解析式并求值 【例题6】（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，已知点的坐标为，则直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，若点B的坐标为，，则直线AB的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，M是线段的中点． （1）求直线 的函数表达式； （2）若点P是y轴上一点，且使周长最小，求最小周长． 【要点归纳】 待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1） 设：设所求函数的解析式为； （2） 代：将题目给出的两个已知点的坐标或其他等价条件代入所设解析式，得到关于 k、b 的二元一次方程组； （3） 解：解方程组通过代入消元法或加减消元法，求解上述方程组，得到 k 和 b 的具体数值。 （4）回：将求出的 k、b 值代入所设的 中，得到最终的一次函数解析式。 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）若函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B． C． D．2 3．（23-24八年级下·海南海口·期末）某山山脚气温为，海拔每升高，气温下降℃，则山上气温（）与该处距山脚垂直高度（）之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，无论a取何值，点P一定落在下列哪条直线上（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·四川泸州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，两点，若将线段沿一定方向平移，平移后M点的对应点为，N点的对应点为，则直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，点在第一象限，线段上有一点，点为轴上一动点，连接，，当的值最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）是关于x的一次函数，则 ． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若正比例函数的图象经过点，则n的值为 ． 9．（22-23七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点．若点的坐标为，则与的函数关系为 ． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如果生产某种产品的成本y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示，那么生产6吨这种产品所需的成本是 万元． 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）一次函数，当时，，当时，，则当时， ． 12．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）一次函数与轴交于点，将一次函数绕点顺时针旋转得到新的一次函数关系式为 ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）已知与成正比例，当时，，求与之间的函数关系式． 14．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）已知y是x的一次函数，当时，；当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当x为何值时，？ 15．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，已知，，点C在y轴正半轴上，． （1）求点C的坐标． （2）求直线的解析式． 16．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于E、F．点E坐标为，点A的坐标为． （1）求k的值； （2）若点是直线上的一个点，求的面积． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如果是正比例函数，那么的值是（    ） A．1 B． C．0 D． 2．（20-21八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列函数：①；②；③；④中，关于x的一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（25-26八年级上·全国·期中）中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（2022八年级下·湖南怀化·竞赛）一次函数图象经过，，且与直线：垂直，则B关于原点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（12-13八年级上·安徽·期末）动点在的斜边上移动，图（2）表示动点到两直角边的距离与之间的函数图像，则满足“”的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于A，两点，以为斜边在轴右侧作等腰直角三角形．若作关于轴对称的，点的对应点恰好落在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，其中与成正比例，与成正比例，当时，，当时，，则与之间的函数表达式为 ． 8．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，且，则代数式的值为 ． 9．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为 ． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若一束光线从点射出，经过轴上的点沿射线方向反射出去，则反射光线所在直线的函数表达式为 ． 11．（2020·山东济南·一模）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． 12．（24-25八年级下·重庆渝北·开学考试）如图，一次函数过点和点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，点D在线段上，点E在线段上，且，当最小值为时，则k的值为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知关于x的一次函数（a为常数，且a≠0）． （1）当自变量1对应的函数值为5时，求a的值； （2）对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，请求点Q的坐标． 14．（24-25八年级下·山东聊城·月考）阳谷县冀王红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻名．某商店计划购进，两种品牌的红富士苹果共50箱进行销售．品牌红富士苹果的价格为38元/箱，品牌红富士苹果的价格为30元/箱． （1）若品牌红富士苹果购进箱，购进这两种品牌红富士苹果的总费用为元，尝试确定与的函数关系？ （2）若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740元，则最多可购进品牌红富士苹果多少箱？ 15．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，点A是x轴上且在原点左侧的一点，点在第一象限，直线交y轴于点，． （1）直接写出______，点A的坐标（_____，_____），m的值是_______； （2）求直线的函数表达式； （3）若直线上有一点M，使得，求点M的坐标． 16．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． （1）直线的函数表达式为_____． （2）若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.2 一次函数的概念 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】一次函数 1 【★题型1】正比例函数辨析 1 【要点归纳】 2 【★题型2】一次函数辨析 3 【★题型3】列一次函数表达式 4 【要点归纳】 6 【知识点二】待定系数法求一次函数的表达式 6 【★题型4】待定系数法求一次函数的解析式 6 【★★题型5】待定系数法求一次函数的解析式并求值 7 【★★★题型6】通过几何性质求求一次函数的解析式并求值 9 【要点归纳】 13 二．同步练习​ 14 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 14 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 23 一.知识梳理与题型分类精析 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】一次函数 一次函数定义：一般地，形如（为常数，）的函数叫作一次函数，其中是自变量，是的函数；特别地，当时，（为常数，）叫作的正比例函数。 【★题型1】正比例函数辨析 【例题1】（25-26八年级上·广西梧州·期中）若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数，正比例函数的形式为，即一次项系数不为零且常数项为零，据此求解即可． 解：∵函数是正比例函数， ∴且 解得且 ∴． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列式子中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 根据正比例函数的定义（，为常数且）判断各选项． 解：∵ 正比例函数需满足， A、，不符合形式，不是函数关系，不符合题意； B、，符合形式，符合题意； C、，的次数为 2，不为1，不符合题意； D、，的次数为，不为1，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·福建福州·期中）已知函数是关于的正比例函数，则的值为 【答案】1 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的形式为是解题的关键．根据正比例函数的定义解答即可． 解：根据题意得， 解得． 故答案为：1． 【要点归纳】 正比例函数的等价形式：（1）是的正比例函数；（2）（为常数，）。 【★题型2】一次函数辨析 【例题2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有 ．（请填写序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键在于能够熟知定义． 根据一次函数的定义：形如的函数叫做一次函数，进行逐一判断即可． 解：①是一次函数； ②不是一次函数； ③是一次函数； ④不是一次函数； ⑤是一次函数； 故答案为：①③⑤． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·月考）在一次函数中，一次项系数和常数的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的概念，将化成的形式即可求解； 解：∵， ∴一次项系数和常数的值分别是， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数是一次函数． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 解： ①可化为，满足一次函数定义； ②中含有项，不是一次函数； ③满足形式，是一次函数； ④ 可化为，不是一次函数； ⑤化简得，满足形式，是一次函数． 综上， 一次函数有①、③、⑤，共3个． 故选C． 【★题型3】列一次函数表达式 【例题3】（25-26八年级上·山西晋中·期中）下列各选项中，两个变量y与x之间的关系是一次函数关系的是（   ） A．在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍会滑行，一般地，其中x表示刹车前汽车的速度（单位：） B．周长为的长方形，其面积与该长方形的一边长之间的关系 C．计划修建铁路1200千米，铺轨天数y（天）与每日铺轨量x（千米）之间的关系 D．声音在空气中的传播速度约为，声音在空气中的传播距离与传播时间之间的关系 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握形如的函数是一次函数，是解题的关键．根据一次函数包括一般地的一次函数和正比例函数，计算判断即可． 解：A.，不是一次函数，不符合题意； B. 根据题意得，长方形的另一边长为， 故，不是一次函数，不符合题意； C. 根据题意得，，不是一次函数，不符合题意； D. 根据题意得，，是一次函数，符合题意． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）写出下题中与之间的关系式，并判断是否是的一次函数：在速度为的匀速运动中，路程与时间的关系． （2）已知一个长方形的长为，宽为，周长为，求与之间的关系式，并判断是否为的一次函数． 【答案】（1），是的一次函数；（2），是的一次函数 【分析】本题考查了列函数关系式、一次函数的识别，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据公式：路程速度时间，列出关系式，再判断是否为的一次函数即可； （2）根据长方形的周长公式列出关系式，再判断是否为的一次函数即可． 解：（1）由题意得，， ∴是的一次函数； （2）∵一个长方形的长为，宽为，周长为， ∴与之间的函数关系式为； ∴是的一次函数． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）正方形的面积与它的边长x（）之间的关系； （2）某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； （3）汽车从离A站的B地出发，以的速度沿射线方向匀速行驶，汽车到A站的距离y（）与匀速行驶的时间x（h）之间的关系． 【答案】（1）不是的一次函数，也不是的正比例函数；（2），是的一次函数，也是的正比例函数；（3），是的一次函数，但不是的正比例函数 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式是关键． （1）根据正方形的面积是边长 x（）的平方列出函数解析式，再判断即可； （2）根据应缴电费y（元）是收费标准是0.53元/（）与用电量x（）的乘积，列出函数解析式，再判断即可； （3）根据汽车到A站的距离y（）是原来的距离加上汽车行驶距离列出函数解析式，再判断即可． 解：（1）解：根据题意可得， 不是的一次函数，也不是的正比例函数； （2）解：根据题意可得， ，是的一次函数，也是的正比例函数； （3）解：根据题意可得， ，是的一次函数，但不是的正比例函数 【要点归纳】 一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 【知识点二】待定系数法求一次函数的表达式 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法. 　 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值，从而列二元一次方程组求值。 【★题型4】待定系数法求一次函数的解析式 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象经过点和，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，设一次函数的解析式为，利用待定系数法解答即可求解，掌握待定系数法是解题的关键． 解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数中，当时，；当时，，求一次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解一次函数的解析式，根据题意设一次函数的表达式为，利用待定系数法求解函数的解析式即可． 解：设一次函数的表达式为， 当时，，当时，， ，解得 一次函数解析式为：． 【变式2】在平面直角坐标系中，有，两点，已知点A关于y轴的对称点为点C． （1）写出点C的坐标； （2）写出过B、C两点的函数表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，关于y轴对称的点的特点等知识． （1）根据关于y轴的对称点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数求解即可． （2）利用待定系数法求直线的解析式即可． 解：（1）解：∵，点A关于y轴的对称点为点C， ∴ （2）解：设B、C两点的函数表达式为， 则， 解得， ∴过B、C两点的函数表达式为． 【★★题型5】待定系数法求一次函数的解析式并求值 【例题5】（23-24八年级下·安徽芜湖·月考）已知y与x成正比例关系，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式． （2）若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了正比例函数的定义、解析式求解方法以及函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据正比例函数的形式设出解析式，利用已知x、y的值求出比例系数k，再结合点在函数图象上时横纵坐标满足函数解析式的性质求解参数． （1）根据正比例函数“”的定义设出函数解析式；将已知、代入解析式，构建关于k的方程；求解方程得到k的值，进而确定函数解析式； （2）利用“点在函数图象上则其坐标满足函数解析式”的性质，将代入（1）中所求解析式，构建关于a的方程；求解方程得到a的值． 解：（1）解：设y与x的函数解析式为 ∵当时， ∴ 解得 ∴y与x的函数解析式为 （2）解：∵点在的图象上 解得． 【变式1】（23-24七年级下·四川乐山·期中）已知，当时，；当时，． （1）求、的值； （2）当取何值时，的值不大于． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与一元一次不等式的综合应用，解题的关键是根据已知条件列出关于k、b的二元一次方程组求解解析式，并将函数值的限制条件转化为一元一次不等式求解． （1）将两组x、y的对应值时时代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值； （2）先由（1）得出完整的一次函数解析式，再根据“y的值不大于”列出一元一次不等式，解不等式得到x的取值范围． 解：（1）∵当时，；当时，， 将其代入得：， 解得，． （2）由（1）得一次函数解析式为． 根据“y的值不大于”，列不等式： ∴． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）已知直线过点． （1）求； （2）求线段的长度． 【答案】（1），；（2） 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，，然后利用勾股定理求解即可． 解：（1）∵直线过点 ∴， 解得； （2）设坐标原点为， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得． 【★★★题型6】通过几何性质求一次函数的解析式并求值 【例题6】（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，已知点的坐标为，则直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过作辅助线构造全等三角形，求出点坐标，再用待定系数法求直线函数表达式．本题主要考查全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握全等三角形判定找相等线段求点坐标，及待定系数法求函数式是解题关键． 解：过作轴于，过作轴于． 是含角的直角三角尺，，， ，， 又， ． 在和中， ，， ， ，， ，， ∴． 设直线的解析式为，把，代入得： 两式相减得：，， 把代入得：，， 直线的解析式为， 故选C ． 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，若点B的坐标为，，则直线AB的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，勾股定理，等边对等角等知识，在上取一点，连接，使得，得到，求得，，从而求出，再用待定系数法即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵点， ∴， 在上取一点，连接，使得，如图： ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 设直线的解析式为：， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，M是线段的中点． （1）求直线 的函数表达式； （2）若点P是y轴上一点，且使周长最小，求最小周长． 【答案】（1）；（2）的最小周长是 【分析】本题考查了一次函数的图像性质，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理，合理做出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）作点关于y轴对称的点C，连接交y轴于点P，过点M作于点D，此时，可得到最小值，再利用勾股定理运算求解即可． 解：（1）解：设直线的解析式为，把代入可得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）周长， 当最小时，的周长最小， 如下图，作点关于y轴对称的点C，连接交y轴于点P，过点M作于点D， 此时，可得到最小值， ，C与A关于y轴对称， M为中点，， ，即， ， ， 在中，， 在中，， 周长． 【要点归纳】 待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1） 设：设所求函数的解析式为； （2） 代：将题目给出的两个已知点的坐标或其他等价条件代入所设解析式，得到关于 k、b 的二元一次方程组； （3） 解：解方程组通过代入消元法或加减消元法，求解上述方程组，得到 k 和 b 的具体数值。 （4）回：将求出的 k、b 值代入所设的 中，得到最终的一次函数解析式。 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数，正比例函数定义为形如（为常数且）的函数，据此判断各选项． 解：A．含常数项，不是正比例函数； B．中的次数为2，不是正比例函数； C．即（），是正比例函数； D．中的次数为，不是正比例函数； 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）若函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查根据一次函数的定义，求参数的值，根据一次函数的定义，得到且，进行求解即可． 解：由题意，且， 解得； 故选C． 3．（23-24八年级下·海南海口·期末）某山山脚气温为，海拔每升高，气温下降℃，则山上气温（）与该处距山脚垂直高度（）之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列出函数关系式是解题的关键．根据山脚气温、海拔升高与气温下降的关系，找出气温和高度的数量关系，从而确定函数关系式． 解：根据题意，海拔每升高，气温下降， 山脚气温为，则 故选：D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，无论a取何值，点P一定落在下列哪条直线上（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一次函数解析式．设点P的坐标为，则，通过消去参数a，即可解答． 解：设点P的坐标为， 则， ∴， 代入，得． ∴点P始终在直线上． 故选：D． 5．（24-25八年级下·四川泸州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，两点，若将线段沿一定方向平移，平移后M点的对应点为，N点的对应点为，则直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，先根据点M及其对应点坐标得出平移方向和距离，据此得出点N的对应点坐标，再利用待定系数法求解即可． 解：由点的对应点，知线段向右平移2个单位，向上平移4个单位， ∴点的对应点， 设直线的表达式为， 则， 解得， 所以直线的表达式为， 故选：A． 6．（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，点在第一象限，线段上有一点，点为轴上一动点，连接，，当的值最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与轴对称最短距离和问题，先根据点在直线上求出点的坐标，在根据对称性点B的对称点，求出的解析式，即可求出点P及距离即可得到答案． 解：∵点，点在， ∴，， ∴点，点， ∴点B关于x轴的对称点为点， 如图，设点B关于x轴的对称点为点，连接，则，， ∴， 即的最小值为的长， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， 此时点P的坐标为． 故选：D 二、填空题 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）是关于x的一次函数，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握知识点是解题的关键．根据一次函数的定义，函数中自变量x的指数必须为1且系数不为零． 解：∵是关于x的一次函数， ∴， 解得． 故答案为：3． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若正比例函数的图象经过点，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，解题的关键是将点的坐标代入函数解析式求解． 已知正比例函数解析式和函数图象经过的点的纵坐标，将点的坐标代入解析式，即可求出的值． 解：因为正比例函数的图象经过点， 所以将代入中，可得：， 两边同时乘以，得：． 故答案为：． 9．（22-23七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点．若点的坐标为，则与的函数关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题关键. 根据文中的作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，进而根据角平分线的性质得出点P的横坐标与纵坐标的关系最终得出答案即可. 解：由题意可得：点P在第二象限的角平分线上， ∴， ∴， 故答案为. 10．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如果生产某种产品的成本y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示，那么生产6吨这种产品所需的成本是 万元． 【答案】11 【分析】本题主要考查一次函数的应用，理解题意，确定函数关系式是解题关键． 设成本y（万元）与产量x（吨）之间的关系式为，利用待定系数法确定函数关系式，然后代入求解即可． 解：由图可知，y与x成一次函数关系， 设成本y（万元）与产量x（吨）之间的关系式为， 将点代入得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴生产6吨这种产品所需的成本是11万元． 故答案为：11． 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）一次函数，当时，，当时，，则当时， ． 【答案】7 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式．把时；当时，代入一次函数，建立关于、的二元一次方程组，进一步求得答案即可． 解：在一次函数中，当时，，当时，； ， 解得：， 一次函数解析式为：， 则当时，， 故答案为：7． 12．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）一次函数与轴交于点，将一次函数绕点顺时针旋转得到新的一次函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性以及待定系数法求解析式，解题的关键是由旋转得到相应的几何关系，并求得点的坐标．设一次函数与轴交于点，设旋转后的直线为，过点作交于点，作轴于点，证明，得出，进而待定系数法求解析式，即可求解． 解：设一次函数与轴交于点，设旋转后的直线为，过点作交于点，作轴于点， 当时，，当时，，则， ∴， ，则为等腰直角三角形，则，， ，， ， ，， ， 在，，则点， 设直线AM的表达式为， ∴ 解得： ∴旋转后的一次函数为： 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）已知与成正比例，当时，，求与之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查的是正比例的含义，利用待定系数法求解一次函数的解析式，设，再把代入，进一步可得答案． 解：∵与成正比例， ∴设 把代入， ∴， 解得：， ∴与之间的函数关系式为，即． 14．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）已知y是x的一次函数，当时，；当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当x为何值时，？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式：熟练掌握该知识点是关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解． 解：（1）解：设y与x之间的函数解析式为，由条件可得： ，解得， ∴． （2）解：当时， ，解得：． 15．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，已知，，点C在y轴正半轴上，． （1）求点C的坐标． （2）求直线的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了勾股定理，一次函数等知识，解题的关键是： （1）先求出，然后根据勾股定理求出，即可求解； （2）根据待定系数法求解即可． 解：（1）解∶ ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又点C在y轴正半轴上， ∴； （2）解：设直线解析式为， 则， 解得， ∴． 16．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于E、F．点E坐标为，点A的坐标为． （1）求k的值； （2）若点是直线上的一个点，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形等知识． （1）把代入得到，，即可求出答案； （2）根据（1）得到，求出，利用三角形面积公式并结合点的坐标即可求出答案． 解：（1）解：把代入得到， ， 解得； （2）由（1）得到， 把点代入得到， ， ∴ ∵点A的坐标为． ∴ ∴的面积为． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如果是正比例函数，那么的值是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据正比例函数的定义，函数形式应为（其中 ），因此自变量的指数必须为1． 解：∵ 是正比例函数， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 2．（20-21八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列函数：①；②；③；④中，关于x的一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义：形如（，为常数，）的函数叫做一次函数，逐一所给函数是否符合该定义．本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握“一次函数的形式为（，、为常数）”是解题的关键． 解：函数①，其中，，符合一次函数定义，是一次函数． 函数②，其中，，符合一次函数定义，是一次函数． 函数③，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，不是一次函数． 函数④，可写成，自变量的次数是，不符合一次函数定义，不是一次函数． 综上，①②是一次函数，共个． 故选： ． 3．（25-26八年级上·全国·期中）中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标和用待定系数法求一次函数的解析式，掌握一次函数解析式的求法是解题的关键．根据棋子“帅”位于点的位置，求出“马”所在的点的坐标，由此解答即可． 解：由题意，∵“帅”位于点， ∴“马”， 设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为， ∴， ∴． ∴． 故选：A． 4．（2022八年级下·湖南怀化·竞赛）一次函数图象经过，，且与直线：垂直，则B关于原点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理的应用；根据且与直线：垂直，设与轴交于点，于点，设，进而根据勾股定理求得的值；待定系数法求得直线的解析式，将点代入，得出，进而根据关于原点对称点的点的坐标特征，即可求解． 解：如图所示，设与轴交于点，于点， 当时，，则 ∵， ∴． 设， 在中，， ∴ 解得：或（舍去） ∴． 设直线的解析式为，代入，得 解得： ∴直线的解析式为． ∵， ∴． 解得：， ∴． ∴B关于原点的对称点的坐标为． 故选：D． 5．（12-13八年级上·安徽·期末）动点在的斜边上移动，图（2）表示动点到两直角边的距离与之间的函数图像，则满足“”的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解与一元一次不等式的应用，解题的关键是根据函数图像上的点坐标求出一次函数解析式． 首先，利用待定系数法求解一次函数解析式，然后利用得到的函数解析式和不等式条件求解x的范围． 解：设， 由图（2）可知时，，时，， 所以，， 解得， 所以，， ， ， 解得， 又为点到的距离， ， ． 故选：A． 6．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于A，两点，以为斜边在轴右侧作等腰直角三角形．若作关于轴对称的，点的对应点恰好落在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由等腰直角三角形的性质得出，，由等腰直角三角形求出点的坐标，根据折叠的性质得出的坐标，代入直线求出即可． 解：过点C作于D，如图， 是等腰直角三角形， ，， ∵， ∴， ∴， 直线，当时，， ， ， ， ， ∵关于轴对称的， ∴， 把点代入直线得：， 解得：． 故选：A． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，关于轴、轴对称的点的坐标特征，求得点的坐标是解题的关键． 二、填空题 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，其中与成正比例，与成正比例，当时，，当时，，则与之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 根据正比例函数的定义得到，，则，然后利用待定系数法求与的函数关系式． 解：设，，则， 根据题意得， 解得， 所以与的函数关系式为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，且，则代数式的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征和代数式求值。通过代入点坐标求得 ，再利用平方差公式计算即可。 解：∵点 在函数 的图像上， ∴ ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， 故答案为：8. 9．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形，一次函数的应用，平移等知识，运用勾股定理、三角形面积公式求出点C的坐标，进而得到直线和直线的函数解析式，求出点D的坐标，再根据平移后点D落在上求出平移距离，从而得到点B平移后对应点的坐标． 解：∵点，， ∴． 又∵， ， ∴， 过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴， ∴， ∴ 则点C的坐标为 令直线的函数解析式为， 则， 解得： ∴直线的函数解析式为， 同理可求出的函数解析式为：， 将代入，则， ∴点， 将代入， 解得：， ∴沿x轴向左平移个单位长度后，点D落在上， ∴， 则平移后点B对应的点的坐标为， 故答案为： 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若一束光线从点射出，经过轴上的点沿射线方向反射出去，则反射光线所在直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，先求直线的解析式，然后求直线与轴的交点的坐标，根据镜面知：和直线与轴的交点关于轴对称，则可求的坐标，然后根据待定系数法求反射光线所在的直线的函数表达式即可． 解：设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 直线与轴的交点的坐标为， 根据镜面知：和关于轴对称， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为． 故答案为：． 11．（2020·山东济南·一模）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． 【答案】 【分析】本题考查了由函数图像获取信息，待定系数法求函数解析式，利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，再求出两直线的交点即可得到答案． 解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为， 根据图象得，， 解得：， ， 设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为， 根据图象得，， 解得：， ， 联立， 解得：， 经过20分钟时，当两仓库快递件数相同， 故答案为：20． 12．（24-25八年级下·重庆渝北·开学考试）如图，一次函数过点和点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，点D在线段上，点E在线段上，且，当最小值为时，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数的性质，旋转的性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用，构造辅助线． 过C作，使，连接，根据条件证明，得出对应边相等，当E在上时取最小值，最小值，由勾股定理确定，代入解析式即可得出答案． 解：过C作，使，连接， 由条件可知， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当E在上时取最小值，最小值， ∴， ∵点和点， ∴， 解得或， ∵由图形可知在第一象限， ∴， ∴， ∴， 把和，代入得， 解得， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知关于x的一次函数（a为常数，且a≠0）． （1）当自变量1对应的函数值为5时，求a的值； （2）对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，请求点Q的坐标． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题主要考查代入求值和整式中某项系数为0的条件等知识点，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据题意把自变量和函数值代入解析式，即可解决问题； （2）对于任意非零实数对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点Q，其实就是保证右边的整式中不包含a，把所有含a的项合并在一起，令其系数为0即可； 解：（1）解：把代入（a为常数，且）得，， 解得； （2）解：∵， ∴当时，可有 ， ∴对任意非零实数a，一次函数的图像都经过点， ∴． 14．（24-25八年级下·山东聊城·月考）阳谷县冀王红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻名．某商店计划购进，两种品牌的红富士苹果共50箱进行销售．品牌红富士苹果的价格为38元/箱，品牌红富士苹果的价格为30元/箱． （1）若品牌红富士苹果购进箱，购进这两种品牌红富士苹果的总费用为元，尝试确定与的函数关系？ （2）若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740元，则最多可购进品牌红富士苹果多少箱？ 【答案】（1）且为整数；（2） 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，写出与的函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据总费用品牌红富士苹果的价格购进品牌红富士苹果的箱数品牌红富士苹果的价格购进品牌红富士苹果的箱数计算即可； （2）根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，从而得到的最大值即可． 解：（1）解：， 与的函数关系为且为整数． （2）根据题意，得，即， 解得． 答：最多可购进品牌红富士苹果箱． 15．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，点A是x轴上且在原点左侧的一点，点在第一象限，直线交y轴于点，． （1）直接写出______，点A的坐标（_____，_____），m的值是_______； （2）求直线的函数表达式； （3）若直线上有一点M，使得，求点M的坐标． 【答案】（1）2；；0；3；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，求一次函数解析式，中点坐标公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据三角形面积计算公式可得第一空答案，据此可求出的面积，进而得到的长，则可求出点A的坐标，再由三角形面积计算公式可得点B的纵坐标，即m的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）可证明，则，则可分当点M在点C的左侧时，则点C为的中点，当点M在点B右侧时，则点B为点C与的中点所连的线段的中点，据此利用中点坐标计算公式求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵点A在原点左侧， ∴； ∵， ∴，即； （2）解：设直线的函数表达式为， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点M在点C的左侧时，则点C为的中点， ∵，， ∴； 当点M在点B右侧时，则点B为点C与的中点所连的线段的中点， ∴的中点坐标为， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 16．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． （1）直线的函数表达式为_____． （2）若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）点C的坐标为或或． 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，全等三角形的性质． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况讨论，利用全等三角形的性质求解即可． 解：（1）解：设直线的函数解析式为， 把，代入，得：， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 当时，且点在点的上方，如图： ∴，，即轴， ∴，即， ∴； 当时，且点在点的上方，如图：作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 当时， ∴； 当时，且点在点的下方，如图： 同理，； 综上，点C的坐标为或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $