第二章 有理数的运算 讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

该初中数学讲义以考点为核心系统构建有理数运算知识体系，通过“知识点梳理+变式练习”结构呈现，将加法法则、运算律、乘除混合运算等内容用清晰框架梳理，突出重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于变式练习设计，融入古代算筹、中国空间站温差等情境题，培养运算能力与应用意识。题型涵盖选择、填空、计算，分层适配不同学生，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

第二章 有理数的运算 考点一、 有理数的加法 一、知识点 1.有理数加法法则： （1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和； （2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差； （3）互为相反数的两个数相加得0；（若互为相反数，则） （4）一个数与0相加，仍得这个数. 二、变式练习 1．计算的结果是（  A ） A． B．8 C． D．4 2．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（  D ） A． B． C． D． 3．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列的算式为（ C  ） A． B． C． D． 4．若，互为相反数，则的值为（ C  ） A． B． C． D． 5．下列各组运算结果，符号为负的是（1）（2）（4）（填序号）． （1）；（2）；（3）；（4）． 考点二 、有理数的加法运算律 一、知识点 1.加法交换律：（两个数相加，交换加数的位置，和不变）. 2.加法结合律：（三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变）. 二、变式练习 1．这道题计算时应用了（ B  ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 2．小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（  C  ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 3．下列各式中，与相等的是（   C  ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（ D  ） A．运用了加法交换律 B．两个数相加，和一定大于其中一个加数 C．一定是正数 D．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 5．根据加法运算律填空： (1) 3 ； (2)； (3)． 6.= -1013 . 考点三、有理数的减法 一、知识点 1.有理数减法法则：（减去一个数，等于加上这个数的相反数）. 二、变式练习 1．计算的结果是 3 ． 2．中国空间站位于距离地面约的太空环境中，由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高达零上，其背阳面温度可低至零下，太阳直射空间站表面温度与背阳面的最大温差是（ C  ） A． B． C． D． 3．点在数轴上，若表示的数是，则点表示的数是（ C  ） A． B．4 C．2或 D．或4 4．若，，且，，的值是（ C   ） A． B．3 C． D．13 5.某品牌的味精包装袋上标有的字样，任意取2袋，它们的质量最多相差 6 考点四、有理数的加减混合运算 一、知识点 1.加减混合运算可以统一成 加法 运算.例如：. 2.几个有理数相加时，可以省略算式中的括号和加号.例如可以写成，读作“3、负2、负4的和”或读作“ 3减2减4”. 二、变式练习 1．把写成省略括号的形式，结果为（ A ） A． B． C． D． 2．苏超比赛中用的标准5号足球，重量要求是，下面的足球重量合格的是（  C  ） A．380g B．400g C．440g D．460g 3．某天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜时的气温是（  C ）． A． B． C． D．9 4．一只小虫在数轴上从原点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2025次爬到数轴上的点所对应的数是 1013 ． 5．= -3 . 6．． 考点五、有理数的乘法 一、知识点 1.有理数的乘法法则: （1）两数相乘，同号得 正 ，异号得 负，且积的绝对值等于乘数的 绝对值 的积（同正异负）； （2）任何数与0相乘，都得 0 ； （3）几个不为0的数相乘，负的乘数的个数为奇数时，积为 负数 ，负的乘数的个数为偶数时，积为 正数 （奇负偶正）；几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0 . 2.有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：（两个数相乘，交换 加数 的位置，积 不变 ）； （2）乘法结合律：（三个数相乘，先把 前两个数 相乘，或者先把 后两个数 相乘，积 不变 ）. （3）乘法分配律：（一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与 相乘，再把积 相加 ）. 二、变式练习 1．计算，正确的结果是（ D  ） A． B．5 C． D．6 2．的运算结果是（　B　） A．6 B． C．1 D． 3．若，则内的数字是（ A   ） A． B．2 C．4 D． 4．若，8，a的积是一个负数，则a的值可以是（  D ） A． B． C．0 D．7 5．已知a，b是有理数，且，，则a，b两个数的符号情况是（  B  ） A．同为正 B．同为负 C．一正一负 D．无法确定 6． -1 ． 7．计算：= -24 . 考点六、倒数 一、知识点 1. 乘积是 1 的两个数互为倒数，. 2. 若与互为倒数，则 1 . 方法：符号 相同 ，分子分母交换位置. 注意事项： （1） 0 没有倒数 （2）倒数等于它本身的数有. （3）小数先化成 分数 ，带分数先化成 假分数 ，再求倒数. 二、变式练习 1. -2025的倒数是． 2.的倒数是． 3. 一个数的倒数为，那这数是． 4. 的倒数是，则的绝对值是． 5. 已知互为相反数，互为倒数，则 2023 ． 考点七、有理数的除法 一、知识点 1有理数的除法法则： （1）除于一个不等于0的数，等于乘这个数的 倒数 ，即； （2）两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，且商的绝对值等于被除数的绝对值除于除数的绝对值的 商 （同正异负）； （3）0除于任何一个 不等于0的数 的数，都得 0 . 二、变式练习 1．计算的结果等于（  B ） A． B．3 C． D． 2．计算：． 3．“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为． 考点八、有理数的乘方 一、知识点 1.乘方的意义：求个 相同乘数 的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作 幂 .在中，叫作 底数 ，叫作 指数 ，读作“”或“”. 2.乘方的性质：正数的任何次幂都是 正 数，负数的奇次幂是 负 数，负数的偶次幂是正 数（奇负偶正），0的正整数次幂都是 0 .即当为奇数时，，当为偶数时，. 二、变式练习 1.下列各式相等的是（ A ） A．和 B.和 C．和 D．和 2.下列说法正确的是（ D ） A． B． C． D． 3. 下列各式相等的是（ A ） A． 和 B． 和 C．和 D． 和 4. 下列各式相等的是（ B ） A． 和 B． 和 C．和 D． 和 5.若，则. 考点九、有理数的混合运算 一、知识点 有理数的混合运算的顺序： （1）先 乘方 ，再 乘除 ，最后 加减 ； （2）同级运算，从 左到右 进行； （3）如有括号，先做 括号内 的运算，按 小 括号、 中 括号、 大 括号依次进行. 二、变式练习 1．（  D  ） A．0 B．2 C．4 D．8 2．计算： 0 ． 3．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 8 ． 4．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　A　） A． B． C． D． 考点十、科学记数法 一、知识点 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成（其中, 为正整数），使用的是科学记数法. 注意： （1）用科学记数法表示一个位整数，其中10的指数是 （2）有“万、亿”单位，先写出数位，化为原数，再成的形式. 二、变式练习 1.餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心。据统计，以前中国每年浪费的食物总量折合粮食约50 000 000 000千克，这个数据用科学记数法表示（ A ） A．5×1010千克 B．50×109千克 C．5×109千克 D．0.5×1011千克 2.中国的国土面积是960万平方公里，960万用科学记数法表示为（ C ） A. 9.6×108 B. 0.96×107 C.9.6×106 D.9.6×105 3.用百度搜索关键词“十九大”，百度为我们找到相关结果约18 600 000个，把18 600 000这个数用科学记数法表示为（ B ） A. 0.186×108 B. 1.86×107 C. 18.6×106 D. 186×105 4.世界文化遗产长城总长约为6700000，将6700000用科学计数法表示为. 5.2021年10月16日，神州十三号载人飞船在长征二号F遥十三运载火箭的托举下点火升空，成功对接距地球约386000米的空间站，将数据386000用科学记数法表示为. 6.据国家卫健委统计，截止2022年3月23日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗约323900万剂次.用科学记数法将323900万表示为（ C ） A． B． C． D． 7.国家主席习近平提出“金山银山，不如绿水青山”，国家环保部大力治理环境污染，空气质量明显好转，将惠及 亿中国人，这个数字用科学记数法表示为 ( D ) A． B． C． D． 考点十一、近似数、精确度 一、知识点 1.近似数指与准确数相接近的一个数. 2.精确度表示近似数与准确数的接近程度. 注意： （1）带上了单位的近似数，应还原成不带单位的数.（如1万还原成10000） （2）结果用科学计数法表示或用多少万、多少亿表示的数，应还原成原数. （3）精确到某一位，看它的后一位，用四舍五入法。 二、变式练习 1.用四舍五入法将3.886精确到0.01，所得到的近似数为 3.89 . 2.将34.945取近似数精确到十分位，正确的是（　B　） A．34.9 B．35.0 C．35 D．35.05 3.数460000用科学记数法表示且精确到千位为. 4.近似数3.9×103精确到 百 位． 5.61.497精确到百分位为 61.50 . 6.106.49精确到个位： 106 ， 7.把0.0158四舍五入精确到千分位为 0.016 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 考点一、 有理数的加法 一、知识点 1.有理数加法法则： （1）同号两数相加，和取 的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的 ； （2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值 的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的 ； （3）互为相反数的两个数相加得 ；（若互为相反数，则） （4）一个数与0相加，仍得 . 二、变式练习 1．计算的结果是（   ） A． B．8 C． D．4 2．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列的算式为（   ） A． B． C． D． 4．若，互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．下列各组运算结果，符号为负的是 （填序号）． （1）；（2）；（3）；（4）． 考点二 、有理数的加法运算律 一、知识点 1.加法交换律： （两个数相加，交换 的位置，和 ）. 2.加法结合律： （三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和 ）. 二、变式练习 1．这道题计算时应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 2．小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 3．下列各式中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．运用了加法交换律 B．两个数相加，和一定大于其中一个加数 C．一定是正数 D．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 5．根据加法运算律填空： (1)________； (2)； (3)． 6.= . 考点三、有理数的减法 一、知识点 1.有理数减法法则： （减去一个数，等于加上这个数的 ）. 二、变式练习 1．计算的结果是 ． 2．中国空间站位于距离地面约的太空环境中，由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高达零上，其背阳面温度可低至零下，太阳直射空间站表面温度与背阳面的最大温差是（   ） A． B． C． D． 3．点在数轴上，若表示的数是，则点表示的数是（   ） A． B．4 C．2或 D．或4 4．若，，且，，的值是（    ） A． B．3 C． D．13 5.某品牌的味精包装袋上标有的字样，任意取2袋，它们的质量最多相差 考点四、有理数的加减混合运算 一、知识点 1.加减混合运算可以统一成 运算.例如： . 2.几个有理数相加时，可以省略算式中的括号和加号.例如可以写成 ，读作“3、负2、负4的和”或读作“ ”. 二、变式练习 1．把写成省略括号的形式，结果为（ ） A． B． C． D． 2．苏超比赛中用的标准5号足球，重量要求是，下面的足球重量合格的是（    ） A．380g B．400g C．440g D．460g 3．某天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜时的气温是（   ）． A． B． C． D．9 4．一只小虫在数轴上从原点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2025次爬到数轴上的点所对应的数是 ． 5．= . 6． ． 考点五、有理数的乘法 一、知识点 1.有理数的乘法法则: （1）两数相乘，同号得 ，异号得 ，且积的绝对值等于乘数的 的积（同正异负）； （2）任何数与0相乘，都得 ； （3）几个不为0的数相乘，负的乘数的个数为奇数时，积为 ，负的乘数的个数为偶数时，积为 （奇负偶正）；几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为 . 2.有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律： （两个数相乘，交换 的位置，积 ）； （2）乘法结合律： （三个数相乘，先把 相乘，或者先把 相乘，积 ）. （3）乘法分配律： （一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与 相乘，再把积 ）. 二、变式练习 1．计算，正确的结果是（   ） A． B．5 C． D．6 2．的运算结果是（　　） A．6 B． C．1 D． 3．若，则内的数字是（    ） A． B．2 C．4 D． 4．若，8，a的积是一个负数，则a的值可以是（   ） A． B． C．0 D．7 5．已知a，b是有理数，且，，则a，b两个数的符号情况是（    ） A．同为正 B．同为负 C．一正一负 D．无法确定 6． ． 7．计算：= . 考点六、倒数 一、知识点 1. 乘积是 的两个数互为倒数，. 2. 若与互为倒数，则 . 方法：符号 ，分子分母交换位置. 注意事项： （1） 没有倒数 （2）倒数等于它本身的数有 . （3）小数先化成 ，带分数先化成 ,再求倒数. 二、变式练习 1. -2025的倒数是___________． 2.的倒数是___________． 3. 一个数的倒数为，那这数是____________． 4. 的倒数是，则的绝对值是___________． 5. 已知互为相反数，互为倒数，则__________． 考点七、有理数的除法 一、知识点 1有理数的除法法则： （1）除于一个不等于0的数，等于乘这个数的 ，即 ； （2）两数相除，同号得 ，异号得 ，且商的绝对值等于被除数的绝对值除于除数的绝对值的 （同正异负）； （3）0除于任何一个 的数，都得 . 二、变式练习 1．计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 2．计算： ． 3．“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为 ． 考点八、有理数的乘方 一、知识点 1.乘方的意义：求个 的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作 .在中，叫作 ，叫作 ，读作“ ”或“ ”. 2.乘方的性质：正数的任何次幂都是 数，负数的奇次幂是 数，负数的偶次幂是 数（奇负偶正），0的正整数次幂都是 .即当为奇数时，，当为偶数时，. 二、变式练习 1.下列各式相等的是（    ） A．和 B.和 C．和 D．和 2.下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 3. 下列各式相等的是（ ） A． 和 B． 和 C．和 D． 和 4. 下列各式相等的是（ ） A． 和 B． 和 C．和 D． 和 5.若，则 . 考点九、有理数的混合运算 一、知识点 有理数的混合运算的顺序： （1）先 ，再 ，最后 ； （2）同级运算，从 进行； （3）如有括号，先做 的运算，按 括号、 括号、 括号依次进行. 二、变式练习 1．（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 2．计算： ． 3．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 4．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 考点十、科学记数法 一、知识点 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成 （其中, 为正整数），使用的是科学记数法. 注意： （1）用科学记数法表示一个位整数，其中10的指数是 . （2）有“万、亿”单位，先写出数位，化为原数，再成的形式. 二、变式练习 1.餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心。据统计，以前中国每年浪费的食物总量折合粮食约50 000 000 000千克，这个数据用科学记数法表示（ ） A．5×1010千克 B．50×109千克 C．5×109千克 D．0.5×1011千克 2.中国的国土面积是960万平方公里，960万用科学记数法表示为（ ） A. 9.6×108 B. 0.96×107 C.9.6×106 D.9.6×105 3.用百度搜索关键词“十九大”，百度为我们找到相关结果约18 600 000个，把18 600 000这个数用科学记数法表示为（ ） A. 0.186×108 B. 1.86×107 C. 18.6×106 D. 186×105 4（16—17七上）世界文化遗产长城总长约为6700000，将6700000用科学计数法表示为 . 5.（21—22七上）2021年10月16日，神州十三号载人飞船在长征二号F遥十三运载火箭的托举下点火升空，成功对接距地球约386000米的空间站，将数据386000用科学记数法表示为 。 6.据国家卫健委统计，截止2022年3月23日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗约323900万剂次.用科学记数法将323900万表示为（   ） A． B． C． D． 7.国家主席习近平提出“金山银山，不如绿水青山”，国家环保部大力治理环境污染，空气质量明显好转，将惠及 亿中国人，这个数字用科学记数法表示为 A． B． C． D． 考点十一、近似数、精确度 一、知识点 1.近似数指与准确数相接近的一个数. 2.精确度表示近似数与准确数的接近程度. 注意： （1）带上了单位的近似数，应还原成不带单位的数.（如1万还原成10000） （2）结果用科学计数法表示或用多少万、多少亿表示的数，应还原成原数. （3）精确到某一位，看它的后一位，用四舍五入法。 二、变式练习 1.用四舍五入法将3.886精确到0.01，所得到的近似数为 . 2.将34.945取近似数精确到十分位，正确的是（　　） A．34.9 B．35.0 C．35 D．35.05 3. 数460000用科学记数法表示且精确到千位为__________. 4.近似数3.9×103精确到 位． 5.61.497精确到百分位为 ________． 6.106.49精确到个位：_______， 7.把0.0158四舍五入精确到千分位为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $