专题 5.1 变量与函数（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 5.1 变量与函数 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】函数的概念 1 【题型1】常量与变量 1 【题型2】函数的辨析 2 【要点归纳】 2 【知识点二】函数值 2 【题型3】函数值 2 【要点归纳】 3 【知识点三】自变量取值范围的确定 3 【题型4】求自变量的取值范围 3 【要点归纳】 3 【知识点四】函数的三种表达方式 3 【题型4】函数的表示 4 【要点归纳】 4 【知识点五】函数的图象 4 【要点归纳】 5 二．同步练习​ 6 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 6 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 10 一.知识梳理与题型分类精析 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】函数的概念 （1）自变量与常量：在一个变化过程中，保持不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫作变量。 （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量和，如果对于的每一个确定的值，有唯一的值与它对应，那么称是的函数，是自变量，对于自变量的每一个取值，函数对应值称为函数值。 【题型1】常量与变量 【例题1】某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表：   数量（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价（元） 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 … 上表反映了 个变量之间的关系，其中，自变量是 ；因变量是 ． 【★变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）若等腰三角形底边长为a，底边上的高为h，则该三角形的面积．若h为定长，则（   ） A．S，a是变量 B．S，h是常量 C．h，a是变量 D．S，a是常量 【★变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的．例如：，速度是常量，时间和路程为变量，是因变量，是 ． 【题型2】函数的辨析 【★例题1】（25-26八年级上·安徽宣城·期中）下列解析式中，y不是x的函数的是（  ） A． B． C． D． 【★变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）下列各曲线中不能表示是的函数是（   ） A． B． C． D． 【★★变式2】（24-25九年级·浙江·自主招生）有下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【要点归纳】 函数的特征：（1）一个变化过程；（2）两个变量；（3）唯一性. 【知识点二】函数值 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 【题型3】函数值 【★例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动，滚动的距离与时间之间的函数表达式为． （1）根据表达式完成下表； 时间 1 2 3 4 距离 （2）当小球滚动时，其滚动的距离是多少？ 【★变式1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【★变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）物体的位置s（米）与时间t（秒）的关系式为，则当秒时，该物体的位置s为 米． 【要点归纳】 对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2 【知识点三】自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫做自变量的取值范围。 【题型4】求自变量的取值范围 【★例题4】（24-25八年级上·全国·课后作业）求下列函数中自变量的取值范围： （1）； （2）； （3）． 【★变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【★变式2】（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）函数中自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【要点归纳】 确定自变量的取值范围的方法：包括代数意义和生产生活中的实际意义。 【知识点四】函数的三种表达方式 （1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式； （2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法； （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系。 【题型4】函数的表示 【★★例题4】（24-25八年级上·福建三明·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 【★变式1】（23-24八年级上·安徽六安·月考）某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【★变式2】已知海拔每升高1千米，温度下降6℃，某时刻A地底面温度为20℃，高出地面x千米处的温度为y℃，则y与x之间的函数关系为 ． 【要点归纳】 函数的三种表示方法各有不同的长处：解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色。 【知识点五】函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【★★题型4】函数的图象 【例题4】写出一个在函数图象上的点的坐标 ． 【★★变式1】（2023·上海黄浦·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限． 【★★变式2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）琪琪根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是琪琪的探究过程，请补充完整： （1）下表是与的几组对应值，请直接写出：_______，_______； … 0 1 2 3 4 … … 0 … （2）如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； （3）由图象可知，当时，对应的自变量有______个值． 【要点归纳】 由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线。列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况。 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）下列各式中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（16-17八年级·海南海口·单元测试）已知等腰三角形的周长为，将底边长表示为，腰长表示为，、的关系式是，则其自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．一切实数 D． 3．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）司机师傅到加油站加油，加油结束后，加油机显示牌上的数据如图所示，其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 4．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是北京市某天的气温变化图，根据图象判断，以下说法正确的是（   ） A．从早上6时开始气温逐渐升高，直到15时达到当日最高气温接近 B．当日温度为的时间点有两个 C．当日气温均在以上 D．当日气温在以下的时长为12个小时 6．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是（   ） A．25 B．36 C．16 D．20 二、填空题 7．（24-25九年级上·安徽·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便．某单车公司第一个月投放1000辆新单车，计划第二、三个月投放单车数量逐月增加，设第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，第三个月投放单车的数量为y，则y与x之间的函数关系式为 ． 8．（25-26八年级上·江西九江·期中）自变量x与函数y的关系如图所示，当x增加1时，y增加 ． 9．（24-25八年级下·天津·月考）如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 10．（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第n个图案中有白色地砖m块，则m与n的关系式是 11．（2024七年级下·全国·专题练习）声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 12．（24-25八年级上·江苏南京·月考）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量与时间之间的关系如折线图所示，则下列结论正确的序号是 ．①洗衣机进水用了4分钟；②洗衣机清洗时水量是；③清洗时间用了10分钟；④若洗衣机排水速度为每分钟19升，排水时间为2分钟，排水结束时洗衣机剩下水． 三、解答题 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米． （1）写出关于的函数表达式； （2）写出自变量的取值范围； （3）求当时所对应的函数值； 14．（25-26七年级上·河北保定·期中）赵县雪花梨是石家庄市赵县特产．果农把一车雪花梨分装在若干箱子里售卖，箱子的规格有很多种，只用一种规格的箱子时，每箱雪花梨的质量和总箱数如下表所示． 每箱的质量/kg 10 12 18 20 24 ．．． 总箱数/箱 360 300 200 180 150 ．．． （1）这车雪花梨共有多少千克？ （2）总箱数是怎样随着每箱质量的增加而变化的？ （3）用表示总箱数，表示每箱雪花梨的质量，用式子表示与之间的关系，并判断与成什么比例关系． 15．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图表示一辆汽车在行驶途中的速度（千米时）随时间（分）的变化示意图． （1）从点到点、点到点、点到点分别表明汽车在什么状态？ （2）分段描述汽车在第0分钟到第28分钟的行驶情况． 16．（24-25七年级下·内蒙古包头·月考）动点H以每秒1厘米的速度沿图①的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积S（平方厘米）与时间t（s）的关系图象如图②所示，已知，设点H的运动时间为t秒． （1）图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______． （2）______，______，______． （3）当的面积为8平方厘米时，求点H的运动时间t的值． 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）某地大力开发采摘型魅力乡村游，特开放果园供游客采摘，一名老师带领若干名学生到果园采摘，已知成人票每张元，学生票每张元．设门票的总费用为元，学生人数为名，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和时，输出的值相等，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（13-14八年级上·全国·课后作业）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间可以近似地看作某种函数关系，则其函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·广东深圳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 二、填空题 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号） ①；②；③；④； ⑤；⑥． 8．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）等腰三角形的周长为，它的腰长为 与底长的函数关系式是 ，自变量的取值范围 ． 9．（22-23七年级下·全国·期中）根据下面的研究弹簧长度与所挂物体重量关系的实验表格，当所挂物体重量为时，弹簧长度为 ． 所挂物体重量 1 3 4 5 弹簧长度 10 14 16 18 10．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是 ． 11．（2026·湖北·模拟预测）如图①，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图②所示，则 ， ． 12．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图1，有甲乙两个圆柱形水槽，其中乙水槽内装有一定量的水，甲水槽内没有装水，且甲水槽中放有两个完全相同且底面为正方形的长方体铁块．现将乙水槽内的水匀速注入甲水槽中，两个水槽内的水深y（）与注水时间x（）的函数关系如图2所示，根据图象解答下列问题： （1）由点A、B坐标可知一个长方体铁块的体积为 ； （2）若设注水速度为，甲水槽的底面积为S，则注水前乙水槽内装有水 ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·陕西宝鸡·月考）某服装店一次性购进甲、乙两种保暖内衣共100件进行销售，甲、乙两种保暖内衣的进价与售价分别如表所示： 甲 乙 进价 80元/件 100元/件 售价 120元/件 150元/件 设购进甲种保暖内衣的数量为x（件），除了进货成本以外，从进货到销售完这批内衣的过程中还要支付运费和销售员工工资共1000元.设销售完这批保暖内衣的总利润为y（元），请求出y与x之间的函数关系式. 14．（25-26七年级上·广东广州·期中）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天阅读的页数和阅读的天数如表． 每天阅读的页数 12 15 20 30 阅读的天数 25 20 15 10 根据上表，回答以下问题： （1）这本书总共有多少页？ （2）阅读的天数是怎样随着每天阅读页数的变化而变化的？用x表示阅读的天数，用y表示每天阅读的页数，用式子表示x与y的关系，x与y成什么比例关系？ （3）如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？ 15．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图1，在中，高为，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，结合图形与图象解答： （1）______，______； （2）当在上时，求的最小值； （3）求的长． 16．（22-23七年级下·陕西西安·期中）小刚和小聪同住一个小区，商量周日去体育场看一场足球赛．周日下午，小刚先出发去体育场，走了一段路后，在途中停下去便利店买水，后来发现球赛的时间快到了，就加快脚步走向体育场：小聪因家中有事迟出发，离家后跑步去体育场，如图所示：他们从家到体育场所走的路程S（米）与小刚离家时间t（分钟）之间的对应关系，根据图象回答下列问题： （1）小刚家到体育场的路程是_________米，小聪比小刚早到体育场_________分钟； （2）小刚出发几分钟后，小聪追上了小刚？ （3）体育场的球赛是下午，小刚在便利店买完水后如果还按原来走路的速度到体育场，是否会迟到？若迟到，请计算出迟到几分钟？若没迟到，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.1 变量与函数 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】函数的概念 1 【题型1】常量与变量 1 【题型2】函数的辨析 2 【要点归纳】 4 【知识点二】函数值 4 【题型3】函数值 4 【要点归纳】 6 【知识点三】自变量取值范围的确定 6 【题型4】求自变量的取值范围 6 【要点归纳】 7 【知识点四】函数的三种表达方式 7 【题型4】函数的表示 7 【要点归纳】 9 【知识点五】函数的图象 9 【要点归纳】 11 二．同步练习​ 11 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 11 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 21 一.知识梳理与题型分类精析 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】函数的概念 （1）自变量与常量：在一个变化过程中，保持不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫作变量。 （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量和，如果对于的每一个确定的值，有唯一的值与它对应，那么称是的函数，是自变量，对于自变量的每一个取值，函数对应值称为函数值。 【题型1】常量与变量 【例题1】某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表：   数量（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价（元） 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 … 上表反映了 个变量之间的关系，其中，自变量是 ；因变量是 ． 【答案】 两 香蕉数量 售价 【分析】本题主要考查了用表格函数关系，自变量和因变量的定义． 首先根据表格，可得上表反映了两个变量（香蕉数量和售价）之间的关系，然后根据自变量、因变量的含义，判断出自变量、因变量各是哪个即可． 解：∵香蕉的售价随着香蕉数量的变化而变化， ∴上表反映了两个变量之间的关系，其中，自变量是香蕉数量；因变量是售价． 故答案为：两，香蕉数量，售价． 【★变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）若等腰三角形底边长为a，底边上的高为h，则该三角形的面积．若h为定长，则（   ） A．S，a是变量 B．S，h是常量 C．h，a是变量 D．S，a是常量 【答案】A 【分析】本题考查了变量与常量的定义，根据变量与常量的定义，结合等腰三角形的底边长为，底边上的高为定长，且面积公式为，进行分析各量的变化情况，即可作答． 解：依题意，是定长，故为常量； 底边未限定为固定值，可以变化，故为变量； 则面积随的变化而变化（中为常量），故也是变量， 故选：A 【★变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的．例如：，速度是常量，时间和路程为变量，是因变量，是 ． 【答案】自变量 【分析】本题考查函数的定义，根据函数的定义即可解答． 解：根据函数的定义，中，是的函数，是自变量，是因变量， 故答案为：自变量． 【题型2】函数的辨析 【★例题1】（25-26八年级上·安徽宣城·期中）下列解析式中，y不是x的函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义．根据函数的定义，对于每一个自变量 x 的值，只能有唯一的因变量 y 的值与之对应，即可求解． 解：A、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； B、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、，当时，，不满足对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，不符合函数的定义，y不是x的函数，故本选项符合题意； D、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【★变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）下列各曲线中不能表示是的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的定义，熟练掌握函数的定义是解题的关键．根据函数的定义依次判断即可．对于两个变量x和y，如果给定一个x都有唯一的一个y值与它对应，那么y就是x的函数． 解：A、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故y是x的函数，A选项不符合题意； B、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故y是x的函数，B选项不符合题意； C、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故y是x的函数，C选项不符合题意； D、满足对于大于零的x的每一个取值，y都有两个确定的值与之对应关系，故y不是x的函数，D选项符合题意． 故选：D． 【★★变式2】（24-25九年级·浙江·自主招生）有下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的概念，根据函数的概念，对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，据此判断即可． 解：在下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有①；③；⑥，共3个． 故选：B． 【要点归纳】 函数的特征：（1）一个变化过程；（2）两个变量；（3）唯一性. 【知识点二】函数值 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 【题型3】函数值 【★例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动，滚动的距离与时间之间的函数表达式为． （1）根据表达式完成下表； 时间 1 2 3 4 距离 （2）当小球滚动时，其滚动的距离是多少？ 【答案】（1）2，8，18，32；（2）其滚动的距离为 【分析】本题主要考查了求函数值： （1）分别求出当，，，时，对应的s的值即可； （2）把代入函数表达式，求出s的值即可． 解：（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 完成表格，如下： 时间 1 2 3 4 距离 2 8 18 32 （2）解：当时，， 即当小球滚动时，其滚动的距离是． 【★变式1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数关系式求自变量，注意要结合自变量的取值范围来求解．将分别代入和中，即可求出的值，结合的取值范围即可得解． 解：当时，， 解得： 所以不合题意，舍去； 当时，， 解得：，符合题意， 当函数值时，自变量取值为． 故选：B． 【★变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）物体的位置s（米）与时间t（秒）的关系式为，则当秒时，该物体的位置s为 米． 【答案】86 【分析】本题考查了函数值，此题是通过代入法求得s的值，属于基础题．把代入关系式求得相应的s的值即可． 解：把代入关系式，得 ， 故答案为：86 ． 【要点归纳】 对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2 【知识点三】自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫做自变量的取值范围。 【题型4】求自变量的取值范围 【★例题4】（24-25八年级上·全国·课后作业）求下列函数中自变量的取值范围： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）为任意实数；（2）；（3） 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握函数自变量取值范围的计算方法是关键． （1）根据整式的定义解答； （2）根据分式的分母不为零得到答案； （3）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 解：（1）解：函数表达式右边是整式，所以的取值范围为任意实数； （2）解：根据分式有意义的条件，分母不为0，故的取值范围为； （3）解：由得，的取值范围为． 【★变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，理解数量关系是得出关系式的前提．求出的耗油量，再根据余油量=原有油量耗油量，从而得出关系式． 解：每行驶耗油，则每行驶耗油为：，由余油量=原有油量耗油量得， ， 油可行驶， ∴自变量的取值范围为， 故答案为：，． 【★变式2】（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）函数中自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键．根据二次根式的非负性列不等式求解即可． 解：根据题意，， 解得：， 故选B． 【要点归纳】 确定自变量的取值范围的方法：包括代数意义和生产生活中的实际意义。 【知识点四】函数的三种表达方式 （1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式； （2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法； （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系。 【题型4】函数的表示 【★★例题4】（24-25八年级上·福建三明·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键． 由表格中的数据，结合变量的相关概念，可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，由此可对A作出判断； 弹簧不挂重物时的长度，就是x为0是y的长度，结合表格中的数据即可判断B项； 从表中y的变化情况可得物体质量每增加1千克，弹簧增加的长度，再计算出物体质量为时，弹簧的长度，即可对C和D选项作出判断． 解：A、由表格可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，故A选项正确； B、弹簧不挂重物时长度为，故B选项正确； C、由表格可知物体质量增加时，弹簧长度增加，故C选项正确 D、所挂物体质量为时，弹簧长度为，故D选项不正确． 故选：D． 【★变式1】（23-24八年级上·安徽六安·月考）某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列函数关系式，利用长方形面积等于长乘宽计算即可． 解：由题意得：长方形靠墙的一边长为，则平行墙的边长为， ∴面积， 故选：D． 【★变式2】已知海拔每升高1千米，温度下降6℃，某时刻A地底面温度为20℃，高出地面x千米处的温度为y℃，则y与x之间的函数关系为 ． 【答案】y=-6x+20 【分析】根据题意，按照等量关系：高出地面x千米处的温度=地面温度-6℃×高出地面的距离列式即可的答案． 解：∵海拔每升高1千米，温度下降6℃，A地底面温度为20℃， ∴高出地面x千米处的温度y=20-6x， ∴y与x之间的函数关系为y=-6x+20， 故答案为：y=-6x+20 【点拨】本题考查的是用一次函数解决实际问题，理解题意，得出等量关系是解题关键． 【要点归纳】 函数的三种表示方法各有不同的长处：解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色。 【知识点五】函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【★★题型4】函数的图象 【例题4】（22-23八年级下·北京朝阳·期中）写出一个在函数图象上的点的坐标 ． 【答案】 【分析】根据所给函数可得该函数自变量的取值范围为，在给出一个合适的x值，代入函数解析式中求出y值，即可得出点的坐标． 解：∵， ∴，即该函数自变量的取值范围为x≠0， 当时，， ∴点（1，0）在该函数图象上． 故答案为：（1，0）． 【点拨】本题主要考查函数的图象定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图象上的任意点都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点是否在函数图象上的方法是：将点的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 【★★变式1】（2023·上海黄浦·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限． 【答案】D 【分析】根据x的取值，判断y的范围即可求解． 解：当时，；此时点在二象限； 当时，；此时点在四象限． 故选：D． 【点拨】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 【★★变式2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）琪琪根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是琪琪的探究过程，请补充完整： （1）下表是与的几组对应值，请直接写出：_______，_______； … 0 1 2 3 4 … … 0 … （2）如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； （3）由图象可知，当时，对应的自变量有______个值． 【答案】（1），；（2）见分析；（3） 【分析】本题主要考查了函数图象，作函数图象，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）根据表格求出当、时，y的值即可； （2）描点，连线，画出函数图像即可； （3）根据图象即可求解． 解：（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （2）解：由题意，作出函数的图象如下． （3）解：由题意，结合图象， 令，直线与函数图象有三个交点． 当时，对应的自变量有个值． 故答案为：． 【要点归纳】 由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线。列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况。 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）下列各式中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的定义，掌握函数的定义是解题的关键．根据函数的定义，对于每个自变量x的值，必须有唯一的y值与之对应，根据函数的定义逐项判断即可． 解：选项A：中，对于任意x，y都有唯一确定的值与其对应，因此y是x的函数． 选项B：中，对于任意x，y都有唯一确定的值与其对应，因此y是x的函数． 选项C：中，对于任意x，y都有唯一确定的值与其对应，因此y是x的函数． 选项D：中，当时，，此时一个的值对应两个的值，不满足函数定义中值的唯一性，因此不是的函数． 故选：D 2．（16-17八年级·海南海口·单元测试）已知等腰三角形的周长为，将底边长表示为，腰长表示为，、的关系式是，则其自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．一切实数 D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数关系式、等腰三角形三边关系的性质、三角形三边关系定理，得出不等式组是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定自变量的取值范围． 解：根据三角形的三边关系得： ， 解得：． 故选：B． 3．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）司机师傅到加油站加油，加油结束后，加油机显示牌上的数据如图所示，其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．根据常量与变量的定义即可判断． 解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， ∴常量是：单价． 故选：C． 4．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，理解题中两个变量间的关系是解题关键．由题意可得：杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢，从而可得答案. 解：由题意知，杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢， ∴符合题意的图象是B选项中的图象． 故选：B． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是北京市某天的气温变化图，根据图象判断，以下说法正确的是（   ） A．从早上6时开始气温逐渐升高，直到15时达到当日最高气温接近 B．当日温度为的时间点有两个 C．当日气温均在以上 D．当日气温在以下的时长为12个小时 【答案】C 【分析】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数的图象是解题的关键．根据函数图像可直接进行求解． 解：A、从早上6时开始气温逐渐下降，至9时以后才逐渐升高，该选项错误，不符合题意； B、当日温度为的时间点有3个，该选项错误，不符合题意； C、当日气温均在以上，该选项正确，符合题意； D、当日气温在以下的时长约为个小时，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 6．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是（   ） A．25 B．36 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查的是动点问题的函数图象，根据矩形中的面积和函数图象，求出和的长，再用矩形面积公式求出矩形的面积，点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明的长为4，当点P在上运动时， 的面积保持不变，就是矩形面积的一半，并且运动路程由4到9，说明的长为5，然后求出矩形的面积． 解：结合图形可以知道，P点在上，的面积为y随x的增大而增大，当P点在上运动时，的面积不变， 得出， 所以矩形的面积为：． 故选：D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·安徽·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便．某单车公司第一个月投放1000辆新单车，计划第二、三个月投放单车数量逐月增加，设第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，第三个月投放单车的数量为y，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查求函数解析式，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确地列出函数关系式． 设第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，第三个月投放单车的数量为y，根据“第一个月投放1000辆新单车，计划第二、三个月投放单车数量逐月增加”，即可求解． 解：根据题意得：y与x之间的函数关系式为． 故答案为： 8．（25-26八年级上·江西九江·期中）自变量x与函数y的关系如图所示，当x增加1时，y增加 ． 【答案】 【分析】本题考查了求自变量的值或函数值，根据自变量x与函数y的关系图，得，再分析当x增加1时，，即可作答． 解：依题意，， 则当x增加1时，， 此时， 即当x增加1时，y增加， 故答案为：2 9．（24-25八年级下·天津·月考）如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 【答案】（1） 【分析】本题考查了函数的定义，理解并掌握函数的定义是关键． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么就把称为自变量，把称为因变量，是的函数，根据定义，结合图形分析即可． 解：图（1）中，任意一个确定的值，都有唯一确定的值对应，故是的函数，符合题意； 图（2）中，任意一个确定的值，值不唯一，故不是的函数，不符合题意； 故答案为：（1） ． 10．（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第n个图案中有白色地砖m块，则m与n的关系式是 【答案】/ 【分析】本题考查了平面图形组合的规律，主要培养学生的观察能力和空间想象能力，解题的关键是发现规律：在第一个图案的基础上，多一个图案，多4块白色地砖．观察图形可知，第一个黑色地面砖由六个白色地面砖包围，再每增加一个黑色地面砖就要增加四个白色地面砖． 解：首先发现：第一个图案中，有白色的是6个，后边是依次多4个． 所以第n个图案中，是． ∴m与n的函数关系式是． 故答案为：． 11．（2024七年级下·全国·专题练习）声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 【答案】354 【分析】本题考查了用列表法表示函数，根据表中的数据可得空气温度每升高，声音速度就增加，从而计算当空气温度为时的声音速度即可，掌握自变量、函数的定义是解题的关键． 解：由表中的数据可得，空气温度每升高，声音速度就增加， 由表得空气温度为时，声音速度为， 所以空气温度为时，声音在空气中的传播速度为， 故答案为：354． 12．（24-25八年级上·江苏南京·月考）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量与时间之间的关系如折线图所示，则下列结论正确的序号是 ．①洗衣机进水用了4分钟；②洗衣机清洗时水量是；③清洗时间用了10分钟；④若洗衣机排水速度为每分钟19升，排水时间为2分钟，排水结束时洗衣机剩下水． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 解：由图象可得，洗衣机进水用了4分钟，洗衣机清洗时水量是，故①②正确； 清洗时间用了（分钟），故③错误； ∵洗衣机排水速度为每分钟19升，排水时间为2分钟， ∴排水结束时洗衣机剩下，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米． （1）写出关于的函数表达式； （2）写出自变量的取值范围； （3）求当时所对应的函数值； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了函数关系式，自变量取值范围的求解，函数值的计算，难度较小． （1）根据长方形的周长公式列式整理即可得解； （2）根据长方形的长大于宽列式求出x的最大值，从而得解； （3）把x的值代入函数关系式计算即可得解． 解：（1）解：根据题意得：， 整理得，， 即关于的函数表达式为； （2）解：因为宽为米，长为米， 所以， 所以， 解得， 所以自变量的取值范围为； （3）解：当时，． 14．（25-26七年级上·河北保定·期中）赵县雪花梨是石家庄市赵县特产．果农把一车雪花梨分装在若干箱子里售卖，箱子的规格有很多种，只用一种规格的箱子时，每箱雪花梨的质量和总箱数如下表所示． 每箱的质量/kg 10 12 18 20 24 ．．． 总箱数/箱 360 300 200 180 150 ．．． （1）这车雪花梨共有多少千克？ （2）总箱数是怎样随着每箱质量的增加而变化的？ （3）用表示总箱数，表示每箱雪花梨的质量，用式子表示与之间的关系，并判断与成什么比例关系． 【答案】（1）；（2）总箱数随着每箱质量的增加而减少；（3），n与m成反比例关系 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是找到题中的数量关系进行解答． （1）用每箱的质量乘总箱数即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到总箱数是怎样随着每箱质量而变化的； （3）根据每箱质量乘总箱数，用式子表示n与m的关系；再根据反比例的定义分析n与m成什么比例关系． 解：（1）解：这车雪花梨共有； （2）解：由表格知：总箱数随着每箱质量的增加而减少． （3）解：从表格中得到：， 雪花梨总质量一定，当n增大时，m的值变小， 所以n与m成反比例关系． 15．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图表示一辆汽车在行驶途中的速度（千米时）随时间（分）的变化示意图． （1）从点到点、点到点、点到点分别表明汽车在什么状态？ （2）分段描述汽车在第0分钟到第28分钟的行驶情况． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查利用图象表示变量之间的关系，正确理解图象中点的坐标表示的意义是解决问题的关键． （1）根据图象的变化趋势，可得汽车的状态； （2）根据图象的变化，可得答案； 解：（1）解：由平行于横轴，得从点到点汽车以 30 千米时匀速行驶； 点到点汽车在加速行驶； 点到点汽车在减速行驶； （2）解：从、、是匀加速运动， 从、是匀减速运动， 从、、是匀速运动，汽车静止． 16．（24-25七年级下·内蒙古包头·月考）动点H以每秒1厘米的速度沿图①的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积S（平方厘米）与时间t（s）的关系图象如图②所示，已知，设点H的运动时间为t秒． （1）图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______． （2）______，______，______． （3）当的面积为8平方厘米时，求点H的运动时间t的值． 【答案】（1）t；S；（2）；（3）点H的运动时间t为或 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，理解题意是解题的关键． （1）根据题意及函数的定义即可作答； （2）根据三角形的面积及图象即可得出答案； （3）分点H在上运动和点H在上运动时两种情况． 解：（1）解：的面积S随着时间t的改变而改变． 故答案为：t；S． （2）由图象可得， ∴，． 故答案为：． （3）当点H在上运动时，， ∴， ∴， ∴， 当点H在上运动时，， ， ∴， 故当的面积为时，点H的运动时间t为或． 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）某地大力开发采摘型魅力乡村游，特开放果园供游客采摘，一名老师带领若干名学生到果园采摘，已知成人票每张元，学生票每张元．设门票的总费用为元，学生人数为名，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用关系式表示变量之间的关系，根据题意得总费用老师票价学生票价即可求解，找准题中的等量关系列出函数关系式是解题关键． 解：由题意可知，老师门票费用为元（固定），学生门票费用为每位元， ∵学生人数为名， ∴总费用， 故选：． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和时，输出的值相等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数值，根据程序图分别求出值是和时的值，再列出方程即可求解，看懂程序图是解题的关键． 解：当时，， 当时，， ∵输入的值是和时，输出的值相等， ∴， ∴， 故选：． 3．（13-14八年级上·全国·课后作业）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加，弹簧长度y增加；当不挂重物时，弹簧的长度为，然后逐个分析四个选项，得出正确答案． 本题考查了函数，能够根据所给的表格进行分析变量的值的变化情况，得出答案． 解：A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故选项正确； B、弹簧不挂重物时的长度为，故选项错误； C、物体质量每增加，弹簧长度y增加，故选项正确； D、由C知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故选项正确； 故选：B 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间可以近似地看作某种函数关系，则其函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关键．根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题． 解：因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分， 所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高， 因为瓶子的上半部分是圆柱， 所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升． 故选：A． 5．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的分析，正确分析解析式，得出函数图象的情况是解题的关键． 根据，得到当且时，，函数图象在轴下方，当时，，函数图象在轴上方，即可得到答案． 解：函数， 当且时，，函数图象在轴下方， 当时，，函数图象在轴上方， 小红得到的图象是 故选：A． 6．（24-25七年级下·广东深圳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【分析】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各选项的正确性即可. 解：选项A：当时，，符合表格数据，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第4次数据是不准确的；选项B不符合题意 选项C：修正第4次数据后，每2分钟水位仍增加，第7次对应，水位为，选项C不符合题意； 4. 选项D：由题意可得水位与时间的函数关系式为， 当时，，而非，选项D符合题意； 故选：D 二、填空题 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号） ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【答案】②③ 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 解：根据题意得①、④、⑤和⑥满足取一个x的值，有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数，而②和③对一个x的值，与之对应的可能有两个y的值，故②和③y不是x的函数， 故答案为：②③． 8．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）等腰三角形的周长为，它的腰长为 与底长的函数关系式是 ，自变量的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，列函数关系式，解一元一次不等式组，根据等腰三角形的定义和三角形周长计算公式可得对应的关系式，根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边列出不等式求出x的范围即可得到答案． 解：由题意得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 9．（22-23七年级下·全国·期中）根据下面的研究弹簧长度与所挂物体重量关系的实验表格，当所挂物体重量为时，弹簧长度为 ． 所挂物体重量 1 3 4 5 弹簧长度 10 14 16 18 【答案】15 【分析】从表格中观察并估计y与x的之间的关系，再预测相关值即可． 解：所挂物体重量每增加，弹簧长度增加， 当物体重量为时，弹簧长度为, 故答案为：15． 【点拨】本题考查根据表格数据估计因变量的值，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点拨】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点． 11．（2026·湖北·模拟预测）如图①，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图②所示，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及了勾股定理，旨在考查学生从图象获取信息的能力．由图象可知当时，，可得；当时，的值最小，可得的值；由图象可知的最大值为4，据此即可求解． 解：由图②知：当，P和A重合，则， 当时，y最小，最小值为n，此时，， ∴， 当时，P和C重合，则， 过点B作， ∴，， ∴， 故答案为：；． 12．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图1，有甲乙两个圆柱形水槽，其中乙水槽内装有一定量的水，甲水槽内没有装水，且甲水槽中放有两个完全相同且底面为正方形的长方体铁块．现将乙水槽内的水匀速注入甲水槽中，两个水槽内的水深y（）与注水时间x（）的函数关系如图2所示，根据图象解答下列问题： （1）由点A、B坐标可知一个长方体铁块的体积为 ； （2）若设注水速度为，甲水槽的底面积为S，则注水前乙水槽内装有水 ． 【答案】 225 3600 【分析】本题考查了函数图象，二元一次方程组的应用． （1）根据函数图象可知长方体铁块的底面边长为，高为，根据长方体的体积公式计算即可； （2）根据函数图象可知，求出，根据乙水槽倒完水的时间为40秒即可求出乙水槽存水量． 解：（1）观察图1甲槽与图2两次转折点A、B，可知： 长方体铁块的底面边长为，高为， 体积为； （2）根据题意得：， 解得：． ∴注水速度为， ∵乙水槽倒完水的时间为40秒， ∴乙水槽存水量， 故注水前乙水槽内装有水． 三、解答题 13．（24-25八年级上·陕西宝鸡·月考）某服装店一次性购进甲、乙两种保暖内衣共100件进行销售，甲、乙两种保暖内衣的进价与售价分别如表所示： 甲 乙 进价 80元/件 100元/件 售价 120元/件 150元/件 设购进甲种保暖内衣的数量为x（件），除了进货成本以外，从进货到销售完这批内衣的过程中还要支付运费和销售员工工资共1000元.设销售完这批保暖内衣的总利润为y（元），请求出y与x之间的函数关系式. 【答案】y与x之间的函数关系式为 【分析】本题考查了函数关系式的建立，正确理解题意是解题的关键． 根据总利润等于甲种保暖内衣的利润加乙种保暖内衣的利润减去员工工资，据此列出函数解析式即可． 解：根据题意，得 ， 即y与x之间的函数关系式为． 14．（25-26七年级上·广东广州·期中）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天阅读的页数和阅读的天数如表． 每天阅读的页数 12 15 20 30 阅读的天数 25 20 15 10 根据上表，回答以下问题： （1）这本书总共有多少页？ （2）阅读的天数是怎样随着每天阅读页数的变化而变化的？用x表示阅读的天数，用y表示每天阅读的页数，用式子表示x与y的关系，x与y成什么比例关系？ （3）如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？ 【答案】（1）这本书有300页；（2）见详解；（3）平均每天要看50页． 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是理解题意，读懂表格中的数据． （1）根据每天看的页数乘以时间即可得出结论； （2）根据总页数，表示每天阅读的页数y与阅读的天数x之间的数量关系即可；根据关系式判断每天阅读的页数与阅读的天数之间的比例关系即可； （3）代入时，求得y的值即可． 解：（1）解：这本书共有（页） 答：这本书有300页； （2）解：每天阅读的页数越多，阅读的天数越少；，x与y成反比例关系； （3）解：当时，； 答：平均每天要看50页． 15．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图1，在中，高为，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，结合图形与图象解答： （1）______，______； （2）当在上时，求的最小值； （3）求的长． 【答案】（1）10，9；（2）8；（3） 【分析】本题考查了动点运动的函数图象，垂线段最短，勾股定理等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键． （1）观察图象得：当时，点到达点处，当时，点到达点处，即可求解； （2）过作，如图，当与重合时，最小，此时，再由勾股定理求出，即可求解； （3）根据，即可求解． 解：（1）解：观察图象得：当时，点到达点处，当时，点到达点处， ∴； 故答案为：10；9 （2）解：过作，如图，当与重合时，最小，此时． 在中，由勾股定理得，． 所以的最小值为8； （3）解：， ． 16．（22-23七年级下·陕西西安·期中）小刚和小聪同住一个小区，商量周日去体育场看一场足球赛．周日下午，小刚先出发去体育场，走了一段路后，在途中停下去便利店买水，后来发现球赛的时间快到了，就加快脚步走向体育场：小聪因家中有事迟出发，离家后跑步去体育场，如图所示：他们从家到体育场所走的路程S（米）与小刚离家时间t（分钟）之间的对应关系，根据图象回答下列问题： （1）小刚家到体育场的路程是_________米，小聪比小刚早到体育场_________分钟； （2）小刚出发几分钟后，小聪追上了小刚？ （3）体育场的球赛是下午，小刚在便利店买完水后如果还按原来走路的速度到体育场，是否会迟到？若迟到，请计算出迟到几分钟？若没迟到，请说明理由． 【答案】（1）1200，6；（2）小刚出发分钟后，小聪追上了小刚；（3）不会迟到，理由见分析 【分析】（1）由图可知小刚家到体育场的路程是1200米，小刚到体育场用时20分钟，小聪在第14分钟到体育场，相减即可求解； （2）先求出小聪的速度，再求出小聪追上小刚所需时间，最后加上8分钟即可； （3）先求出小刚原来步行速度，再求出走完剩下路程所需时间，进而得出小刚到达体育场所需时间，根据题意可知小刚出门25分钟后球赛开始，比较即可得出结论． 解：（1）解：由图可知： 小刚家到体育场的路程是1200米， （分钟）， 即小聪比小刚早到体育场6分钟， 故答案为：1200，6； （2）解：小聪的速度：， ， ， 答：小刚出发分钟后，小聪追上了小刚； （3）解：小刚原来步行速度：， ， ∴小刚到达体育场所用时间： ， 即小刚出门25分钟后球赛开始， ∵， ∴不会迟到． 【点拨】本题主要考查了根据函数图象获取信息，解题的关键是正确识图，从图象中获取正确数据． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $