精品解析：河北省邯郸市第十一中学 2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年第一学期初三年级期中质量检测数学试卷 一、选择题（共12小题） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在等式①；②；③；⑤；⑤中，符合一元二次方程概念的是（ ） A. ①⑤ B. ① C. ④ D. ①④ 3. 在平面直角坐标系xOy中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下面一元二次方程的解法中，正确的是（ ） A. （x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7 B. （2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=，x2= C. （x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2 D. x2=x 两边同除以x，得x=1 5. 已知圆内接四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列抛物线平移后可得到抛物线的是（ ） A. B. C. D. 7. 现有下列四个命题：①同圆中等弧对等弦；②圆心角相等，它们所对的弧长也相等；③三点确定一个圆；④平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦．其中正确命题的个数是（　 　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，设这两年的绿地面积的平均增长率是，则列出关于的一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 10. 由下列表格的对应值，并根据二次函数的图象的对称性，由此可以判断方程正数解的分布范围是（ ） x A. B. C. D. 11. 已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 12. 已知抛物线与x轴的交点为和，点，是抛物线上不同于A，B的两个点，记的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（共4小题） 13. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则p的值为____． 14. 如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转后得到，此时点D在边上，则旋转角的大小为________ 15. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来．经测试，在急刹车时，汽车刹车距离与滑行时间的满足函数关系式为：．则急刹车时汽车最远要滑行________m才能停下． 16. 已知y关于x的二次函数，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为______． 三、解答题（共8小题） 17. 在解方程时，嘉淇同学的解答如下： 解：将方程左边分解因式，得，…① 方程两边都除以，得，…② 解得．…③ （1）已知嘉淇的解答是错误的，开始出现错误的步骤是________(填序号)； （2）请给出正确的解答过程． 18. 如图，已知在平面直角坐标系中． （1）画出关于原点对称的． （2）画出绕原点顺时针旋转后的． 19. 已知抛物线关于直线对称． （1）求a的值和顶点坐标； （2）若点在此抛物线上，当时，求的最大值与最小值的差； （3）若点都在此抛物线上，且，请直接写出的取值范围__________． 20. 回归课本，定理证明及应用 我们在学一元二次方程的时候，探究总结了一元二次方程的根与系数关系，也就是我们常常说的伟大的韦达定理． 具体为：如果一元二次方程（）有两个不相等的实数根，则 （1）请你证明韦达定理： 证明：∵一元二次方程（）有两个不相等的实数根， ∴该一元二次方程（）的 ∴根据一元二次方程的求根公式，即：______（填写此空，并重新写出完整的推理证明过程） （2）应用：已知a、b满足，且，则______． 21. 月亮门，又称月门、月光门、圆洞门，是园林设计中常见的一种元素．它不仅可以作为院落之间的通道，还能透过门洞引入另一侧的景观，营造出一种“庭院深深”的空间感．如图，是公园内常见的圆形“月亮门”示意图，已知门的下部宽度，门的最高点到的距离，求这个圆形“月亮门”的半径． 22. 问题提出：我们已经学习了一元二次方程，二次函数，能否利用所学知识来求一元二次不等式的解集？ 例如：解一元二次不等式：x2﹣5x＞0． 解：根据不等式特征构造二次函数y＝x2﹣5x； 当y＝0时，可得方程x2﹣5x＝0，解得x1＝0，x2＝5，则抛物线y＝x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）． 画出二次函数y＝x2﹣5x的大致图象（如图1所示）， 由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方， 此时y＞0，即x2﹣5x＞0， 所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0，或x＞5． （1）仿照上题的解题方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，根据图象回答下列问题： ①不等式ax2+bx+c≥0的解集为 　 　； ②若不等式ax2+bx+c＞k无解，则k的取值范围为 　 　． （3）一元二次不等式x2+ax+2a﹣3＞0的解集为全体实数，则a的取值范围为 　 　． 23. 如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． （1）求，的值及点的坐标． （2）点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． （3）直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期初三年级期中质量检测数学试卷 一、选择题（共12小题） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出来． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 在等式①；②；③；⑤；⑤中，符合一元二次方程概念的是（ ） A. ①⑤ B. ① C. ④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐个分析判断即可． 【详解】解：①，是一元二次方程，符合题意； ②，不是方程，不符合题意； ③，不是整式方程，不符合题意； ⑤，是二元一次方程，不符合题意； ⑤，是一元一次方程，不符合题意 故符合一元二次方程概念的是① 故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程定义，掌握一元二次方程定义是解题的关键． 3. 在平面直角坐标系xOy中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为； 故选：C． 4. 下面一元二次方程的解法中，正确的是（ ） A. （x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7 B. （2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=，x2= C. （x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2 D. x2=x 两边同除以x，得x=1 【答案】B 【解析】 【分析】观察每个方程，选择合适的方法解方程，即可判断． 【详解】A. 方程整理得：x2−8x−5=0， 这里a=1，b=−8，c=−5， ∵△=64+20=84， ∴，不符合题意； B. 提取公因式得：(2−5x)(1+2−5x)=0， 解得：符合题意； C. 方程整理得：x2+8x+4=0， 解得：，不符合题意； D. 方程整理得：x2−x=0,即x(x−1)=0， 解得：不符合题意， 故选B. 【点睛】考查一元二次方程的加法，常用的方法有：直接开方法，公式法，配方法，因式分解法，观察题目选择合适的方法是解题的关键. 5. 已知圆内接四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，由圆内接四边形的性质可得，，设，，，求出的值得到进而即可求解，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是圆的内接四边形， ∴，， ∵， ∴设，，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：． 6. 下列抛物线平移后可得到抛物线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可解答. 【详解】解：A. ，此抛物线开口向下，向右平移1个单位长度后可得到抛物线； B、C、D三条抛物线开口向上，平移后不能得到. 故选A. 【点睛】本题考查抛物线的平移及平移规律，解题关键是平移规律，另外抛物线平移后，只是位置改变，形状和开口大小、方向不变. 7. 现有下列四个命题：①同圆中等弧对等弦；②圆心角相等，它们所对的弧长也相等；③三点确定一个圆；④平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦．其中正确命题的个数是（　 　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】①正确，②同圆或者等圆中，圆心角相等，它们所对的弧长也相等，错误，③三个不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆. ④正确.所以选B. 8. 已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意可得该抛物线开口向下，对称轴为直线，得到离对称轴越远的点，其值越小，即可求解． 【详解】解：二次函数的解析式为， 对称轴为直线，， 该抛物线开口向下， 离对称轴越远的点，其值越小， 点，，， ，，，即， ， 故选：C． 9. 为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，设这两年的绿地面积的平均增长率是，则列出关于的一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出绿地面积的参数为a，利用原有绿地面积×（1+平均每年绿地面积的增长率）2=现在的绿地面积，列方程即可． 【详解】设绿地面积为a，这两年平均每年绿地面积的增长率是x，根据题意列方程得： a（1+x）2=（1+21%）a，即（1+x）2=1+21%． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．最本的数量关系为：原有绿地面积×（1+平均每年绿地面积的增长率）2=现在的绿地面积． 10. 由下列表格的对应值，并根据二次函数的图象的对称性，由此可以判断方程正数解的分布范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的解，根据表格可得方程的解在，根据二次函数图象的对称性，即可求解． 【详解】解：根据表格可得方程的一个解的范围在， ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴方程正数解的分布范围是， 故选：B． 11. 已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．首先确定在第三象限，、在第一象限，利用正比例函数的性质以及二次函数的性质判断即可． 【详解】解：， 正比例函数的图象经过一、三象限， 点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点，且， 在第三象限，在第一象限， 由二次函数可知抛物线开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小， 在第一象限， ，， ． 故选：D． 12. 已知抛物线与x轴的交点为和，点，是抛物线上不同于A，B的两个点，记的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，难度较大． 判断一个命题正确与否，只要举出一个反例便可确定，因此，不妨假设，结合二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，， 不妨假设， 如图，若，，，则， ∴、满足，即：， ∵， ，故A错误； 当，时，，满足， 则，此时，故B错误； ， 、在轴的上方，且离轴的距离比离轴的距离大， ，故D正确； 如图，若，存在、满足，但，故C错误，不符合题意； 同理，当时，D正确 故选：D． 二、填空题（共4小题） 13. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则p的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将代入方程求解即可，掌握一元二次方程根的含义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转后得到，此时点D在边上，则旋转角的大小为________ 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据三角形的内角和得到，由旋转的性质得，从而得，即可得到结论． 【详解】解：在中，∵，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴； 即旋转角为， 故答案是52． 15. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来．经测试，在急刹车时，汽车刹车距离与滑行时间的满足函数关系式为：．则急刹车时汽车最远要滑行________m才能停下． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据二次函数的性质，求出二次函数的最值即可． 【详解】解：， ∴当时，汽车滑行的距离最远为； 故答案为：15． 16. 已知y关于x的二次函数，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线整理成的形式，可得当时，无论m取何值，函数图象恒过定点，据此求解． 【详解】解：∵， ∴当时，无论m取何值，函数图象恒过定点， 此时，， 即定点A的坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，掌握求解的方法是关键． 三、解答题（共8小题） 17. 在解方程时，嘉淇同学的解答如下： 解：将方程左边分解因式，得，…① 方程两边都除以，得，…② 解得．…③ （1）已知嘉淇的解答是错误的，开始出现错误的步骤是________(填序号)； （2）请给出正确的解答过程． 【答案】（1）② （2） 解：， 将方程左边分解因式，得： ， 移项得： ， 因式分解得： ， 故 或， 解得： ， 【解析】 【分析】（1）根据等式的基本性质判断即可． （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解方程的过程从第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边都除以，导致丢根， 故答案为：②． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了因式分解法求解一元二次方程，涉及了等式的基本性质，解题的关键是掌握因式分解法求解一元二次方程的方法． 18. 如图，已知在平面直角坐标系中． （1）画出关于原点对称的． （2）画出绕原点顺时针旋转后的． 【答案】（1） 即为所求： （2）如上图，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称和旋转，正确找到对应点的位置是解题的关键． （1）分别作出点关于原点对称的，再顺次连接即可； （2）分别作出点绕原点顺时针旋转后的，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知抛物线关于直线对称． （1）求a的值和顶点坐标； （2）若点在此抛物线上，当时，求的最大值与最小值的差； （3）若点都在此抛物线上，且，请直接写出的取值范围__________． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质． （1）根据对称轴公式求出a的值，将原抛物线化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）分别求出的最大值与最小值，相减即可； （3）根据二次函数的图像作答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线关于直线对称， ∴， 解得：， ∴抛物线， 即顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，的最大值为，最小值， 最大值与最小值的差为； 【小问3详解】 解：∵，顶点坐标为， ∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，当时，，点的横坐标越接近对称轴纵坐标越小， 当在对称轴同侧时， ∵点都在此抛物线上，且， ∴， 解得， 当在对称轴异侧时，，， ∴，， 即 ∵点都在此抛物线上，且， ∴， 即， ∴， 综上所述，的取值范围是或， 故答案为：或． 20. 回归课本，定理证明及应用 我们在学一元二次方程的时候，探究总结了一元二次方程的根与系数关系，也就是我们常常说的伟大的韦达定理． 具体为：如果一元二次方程（）有两个不相等的实数根，则 （1）请你证明韦达定理： 证明：∵一元二次方程（）有两个不相等的实数根， ∴该一元二次方程（）的 ∴根据一元二次方程的求根公式，即：______（填写此空，并重新写出完整的推理证明过程） （2）应用：已知a、b满足，且，则______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程求根公式及根与系数关系，分式的化简，完全平方公式，代数式求值，掌握求根公式是求解的关键． （1）利用一元二次方程的求根公式和根与系数的关系解答即可； （2）先将a、b看作方程的两个不相等的实数根，再利用一元二次方程的根与系数得到，继而进行分式的化简，最后代入求值即可． 【小问1详解】 证明：∵一元二次方程（）有两个不相等的实数根， ∴该一元二次方程（）的 ∴根据一元二次方程的求根公式，即：， ∴， 则 ， ． 故答案为：． 【小问2详解】 ∵a、b满足，且， ∴a、b看作方程的两个不相等的实数根， ∴， 则． 故答案为：． 21. 月亮门，又称月门、月光门、圆洞门，是园林设计中常见的一种元素．它不仅可以作为院落之间的通道，还能透过门洞引入另一侧的景观，营造出一种“庭院深深”的空间感．如图，是公园内常见的圆形“月亮门”示意图，已知门的下部宽度，门的最高点到的距离，求这个圆形“月亮门”的半径． 【答案】这个圆形“月亮门”的半径为． 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．通过构建直角三角形，利用垂径定理和勾股定理来求解圆的半径． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为． ∵，，， ∴，． 在中，根据勾股定理， ∴． 展开得． 解得． 答：这个圆形“月亮门”的半径为． 22. 问题提出：我们已经学习了一元二次方程，二次函数，能否利用所学知识来求一元二次不等式的解集？ 例如：解一元二次不等式：x2﹣5x＞0． 解：根据不等式特征构造二次函数y＝x2﹣5x； 当y＝0时，可得方程x2﹣5x＝0，解得x1＝0，x2＝5，则抛物线y＝x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）． 画出二次函数y＝x2﹣5x的大致图象（如图1所示）， 由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方， 此时y＞0，即x2﹣5x＞0， 所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0，或x＞5． （1）仿照上题的解题方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，根据图象回答下列问题： ①不等式ax2+bx+c≥0的解集为 　 　； ②若不等式ax2+bx+c＞k无解，则k的取值范围为 　 　． （3）一元二次不等式x2+ax+2a﹣3＞0的解集为全体实数，则a的取值范围为 　 　． 【答案】（1）x＜﹣1或x＞3 （2）①﹣1≤x≤3；②k≥2 （3）2＜a＜6 【解析】 【分析】（1）令x2﹣2x﹣3＝0，由抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点及开口方向即可求解； （2）①根据图象求出抛物线与x轴交点，进而求解； ②由图象可得y＝ax2+bx+c的最大值为y＝2，得到ax2+bx+c≤2，根据不等式ax2+bx+c＞k无解，得到k≥2； （3）求出抛物线y＝x2+ax+2a﹣3的顶点坐标，由抛物线开口向上可得顶点纵坐标大于0符合题意，进而求解． 【小问1详解】 解：令x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），开口向上， ∴x2﹣2x﹣3＞0的解集为x＜﹣1或x＞3． 【小问2详解】 解：①∵抛物线对称轴为直线x＝1，点A坐标为（﹣1，0）， ∴点B坐标为（3，0）， ∵抛物线开口向下， ∴ax2+bx+c≥0的解集为：﹣1≤x≤3． ②由图象可得y＝ax2+bx+c的最大值为y＝2， ∴ax2+bx+c≤2， 当ax2+bx+c＞k时，k≥2， ∴k的取值范围是k≥2， 故答案为：﹣1≤x≤3．k≥2． 【小问3详解】 解：∵y＝x2+ax+2a﹣3＝（x+）2﹣+2a﹣3， ∴抛物线顶点坐标为（﹣，﹣+2a﹣3），抛物线开口向上， 当﹣+2a﹣3＞0时满足题意， 解得2＜a＜6， 故答案为：2＜a＜6． 【点睛】本题为二次函数的综合题，考查了结合二次函数求不等式的解集，解题的关键是熟知二次函数的性质，理解题目出示的例题，要注意题目中数形结合思想的理解． 23. 如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【答案】（1） （2） 解：工人的头顶不会触碰到桥拱，理由如下： 打捞船宽为，距O点，工人站立在打捞船正中间， 工人距O点的距离为：， 将代入，得：， ， 工人的头顶不会触碰到桥拱． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将代入求解； （2）先计算出工人距O点的距离，进而求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． 【小问1详解】 解：，桥拱顶点B到水面的距离是， 顶点B的坐标为， 设， 将代入，得：， 解得， ， 桥拱部分抛物线的函数表达式； 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． （1）求，的值及点的坐标． （2）点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． （3）直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 【答案】（1）， （2）不能，理由： ∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则 ∴当时， 解得：或 ∴或 ∵抛物线经过点，对称轴为直线 ∴经过点和 ∴不能经过点, （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，代入抛物线解析式得出或，而经过点和，即可得出结论； （3）①先求得，和代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②根据题意得出直线的解析式为，根据经过点，得出，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将代入，得出①，根据点为直线与的唯一公共点，得出②，联立解得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，，顶点为 ∴ 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①∵， 当重合时，则 ∵是的中点， ∴, ∵点恰好落在上，经过点 ∴ 解得：； ②∵直线交于点，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵经过点， ∴， ∴， ∴ 联立 消去得， ∴，则 ∵点的横坐标是点横坐标的一半． ∴即， 将代入， ∴①， 整理，得， ， 由， 则， 整理得，， 则或， ∵点为直线与的唯一公共点， ∴② 则或， 当时，代入②解得， 或， 当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 当时，代入②解得，不符合题意， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $