精品解析：福建省南平市2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题

2025—2026学年高—第一学期质量检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册1.1-4.3. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】原命题是存在量词命题，将存在量词命题改成全称量词命题，并否定结论即可. 【详解】“，”的否定为“，”. 故选：B 2. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式求全集，并用列举法表示，再利用补集的定义求解. 【详解】由题可知，则. 故选：C 3. 若函数，则（ ） A. 2 B. 0 C. 12 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】令，得，进而代值计算即可. 【详解】令，得，则. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性可得，由对数运算可得，进而可得结论. 【详解】因为，又在上单调递增， 又，所以， 又，可得. 故选：D. 5. 函数的大致图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性、零点，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，排除AD选项； 令可得或， 所以方程在上的零点有且只有三个，排除C选项. 故选：B. 6. 在中，，则“”是“为锐角三角形”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据为锐角三角形求出的范围，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】在中，， 若为锐角三角形，则，解得， 因为， 所以“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件， 故选：B. 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域先求得函数的定义域为，进而求解即可. 【详解】因为的定义域为，则，可得， 所以函数的定义域为， 由，解得且， 故的定义域为. 故选：D 8. 已知函数在上的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简得，令，结合的奇偶性以及，即可求得答案. 【详解】， 令，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以是奇函数，则在上的最大值与最小值的和为0，从而， 则， 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数且的图像经过二，三，四象限，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据指数函数的图像和函数图像变换结论判断. 【详解】当时，函数的图像由函数的图像向下平移个单位得到， 如图，若，，函数的图像经过第一，二，三象限，与已知矛盾， 若，，函数的图像经过第一，三，四象限，与已知矛盾， 若，，函数的图像经过第一，二，四象限，与已知矛盾， 若，，函数的图像经过第二，三，四象限，符合条件， 故选：AD. 10. 已知实数满足，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合选项，逐项分析、求解，即可得到答案. 【详解】由实数满足，可得，所以， 又由，且，可得，所以， 所以的取值范围为的取值范围为，所以A正确，B错误； 由，因为， 所以，所以的取值范围为，所以C正确； 由，当时，可得， 当时，可得，所以的取值范围为，所以D正确． 故选：ACD. 11. 已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（　　） A. B. ， C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】在等式中令可求出的值，可判断A选项；由偶函数的性质可得出，结合题干等式可判断C选项；推导出函数是周期为的函数，求出函数在上的值域，可判断B选项；利用函数的周期性求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，对任意的，，当时，， 所以， 在等式中，令，可得，故，A错； 对于C选项，因为函数是定义在上的偶函数，则， 所以，即， 所以，C对； 对于B选项，对任意的，， 所以，即函数是周期为的函数， 要求函数的值域，只需求函数在上的值域即可， 当时，， 则， 当时，， 故当时，， 则当时，，， 故当时，函数的值域为，故，，B对； 对于D选项，因为，则， 故，D错. 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数的图象不经过坐标原点，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用幂函数的定义可求得的值，结合题意检验即可得结论. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 当时，，图象不经过坐标原点； 当时，，图象经过坐标原点. 综上所述：. 故答案为：2. 13. 已知且，函数在上单调递增，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定每一段在定义域范围内都是单调递增，再根据左半段函数在端点处的最大值小于等于右半段函数在端点处的最小值即可求得. 【详解】因为在上单调递增，所以解得，即的取值范围是. 故答案为： 14. 某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过___________年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 【答案】50 【解析】 【分析】根据已知条件可以得出，将代入结合对数的运算化简即可得结果. 【详解】由，可得，故． 当时，，即，当时，， 两式相除可得 故答案为：50. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：. （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）10 【解析】 【分析】（1）根据根式、指数、对数运算求得正确答案. （2）利用平方的方法求得正确答案. 【详解】（1）原式 . （2）因为，所以， 则， 又， 所以， 故. 16. 已知集合. （1）若有且只有1个真子集，求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）由判别式为0可得； （2）由，可得，然后对分类讨论可得. 【小问1详解】 因为有且只有1个真子集，所以中有且只有1个元素， 则，解得或. 【小问2详解】 由，可得， 由，解得，则. 当时，解得，则，符合； 当时，解得或， 当，则，符合；若，则，符合； 当时，解得或，则，. 若，则，不符合； 若，则，不符合. 综上所述，的取值范围为. 17. 已知函数是定义在R上的奇函数. （1）求的值. （2）用函数单调性的定义证明：是R上的减函数. （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）. （2） 由（1）可知. 任取，令，则. 因为，所以. 又，所以，即， 则是上的减函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质以及求解的值. （2）利用函数单调性的定义，设且，通过作差比较和的大小来证明函数的单调性. （3）利用奇函数的性质将不等式进行转化，再结合函数的单调性求解的取值范围. 【小问1详解】 解：因为是定义在上的奇函数，所以，得， 则. 由，可得， 则.经检验知，当时，是定义在上的奇函数，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由， 可得. 因为是上的减函数，所以，即恒成立. 当时，显然不可能恒成立. 当时，原不等式为，恒成立. 当时，由恒成立，可得，解得. 综上所述，的取值范围为. 18. （1）已知，证明： ； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小； （3）已知，证明：若，，，则x，y，z中至少有一个不小于0. 【答案】 （1）因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 可得，当且仅当时，等号成立； 又因为， 即， 可得， 所以，当且仅当时，等号成立； （2）若，则；若，则； （3）假设x，y，z中均小于0， 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 这与相矛盾，假设不成立， 所以x，y，z中至少有一个不小于0. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合基本不等式分析证明即可； （2）作差整理可得，结合题意分类讨论判断； （3）利用反证法，假设x，y，z中均小于0，整理可得，推出矛盾即可得结果. 【详解】（1）略 （2）因为， 且，则，，可得， 若，则，即； 若，则，即； （3）略 19. 设函数的定义域为，对于任意给定的实数，定义函数，已知函数. （1）直接写出的单调区间（无需证明）； （2）若关于的方程有四个不相等的实数根，求的取值范围； （3）若对于任意的，关于的方程都有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间是和，的单调递减区间是和. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）分析得到的解析式，作出的图象则单调区间可知； （2）分析得到的解析式，将问题转化为“的图象有四个交点”，根据对称性结合图象可求的取值范围； （3）令，根据单调性先分析出的值域，然后将问题转化为“与的图象有四个交点，求的取值范围”，结合图象可求得结果. 【小问1详解】 因为，由解得或， 所以， 作出的图象如下图所示， 由图象可知，的单调递增区间是和，的单调递减区间是和. 【小问2详解】 因为，由解得或， 所以， 在同一坐标系中作出的图象如下图所示， 若方程有四个不相等的实数根，则的图象有四个不同交点，所以， 由图象的对称性可知，， 所以， 由的解析式可知，所以， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 令，， 因为均在上单调递减，且， 所以在上单调递减， 所以的值域为，即的值域为； 因为，令，则， 当时，无解，此时方程不可能有四个实数根，舍去； 当时，令，解得或， 所以， 问题转化为“与的图象有四个交点”， 在同一坐标系中作出的图象如下图所示， 若要使得满足题意，则，解得， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高—第一学期质量检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册1.1-4.3. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数，则（ ） A. 2 B. 0 C. 12 D. 20 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象为（　　） A. B. C. D. 6. 在中，，则“”是“为锐角三角形”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数且的图像经过二，三，四象限，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数满足，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 11. 已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（　　） A. B. ， C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数的图象不经过坐标原点，则__________. 13. 已知且，函数在上单调递增，则的取值范围是___________． 14. 某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过___________年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：. （2）已知，求的值. 16. 已知集合. （1）若有且只有1个真子集，求的值； （2）若，求的取值范围. 17. 已知函数是定义在R上的奇函数. （1）求的值. （2）用函数单调性的定义证明：是R上的减函数. （3）若，求的取值范围. 18. （1）已知，证明： ； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小； （3）已知，证明：若，，，则x，y，z中至少有一个不小于0. 19. 设函数的定义域为，对于任意给定的实数，定义函数，已知函数. （1）直接写出的单调区间（无需证明）； （2）若关于的方程有四个不相等的实数根，求的取值范围； （3）若对于任意的，关于的方程都有四个不相等的实数根，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $