第1章 有理数（举一反三讲义）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学有理数单元复习讲义以“夯实基础-进阶拔高-创新思辨”三级框架构建知识体系，通过题型归类表呈现正负数、相反数、绝对值等核心知识点，按概念辨析、技能应用、综合拓展的逻辑梳理内在联系，突出数轴与绝对值的重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题如“用正负数表示相反意义的量”培养应用意识，拔高题“数轴上动点问题”发展几何直观，创新题“绝对值几何意义求最值”提升推理能力。例题配变式题实现举一反三，支持不同层次学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

第1章 有理数（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材人教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 用正负数表示相反意义的量】 1 【题型2 判断一个数是正数或负数】 1 【题型3 求一个数的相反数】 3 【题型4 求一个数的绝对值】 4 【题型5 在数轴上表示有理数】 5 【题型6 比较两个有理数的大小】 6 【题型7 判断有理数的分类归属】 7 【进阶拔高】 9 【题型8 化简含多重符号的表达式】 11 【题型9 利用数轴比较多个数的大小】 11 【题型10 求数轴上两点之间的距离】 13 【题型11 根据绝对值求未知数的值】 15 【题型12 正负数在实际问题中的应用】 17 【题型13 绝对值的非负性求未知数】 19 【题型14 利用相反数求代数式的值】 22 【创新思辨】 23 【题型15 绝对值几何意义求最值】 25 【题型16 数轴上动点与距离综合问题】 25 【题型17 含绝对值的代数式化简求值】 28 【题型18 有理数大小比较的实际应用】 33 【题型19 数轴上分类讨论确定点的位置】 37 【题型20 绝对值与数轴综合求最值】 41 【题型21 结合相反数与绝对值的综合】 46 【夯实基础】 【题型1 用正负数表示相反意义的量】 【例1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果风车顺时针旋转记作，那么表示（     ） A．减少 B．旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【答案】D 【详解】解：∵风车顺时针旋转，记作， ∴正数表示顺时针旋转，负数表示逆时针旋转； ∴表示逆时针旋转. 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）在下列选项中，是具有相反意义的量的是(　　) A．收入20元与支出30元 B．2个苹果和2个梨 C．走了100米与跑了100米 D．向东走30米和向北走30米 【答案】A 【分析】根据相反意义的定义，即可得出结果. 【详解】A项，收入与支出具有相反意义，故A项正确； B项，苹果与梨没有相反意义，故B项错误； C项，走与跑没有相反意义，故C项错误； D项，向东与向西有相反意义，而与向北没有相反意义，故D项错误. 综上所述，A项正确. 故本题正确答案为A. 【点睛】本题考查了正负数相反意义的定义，牢牢掌握相反意义的定义是解答本题的关键. 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）李白出生于公元701年，我们记作+701，那么秦始皇出生于公元前259年，可记作（　　） A．259 B．﹣960 C．﹣259 D．442 【答案】C 【详解】分析：利用相反意义量的定义判断即可． 详解：李白出生于公元701年，我们记作+701，那么秦始皇出生于公元前259年，可记作-259， 故选C． 点睛：此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键． 【变式1-3】（25-26七年级上·福建福州·期末）七年级学生小宇记录自己的零花钱收支情况，规定零花钱收入为正．若他周末通过做家务获得零花钱25元，记作元，则周一用零花钱购买学习文具花去元，记作______． 【答案】元 【分析】本题主要考查了相反意义的量，根据正负数表示相反意义的量的定义，收入记为正，则支出记为负，由此确定花去零花钱的记法． 【详解】解：由题意可知，规定零花钱收入为正，那么支出（花去零花钱）与收入是具有相反意义的量，所以花去元记作元. 故答案为：元． 【题型2 判断一个数是正数或负数】 【例2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在、，，，0，，中负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：根据定义，小于0的数是负数． ∵，，，，既不是正数也不是负数，， ∴ 题目中的负数为，，，一共3个． 【变式2-1】（25-26七年级上·全国·期末）把下列各数填入相应的集合：，0，，，5，，1.2 正数集合：｛________｝；负数集合：｛________｝；整数集合：｛________｝． 【答案】 ，5，1.2 ，， ，0，5 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类，正数是大于0的数，负数是小于0的数，整数包括正整数、0和负整数，据此进行分类判断即可． 【详解】解：正数集合：{ ，5，1.2 }；负数集合：{ ，， }；整数集合：{ ，0，5 }． 故答案为：，5，1.2；，，；，0，5． 【变式2-2】（25-26六年级上·山东泰安·期末）下列说法正确的是（    ） A．0是正数 B．0是负数 C．0既不是正数也不是负数 D．0既是正数也是负数 【答案】C 【分析】本题考查正负数的基本概念，的意义，根据正负数的定义，0既不是正数也不是负数. 【详解】解：∵正数是大于0的数，负数是小于0的数，而0既不是正数也不是负数， ∴选项C正确. 故选：C． 【变式2-3】（25-26七年级上·广西梧州·期末）在数中，正数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查正数的定义、化简绝对值，先计算绝对值，根据正数的定义，逐个判断即可得出答案． 【详解】解：， ∴正数为0.5，，，，共个， 故选：D． 【题型3 求一个数的相反数】 【例3】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列各数中，与互为相反数的是（     ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 的相反数是． 【变式3-1】（25-26八年级下·重庆·期末）的相反数是（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：的相反数是2 【变式3-2】（25-26七年级上·福建漳州·期末）两个有理数的和为，其中一个数是，则另一个数是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查互为相反数的有理数的性质，互为相反数的两个数和为，求另一个数只需取已知数的相反数即可． 【详解】解：两个有理数的和为 这两个数互为相反数 其中一个数是 另一个数是的相反数，即 故选：A． 【变式3-3】（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）已知与的和为，与互为相反数，若，则______． 【答案】3 【分析】此题考查了有理数的减法运算，相反数的性质， 根据互为相反数的定义，由与互为相反数且，可求出的值；再根据与的和为 2求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数，若， ∴ ∵与的和为， ∴． 故答案为：3． 【题型4 求一个数的绝对值】 【例4】（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各数中，绝对值最小的数是（     ） A．−3 B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】解：∵ ，，，， ∴ 绝对值最小的数是. 【变式4-1】（2026·江苏连云港·二模）下列实数中，是的绝对值的是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数计算即可得出结果． 【详解】解：． 【变式4-2】（25-26七年级上·山东聊城·期末）下列数中离原点距离最近的是（   ） A． B．3.5 C． D． 【答案】D 【分析】数轴上的点到原点的距离，即该点对应的数的绝对值，只需计算各选项数的绝对值，比较大小后找出绝对值最小的数即可． 【详解】解： ，，，， ∵ ∴的绝对值最小，即离原点距离最近． 【变式4-3】（25-26七年级下·广东江门·期末）已知（是整数），则的所有可能值中，最大值是______． 【答案】 【分析】先根据绝对值的性质求出的取值范围，再结合是整数确定所有符合条件的，最后找出其中的最大值即可． 【详解】解：∵， ∴数轴上，数对应的点到原点的距离小于， ∴， 又∵为整数， ∴的所有可能值为，，，，，，， ∴的所有可能值中，最大值为． 【题型5 在数轴上表示有理数】 【例5】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（     ） A．0.5 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：手掌遮挡住的点表示的数在与之间， ∵， ∴手掌遮挡住的点表示的数可能是． 【变式5-1】（25-26七年级上·四川广安·期末）在数轴上与表示的数相距2020个单位长度的点对应的数是_____． 【答案】或2018 【分析】分所求点在表示的点的左侧和右侧两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当所求点位于表示的点的左侧时，根据数轴上两点间距离的意义，可得该点对应的数为：； 当所求点位于表示的点的右侧时，根据数轴上两点间距离的意义，可得该点对应的数为：； 因此，所求点对应的数为或2018． 【变式5-2】 （25-26七年级上·广东广州·期末）如图，四个有理数在数轴上对应的点分别为，若，则四个数中是负数的有__________个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了数轴，数形结合并找出原点的位置是解题的关键． 根据，可确定原点的位置，再根据原点的位置确定负数的个数即可． 【详解】， 的中点为原点，由图可知原点在之间， 即点对应的数为负数，则四个数中是负数的有2个． 故答案为：2． 【变式5-3】（25-26七年级上·江西上饶·期末）小明将画在纸上的数轴上对折，把表示的点与表示的点重合．此时与表示的点重合的数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、折叠问题，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式．先求出折痕处的点表示的数，然后再根据数轴上两点间距离公式进行解答即可． 【详解】解：将画在纸上的数轴上对折，表示的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示的点重合的数是， 故答案为：． 【题型6 比较两个有理数的大小】 【例6】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）比较大小________（填“<”“＝”或“>”） 【答案】< 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：， 因为， 所以， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级上·河北唐山·期末）下列各数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数大小比较，数的符号化简，有理数乘方，解题关键是熟练掌握有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小． 先化简各数，再按有理数大小比较法则判定即可． 【详解】解：A、∵，，，∴，故此选项不符合题意； B、∵，，，∴，故此选项符合题意； C、∵，，，∴，故此选项不符合题意； D、∵，，，∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式6-2】（25-26七年级上·湖北黄冈·期末）比较大小：______．（填“＞”或“＝”或“＜”） 【答案】＜ 【分析】本题主要考查了相反数、绝对值、有理数大小比较等知识点，正确运用相反数、绝对值化简成为解题的关键．先运用相反数、绝对值化简，然后再比较大小即可． 【详解】解：，． ，． 故答案为：＜ 【变式6-3】（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）表示不超过x的最大整数，如，，则______． 【答案】0 【分析】根据表示不超过的最大整数的定义，分别求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵表示不超过的最大整数， ∴，， ∴． 【题型7 判断有理数的分类归属】 【例7】（25-26七年级上·河北廊坊·期中）有下列结论：①绝对值等于它本身的有理数是正数；②相反数等于它本身的有理数只有零；③一定是负数；④一个有理数不是整数就是分数．其中错误的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值、相反数、有理数的基本概念，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据定义逐一判断各结论的正误，即可解答． 【详解】解：绝对值等于它本身的有理数是非负数（包括正数和0）， 结论①错误， 相反数等于它本身的有理数只有0， 结论②正确， 当时，是正数， 结论③错误， 有理数包括整数和分数，故一个有理数不是整数就是分数， 结论④正确， 综上所述，错误的结论有①和③，共2个． 故选：B． 【变式7-1】（24-25七年级上·四川眉山·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： 5，，，，，0，，，（每两个1之间逐次增加一个0）． 正数集：﹛______…﹜； 非负整数集：﹛______…﹜； 负分数集：﹛______…﹜； 有理数集：﹛______…﹜． 【答案】5，，，；5， 0；，，；5，，，，，0， 【分析】本题考查有理数的分类，掌握相关知识是解决问题的关键．根据定义逐一判断即可． 【详解】解：正数集： 非负整数集： 负分数集：， 有理数： ． 【变式7-2】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）下列说法中： ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥是无限不循环小数，所以不是有理数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数． 其中错误的说法的个数为（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】有理数的分类，即可作出判断． 【详解】①没有最小的整数，故错误； ②有理数包括正数、0和负数，故错误； ③正整数、负整数、0、正分数、负分数统称为有理数，故错误； ④非负数就是正数和0，故错误； ⑤是无理数，故错误； ⑥是无限循环小数，所以是有理数，故错误； ⑦无限小数不都是有理数是正确的； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数是正确的． 故其中错误的说法的个数为6个． 故选B． 【点睛】此题考查有理数的分类，解题关键在于认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 【变式7-3】（25-26七年级上·贵州·期末）把下列各数对应的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨． (1)有理数集合：{______ …}； (2)非正整数集合：{_______ …}； (3)正分数集合：{_______…}． 【答案】(1)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ (2)⑤⑦ (3)②③⑧ 【分析】本题主要考查了有理数的分类，计算绝对值和化简多重符号，熟知有理数的分类方法是解题的关键． （1）先计算绝对值和化简多重符号，再根据有理数的定义可得答案； （2）非正整数是小于或等于0的整数，据此可得答案； （3）根据正分数的定义可得答案． 【详解】（1）解：，，，， 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧⑨…}； 故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨； （2）解：非正整数集合：{⑤⑦…}； 故答案为：⑤⑦； （3）解：正分数集合：{②③⑧…}； 故答案为：②③⑧． 【进阶拔高】 【题型8 化简含多重符号的表达式】 【例8】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简_______． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义化简多重符号即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式8-1】（25-26七年级上·全国·单元测试）化简：________，________，________． 【答案】 【分析】直接利用去括号法则化简求出答案． 【详解】−(+4)=−4,−(−6)=6,−[−(+5)]=5. 故答案为−4，6，5. 【点睛】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟练的掌握相反数的定义. 【变式8-2】（25-26七年级上·甘肃武威·阶段检测）若，则的相反数是________． 【答案】3 【分析】根据去括号的原则去掉括号得到x的值，然后求x的相反数即可． 【详解】 ∴-3的相反数是3 故答案为3． 【点睛】本题考查了有理数运算法则和相反数的概念，去括号时一定要注意符号变号问题． 【变式8-3】（24-25七年级上·山西晋城·阶段检测）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2024个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）；问：①； ②当前面有2024个负号，即前面有2025个负号，化简后结果， 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 【分析】本题考查了利用相反数的定义化简，熟记概念并仔细观察化简结果与负号的关系是解题的关键． （1）根据相反数的定义进行化简即可； （2）根据相反数的定义进行化简即可； （3）根据相反数的定义进行化简即可； （4）根据相反数的定义进行化简即可； 问：①根据前面的计算结果猜想即可得解； ②根据前面的计算结果猜想即可得解． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是； ②略 【题型9 利用数轴比较多个数的大小】 【例9】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）有理数在数轴上的对应点位置如图所示.五个数中最大的是_____. 【答案】 【分析】本题考查了数轴上有理数的大小比较及相反数的概念，解题的关键是根据数轴上点的位置确定、的取值范围，再求出、的范围，进而比较五个数的大小； 先由数轴得出，，再推出，，最后比较、、、、的大小． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴ ，， ∴ ， 故五个数中最大的是． 故答案为：． 【变式9-1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的数是_____ ． 【答案】b 【分析】观察数轴上a、b、c三点到原点的距离，距离原点最远的数即为绝对值最大的数． 【详解】解：观察数轴上a、b、c三点到原点的距离，点b到原点O的距离最长，点a次之，点c最短． ∴绝对值最大的是b． 【变式9-2】（25-26六年级下·上海·期中）在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，． 【答案】 【详解】解：，，． 图见答案，用“”连接见答案． 【变式9-3】（25-26七年级上·四川乐山·期末）已知有理数、在数轴上对应点的位置如图所示． (1)在数轴上标出、对应的点，并将、、、用“”连接起来； (2)化简：． 【答案】(1) 解：如数轴所示 ∴． (2) 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，大小比较，绝对值以及整式的加减，理解绝对值的意义和掌握整式加减的计算方法是得出正确答案的关键． （1）在数轴上标出、，再将、、、用“”连接起来即可； （2）由数轴，得到，再去绝对值并化简即可． 【详解】（1）略 （2）解：由数轴，得 ， ∴， 则 ． 【题型10 求数轴上两点之间的距离】 【例10】若，且，则在数轴上表示，两数的对应点的距离为____． 【答案】或 【分析】根据题意，得到方程组，解得，从而得到，的值，即可求解． 【详解】解：由题意得，解得， ∴，， ∴当，或，时，； 当，或，时，， 综上可知，，两数对应点的距离为或． 【变式10-1】（26-27七年级上·浙江·开学考试）对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（     ）． A．与3相比，点M表示的数离0更近 B．和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负整数 【答案】D 【分析】根据数轴上的点及题意求解即可． 【详解】解：A．点M在和之间，离0大约2点多，比3离0近，说法正确； B．从点M到之间有、、0、1、2这5个整数，说法正确； C．M在与之间，说法正确； D．M到0之间只有和两个负整数，不是3个，所以D不正确． 【变式10-2】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（     ） A． B． C．或5 D．或3 【答案】C 【分析】点和点4重合的中点是1，数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8，则点与点到1的距离都是4，进而求出点表示的数即可． 【详解】解：折叠后数轴上表示的点与表示4的点重合， 折叠点为和4的中点为1， 数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8， 点与点到1的距离都是4， 当点在中点右侧时，对应的数为， 当点在中点左侧时，对应的数是． 【变式10-3】（24-25七年级上·云南·单元测试）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等．已知点表示，点表示． (1)表示原点的是点_______，点表示的有理数是_______； (2)数轴上有两点，，点到点距离为个单位长度，点到点距离为个单位长度，则点，之间的距离为多少？ (3)点为数轴上一点，且表示的数是整数，点到点的距离与点到点的距离之和是，则这样的点共有几个？ 【答案】(1)， ； (2)或个单位长度； (3)个． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用、数轴上的整点问题，解决本题的关键是根据数轴上两点之间的距离等于这两个点所表示的数的差的绝对值求出两点之间的距离． 设任意相邻两点之间的长度为个单位长度，根据从点到点之间共有个空格，两点之间的距离为，列一元一次方程求出的值，根据原点在点的右侧距离点 个单位长度，可以确定原点的位置，再根据点与点之间的距离确定点表示的数； 因为点表示的是原点，根据点、与原点的距离确定点、表示的数，根据两点表示的数求出两点之间的距离，注意分情况讨论； 因为点到点的距离与点到点的距离之和是，可以判断点在线段上，包括线段的两个端点，有到之间一共有个整数点，从而可得点的个数． 【详解】（1）解：设任意相邻两点之间的长度为个单位长度， 根据题意可得：， 解得：， ， 表示原点的点是点， 点表示的数是， 故答案为：，； （2）解：点到点距离为个单位长度， 点表示或， 点到点距离为个单位长度， 点表示或， 当点、表示的数相等时，点、之间的距离为， 点、表示的数不相等时，点、之间的距离为， 点、之间的距离为或个单位长度； （3）解:根据题意可知，点在点、之间，可以和或重合， 为整数， 这样的点一共有个． 【题型11 根据绝对值求未知数的值】 【例11】（25-26七年级上·江西赣州·期中）三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“友好三点”．若数轴上三个不重合的点，点表示的数是，点表示的数是，则“友好三点”中的点所对应的数为___________． 【答案】1，， 【分析】本题考查了数轴上两点距离，绝对值方程的应用．根据“友好三点”的定义，需考虑点到和距离相等、点到和距离相等、点到和距离相等三种情况，分别求解点对应的数． 【详解】解：设点表示的数为． 当点到点和点距离相等时，有 ，即 ，解得 ． 当点到点和点距离相等时，点到点的距离为 ，故 ，即 ，解得 或 ，但点与点、不重合，因此 ． 当点到点和点距离相等时，点到点的距离为 ，故 ，解得 或 ，但点与点、不重合，因此 ． 故点对应的数为，或． 故答案为：1，，． 【变式11-1】在数轴上点表示的数为，点表示的数为3，点在数轴上，且，则点表示的数为（   ） A． B．4 C．或4 D．或-5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解绝对值方程，正确解方程是解题关键．设点表示的数为，根据数轴上两点之间的距离列绝对值方程，即可求解． 【详解】解：设点表示的数为， 则， 解得或4， 故选：C． 【变式11-2】（25-26七年级上·全国·期末）若，则x的值是（    ）． A．6 B． C．6或 D．不确定 【答案】C 【分析】先移项可得，再根据绝对值的意义即可求出x的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 【变式11-3】（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知实数，满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义可求出的值，进而求出的值，即可得解． 【详解】解：对于， 当时，原式可化为，解得； 当时，原式可化为，无解； 将代入，得 ， 解得； 当时，； 当时，； 综上所述，． 【题型12 正负数在实际问题中的应用】 【例12】（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）下面是某小学一（5）班5名同学的体重： 姓名 李强 张云 赵冬 汪兵 陈红 体重 如果把他们的平均体重记作，那么张云的体重记作__________，李强的体重记作__________． 【答案】 【分析】先计算5名同学的平均体重，规定平均体重记作，超过平均体重记为正，不足平均体重记为负，计算两人体重与平均体重的差值即可得到结果． 【详解】解：由题意得这5名同学的平均体重为， 平均体重记作，超过平均体重记为正，不足平均体重记为负 张云体重与平均体重的差为，记作， 李强体重与平均体重的差为，记作． 【变式12-1】（26-27七年级上·河南开封·开学考试）2000年，国际乒联特别大会和代表大会在吉隆坡通过了大球改革方案，决定从悉尼奥运会之后，乒乓球比赛将使用直径，质量的大球，以下质量不合格的是（    ）． A．2.88 B．2.52 C．2.70 D．2.51 【答案】D 【详解】解：∵乒乓球质量要求为， ∴合格质量的最大值为，合格质量的最小值为， 只有不在合格范围内． 【变式12-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）某运动队队员的平均身高是．下表给出了该运动队6名队员的身高情况（单位：）． 队员 A B C D E F 身高 179 174 182 身高与平均身高的差 0 (1)试完成上表． (2)这6名队员中谁最高，谁最矮？ (3)这6名队员中，最高与最矮的队员身高相差多少？ 【答案】(1) 队员 A B C D E F 身高 179 182 180 174 183 182 身高与平均身高的差 0 (2)E最高，D最矮 (3) 【详解】（1）解：B身高：；C身高：；D身高与平均身高的差：；E身高：；F身高与平均身高的差：， 填表略； （2）解：， 故E最高，D最矮； （3）解： 答：最高与最矮的队员身高相差． 【变式12-3】（26-27七年级上·湖北·开学考试）火车票儿童票价标准：随同成年人旅行，身高米的儿童，享受半价优惠．王老师带数学小组的8名同学从武穴出发到黄冈参加数学竞赛．以米为标准，超出记作“”，不足记作“”，记录数学小组8名同学的身高情况如下表． 学生 身高 (1)数学小组最高的身高是(　　　　)米，最低的身高是(　　　　)米． (2)不能购买儿童票的学生人数占数学小组总人数的百分之几？ (3)如果从武穴到黄冈的全价车票是44元，那么购票需要多少钱？ 【答案】(1)； (2) (3)元 【分析】（1）根据正负数的意义，结合表格数据，即可求解； （2）根据题意得出分别计算有人不能购买儿童票，进而求得占数学小组总人数的百分比； （3）分别计算买全价票的人员与购买半价票的人员，再将票价相加，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴最高身高学生为，最低身高学生为． 米 米 最高的身高是米，最低的身高是米． （2）解：不能购买儿童票即身高超过米，表中记录为正数的学生有和，共人， 答：不能购买儿童票的学生人数占数学小组总人数的． （3）解：半价票价格：（元）． 需购买全价票的人员：王老师人，学生、共人，合计人． 需购买半价票的人员：学生B、C、D、F、G、H，共人． 总钱数： (元) 答：数学小组购票需要元． 【题型13 绝对值的非负性求未知数】 【例13】（25-26七年级上·全国·期末）方程，且，则的值为（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】利用绝对值的非负性，即多个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出、的值，再代入式子计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴ ． 【变式13-1】（25-26七年级上·贵州安顺·期末）下列代数式中，一定是正数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对任意实数，平方和绝对值都是非负数，即取值． 【详解】解：A．，当时，，0不是正数，不符合要求； B．，当时，，0不是正数，不符合要求； C．，，对任意实数，代数式的值都大于0，一定是正数，符合要求； D．，，，当时，，是负数，不符合要求． 【变式13-2】（25-26六年级上·四川成都·期末）若，那么等于（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴原式． 【变式13-3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）若、为整数，且，则的值可能的结果是（） A．4 B．4或5 C．4或5或7 D．4或5或7或8 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的非负性，有理数的加法运算，由绝对值的非负性及和为1，得到，或，，分别求解即可．． 【详解】解：∵a，b为整数，，，且， ∴，或，， ①若，，则，或， 当，时，； 当，时，． ②若，，则，或，， 当，时，； 当，时，． 综上所述，的值可能的结果为4，5，7，8． 故选：D． 【题型14 利用相反数求代数式的值】 【例14】（25-26七年级上·山东德州·期中）若，互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数，有理数的加法运算，根据互为相反数的两数之和为0，结合有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， ∴； 故选：C． 【变式14-1】（25-26七年级上·山西运城·期末）若，互为相反数，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的性质，解题关键是明确两个互为相反数的数之和为0，代入求解即可． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， 则 故答案为：． 【变式14-2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）已知、互为倒数，、互为相反数，是绝对值最小的数，是最大的负整数，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数、相反数、绝对值、负数的定义与性质，代数式求值，根据倒数、相反数、绝对值、负数的定义与性质，得出，，，，整体代入中，求值即可． 【详解】解：∵、互为倒数，、互为相反数，是绝对值最小的数，是最大的负整数， ∴，，，， ∴， 故答案为：． 【变式14-3】（25-26六年级上·山东济宁·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”．若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，则代数式的值________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义、有理数的运算，整式的加减运算，求代数式的值．根据“友好数”和相反数的定义得到，，再利用整式的加减运算法则化简式子，再代入求值即可． 【详解】解：∵有理数a与b互为“友好数”，b与c互为相反数， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【创新思辨】 【题型15 绝对值几何意义求最值】 【例15】（25-26七年级上·湖南郴州·期中）若为有理数，已知，则的最小值为___________． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 该问题理解为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和的最小值，再由绝对值的几何意义分类讨论求解即可． 【详解】解：，则可理解为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和， ∴的最小值即为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和的最小值， 当时，则； 当时，则； 当时，， ∴的最小值为， 故答案为：5． 【变式15-1】（25-26七年级上·北京·期末）在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则M，N两点间的距离可表示为：．如图，点A，B，C分别表示，2，5，点P为数轴上任意一点，若，则下列结论中正确的是（    ） A．d的最大值为6 B．d的最大值为3 C．d的最小值为 D．d的最小值为 【答案】B 【分析】本题考查数轴上两点间距离的表示方法，熟练掌握数轴上两点距离的表示方法是解题的关键，若点P表示的数为p，分别表示出的距离，再代入，得到，根据点P的位置分情况讨论p的取值范围，去掉绝对值符号后分析d的取值即可得到答案． 【详解】解：若点P表示的数为p， 点A，B，C分别表示，2，5， ∴，，， ∴， ①当时，则， ∴； ②当时，则， ∴； ∴d随着p的增大而增大，当时，，当时，， ∴， ③当时，则， ∴； 综上所述：， 故选：B． 【变式15-2】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或，在数轴上标记x所在的位置如图所示： (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 【变式15-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ； （2）若，，且数a、b在数轴上表示的点分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ； （3）求代数式的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ （4）若x表示一个有理数，则代数式有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）0或；（2）8，2；（3）最小值是3，此时x取的整数有或或0或1；（4）8 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，两点之间的距离， 对于（1），根据绝对值的意义解方程即可； 对于（2），根据绝对值的意义分别求出a与b的值，再分别讨论最大值与最小值； 对于（3），求代数式的最小值，即找一点到坐标和1点距离和最小，由线段的性质可知最小值，最后得出x的取值即可． 对于（4），根据（3）的求法可以求出的最小值，最后再计算最小值即可． 【详解】解：（1）， 故或， 即或. 故答案为：0或； （2）， 即或，或， 故或1，或． 故A、B两点最大的距离是，最小的距离为． 故答案为：8，2； （3）的最小值是3， 由题意得：， ∵x为整数， ∴x可取的整数值为：，0，1； （4）代数式有最大值． ∵由题意可知：的最小值为5， ∴代数式最大值为： ． 【题型16 数轴上动点与距离综合问题】 【例16】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为和12，（规定：数轴上两点之间的距离用两个大写字母表示．例如：点A与点B之间的距离记为），点M从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点N同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)当时，数轴上的点M、N表示的数分别是_______和______；当点M运动到点A时，MN的值为______； (2)在运动过程中是否存在时间t，使得，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． (3)若点M一直沿数轴负方向运动，点N运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，问点N运动几秒钟时，点N与点M之间的距离为9？ 【答案】(1)；6；24 (2)或4 (3)或或. 【分析】本题考查了数轴上的动点问题（距离与方程应用），解题的关键是用含的式子表示动点对应的数，结合距离公式列方程求解． (1) 根据运动方向和速度，用表示、对应的数，代入计算；先求到的时间，再算此时的位置，用绝对值求距离． (2) 用表示的距离（绝对值形式），列方程求解并验证． (3) 分到达前、后两种情况，用表示的位置，结合距离公式列方程（前）、（后）求解． 【详解】（1）解：当时∶ 点沿负方向运动，代表的数为； 点沿正方向运动，代表的数为． 当点运动到点（数）时，运动时间秒， 此时点代表的数为， 故． 故答案为：；6；24． （2）存在，或4，理由如下： 运动秒时，点代表的数为， 点代表的数为， ，； 由得， 解得或， 所以或4． （3）解：或 点运动到的时间：秒． 当时，点代表的数为，， 解得； 当时，点代表的数为，， 解得或. 点N运动3或15秒或33秒钟时，点N与点M之间的距离为9． 【变式16-1】如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．由题意可知，，，，得到，从而得出，则，再结合的值固定不变，得到，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ，， ， ， ， ， 、运动过程中的值固定不变， ， ， ， 故选：C 【变式16-2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是、、8、16，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以1个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点C的距离相等． 【答案】11或40 【分析】设运动时间为秒，分，，和，四种情况分类讨论，求解即可。 【详解】解：由题意，得：，，， 点从点运动到点所用的时间为：秒； 从点运动到点所用的时间为：秒； 从点运动到点所用的时间为：秒； 点从点运动到点所用的时间为：秒； 从点运动到点所用的时间为：秒； 从点运动到点所用的时间为：秒； 设运动时间为秒时，P、Q两点到点C的距离相等， ①当时，依题意，得： ， 解得（舍去）； ②当时，依题意，得： ， 解得； ③当时，依题意，得： ， 解得（舍去）； ④当时，依题意，得： ， 解得． 故运动时间为11或40秒时，P、Q两点到点C的距离相等． 故答案为：11或40． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，正确的列出方程，是解题的关键． 【变式16-3】（25-26七年级上·山东济南·期中）我们知道：如果A 、B两点在数轴上对应的数分别为、，C为线段的中点，则点C在数轴上对应的数x可以表示为，已知M、N两个点对应的数分别为和2． (1)如图1，两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，M、N的速度分别每秒4个单位长度和2个单位长度，若t秒后它们之间的距离为15个单位长度，求t的值； (2)如图2，两个点出发沿着数轴运动，点M比点N晚出发1秒，点M向右运动，点N向左运动，M、N的速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度，求点N出发几秒后“”为的中点； (3)如图3，三个定点P 、Q、H在数轴上对应的数分别为、8和4，M、N两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度．当M到达点P时返回，N到达点Q时返回，直到M、N相遇时停止运动，且 M返回时速度变为每秒2个单位长度，N返回时速度变为每秒1个单位长度．在M、N出发的同时，动点K也从点P出发沿着数轴以4个单位每秒的速度向右运动，到H点时停止运动，求M、N从开始出发到M、N相遇的整个运动过程中，M、N、K其中一个点分别为另外两个点为端点的线段中点时对应的时间t（写出计算过程）． 【答案】(1) (2) (3)或或 10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可得：点 M，N 对应的数是，，再根据t 秒后它们之间的距离为 15 个单位长度，列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）由题意可得点 M，N 对应的数是，，再根据“”为的中点列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）当时，点M，N，K对应的数是，，，根据题意列出一元一次方程，解方程即可；之后点K在H处，点N返回，点M继续向P点运动，当点M与点P重合时，点N返回并与点H重合，点M，N继续运动所对应的数是，，同理列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：点M，N对应的数是，， 则：， 解得：； （2）解：由题意可得：点M，N对应的数是，， 当时，两点都在表示的点右边，此时不可能“”为的中点，故， 则 ∴． ∴点N出发6秒后“”为的中点； （3）解：当时，点M，N，K对应的数是，，， 当点M是中点时，， ∴； 当点K时中点时，， ∴． 之后点K在H处，点N返回，点M继续向P点运动，当点M与点P重合时，点N返回并与点H重合， 点M，N继续运动所对应的数是，， 当点N为中点时，， ∴， ∴． 所以或或 10． 【题型17 含绝对值的代数式化简求值】 【例17】（25-26七年级上·广东广州·期中）阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）（2）（3），从而化简代数式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解． 【答案】(1)和的零点值分别是和 (2)当时，；当时，；当时， (3)整数解为，，，，，， 【分析】本题考查了化简含有绝对值的代数式，解题的关键是理解材料内容； （1）根据材料例题进行操作即可； （2）利用分内讨论的思想，当时；当时，；当时，进行讨论； （3）先求出，再取整数解即可． 【详解】（1）解：， ，， 和； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； （3）解：， ， 整数解为：，，，，，，． 【变式17-1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴可得，，，，根据负数的绝对值等于它的相反数去绝对值符号，合并同类项即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴ ． 【变式17-2】（25-26七年级上·广东茂名·期中）我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“>”、“<”或“=”填空， ______0，______0，______0， (2)化简：． (3)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：______． 【答案】(1)>，<，< (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，数轴与有理数，解题的关键是熟练掌握绝对值的化简． （1）根据数轴可得且，即可判断所求式子的正负； （2）根据绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可； （3）根据，，可知，，中一正两负或两正一负，据此化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：且， ，，， 故答案为：，，； （2）解：，，， ； （3）解：，， 当，，中一正两负时，； 当，，中两正一负时，， 综上所述，． 故答案为：． 【变式17-3】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“”、“”或“”填空， _____0，______0，_______0， 化简：． (2)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，有理数的运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的化简； （1）根据数轴可得，即可判断所求式子的正负，再化简绝对值即可； （2）由得，原式可化为：，根据，，可知x，y，z中一正两负或两正一负，据此化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：， ， 故答案为：， ， ； （2）解：， ， ， ，， 当x，y，z中一正两负时，， 当x，y，z中两正一负时，， 综上所述，的值为：． 【题型18 有理数大小比较的实际应用】 【例18】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）2025年9月3日是中国人民抗日战争胜利80周年，为了保障天安门广场阅兵顺利进行，检修小组在一条直路上检修线路．连续5天，第一天开始检修前的里程数为，5天内每天检修结束后的行车里程表上显示的数字（单位：）依先后次序如下：10530，10568，10591，10615，10650． (1)这五天里，哪天的行驶路程最多？ (2)若每千米耗油，这辆车这5天共耗油多少升？ 【答案】(1) 第二天的行驶路程最多 (2) 这辆车这5天共耗油 【分析】（1）计算每日行驶路程，比较大小即可得出结果； （2）先求5天总行驶路程，再乘每千米耗油量即可得到总耗油量． 【详解】（1）解：分别计算五天的行驶路程： 第1天：； 第2天：； 第3天：； 第4天：； 第5天：； ∵， ∴第二天的行驶路程最多； （2）解：5天总行驶路程：， 总耗油量：． 答：这辆车这5天共耗油． 【变式18-1】（25-26七年级上·四川成都·期中）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市 ____ 代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上）． 【答案】C 【分析】本题考查正数与负数，根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】若以24小时制计时间， 第一个表的时间为8点或20点， 第二个表的时间为9点或21点， 第三个表的时间为4点或16点， 第四个表的时间为3点或15点， 第五个表的时间为6点或18点， 因为悉尼时间比北京时间多2个小时，所以北京的时间只可能是4点或16点，此时E是悉尼，A是伦敦，B是罗马，D是纽约． 故答案为：C． 【变式18-2】（25-26七年级上·安徽·期中）小明在数学课堂上学习了可以用正数和负数来表示意义相反的量，于是他放学乘坐公交车回家时， 尝试用此方法记录公交车在某些站点上下车的人数，其中上车人数记为“”，下车人数记为“”． 已知公交车从A站出发时，车上连同司机和小明在内共有34人，小明记录了后续5个站点B，C，D，E，F的上下车人数情况，并整理成下列表格． B站 C站 D站 E站 F站 请你根据以上信息回答下列问题： (1)公交车刚行驶到达C 站时，车上共有多少人？（还未上下车） (2)若公交车的核载人数（包括司机在内的最大载客量）是48人，请通过计算说明公交车在B站与F站之间的行驶途中是否有超载行为． 【答案】(1)共有37人 (2)公交车在B站与F站之间的行驶途中没有超载行为，理由如下： 公交车从B站行驶到C 站的途中，车上有（人）； 从C站行驶到D站的途中，车上有（人）； 从D 站行驶到E 站的途中，车上有（人）； 从E站行驶到F 站的途中，车上有（人）， 行驶途中的最大乘载人数是45人，， 所以公交车在B站与F 站之间的行驶途中没有超载行为． 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的实际应用． （1）用总人数加上在B站上下车人数即可得出答案． （2）分别计算出各站的人数，然后和48相比即可得出答案． 【详解】（1）解：（人）， 则公交车刚行驶到达C站时，车上共有37人； （2）略 【变式18-3】（25-26七年级上·陕西西安·期中）批发商王老板于上周一收购一批农产品10000千克，收购价为每千克3.2元，周二开始进入批发市场后共占5个摊位进行销售，每个摊位最多能容纳该农产品2000千克，每个摊位的市场管理费为每天20元．该农产品上周一的批发价为每千克3.4元，下表为上周该农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况．（涨记为正，跌记为负） 星期 二 三 四 五 六 与前一天相比价格的涨跌情况（元） 当天的交易量（千克） 2500 2000 3000 1500 1000 (1)星期五该农产品批发价格为每千克多少元？ (2)王老板销售该农产品的最高价格是每千克多少元？最低价格是每千克多少元？ (3)王老板在销售过程中采用逐步减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，这样他在上周的买卖中共赚了多少钱？ 【答案】(1)星期五该农产品批发价格为每千克4元 (2)最高价格是每千克4元，最低价格是每千克3.5元 (3)王老板在上周的买卖中共赚了5050元 【分析】本题考查了农产品销售利润问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，浮动价格，收购成本，隐性成本，是解题的关键． （1）价格基准：周一的批发价为每千克3.4元，后续每天价格根据 “涨跌情况” 累积变化，计算逻辑为 “前一天价格 + 当日涨跌额” （2）先计算出每天的实际批发价，再对比筛选，对比所有价格：3.4（一）、3.7（二）、3.6（三）、3.8（四）、4.0（五）、3.5（六）最高价格为每千克 4.0 元（星期五），最低价格为每千克 3.4 元（上周一）； （3）利润核算公式：净利润=总销售额-总收购成本-总摊位管理费，需先明确关键数据． 【详解】（1）解：元． 所以星期五该农产品批发价格为每千克4元． （2）解：星期二的价格是元， 星期三的价格是元， 星期四的价格是元， 星期五的价格是4元， 星期六的价格是元． 所以最高价格是每千克4元，最低价格是每千克3.5元． （3）解： 元． 所以王老板在上周的买卖中共赚了5050元． 【题型19 数轴上分类讨论确定点的位置】 【例19】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“唯美点”例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为0，2，3，此时点B是点A，C的“唯美点”． (1)若点A表示的数为，点B表示的数为3，下列各数，，5，7所对应的点分别为，，，，其中是点A，B的“唯美点”的是 ； (2)点A表示的数为a（a为整数），点B表示的数为，点T是数轴上的一个动点，对应的数用t表示若，且点A、B、T中有一个点恰好是其他两个点的“唯美点”，则满足条件的t的值有 个，其中非整数t的值为 （用含有a的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)6，或或或 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式分别求出点A和点B到，，，四个点的距离，再根据“唯美点”的定义判断即可； （2）先求出，，，再分三种情况：当A是B、T的“唯美点”时，当B是A、T的“唯美点”时，当T是A、B的“唯美点”时，根据“唯美点”的定义建立方程分别求解，最后，得到非整数t的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得，，，， ，，，， ∴，， ∴，是点，的“唯美点”； （2）解：由题意，得，，， 当A是B、T的“唯美点”时，则或， ∴或， ∴或； 当B是A、T的“唯美点”时，则或， ∴或， ∴或．   ∴或或或(舍去)； 当T是A、B的“唯美点”时，则或， ∴或， ∴或， ∴或(舍去)或或， 综上，或或或或或， ∴t的值一共有6个，其中非整数t的值为或或或． 【点睛】掌握两点间的距离公式及“唯美点”的定义，能得出，，，再分三种情况：当A是B、T的“唯美点”时，当B是A、T的“唯美点”时，当T是A、B的“唯美点”时，进行“分类讨论”是解决问题的关键． 【变式19-1】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与线段结合的题型，解题的关键是列出这三条线段所有可能排列的顺序．首先根据三条线段的长度之比求出三条线段的长度，列出所有可能的情况，分情况求出折痕处对应的数． 【详解】解：当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、：， 折痕对应的点所表示的数为：； 综上所述，点所表示的数不可能是． 故选：D． 【变式19-2】（25-26七年级上·江苏南京·期中）一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是__________． 【答案】20或25 【分析】本题考查了探索数字规律，找到规律是解题的关键；依次计算出前几次跳动后表示的数，归纳出规律即可求解． 【详解】解：第1次跳动后表示的数为，； 第2次跳动后表示的数为，； 第3次跳动后表示的数为，； 第4次跳动后表示的数为，； 第5次跳动后表示的数为，； 第6次跳动后表示的数为，； 第7次跳动后表示的数为，； …… 一般地：第次跳动后表示的数为，第次跳动后表示的数为， 当时， 解得， 即第次跳动后的数为，距离原点23个单位长度； 当时， 解得， 即第次跳动后的数为，距离原点23个单位长度； 综上，当电子跳蚤第20次或第25次跳动后到原点的距离为23个单位长度； 即n的值为20或25； 故答案为：20或25． 【变式19-3】（25-26七年级上·北京·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数1，点B表示的数3，下列各数，2，4，5所对应的点分别，，，，其中是点A，B的“联盟点”的是 ； (2)点A表示数，点B表示的数20，P为数轴上一个动点． ①若点P在点A与点B之间，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数 ． 【答案】(1)， (2)①点P表示的数为10或0；②50或35或80 【分析】（1）根据“联盟点”的定义，分别求出两点之间的距离，然后再进行判断即可； （2）①根据点所处的位置，由不同的线段的倍数关系求出答案即可； ②分三种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：，，， 故符合题意； ， 故不符合题意； ，， 故不符合题意； ，，， 故符合题意； 综上所述，是点A，B的“联盟点”的是，； （2）解：①设点P表示的数为x， ∵P在点A与点B之间， ∴，， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，点P表示的数为10或0； ②设点P表示的数为x， ∵点P在点B的右侧， ∴，， 当P为A、B联盟点时：设点P表示的数为x， ∴， 解得， 即此时点P表示的数为50； 当A为P、B联盟点时：设点P表示的数为x， ∵， ∴， 解得， 即此时点P表示的数为50； 当B为A、P联盟点时：设点P表示的数为x， ∵， ∴， 解得， 即此时点P表示的数为35； 当B为P、A联盟点时：设点P表示的数为x， ∵， ∴， 解得， 即此时点P表示的数为80； 综上所述，点P表示的数是50或35或80． 【题型20 绝对值与数轴综合求最值】 【例20】（25-26七年级上·广东东莞·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，点到点的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示．已知点，，在数轴上表示的数分别是1，，，则． 请结合数轴，用上面的知识解答下面的问题： 【发现问题】 (1)①若将数轴折叠，使表示数2的点与表示数的点重合，则此时点与表示数__________的点重合； ②数轴上，与点的距离为3的点表示的数是__________． 【探究问题】 (2)①若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是__________； ②在①的情况下，若此数轴上，两点间的距离为2000（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求，两点表示的数． ③在②的情况下，在数轴上找到一点，当时，求点表示的数． (3)已知数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使得点与点重合，则，两点表示的数分别是__________，__________，（用含，的代数式表示） 【答案】(1)①②或4 (2)①②E点表示的数为，F点表示的数为999③点G表示的数为或1011.5 (3)， 【分析】（1）①求出折痕表示的数即可解答； ②根据数轴上的两点距离可进行求解； （2）①由点A与点C重合可知折叠点表示的数为，然后由此可求解问题； ②由①可知折叠点表示的数为，则可知到E、F的距离都为1000，进而问题可求解； ③根据列出方程，求解方程可得出x的值． （3）由题意可知表示数n的点到P、Q两点的距离都为，然后问题即可求解． 【详解】（1）解：∵表示数2的点与表示数的点重合， ∴折痕点表示的数为； ∵点表示的数为1， ∴点与表示数的点重合； ②这个数为或； （2）解：①由题意可得：折叠点对应的数为：， ∴与B点重合的点表示的数是：； ②由①得折叠点对应的数为：， ∴E点表示的数为：，F点表示的数为：． ③∵，设点G表示的数为x， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上所述，点G表示的数为或1011.5． （3）解：由题意可得：表示数n的点到P，Q两点的距离都为， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为． 【变式20-1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据 的值始终保持不变，可知，所以可得：，又因为，可得：，等式两边同时除以即可得到． 【详解】解： 的值始终保持不变， ， ， 又 ， ， ． 故选：A． 【变式20-2】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，在数轴上，点表示，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达，第三次将点向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，给出以下结论：①表示5；②；③若点到原点的距离为15，则； ④当为奇数时，；以上结论正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】先根据数轴的定义分别求出点表示的数，再归纳类推出一般规律，然后逐个判断即可得． 【详解】由题意，点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， 归纳类推得：当n为奇数时，；当n为偶数时，，其中n为正整数， 则表示的数为5，结论①正确； ，， ，则结论②错误； 当n为奇数时，， 当n为偶数时，，解得， 即若点到原点的距离为15，则或，结论③错误； 当为奇数时，， ， ， ， ， ， 即当为奇数时，，结论④正确； 综上，结论正确的是①④， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、有理数的乘方、一元一次方程的应用，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【变式20-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）我们知道，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，如图，点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为，根据以上内容解决问题： (1)若数轴上两点，表示的数为和，则，两点之间的距离可用含的式子表示为_____； (2)若，分别表示，点在数轴上对应的数． ①的最小值为_____； 此时的最大值为_____； ②若，求的最大值． (3)点，在数轴上对应的数为和，为原点，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点在点，之间，点在点，之间），运动时间为，点运动到点时，点立即停止运动；点为点，之间一点，且满足，若在点，N运动过程中，点到点的距离总为一个固定的值，求的值． 【答案】(1) (2)①；；② (3) 【分析】（1）根据题意中的数轴上两点之间距离公式即可列出代数式； （2）①根据绝对值的意义可得表示数轴上表示数的点到表示数和表示数的点的距离之和，即可得的取值范围及的最小值； ②先确定中的取值范围及最小值、中的取值范围及最小值，结合，即可得取最小值，取最小值时，方程成立，即，，从而得出当取最大值，取最大值时，最大，代入数值即可求出最大值； （3）根据题意可得，，可得，根据，可求出，进而得出，根据点运动过程中为一个固定的值，得到，由，即可得出结论。 【详解】（1）解：∵点，在数轴上分别对应的数为，时，，两点间的距离表示为， ∴若数轴上两点，表示的数为和，则，两点之间的距离为， 故答案为：； （2）解：①∵表示数轴上表示数的点到表示数和表示数的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为：，此时的最大值为， 故答案为：；； ②由①的方法可知： 当时，有最小值为：， 当时，有最小值为：， ∵， ∴当取最小值，取最小值时，， 此时，， ∴当取最大值，取最大值时，最大，最大值为：； （3）解：根据题意可得： 点的路程为：，点的路程为：，且， 又∵点，在数轴上对应的数为和， ∴， ∵点在点，之间，且， ∴， ∴， ∵点到点的距离总为一个固定的值，即总为一个固定的值， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查数轴上两点之间距离的计算，绝对值的意义，代数式及求代数式的值，整式的混合运算等知识的综合，理解整式的基础知识，掌握两点之间距离的计算，整式的混合运算法则是解题的关键． 【题型21 结合相反数与绝对值的综合】 【例21】（25-26九年级下·重庆丰都·阶段检测）已知，对多项式任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含减法运算，称这种操作为“绝对领域”，例如：， 等，下列相关说法正确的个数是（    ） ①一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果为非负数；②一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果与原式互为相反数；③进行“绝对领域”操作后的式子化简的结果可能有11种结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据 ，“绝对领域”可理解为任意加了绝对值后，符号内外仍是大的数减小的数，因此符号不会因添加了绝对值而改变． 【详解】解：①因为，只需给添加绝对值即：，可得式子结果一定为非负数，故①正确； ②原式的相反数为，由于，故不可能得到，故②错误； ③，可得：与的符号不变，，，符号会发生变化，举例法得到化简后的结果为： ，，， ，，，，共计8种，故③错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，整式的加减计算，弄清定义，按规律分类讨论是解题的关键． 【变式21-1】（25-26七年级上·北京·期中）已知a，b为有理数，下列说法： ①若a，b互为相反数，则； ②若，则； ③若，且，则； ④若，，则； ⑤若，则． 其中正确的有_______（请填序号）． 【答案】②③ 【分析】对于①，当时，分式无意义，即可判断答案； 对于②，化简得，根据绝对值的非负性即可判断答案； 对于③，分别判断a，b的符号即可； 对于④，先判断a，b的符号，得出，即可判断答案； 对于⑤，分四种情况讨论a，b的符号及a，b的大小，即可判断答案． 【详解】解：对于①，若a，b互为相反数，则，当时，，但b可能为0，此时分式无意义，故①错误； 对于②，由，得，根据绝对值的非负性，有，即，故②正确； 对于③，由知a，b异号，又且，则a为负，b为正，且，故③正确； 对于④，由知a，b同号，又，则a，b均为负，所以，故，故④错误； 对于⑤，由，分四种情况讨论， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 综上说述，若，则，故⑤错误； 所以正确的有②③． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了相反数的定义，带有字母的绝对值化简，有理数的加减运算,有理数的乘法运算,用分类讨论的方法来接绝对值的问题是解本题的关键． 【变式21-2】（25-26七年级上·北京海淀·阶段检测）对于三个互不相等的数，先对任两个数的差求绝对值，再求这三个绝对值的和，这样的运算称为的“差绝对值运算”． 例如，对于，2，3进行“差绝对值运算”，得到：． ①对，3，进行“差绝对值运算”的结果是16： ②若，都为整数，对于进行“差绝对值运算”的结果为8，则满足条件的值只有3个； ③对于，，的“差绝对值运算”的结果化简，可能存在8种不同的表达式． 以上说法中正确的是___________（填序号） 【答案】① 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，绝对值的意义，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．对每个选项，利用“差绝对值运算”列出算式，再利用绝对值的意义化简运算，最后作出判断即可． 【详解】解：①对，3，进进行“差绝对值运算”的结果是： ， ①的说法正确； ②对于a、b、c进行“差绝对值运算”的结果为：， ， . 对于a、b、c进行“差绝对值运算”的结果为8， ， ． ②的说法错误； ③对于，，的“差绝对值运算”的结果为： ． 当x≤0时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上，对于，，的“差绝对值运算”的结果化简，可能存在4种不同的表达式， ③的说法错误． 故答案为：①． 【变式21-3】（25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）在式子（其中）中，任选两个字母，在这两个字母及它们之间的部分两侧加绝对值后再去掉绝对值并化简（不改变字母的位置），称为第一轮“绝对操作”．例如，选择，进行第一轮“绝对操作”，得到，再对第一轮“绝对操作”后得到的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，例如，选择，进行第二轮“绝对操作”，得到，…，按此方法，进行轮“绝对操作”．对原式子进行第一轮“绝对操作”后，则有___________种不同的结果；若对原式子进行四轮“绝对操作”，且每轮操作中绝对值里只含两个字母，则有___________种不同的结果． 【答案】 6 【分析】根据新定义“绝对操作”的规则，结合绝对值的化简，按顺序枚举所有操作后的不同结果，统计数量即可． 【详解】解：先计算第一轮“绝对操作”的结果数量： 原式子为，，从个字母中任选个加绝对值，共种选法，分别化简： ①选：； ②选：，当时结果为，与上述结果重复，当时结果为，得到新结果； ③选：，与第一个结果重复； ④选：，当时结果为（新结果），当时结果为（新结果）； ⑤选：，得到新结果； ⑥选：，与第一个结果重复； 综上，第一轮共得到种不同结果； 接下来计算四轮每轮绝对值含两个字母的不同结果： 第一轮操作：； 或； ； ∴第一轮操作后，得到种不同结果：，，； 第二轮操作：对于仍然有3种结果：，，； 对于：， ， ； 对于：， 或， ， ∴第二轮操作后，共得到种不同结果：，，，； 第三轮操作：对于，，，最终结果仍为4种， 对于：， ， ， ∴第三轮操作后，共得到种不同结果：，，，，； 第四轮操作：对于，，，，最终结果仍为5种， 对于：， 或， ， ∴第四轮操作后，共得到6种不同结果：，，，，，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 有理数（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材人教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 用正负数表示相反意义的量】 1 【题型2 判断一个数是正数或负数】 1 【题型3 求一个数的相反数】 2 【题型4 求一个数的绝对值】 2 【题型5 在数轴上表示有理数】 3 【题型6 比较两个有理数的大小】 3 【题型7 判断有理数的分类归属】 3 【进阶拔高】 4 【题型8 化简含多重符号的表达式】 5 【题型9 利用数轴比较多个数的大小】 5 【题型10 求数轴上两点之间的距离】 5 【题型11 根据绝对值求未知数的值】 6 【题型12 正负数在实际问题中的应用】 7 【题型13 绝对值的非负性求未知数】 7 【题型14 利用相反数求代数式的值】 8 【创新思辨】 8 【题型15 绝对值几何意义求最值】 9 【题型16 数轴上动点与距离综合问题】 9 【题型17 含绝对值的代数式化简求值】 10 【题型18 有理数大小比较的实际应用】 11 【题型19 数轴上分类讨论确定点的位置】 12 【题型20 绝对值与数轴综合求最值】 14 【题型21 结合相反数与绝对值的综合】 15 【夯实基础】 【题型1 用正负数表示相反意义的量】 【例1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果风车顺时针旋转记作，那么表示（     ） A．减少 B．旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）在下列选项中，是具有相反意义的量的是(　　) A．收入20元与支出30元 B．2个苹果和2个梨 C．走了100米与跑了100米 D．向东走30米和向北走30米 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）李白出生于公元701年，我们记作+701，那么秦始皇出生于公元前259年，可记作（　　） A．259 B．﹣960 C．﹣259 D．442 【变式1-3】（25-26七年级上·福建福州·期末）七年级学生小宇记录自己的零花钱收支情况，规定零花钱收入为正．若他周末通过做家务获得零花钱25元，记作元，则周一用零花钱购买学习文具花去元，记作______． 【题型2 判断一个数是正数或负数】 【例2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在、，，，0，，中负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（25-26七年级上·全国·期末）把下列各数填入相应的集合：，0，，，5，，1.2 正数集合：｛________｝；负数集合：｛________｝；整数集合：｛________｝． 【变式2-2】（25-26六年级上·山东泰安·期末）下列说法正确的是（    ） A．0是正数 B．0是负数 C．0既不是正数也不是负数 D．0既是正数也是负数 【变式2-3】（25-26七年级上·广西梧州·期末）在数中，正数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3 求一个数的相反数】 【例3】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列各数中，与互为相反数的是（     ）． A．3 B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级下·重庆·期末）的相反数是（     ） A． B． C． D．2 【变式3-2】（25-26七年级上·福建漳州·期末）两个有理数的和为，其中一个数是，则另一个数是(    ) A． B． C． D． 【变式3-3】（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）已知与的和为，与互为相反数，若，则______． 【题型4 求一个数的绝对值】 【例4】（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各数中，绝对值最小的数是（     ） A．−3 B． C．0 D．1 【变式4-1】（2026·江苏连云港·二模）下列实数中，是的绝对值的是（     ） A．2026 B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级上·山东聊城·期末）下列数中离原点距离最近的是（   ） A． B．3.5 C． D． 【变式4-3】（25-26七年级下·广东江门·期末）已知（是整数），则的所有可能值中，最大值是______． 【题型5 在数轴上表示有理数】 【例5】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（     ） A．0.5 B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级上·四川广安·期末）在数轴上与表示的数相距2020个单位长度的点对应的数是_____． 【变式5-2】 （25-26七年级上·广东广州·期末）如图，四个有理数在数轴上对应的点分别为，若，则四个数中是负数的有__________个． 【变式5-3】（25-26七年级上·江西上饶·期末）小明将画在纸上的数轴上对折，把表示的点与表示的点重合．此时与表示的点重合的数是______． 【题型6 比较两个有理数的大小】 【例6】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）比较大小________（填“<”“＝”或“>”） 【变式6-1】（24-25七年级上·河北唐山·期末）下列各数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26七年级上·湖北黄冈·期末）比较大小：______．（填“＞”或“＝”或“＜”） 【变式6-3】（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）表示不超过x的最大整数，如，，则______． 【题型7 判断有理数的分类归属】 【例7】（25-26七年级上·河北廊坊·期中）有下列结论：①绝对值等于它本身的有理数是正数；②相反数等于它本身的有理数只有零；③一定是负数；④一个有理数不是整数就是分数．其中错误的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-1】（24-25七年级上·四川眉山·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： 5，，，，，0，，，（每两个1之间逐次增加一个0）． 正数集：﹛______…﹜； 非负整数集：﹛______…﹜； 负分数集：﹛______…﹜； 有理数集：﹛______…﹜． 【变式7-2】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）下列说法中： ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥是无限不循环小数，所以不是有理数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数． 其中错误的说法的个数为（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式7-3】（25-26七年级上·贵州·期末）把下列各数对应的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨． (1)有理数集合：{______ …}； (2)非正整数集合：{_______ …}； (3)正分数集合：{_______…}． 【进阶拔高】 【题型8 化简含多重符号的表达式】 【例8】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简_______． 【变式8-1】（25-26七年级上·全国·单元测试）化简：________，________，________． 【变式8-2】（25-26七年级上·甘肃武威·阶段检测）若，则的相反数是________． 【变式8-3】（24-25七年级上·山西晋城·阶段检测）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2024个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【题型9 利用数轴比较多个数的大小】 【例9】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）有理数在数轴上的对应点位置如图所示.五个数中最大的是_____. 【变式9-1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的数是_____ ． 【变式9-2】（25-26六年级下·上海·期中）在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，． 【变式9-3】（25-26七年级上·四川乐山·期末）已知有理数、在数轴上对应点的位置如图所示． (1)在数轴上标出、对应的点，并将、、、用“”连接起来； (2)化简：． 【题型10 求数轴上两点之间的距离】 【例10】若，且，则在数轴上表示，两数的对应点的距离为____． 【变式10-1】（26-27七年级上·浙江·开学考试）对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（     ）． A．与3相比，点M表示的数离0更近 B．和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负整数 【变式10-2】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（     ） A． B． C．或5 D．或3 【变式10-3】（24-25七年级上·云南·单元测试）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等．已知点表示，点表示． (1)表示原点的是点_______，点表示的有理数是_______； (2)数轴上有两点，，点到点距离为个单位长度，点到点距离为个单位长度，则点，之间的距离为多少？ (3)点为数轴上一点，且表示的数是整数，点到点的距离与点到点的距离之和是，则这样的点共有几个？ 【题型11 根据绝对值求未知数的值】 【例11】（25-26七年级上·江西赣州·期中）三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“友好三点”．若数轴上三个不重合的点，点表示的数是，点表示的数是，则“友好三点”中的点所对应的数为___________． 【变式11-1】在数轴上点表示的数为，点表示的数为3，点在数轴上，且，则点表示的数为（   ） A． B．4 C．或4 D．或-5 【变式11-2】（25-26七年级上·全国·期末）若，则x的值是（    ）． A．6 B． C．6或 D．不确定 【变式11-3】（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知实数，满足，，则的值为__________． 【题型12 正负数在实际问题中的应用】 【例12】（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）下面是某小学一（5）班5名同学的体重： 姓名 李强 张云 赵冬 汪兵 陈红 体重 如果把他们的平均体重记作，那么张云的体重记作__________，李强的体重记作__________． 【变式12-1】（26-27七年级上·河南开封·开学考试）2000年，国际乒联特别大会和代表大会在吉隆坡通过了大球改革方案，决定从悉尼奥运会之后，乒乓球比赛将使用直径，质量的大球，以下质量不合格的是（    ）． A．2.88 B．2.52 C．2.70 D．2.51 【变式12-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）某运动队队员的平均身高是．下表给出了该运动队6名队员的身高情况（单位：）． 队员 A B C D E F 身高 179 174 182 身高与平均身高的差 0 (1)试完成上表． (2)这6名队员中谁最高，谁最矮？ (3)这6名队员中，最高与最矮的队员身高相差多少？ 【变式12-3】（26-27七年级上·湖北·开学考试）火车票儿童票价标准：随同成年人旅行，身高米的儿童，享受半价优惠．王老师带数学小组的8名同学从武穴出发到黄冈参加数学竞赛．以米为标准，超出记作“”，不足记作“”，记录数学小组8名同学的身高情况如下表． 学生 身高 (1)数学小组最高的身高是(　　　　)米，最低的身高是(　　　　)米． (2)不能购买儿童票的学生人数占数学小组总人数的百分之几？ (3)如果从武穴到黄冈的全价车票是44元，那么购票需要多少钱？ 【题型13 绝对值的非负性求未知数】 【例13】（25-26七年级上·全国·期末）方程，且，则的值为（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式13-1】（25-26七年级上·贵州安顺·期末）下列代数式中，一定是正数的是（    ）． A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26六年级上·四川成都·期末）若，那么等于（　　） A．4 B． C．2 D． 【变式13-3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）若、为整数，且，则的值可能的结果是（） A．4 B．4或5 C．4或5或7 D．4或5或7或8 【题型14 利用相反数求代数式的值】 【例14】（25-26七年级上·山东德州·期中）若，互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26七年级上·山西运城·期末）若，互为相反数，则的值为__________． 【变式14-2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）已知、互为倒数，、互为相反数，是绝对值最小的数，是最大的负整数，则______． 【变式14-3】（25-26六年级上·山东济宁·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”．若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，则代数式的值________． 【创新思辨】 【题型15 绝对值几何意义求最值】 【例15】（25-26七年级上·湖南郴州·期中）若为有理数，已知，则的最小值为___________． 【变式15-1】（25-26七年级上·北京·期末）在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则M，N两点间的距离可表示为：．如图，点A，B，C分别表示，2，5，点P为数轴上任意一点，若，则下列结论中正确的是（    ） A．d的最大值为6 B．d的最大值为3 C．d的最小值为 D．d的最小值为 【变式15-2】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【变式15-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ； （2）若，，且数a、b在数轴上表示的点分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ； （3）求代数式的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ （4）若x表示一个有理数，则代数式有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 【题型16 数轴上动点与距离综合问题】 【例16】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为和12，（规定：数轴上两点之间的距离用两个大写字母表示．例如：点A与点B之间的距离记为），点M从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点N同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)当时，数轴上的点M、N表示的数分别是_______和______；当点M运动到点A时，MN的值为______； (2)在运动过程中是否存在时间t，使得，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． (3)若点M一直沿数轴负方向运动，点N运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，问点N运动几秒钟时，点N与点M之间的距离为9？ 【变式16-1】如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式16-2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是、、8、16，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以1个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点C的距离相等． 【变式16-3】（25-26七年级上·山东济南·期中）我们知道：如果A 、B两点在数轴上对应的数分别为、，C为线段的中点，则点C在数轴上对应的数x可以表示为，已知M、N两个点对应的数分别为和2． (1)如图1，两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，M、N的速度分别每秒4个单位长度和2个单位长度，若t秒后它们之间的距离为15个单位长度，求t的值； (2)如图2，两个点出发沿着数轴运动，点M比点N晚出发1秒，点M向右运动，点N向左运动，M、N的速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度，求点N出发几秒后“”为的中点； (3)如图3，三个定点P 、Q、H在数轴上对应的数分别为、8和4，M、N两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度．当M到达点P时返回，N到达点Q时返回，直到M、N相遇时停止运动，且 M返回时速度变为每秒2个单位长度，N返回时速度变为每秒1个单位长度．在M、N出发的同时，动点K也从点P出发沿着数轴以4个单位每秒的速度向右运动，到H点时停止运动，求M、N从开始出发到M、N相遇的整个运动过程中，M、N、K其中一个点分别为另外两个点为端点的线段中点时对应的时间t（写出计算过程）． 【题型17 含绝对值的代数式化简求值】 【例17】（25-26七年级上·广东广州·期中）阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）（2）（3），从而化简代数式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解． 【变式17-1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【变式17-2】（25-26七年级上·广东茂名·期中）我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“>”、“<”或“=”填空， ______0，______0，______0， (2)化简：． (3)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：______． 【变式17-3】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“”、“”或“”填空， _____0，______0，_______0， 化简：． (2)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：． 【题型18 有理数大小比较的实际应用】 【例18】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）2025年9月3日是中国人民抗日战争胜利80周年，为了保障天安门广场阅兵顺利进行，检修小组在一条直路上检修线路．连续5天，第一天开始检修前的里程数为，5天内每天检修结束后的行车里程表上显示的数字（单位：）依先后次序如下：10530，10568，10591，10615，10650． (1)这五天里，哪天的行驶路程最多？ (2)若每千米耗油，这辆车这5天共耗油多少升？ 【变式18-1】（25-26七年级上·四川成都·期中）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市 ____ 代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上）． 【变式18-2】（25-26七年级上·安徽·期中）小明在数学课堂上学习了可以用正数和负数来表示意义相反的量，于是他放学乘坐公交车回家时， 尝试用此方法记录公交车在某些站点上下车的人数，其中上车人数记为“”，下车人数记为“”． 已知公交车从A站出发时，车上连同司机和小明在内共有34人，小明记录了后续5个站点B，C，D，E，F的上下车人数情况，并整理成下列表格． B站 C站 D站 E站 F站 请你根据以上信息回答下列问题： (1)公交车刚行驶到达C 站时，车上共有多少人？（还未上下车） (2)若公交车的核载人数（包括司机在内的最大载客量）是48人，请通过计算说明公交车在B站与F站之间的行驶途中是否有超载行为． 【变式18-3】（25-26七年级上·陕西西安·期中）批发商王老板于上周一收购一批农产品10000千克，收购价为每千克3.2元，周二开始进入批发市场后共占5个摊位进行销售，每个摊位最多能容纳该农产品2000千克，每个摊位的市场管理费为每天20元．该农产品上周一的批发价为每千克3.4元，下表为上周该农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况．（涨记为正，跌记为负） 星期 二 三 四 五 六 与前一天相比价格的涨跌情况（元） 当天的交易量（千克） 2500 2000 3000 1500 1000 (1)星期五该农产品批发价格为每千克多少元？ (2)王老板销售该农产品的最高价格是每千克多少元？最低价格是每千克多少元？ (3)王老板在销售过程中采用逐步减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，这样他在上周的买卖中共赚了多少钱？ 【题型19 数轴上分类讨论确定点的位置】 【例19】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“唯美点”例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为0，2，3，此时点B是点A，C的“唯美点”． (1)若点A表示的数为，点B表示的数为3，下列各数，，5，7所对应的点分别为，，，，其中是点A，B的“唯美点”的是 ； (2)点A表示的数为a（a为整数），点B表示的数为，点T是数轴上的一个动点，对应的数用t表示若，且点A、B、T中有一个点恰好是其他两个点的“唯美点”，则满足条件的t的值有 个，其中非整数t的值为 （用含有a的代数式表示）． 【变式19-1】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 【变式19-2】（25-26七年级上·江苏南京·期中）一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是__________． 【变式19-3】（25-26七年级上·北京·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数1，点B表示的数3，下列各数，2，4，5所对应的点分别，，，，其中是点A，B的“联盟点”的是 ； (2)点A表示数，点B表示的数20，P为数轴上一个动点． ①若点P在点A与点B之间，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数 ． 【题型20 绝对值与数轴综合求最值】 【例20】（25-26七年级上·广东东莞·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，点到点的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示．已知点，，在数轴上表示的数分别是1，，，则． 请结合数轴，用上面的知识解答下面的问题： 【发现问题】 (1)①若将数轴折叠，使表示数2的点与表示数的点重合，则此时点与表示数__________的点重合； ②数轴上，与点的距离为3的点表示的数是__________． 【探究问题】 (2)①若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是__________； ②在①的情况下，若此数轴上，两点间的距离为2000（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求，两点表示的数． ③在②的情况下，在数轴上找到一点，当时，求点表示的数． (3)已知数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使得点与点重合，则，两点表示的数分别是__________，__________，（用含，的代数式表示） 【变式20-1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式20-2】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，在数轴上，点表示，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达，第三次将点向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，给出以下结论：①表示5；②；③若点到原点的距离为15，则； ④当为奇数时，；以上结论正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【变式20-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）我们知道，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，如图，点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为，根据以上内容解决问题： (1)若数轴上两点，表示的数为和，则，两点之间的距离可用含的式子表示为_____； (2)若，分别表示，点在数轴上对应的数． ①的最小值为_____； 此时的最大值为_____； ②若，求的最大值． (3)点，在数轴上对应的数为和，为原点，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点在点，之间，点在点，之间），运动时间为，点运动到点时，点立即停止运动；点为点，之间一点，且满足，若在点，N运动过程中，点到点的距离总为一个固定的值，求的值． 【题型21 结合相反数与绝对值的综合】 【例21】（25-26九年级下·重庆丰都·阶段检测）已知，对多项式任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含减法运算，称这种操作为“绝对领域”，例如：， 等，下列相关说法正确的个数是（    ） ①一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果为非负数；②一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果与原式互为相反数；③进行“绝对领域”操作后的式子化简的结果可能有11种结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式21-1】（25-26七年级上·北京·期中）已知a，b为有理数，下列说法： ①若a，b互为相反数，则； ②若，则； ③若，且，则； ④若，，则； ⑤若，则． 其中正确的有_______（请填序号）． 【变式21-2】（25-26七年级上·北京海淀·阶段检测）对于三个互不相等的数，先对任两个数的差求绝对值，再求这三个绝对值的和，这样的运算称为的“差绝对值运算”． 例如，对于，2，3进行“差绝对值运算”，得到：． ①对，3，进行“差绝对值运算”的结果是16： ②若，都为整数，对于进行“差绝对值运算”的结果为8，则满足条件的值只有3个； ③对于，，的“差绝对值运算”的结果化简，可能存在8种不同的表达式． 以上说法中正确的是___________（填序号） 【变式21-3】（25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）在式子（其中）中，任选两个字母，在这两个字母及它们之间的部分两侧加绝对值后再去掉绝对值并化简（不改变字母的位置），称为第一轮“绝对操作”．例如，选择，进行第一轮“绝对操作”，得到，再对第一轮“绝对操作”后得到的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，例如，选择，进行第二轮“绝对操作”，得到，…，按此方法，进行轮“绝对操作”．对原式子进行第一轮“绝对操作”后，则有___________种不同的结果；若对原式子进行四轮“绝对操作”，且每轮操作中绝对值里只含两个字母，则有___________种不同的结果． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $