精品解析：福建省福州教育学院第二附属中学2025-2026学年上学期八年级期中考数学试卷

福建省福州教育学院第二附属中学2025-2026学年上学期八年级期中考数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定的的是（ ） A. B. C. D. 5. 把多项式分解因式，结果是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是（ ） A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17 7. 阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 8. 若x﹣m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A. 3 B. 1 C. 0 D. ﹣3 9. 图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成折叠成图2，则图中的的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，于点交BC于点．若，则与之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算： ______． 12. 如图，，则______． 13. 若（为常数）是完全平方式，则的值是______． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为______． 15. 若，则的值为_______． 16. 如图，在四边形中，平分，则面积的最大值为_______． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）； 18. 如图：，，与交于，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，边长为1的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上． （1）画出关于轴的对称图形（其中点A、B、C的对称点分别是D、E、F）； （2）在轴上找一点，使得周长最短，请画出点所在的位置，并写出点的坐标． 21. 如图，已知锐角，是边上一点，利用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在边上作点，使得； （2）在上（1）问的条件下，以点为圆心，为半径作弧交于点，连接，求证． 22. 如图，在等腰Rt△ABC中，角ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B，C不重合）连接AP，延长BC至点Q，使 CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M． (1)∠APC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）； (2)在（1）的条件下，过点M作ME⊥QB于点E，试证明 PC 与 ME 之间的数量关系，并证明． 23. 在有理数范围内定义一种新运算，规定（为常数），若． （1）求； （2）设，试比较M，N的大小； （3）无论取何值，都成立，求此时的值． 24. 如下表： “算两次” 素材1 “算两次”，又称“富比尼原理”，是指把同一个量用两种不同的方式表示出来，通过等量关系进行求解的一种数学策略．通过把面积“算两次”，可以巧妙地解决一些数学问题．例如，如图1，已知直角三角形的三边长，，，可用“算两次”求斜边上的高．面积“算两次”：，化简得：． 素材2 长为，宽为的长方形，按如图2分割为若干个正方形和长方形，根据“算两次”，可得等式：． 问题解决 任务1 如图3，用四个全等的直角三角形和一个正方形拼接成一个大正方形，结合此图，用“算两次”可得到一个关于，，的等式，请你写出这个等式并化简． 任务2 如图4，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个相同形状的长方形的两条邻边长，观察图案，指出以下正确的关系式_____（填写选项）； A． B． C． D． 任务3 图案设计：如图5，请用3张类纸片、2张类纸片和若干张类纸片拼成了一个大长方形（三种纸片都要使用），请求所用类纸片的数量；并画出相应的图形．（画出一种即可）． 25. 已知是边长为8的等边三角形，点在射线上运动，点在线段上运动，连接，以为边向右作等边，连接． （1）如图1，当点与点重合，点在点右侧时， ①求证：； ②过点作于，且，求线段的长； （2）如图2，当点在点左侧，且时，求线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省福州教育学院第二附属中学2025-2026学年上学期八年级期中考数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形定义进行分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的特征，若两个点关于轴对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此即可求解． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为． 故选：B． 3. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式的乘法、同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据单项式的乘法、同底数幂相乘、积的乘方和幂的乘方，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D正确，符合题意； 故选：D． 4. 按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定的的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、三角形的三边关系，解答的关键是熟练全等三角形的判定定理． 根据全等三角形的判定定理，三角形的三边关系进行分析即可． 【详解】解：A、，故此选项不能构成三角形，不符合题意； B、给定了，但不是与的夹角，故为条件，不能唯一确定三角形，不符合题意； C、给定了，是与的夹角，故为条件，能唯一确定三角形，符合题意； D、只给定了三个角，只能确定三角形的形状，不能确定大小，不符合题意； 故选：C． 5. 把多项式分解因式，结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 利用提取公因式法分解因式即可得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 6. 已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是（ ） A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系．分腰为3或7两种情况讨论，判断能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形两边长为3和7， 若腰为3，则三边为3、3、7， ∵，不满足三角形三边关系， ∴不能构成三角形． 若腰为7，则三边为7、7、3， ∵，，满足三角形三边关系， ∴能构成三角形，周长为． 故选：C． 7. 阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答． 【详解】解：由作图过程可得：， ∵， ∴． ∴． ∴A选项符合题意； 不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意； 不能确定,故C选项不符合题意， 不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键． 8. 若x﹣m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A. 3 B. 1 C. 0 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，再根据条件可得3﹣m＝0，再解得出答案． 【详解】解：（x﹣m）（x+3）＝+3x﹣mx﹣3m＝+（3﹣m）x﹣3m， ∵乘积中不含x的一次项， ∴3﹣m＝0， 解得：m＝3， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 9. 图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成折叠成图2，则图中的的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得出∠DEF=∠EFB，根据图形折叠的性质得出∠EFC的度数，进而得出∠CFG即可． 【详解】∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB=α， 由折叠可得：∠EFC=180°-α， ∴∠CFG=180°-α-α=180°-2α， 故选C. 【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 10. 如图，在中，于点交BC于点．若，则与之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质及勾股定理等知识，完全平方公式，掌握这些知识是关键． 设，由含30度直角三角形的性质及勾股定理，可分别求出的长，进而可表示出的面积，即可求得与之间的数量关系． 【详解】解：设， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， 即， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， 即， ∴， 即． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算： ______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，根据零指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：1． 12. 如图，，则______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质：对应角相等，可得，最后根据三角形内角和即可求解； 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为： 13. 若（为常数）是完全平方式，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键． 根据完全平方式的特征，将表达式与标准形式比较系数，求出常数项的值即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴设， 比较系数得：，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．先根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据的周长为得到，据此求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点，，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴的周长． 故答案为： 15. 若，则的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，根据题意可得，再根据同底数幂的乘法以及幂的乘方的运算法则将式子变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：4． 16. 如图，在四边形中，平分，则面积的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线，并判断出当G点与H点重合时达到最大，是解答本题的关键． 延长，交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，证明，即有，进而有，根据，有的面积为，当G点与H点重合时，即时，可得，此时达到最大，则的最大面积为：；根据，可得，则的最大面积可求． 【详解】解：延长，交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，如图， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴的面积， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，是直角三角形，斜边为， ∴， ∵， ∴， 当G点与H点重合时，即时，可得， 此时达到最大， ∴则的最大值为3， ∴的最大面积为：， ∵， ∴D点为中点， ∴， ∴的最大面积为：， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、多项式除以单项式等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算积的乘方、单项式乘单项式，然后再合并同类项即可； （2）根据多项式除以单项式等于多项式的每一项与单项式相除的商相加即可解答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图：，，与交于，，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明即可证明． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．根据完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运算法则化简式子，再代入的值即可求解． 【详解】解： ， 代入，原式． 20. 如图，边长为1的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上． （1）画出关于轴的对称图形（其中点A、B、C的对称点分别是D、E、F）； （2）在轴上找一点，使得周长最短，请画出点所在的位置，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，关于x轴的对称图形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称变换，“两点之间，线段最短”，掌握轴对称的坐标点特点是解题关键． （1）先分别作出A、B、C关于x轴的对称点D、E、F，再连接D、E、F三点即可； （2）由上问已知，C点关于y轴的对称点是点，连接A、两点，与y轴的交点即为P点，这时最短，则周长最短，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示：C点关于y轴的对称点是点，连接A、两点，与y轴的交点即为P点， 有， 则，此时最短， ∵ ， ∴此时周长最短． 由图形可知，点P的坐标为． 21. 如图，已知锐角，是边上一点，利用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在边上作点，使得； （2）在上（1）问的条件下，以点为圆心，为半径作弧交于点，连接，求证． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求： （2）证明：如图， 由作图得，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、垂直平分线的性质、等边对等角、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）作的垂直平分线与的交点即为点； （2）由作图得，则有，再利用三角形外角的性质即可证明． 【小问1详解】 解：由作图得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 22. 如图，在等腰Rt△ABC中，角ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B，C不重合）连接AP，延长BC至点Q，使 CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M． (1)∠APC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）； (2)在（1）的条件下，过点M作ME⊥QB于点E，试证明 PC 与 ME 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）∠AMQ＝45°+α；（2）PC＝ME； 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α，由直角三角形的性质即可得出结论； （2）由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME， 【详解】（1）∠AMQ=45°+α；理由如下： ∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α， ∵QH⊥AP， ∴∠AHM=90°， ∴∠AMQ=180°-∠AHM-∠PAB=45°+α； （2）结论：PC=ME． 理由：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示： ∵AC⊥QP，CQ=CP， ∴∠QAC=∠PAC=α， ∴∠QAM=45°+α=∠AMQ， ∴AP=AQ=QM， 在△APC和△QME中， ， ∴△APC≌△QME（AAS）， ∴PC=ME， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 23. 在有理数范围内定义一种新运算，规定（为常数），若． （1）求； （2）设，试比较M，N的大小； （3）无论取何值，都成立，求此时的值． 【答案】（1）12 （2） （3）此时的值为 【解析】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算、整式的运算和一元一次方程的应用，正确理解新定义法则是解题的关键． （1）先确定定义中的b值，后代入计算即可； （2）先根据定义，求出M，N并化简，再进行作差法进行大小比较即可； （3）先根据定义，求出，再根据求出n的值，进而即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 解得， 当时， ； 【小问2详解】 解：由题意得， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得 ， ∵无论取何值，都成立， ∴ ， ∴ 解得， ∴ 解得． 24. 如下表： “算两次” 素材1 “算两次”，又称“富比尼原理”，是指把同一个量用两种不同的方式表示出来，通过等量关系进行求解的一种数学策略．通过把面积“算两次”，可以巧妙地解决一些数学问题．例如，如图1，已知直角三角形的三边长，，，可用“算两次”求斜边上的高．面积“算两次”：，化简得：． 素材2 长为，宽为的长方形，按如图2分割为若干个正方形和长方形，根据“算两次”，可得等式：． 问题解决 任务1 如图3，用四个全等的直角三角形和一个正方形拼接成一个大正方形，结合此图，用“算两次”可得到一个关于，，的等式，请你写出这个等式并化简． 任务2 如图4，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个相同形状的长方形的两条邻边长，观察图案，指出以下正确的关系式_____（填写选项）； A． B． C． D． 任务3 图案设计：如图5，请用3张类纸片、2张类纸片和若干张类纸片拼成了一个大长方形（三种纸片都要使用），请求所用类纸片的数量；并画出相应的图形．（画出一种即可）． 【答案】任务1：；任务2：A； 任务3：如下图所示，类纸片用了5张， 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的几何意义，掌握正方形的面积公式、长方形的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键． 任务1：通过把面积“算两次”，先表示出大正方形的面积，在表示出全等的直角三角形和一个正方形的面积，结合勾股定理，即可得出结论； 任务2：通过把面积“算两次”，空白部分的面积有两种表示方式，分别为和，进而即可得出结论； 任务3：用3张类纸片、2张类纸片和5张类纸片拼成了一个大长方形． 【详解】解：任务1：如图3，用“算两次”可得， ， ； 任务2：如图4，， ， 故选：A； 任务3：略 25. 已知是边长为8的等边三角形，点在射线上运动，点在线段上运动，连接，以为边向右作等边，连接． （1）如图1，当点与点重合，点在点右侧时， ①求证：； ②过点作于，且，求线段的长； （2）如图2，当点在点左侧，且时，求线段的最小值． 【答案】（1） ①证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形，点与点重合， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②2 （2）4 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可得证； ②过点作于点，证明得，进而得出，，再利用线段的和差即可求出的长； （2）如图，过点作于，作射线，过点作于，证明得，从而得出，则点在与成夹角的定直线上运动，进一步得出结果． 【小问1详解】 ① 略 ②解：如图，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， 由①知：，，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是边长为8的等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于，作射线，过点作于， ∴，， ∵是边长为8的等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点在与成夹角的定直线上运动， ∴当点在处时，最小， ∵，，， ∴， ∴的最小值为4． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余、垂线段最短等知识，通过作辅助线构造全等三角形、确定点的运动路径是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $