精品解析：四川省南充市部分校2025-2026学年九年级上学期初中毕业班第一次调研联考数学试题

2023级初中毕业班第一次调研测试数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，仅将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转，得到，若点A的对应点D恰好在BC的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 3 4. 如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 5. 将抛物线先向右平移4个单位长度后，接着再向上平移2个单位长度，得到新抛物线，则的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 12 6. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块，面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？若设正方形田的边长为x，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若m，n是方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 8. 如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知：点在直线上，抛物线上两点，，点B在C的左侧，令，若，，则w的取值范围是（） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点M为外部一点，，，则线段长度的最小值是（ ） A. 8 B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 11. 二次函数的最大值是______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为坐标原点O，点B，点E均在x轴上，若点A的坐标为，则点D的坐标为______． 13. 已知，则的值为_______． 14. 如图，是的直径，点C，D均在上，过点C作的切线交的延长线于点P，连接．若，则的度数为______． 15. 如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，延长交于点F，则的长为______． 16. 如图，已知，，抛物线与x轴交于C，D两点，点C在D点左侧，当抛物线顶点M在线段上移动时，点C的横坐标最小值为．设的最大值为m，最小值为n，则的值为______． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，在中，，，于D，于E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 某校为了解九年级学生对化学实验操作的掌握情况，对九年级600名学生进行了化学实验操作测试，从中随机抽取了部分学生的成绩进行整理、描述和分析（测试满分为100分，学生成绩x均为不小于60分的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：，部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生成绩为C等级的有______人，并补全频数分布直方图； （2）所抽取的学生成绩的中位数为______； （3）试估计该校九年级学生中化学实验操作测试成绩为A等级的人数． 20. 关于x的一元二次方程． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程有一个根不小于3，求k的取值范围． 21. 如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C、，连接． （1）求k、b的值； （2）点是线段上的一动点，点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），求m的取值范围． 22. 如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，平分． （1）求证：是的切线； （2）点为边上一点，且，若，，求的半径长． 23. 某科技公司研发了一款新型智能手表在市场上很受欢迎，该公司某专卖店根据市场调查发现：这款智能手表每天销售数量y（块）与每块销售单价x（元）的关系满足一次函数，每块智能手表各项成本合计为元．设专卖店销售这款智能手表每天获利w元． （1）若该专卖店某天销售这款智能手表获利元，求销售单价x的值； （2）当销售单价x定为多少元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大？最大利润为多少元？ （3）临近新品发布会，若该专卖店决定每块降价a（）元，此时销售量仍为个，当每天的销售量不低于块时，为了确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大，求a的取值范围． 24. 如图，在正方形中，点是对角线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作，交于点，连接． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由． （3）已知，当点恰为中点时，求的长度． 25. 如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴直线为． （1）求抛物线的解析式； （2）点M在直线上方的抛物线上，平分，求点M坐标； （3）如图2，点D与点C关于直线对称，过点D与抛物线有唯一公共点的直线与x轴交于点G，直线交抛物线于P，Q两点，连接交y轴正半轴于点E，连接交y轴负半轴于点F，探究的值是否变化？若不变，求出的值；若变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级初中毕业班第一次调研测试数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，仅将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程，得出，然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值． 【详解】解：把代入方程 得，解得，， 而， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转，得到，若点A的对应点D恰好在BC的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与旋转的性质，解题的关键是利用旋转的性质得到对应角相等，结合平角定义求出相关角的度数． 先由等腰的性质求出的度数；再根据旋转的性质得，结合平角定义求出的度数；最后计算与的差得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴． 由旋转的性质，得． ∵点在BC的延长线上， ∴． ∴． 故选：B． 3. 如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据实心球落地时，高度，即可求x的值． 【详解】解：令，则， 解得或（舍）， ∴小强本次投掷实心球的成绩为， 故选：A． 4. 如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为1米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：D． 5. 将抛物线先向右平移4个单位长度后，接着再向上平移2个单位长度，得到新抛物线，则的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线平移规则：向右平移a个单位，则x替换为；向上平移b个单位，则y替换为．对原抛物线逐步平移后，得到新解析式，再与标准形式比较得出a、h、k的值，最后求和． 【详解】解：原抛物线为 ， 向右平移4个单位：将x替换为， ； 向上平移2个单位：将y替换为， ， ， 即新抛物线为 ， 与 比较， 得 ， ， ， ． 6. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块，面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？若设正方形田的边长为x，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．根据正方形面积公式和圆面积公式，结合题意列出方程． 【详解】解：正方形田的边长为， 正方形面积为， 圆形田的直径与正方形边长相等，为， 圆半径为， 圆面积为， 面积之和为 252， ， 故选 C． 7. 若m，n是方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，得到 和，并将表达式中的 转化为，从而简化原式． 【详解】解： m，n 是方程 的两个根， ，， ， ， 故选：A． 8. 如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，连接，，由题意可知平分，可得，由圆周角定理可推出，从而得到，可判定选项A；利用证明，即可推出，可判断选项B；根据圆内接四边形对角互补即可推出，可判断选项C；利用反证法，假设，可得，再根据，但无法根据已知条件推出，可判断选项D． 【详解】解：如图所示，连接，， 由题意可知平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故此选项成立，不符合题意； B、∵内接于， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故此选项成立，不符合题意； C、∵点，，，四点共圆， ∴四边形为圆内接四边形， ∵圆内接四边形对角互补， ∴， 故此选项成立，不符合题意； D、假设， ∴， ∵， ∴， 而根据已知条件无法推出， ∴假设不成立， 故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接三角形和圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的尺规作图等，根据题意作辅助线是解题的关键． 9. 已知：点在直线上，抛物线上两点，，点B在C的左侧，令，若，，则w的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，由条件，点A在直线上，得；点B、C在抛物线上，得方程，根为，且，则，根据判别式大于0和条件，求出的取值范围，进而得到的范围，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，点A在直线上， ∴，即， 点B、C在抛物线上， ∴，即， 设该方程的两根为，且，则， ∴， ∵方程有两不等实根， ∴，即， 又∵，即， 整理得：， ∴， 即， 解得：或， ∵， ∴，即， 综上：， ∴当时，； 当时，， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，，点M为外部一点，，，则线段长度的最小值是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转得到线段，连结，，作于，通过证明，，及求最小值即可，设，则，可求出，利用勾股定理可写出关于x的二次函数，利用二次函数性质求最值，进而可求出最小值． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，作于， ， ∵，， ， ， ∵， ∴， ∵， ， 在中， ∵， ∴， ， ∵， ， ∵， ∴设，则，． ， ， 当时，有最小值为48， 故的最小值为，即长度的最小值是． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，直角三角形性质，利用函数求最值，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 11. 二次函数的最大值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质和最值，二次函数 的二次项系数为负，因此抛物线开口向下，函数有最大值，最大值在顶点处取得． 【详解】解：由二次函数可得，，，， 顶点横坐标为 ， 将 代入函数解析式，得 ， 故答案为：1． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为坐标原点O，点B，点E均在x轴上，若点A的坐标为，则点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解本题的关键．利用中心对称图形的性质即可求出D的坐标． 【详解】解：∵正六边形是中心对称图形，且对称中心为坐标原点O， ∴点A与点D关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 13. 已知，则的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】令，可得到关于t的一元二次方程，求解方程，最后判断根的情况即可． 【详解】解：令， 则可化为， 整理得， 解得，， ， （舍去）， ，即， 故答案为：3． 【点睛】本题考查换元法，解一元二次方程，掌握换元法是解决本题的关键． 14. 如图，是的直径，点C，D均在上，过点C作的切线交的延长线于点P，连接．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，直角三角形的两个锐角互余，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由切线的性质得，根据，则，结合圆周角定理，得出的度数，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵过点C作的切线交的延长线于点P， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，延长交于点F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质、图形的旋转性质、平面直角坐标系的应用、一次函数解析式的求解、勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 建立平面直角坐标系，确定原三角形各顶点坐标， 根据旋转性质求出旋转后图形的顶点坐标， 求出直线的解析式，联立方程得到交点F的坐标 利用勾股定理计算线段的长度． 【详解】解：∵，，， 建立如图所示的平面直角坐标系， ， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ， ∴ 设的解析式为，代入， ， 解得， ∴解析式为， 设的解析式为，代入， ， 解得， ∴解析式为， 联立 ， 解得， ∴， 作， 由勾股定理得： 故答案为：． 16. 如图，已知，，抛物线与x轴交于C，D两点，点C在D点左侧，当抛物线顶点M在线段上移动时，点C的横坐标最小值为．设的最大值为m，最小值为n，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，顶点坐标公式，最值问题，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，当点C横坐标最小时，顶点M与A重合，代入点C坐标求出a；求的值，即求当时函数值，因为抛物线顶点在直线即上，另设抛物线解析式为，即，当时，，对此函数在范围内求最值，然后求最大值与最小值的差即可． 【详解】解：点横坐标最小时，顶点与点重合， 则抛物线的解析式为：， 此时点，代入上式， ， 解得：， 则， ∵抛物线在移动过程中形状、开口方向都不变， ∴抛物线中， 求的值，即求当时函数值， ∵抛物线顶点在线段上， ∴设抛物线解析式为， ∵设解析式为，代入，， ，解得， ∴解析式为， ∴， 即抛物线解析式为， 当时， ， ∴对称轴为， 当时， 当时，最大，； 当时，值最小，； ． 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂、负整数指数幂，解题的关键是掌握相应的运算法则．先计算算术平方根，然后利用零指数幂、负整数指数幂的意义和绝对值的意义化简，最后计算加减． 【详解】解：原式. 18. 如图，在中，，，于D，于E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． ，又， ． 在和中， ， ． ，． ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理，解答时证明三角形全等是关键； （1）根据条件可以得出，进而得出，即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ． ， ， 19. 某校为了解九年级学生对化学实验操作的掌握情况，对九年级600名学生进行了化学实验操作测试，从中随机抽取了部分学生的成绩进行整理、描述和分析（测试满分为100分，学生成绩x均为不小于60分的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：，部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生成绩为C等级的有______人，并补全频数分布直方图； （2）所抽取的学生成绩的中位数为______； （3）试估计该校九年级学生中化学实验操作测试成绩为A等级的人数． 【答案】（1）7人， 补全条形统计图如下： （2）85 （3）200人 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，频数分布直方图，以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据B组的人数和占比求出抽取学生总数，即可求出C等级的人数，补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数定义求解即可； （3）先求出样本中A等级人数的占比，再乘以600即可得出结论． 【小问1详解】 解：（人） C等级的人数为：（人）， 补全条形统计图略 【小问2详解】 解：30个数据按大小顺序排列，最中间的两个是第15、16个，即84，86， ∴中位数是； 【小问3详解】 解：依题意，（人）， 即估计成绩为A等级的人数为200人． 20. 关于x的一元二次方程． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程有一个根不小于3，求k的取值范围． 【答案】（1）方程总有两个实数根，理由： ， 方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和性质．结合二次函数的单调性，求解参数的取值范围是解题关键 （1）计算判别式，据此判断方程实数根个数； （2）先求出方程的根，再结合“根不小于3”的条件，确定参数的范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， 方程有一个根不小于3， ， ． 答：k的取值范围为． 21. 如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C、，连接． （1）求k、b的值； （2）点是线段上的一动点，点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），求m的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合题，考查了求一次函数解析式，关于轴对称的点的性质，两直线的交点坐标，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）先将点代入，得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，根据关于轴对称的点的性质得到，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点．利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立得到点的坐标，再根据点在线段之间（不含线段端点），即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入得，，即． 将点，代入得，， 解得：，． 【小问2详解】 解：由（1）知直线的解析式为． 令，则，解得：， ． 是关于轴的对称点， ． 如图，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点． 设直线的解析式为， 把代入得，解得， 直线的解析式为； 设直线的解析式为，则有， ，． 直线的解析式为， 联立可得：，解得，． 点， 当在内部时（不含边界），点在线段之间（不含线段端点）， ． ． 22. 如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，平分． （1）求证：是的切线； （2）点为边上一点，且，若，，求的半径长． 【答案】（1） 证明：与相切， ． ． 平分线， ． 在和中 ． ． 是的切线． （2）4 【解析】 【分析】（1）要证是的切线，通过切线性质得，结合角平分线证，从而得，完成证明； （2）先证得，结合切线长定理得，再用勾股定理表示，最后在中列方程求解半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ． ． ． ，是的切线， ． ． ． 设，则，． ， ． 解得． 的半径长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、切线长定理，熟练掌握切线的判定与性质、全等三角形的判定以及利用勾股定理建立方程是解题的关键． 23. 某科技公司研发了一款新型智能手表在市场上很受欢迎，该公司某专卖店根据市场调查发现：这款智能手表每天销售数量y（块）与每块销售单价x（元）的关系满足一次函数，每块智能手表各项成本合计为元．设专卖店销售这款智能手表每天获利w元． （1）若该专卖店某天销售这款智能手表获利元，求销售单价x的值； （2）当销售单价x定为多少元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大？最大利润为多少元？ （3）临近新品发布会，若该专卖店决定每块降价a（）元，此时销售量仍为个，当每天的销售量不低于块时，为了确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）元或元 （2）当每块销售单价定为元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大，最大利润为元 （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． (1)根据总利润=单利润数量列出一元二次方程求解； (2)将利润函数配方成顶点式求最大值； (3)降价后的利润函数为，结合销售量条件和确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大的要求，得到关于a的不等式，解不等式得到 a 的范围． 【小问1详解】 解：由题意可得方程：， 整理，得， 解得，． 答：销售单价为元或元． 【小问2详解】 解：由题意可得． ， 当时，有最大值，最大值为． 答：当每块销售单价定为元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大，最大利润为元． 【小问3详解】 解：， ∴对称轴为直线． ∵每天的销售量不低于块， ， ， 随的增大而增大，且开口向下， ， ， ， ． 24. 如图，在正方形中，点是对角线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作，交于点，连接． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由． （3）已知，当点恰为中点时，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ，，． 由旋转的性质得：，． ． ．即． 在和中， ， ． ， ． （2） 解：四边形为正方形，理由如下： 连接． 在正方形中，，． ， ． 则点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆， ． ． ． ． ． ， ． 四边形为平行四边形． ，， 四边形为正方形． （3） 【解析】 【分析】（1）通过旋转性质得到相等线段与角，利用证明三角形全等，结合角度关系推导垂直； （2）连接辅助线，结合正方形性质与平行四边形、菱形、正方形的判定定理，逐步证明四边形形状； （3）构造直角三角形，利用全等性质、勾股定理计算线段长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作，交于点，设交于点，则． ， ． ． ． ， ． ． ． ． ∵四边形为正方形， ． ． 又， ． ， ． ． ． ． 为中点， ． ． ． ， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、特殊四边形的判定及勾股定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法、特殊图形的性质与判定定理是解题的关键． 25. 如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴直线为． （1）求抛物线的解析式； （2）点M在直线上方的抛物线上，平分，求点M坐标； （3）如图2，点D与点C关于直线对称，过点D与抛物线有唯一公共点的直线与x轴交于点G，直线交抛物线于P，Q两点，连接交y轴正半轴于点E，连接交y轴负半轴于点F，探究的值是否变化？若不变，求出的值；若变化，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不变， 【解析】 【分析】（1）将对称轴，点的坐标代入关系式，即可求出答案； （2）过点作轴，与的延长线交于点．则，证明，则，可得直线的解析式为，联立方程求解即可； （3）设直线的解析式为：，将代入，得，可得，则直线与抛物线有唯一的公共点，可得，然后可设直线为解析式为，再直线的解析式为，设直线的解析式为，联立即可求解. 【小问1详解】 解：据题意可得： 解得： ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点作轴，与的延长线交于点．则． ，点关于直线对称， ． ． ∵抛物线与轴交于点， ． 又∵， ． ， ， ． 平分， ．又， ， ． ． 设直线的解析式为：，则， 解得：． ∴ 联立得 解得或 ∴． 【小问3详解】 解：的值不变化． 点与点关于直线对称， ． 设直线的解析式为：，将代入，得， ． ． 联立，则． ∵直线与抛物线有唯一的公共点， ． 解得， ． ∵直线， 设直线为解析式为：． 联立，则． ， 设直线的解析式为，将代入，得， ． ，点在轴正半轴， ． 联立，则． ， ， ． 设直线的解析式为，将代入，得， ． ，点在轴负半轴， ． 同理可得：． ． ． ． 【点睛】本题二次函数与线段的数量关系的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，坐标系中两点之间的距离公式，二次函数与二元一次方程组的计算等知识，学会图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $