5.2一次函数的概念（基础篇）练习2025-2026学年苏科版数学八年级上册

5.2一次函数的概念 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 正比例函数和一次函数的概念： （1）一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。 （2）特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。 （3）正比例函数是特殊的一次函数。 正比例函数和一次函数解析式的确定 1、确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数y=kx（k≠0）中的常数k。 2、确定一个一次函数，需要确定一次函数y=kx+b(k≠0)中的常数k和b。 3、解这类问题的一般方法是待定系数法。 4、具体方法：过点必代，交点必联。 型 习 练 题 正比例函数的定义 1．下列函数中，是的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数，正比例函数定义为形如（为常数且）的函数，据此判断各选项． 【详解】A．含常数项，不是正比例函数； B．中的次数为2，不是正比例函数； C．即（），是正比例函数； D．中的次数为，不是正比例函数； 故选：C． 2．若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数，正比例函数的形式为，即一次项系数不为零且常数项为零，据此求解即可． 【详解】∵函数是正比例函数， ∴且 解得且 ∴． 故选：C． 3．给出下面函数：①；②；③；④．其中是的正比例函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义：，其中 k 为常数且，逐一判断每个函数是否符合该形式，即可求解． 【详解】解：①可化为形式（），是正比例函数； ②含有常数项，不符合形式，不是正比例函数； ③ 可化为形式（），是正比例函数； ∵ ④不符合形式，不是正比例函数； 综上，只有①和③是正比例函数，共2个． 故选：C． 4．下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（    ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C．铅笔每支2元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 D．小明进行100m短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义，写出两个变量之间的函数关系式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是正比例函数，不符合题意； B、，不是正比例函数，不符合题意； C、，是正比例函数，符合题意； D、，不是正比例函数，不符合题意； 故选C． 5．下列函数关系式中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义，牢记正比例函数的定义形式是解题的关键．根据正比例函数的定义（，其中为常数且）判断各选项． 【详解】解：正比例函数的形式为（为常数，且）， A、，符合，且， 是正比例函数，选项符合题意； B、，不符合， 不是正比例函数，选项不符合题意； C、，的指数为，不是， 不是正比例函数，选项不符合题意； D、，有常数项， 不是正比例函数，选项不符合题意； 故选：A． 识别一次函数 6．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】此题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义（形如）进行判断即可 【分析】∵一次函数需满足， A：，x在分母，不符合； B：，x次数为2，不符合； C：，符合； D：，为常数函数，，不符合; 故选C 7．下列y与x之间的函数关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的识别，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键；根据一次函数的定义（）判断每个函数是否一定是一次函数即可． 【详解】解：①是一次函数； ②不是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤，若则不是一次函数，因此不一定是一次函数； ⑥不是一次函数； ∴一定是一次函数的只有①和④，共2个； 故选C． 8．下列命题中，是真命题的是（    ） A．形如（k，b都是常数）的函数是一次函数 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．直角三角形两锐角互余 D．三角形的外角都大于它的任何一个内角 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义、平行线的性质、直角三角形性质及三角形外角性质，根据一次函数的定义、平行线的性质、直角三角形性质及三角形外角性质需逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、当时，不是一次函数，是假命题，故本选项不符合题意； B、只有两条直线平行时，内错角才相等，是假命题，故本选项不符合题意； C、直角三角形两锐角之和为，则两锐角互余，是真命题，故本选项符合题意； D、三角形的外角不一定大于其相邻的内角，例如在直角三角形中，直角的外角与该内角相等，故该命题是假命题，不符合题意； 故选： C． 9．在一次函数中，一次项系数和常数的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的概念，将化成的形式即可求解； 【详解】解：∵， ∴一次项系数和常数的值分别是， 故选：C． 10．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如 （）的函数是一次函数，逐一判断各函数是否符合. 【详解】∵ 一次函数的一般形式为 （）， ① ，符合定义； ② ，分母含自变量 ，不是整式，不符合定义； ③ ，符合定义； ④ ，符合定义； ⑤ ，最高次项为2次，不符合定义； ∴ 是一次函数的有①、③、④，共3个. 故选：C. 根据一次函数的定义求参数 11．已知函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义得出且，即可求解． 【详解】解：函数是一次函数， 且， 解得． 故选：A． 12．若函数是关于x的一次函数，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义：形如，为常数且，可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ． 故选：B． 13．若点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质． 直接将点代入计算即可． 【详解】解：将点代入一次函数中，得： 解得： 故选：B． 14．若是一次函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，确定自变量的指数为，进而解方程求出m的值． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解得， 故选：C． 15．如果函数是一次函数，那么m的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义“一次函数的一般形式为，其中是常数，”，熟练掌握一次函数的定义是解题关键．根据一次函数的定义可得，且，由此即可得． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴，且， 解得，且， 综上，的值为2， 故选：B． 求一次函数解析式 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． (1)直线的函数表达式为_____． (2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为或或． 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，全等三角形的性质． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况讨论，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 把，代入，得：， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 当时，且点在点的上方，如图： ∴，，即轴， ∴，即， ∴； 当时，且点在点的上方，如图：作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 当时， ∴； 当时，且点在点的下方，如图： 同理，； 综上，点C的坐标为或或． 17．探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量间的关系如表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度 12 13 (1)补充上面的表格． (2)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是，因变量是． (3)在弹性限度内，如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (4)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【答案】(1)见解析 (2)所挂物体的质量,弹簧的长度 (3) (4) 【分析】本题主要考查了函数的概念，求函数关系式和自变量的值，理解题意是解题关键 （1）根据表格找出规律即可求解； （2）根据弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长即可得到答案； （3）观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长，据此列出对应的关系式即可； （4）根据（3）所求求出当时，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意所挂物体质量每增加1千克，弹簧伸长0.5厘米， ∴当所挂物体质量为4千克时，弹簧的长度为(厘米)； 当所挂物体质量为6千克时，弹簧的长度为(厘米)； 补全表格如下： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度 12 13 14 15 （2）解：由题意得，弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长， ∴自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：所挂物体的质量；弹簧的长度； （3）解：观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长， ∴； （4）解：当， 解得：， ∴该弹簧最多能挂质量为的物体． 18．若与成正比例，且时，，求与之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义及一次函数表达式的求解，解题的关键是根据“与成正比例”的关系设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出比例系数．根据正比例函数的定义，设，将、代入解析式，求出比例系数的值；最后将解析式整理为与的一次函数形式． 【详解】解：∵ 与成正比例， ∴ 设（为常数，且）． 将，代入上式，得， 即， 解得． 将代入，得． ∴与之间的函数表达式为． 19．某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，租书费为每册元；另一种是会员卡租书，办卡费每月元，租书费为每册元．小军经常来该店租书，设他每月租书数量为册，以零星租书方式每月应付的金额为元，以会员卡租书方式每月应付的金额为元． (1)请分别写出、与之间的函数关系式； (2)当小军租多少本书时，选择两种租书方式的金额相同？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求函数的解析式，联立两个一次函数解决问题，解题的关键是求出一次函数的解析式． （1）根据题意列出函数关系式即可； （2）联立函数解析式，得，进而即可求解． 【详解】（1）解：零星租书，租书费为每册元，每月租书数量为册， ； 会员卡租书，办卡费每月元，租书费为每册元， ． （2）解：由题意得，， 解得， 当小军租本书时，选择两种租书方式的金额相同． 20．已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的关系式； (2)它的图象经过点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解一次函数解析式，掌握以上知识是解题的关键． （1）由与成正比例，设，把，代入解析式求解k即可得到答案； （2）把点的坐标代入函数解析式解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵时，， ∴， 解得：， ∴，即：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵它的图象经过点， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2一次函数的概念 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 正比例函数和一次函数的概念： （1）一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。 （2）特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。 （3）正比例函数是特殊的一次函数。 正比例函数和一次函数解析式的确定 1、确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数y=kx（k≠0）中的常数k。 2、确定一个一次函数，需要确定一次函数y=kx+b(k≠0)中的常数k和b。 3、解这类问题的一般方法是待定系数法。 4、具体方法：过点必代，交点必联。 型 习 练 题 正比例函数的定义 1．下列函数中，是的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．给出下面函数：①；②；③；④．其中是的正比例函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（    ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C．铅笔每支2元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 D．小明进行100m短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 5．下列函数关系式中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 识别一次函数 6．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 7．下列y与x之间的函数关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．下列命题中，是真命题的是（    ） A．形如（k，b都是常数）的函数是一次函数 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．直角三角形两锐角互余 D．三角形的外角都大于它的任何一个内角 9．在一次函数中，一次项系数和常数的值分别是（   ） A． B． C． D． 10．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 根据一次函数的定义求参数 11．已知函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 12．若函数是关于x的一次函数，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 13．若点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．若是一次函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 15．如果函数是一次函数，那么m的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 求一次函数解析式 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． (1)直线的函数表达式为_____． (2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 17．探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量间的关系如表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度 12 13 (1)补充上面的表格． (2)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是，因变量是． (3)在弹性限度内，如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (4)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 18．若与成正比例，且时，，求与之间的函数表达式． 19．某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，租书费为每册元；另一种是会员卡租书，办卡费每月元，租书费为每册元．小军经常来该店租书，设他每月租书数量为册，以零星租书方式每月应付的金额为元，以会员卡租书方式每月应付的金额为元． (1)请分别写出、与之间的函数关系式； (2)当小军租多少本书时，选择两种租书方式的金额相同？ 20．已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的关系式； (2)它的图象经过点，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $