精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年高一上学期数学周考12（12.7）

重庆南开中学高2028届高一数学练习 数学试卷 12.7 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，将函数的图像向右平移1个单位长度，再将所得的函数图像关于y轴对称，然后将所得的图像上的点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到函数的图像，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的最大值和最小值之和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（且），若关于x的方程有4个解，且，则（ ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为或.则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为或 C. 的解集为 D. 若不等式对恒成立，则的取值范围为 10. 已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则或 D. 当时，，若，则 11. 已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ） A. 的周期为4 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 13. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围是____________． 14. 已知函数在上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的值； （2）若，，用，表示. 16. 已知幂函数在上单调递减. （1）求实数的值； （2）若，当时，关于的不等式在上有解，求的取值范围. 17. 物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型，如果物体的初始温度为，空气温度为（），则分钟后物体的温度满足（为常数）．实验测算，当时满足． （1）求的值； （2）茶艺文化是中国传统文化的重要组成部分，涵盖茶的制作、泡法、茶器、茶道等方面．经验表明，茶水的口感与茶叶品种和水温有关，某种茶叶泡制的茶水，刚沏出来时茶水温度为75℃，等茶水温度降至55℃时饮用口感最佳．已知空气温度为25℃，则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果保留一位小数，参考数值：，，） 18. 已知函数为常数，函数. （1）若为奇函数，求的值. （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. （3）在第(1)问的条件下，当时，，函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 19. 若函数满足：对于任意正数m，n，都有，，且，则称函数为“速增函数”. （1）试判断函数与是否是“速增函数”； （2）若函数为“速增函数”，求的取值范围； （3）若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学高2028届高一数学练习 数学试卷 12.7 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性解不等式求得B，再利用交集的概念计算即可. 【详解】由，即，， 又，所以. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解即可. 【详解】由于全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是：，. 故选：C 3. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据“狄利克雷函数”的定义，判断“”和“”的互相推出情况，由此可知结果. 【详解】若，则，所以，故， 但当时，可能都是无理数，不妨设，此时， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性可排除B，D；再得到时，可排除C，即可得到答案. 【详解】由，， 则， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，D； 当时，，，则，排除C，而A满足题意. 故选：A 5. 已知函数，将函数的图像向右平移1个单位长度，再将所得的函数图像关于y轴对称，然后将所得的图像上的点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到函数的图像，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的平移、伸缩与对称变换求解即可. 【详解】由函数的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象， 再将所得的函数图象关于y轴对称，得到函数的图象， 然后将函数图象上的点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变， 得到函数的图象. 故选：C 6. 函数的最大值和最小值之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用定义判断其为奇函数，再由奇函数的对称性可得. 【详解】由题意，令， 可知函数的定义域为，且， 故函数为奇函数， 根据奇函数的性质可知，函数的最大值与最小值之和为， 即， 故． 故选：B． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据对数运算性质得，再利用对数函数单调性得，再作差、换底变形比较大小即可. 【详解】，， ， 所以 ， 因为， 所以，即，又，可得. 故选：B. 8. 已知函数（且），若关于x的方程有4个解，且，则（ ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】当时，根据已知画出函数与的图象，即可根据对称性结合已知得出，且，，，，根据对数的运算得出，即可两式作和化简代入得出答案. 【详解】当时，， 在坐标系下作出函数与的图象如图所示： 由图形的对称性知， 且，，，， 则根据对数运算得出， ，， 则， 即， 两式作和得， 又由于， 所以． 当时，， 同理仍得， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为或.则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为或 C. 的解集为 D. 若不等式对恒成立，则的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，由已知条件可得，结合二次函数的对称性求得；对BC，由A，，，代入求解一元二次不等式；对D，令，由题意可得，运算得解. 【详解】由不等式的解集为，则，且，即， 对于A，由的对称轴，则是的两根， 所以，得，且，故A正确； 对于BC，由A知即，所以不等式变为， 又，所以，解得或，故B正确，C错误； 对于D，令，由对恒成立， 由于表示开口向上的抛物线， 所以，解得， 又，所以，故D错误. 故选：AB. 10. 已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则或 D. 当时，，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入点可求解，进而根据幂函数的性质即可求解ABC，利用作差法即可求解D. 【详解】因为函数的图象经过点，所以，解得， 所以，故A正确； 的定义域为，对，则，且， 所以函数是偶函数，故B正确； 因为，所以在上单调递增， 由，是偶函数，得，即， 解得，故C错误； 因为当时，，所以，， 又， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ） A. 的周期为4 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于为偶函数，图象关于轴对称， 所以图象关于对称， 所以， 所以①， 而②， 两式相加得，则③， 所以， 所以是的一个周期，A选项正确. 由③令得， 由①令得， 由②令得，则， 所以， 所以，C选项正确. 由①令得， 由， 得， 两式相减得，即， 且关于对称，， 所以④， 所以， 所以是周期为的周期函数，所以，所以B选项错误. 由④令得，所以， 所以，所以D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】有关函数的奇偶性、周期性的题目，关键是要掌握抽象函数运算，还要记忆一些常用的结论.如等等，这些都是与周期性有关；如等等，这些都是与对称性有关. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算法则即可求得答案. 【详解】，，即，， 所以即，所以. 13. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】因为幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，所以为正偶数，所以，则不等式，即．因为函数在上单调递减，所以或或解得或，所以满足的a的取值范围是． 14. 已知函数在上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先由函数的单调性求出的范围，再分类讨论，结合函数图象数形结合求解. 【详解】由在上递减，得， 又由（且）在上单调递减， 得，解得，综上：； 作出函数在上的大致图象，如图所示： 由图象可知，在上，有且仅有一个解， 故在上，同样有且仅有一个解， 当，即时， 如图所示： 由，即， 则，解得：， 当，时，如图所示: 由图象可知，符合条件. 综上：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的值； （2）若，，用，表示. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式求出和 的值，代入原式计算. （2）根据已知条件求出和的表达式，再利用对数运算公式化简计算即可. 【详解】（1）因为，所以（）， 因为，所以 ，即，故. 故. （2）对取常用对数得，故. 由，得. . 故. 16. 已知幂函数在上单调递减. （1）求实数的值； （2）若，当时，关于的不等式在上有解，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的单调性结合，即可得到答案； （2）对不等式进行分离参数得到，令，求的值域进而得到k的取值范围. 【小问1详解】 由题可知，，解得， 又，所以. 【小问2详解】 将代入中可得， 所以不等式可化为， 即当时，能成立. 令，令，则， 则， 又在上单调递增，所以， 即， 所以在上的值域是. 所以k的取值范围为. 17. 物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型，如果物体的初始温度为，空气温度为（），则分钟后物体的温度满足（为常数）．实验测算，当时满足． （1）求的值； （2）茶艺文化是中国传统文化的重要组成部分，涵盖茶的制作、泡法、茶器、茶道等方面．经验表明，茶水的口感与茶叶品种和水温有关，某种茶叶泡制的茶水，刚沏出来时茶水温度为75℃，等茶水温度降至55℃时饮用口感最佳．已知空气温度为25℃，则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果保留一位小数，参考数值：，，） 【答案】（1）； （2）8.6分钟 【解析】 【分析】（1）将代入和即可求解； （2）根据题意，得到，，，代入函数的解析式，结合对数的运算公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知， ，得，即， 所以； 【小问2详解】 设刚沏出来的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感， 由题意可知，，，， 所以，即， 所以， 所以刚沏出来的茶水大约需要放置8.6分钟才能达到最佳饮用口感． 18. 已知函数为常数，函数. （1）若为奇函数，求的值. （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. （3）在第(1)问的条件下，当时，，函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数可得，由此即可得解； （2）令，根据增函数的定义可得恒成立，进而可得出答案； （3）根据（1）中所得函数解析式确定函数的解析式，并运用函数单调性确定其单调性，再根据单调性和值域列等式，将问题转化为函数与方程问题，最后求解出参数的取值范围. 【小问1详解】 因为为奇函数，所以， 即，即， 所以，所以，所以， 经检验不符题意， 所以； 【小问2详解】 令， 则 ， 因为函数在上单调递增， 所以恒成立， 因为，所以， 所以恒成立，即， 因为，所以， 所以， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 由（1）知， 令，函数在上单调递减， 又函数为增函数， 所以函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减， 所以函数在区间上的值域为， 又因为函数在区间上的值域为 ， 所以， 即， 所以， 令， 则关于的方程在上有两根不同的实数根， 等价于关于的方程在上有两根不同的实数根， 令，则函数在上有两个不同零点， 当时，为一次函数，不可能有两个零点，舍去； 当时，函数的对称轴为， 则，无解； 当时，函数的对称轴为， ，解得且， 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第二问，根据对数复合函数的单调性及其区间值域，将问题转化为方程在某区间内有两个不同实根，是解决本题的关键. 19. 若函数满足：对于任意正数m，n，都有，，且，则称函数为“速增函数”. （1）试判断函数与是否是“速增函数”； （2）若函数为“速增函数”，求的取值范围； （3）若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有. 【答案】（1）是，不是 （2） （3）证明：由函数为“速增函数”，可知对于任意正数，， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于正整数与正数，都有， 对任意,，可得，又， 所以， 同理， 故． 【解析】 【分析】（1）根据定义进行判断即可，利用特殊值，举出反例； （2）根据定义可知，即对一切正数恒成立，可得，由，可得 得出，最后求出的范围； （3）根据定义，令，可知，即，故对于正整数与正数，都有，进而得出结论． 【小问1详解】 对于函数，当，时，， 又， 所以， 故是“速增函数”. 对于函数，当时，， 故不是“速增函数”. 【小问2详解】 当，时，由是“速增函数”， 可知，即对一切正数恒成立， 又，可得对一切正数恒成立，所以. 由，可得， 即 ， 故，又，故， 由对一切正数，恒成立，可得，即． 综上可知，的取值范围是． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题为自定义信息题，关键是读懂题目意思.根据题目所提供的信息，要严格遵循“速增函数”的定义解题，首先判断两个函数是否符合“速增函数”的定义，说明是“速增函数”，需要按定义严格证明，说明不是只需举一反例；第二步函数是“速增函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助恒成立条件和最值原理求出参数的范围.本题考查新定义函数的理解和应用新定义函数解决实际问题，综合性强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $