重庆市七校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

2025一2026学年度上期高二半期七校联考 数学试题 命题学校：重庆市江津中学 命题人： 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.考试结束后，将答题卷交回。 第I卷（选择题共58分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选 项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.（原创)已知直线过A(1,2),B(1,-1)两点，则直线1的倾斜角的大小为() A.君 B. 3 C. D.买 2.（原创)已知方程 x2 2m-3+ =1表示椭圆，则实数m的取值范围是() 4-m A.3 B.,4) c.) D.（ )u4) 3.(原创)在等差数列{an}中，as+ag=12,a6=4,则{an}的公差d=( A.1 B.2 C.3 D.4 4.(原创)若点P(1,2√2在圆C:x2+y2+2x-2W2y+a=0外，则a的取值范围( A.(3,+∞) B.(-∞，3) C.(-3,+∞) D.(-3,3) 5.(改编)已知圆C1:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2+ax-2y-3=0(a∈R)的公共弦 所在的直线与直线l:2x一ay十1=0平行，则两平行线间的距离为() A.② B.3 C. D.2 6.(改编)如图，已知A,B,C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面 ABC外-点，且<AP,AB>=<AP,AC>=120°，|AP1=4,若A0=AB+AC, 则01=() A.4V2 B.3 C.6 D.7 2025一2026学年度上期高二半期七校联考数学试题第1页共4页 7.（原创)点P(-1,2)到直线：(1+2)x十(1+)y-1-3λ=0(（∈）的距离的最大 值为() A.V10 B.√2 C.3√2 D.5 8.(改编)已知过抛物线C:y2=12x的焦点F的动直线交抛物线C于A,B两点，Q为线 段AB的中点，P为抛物线C上任意一点，则P+PQ的最小值为() A.6 B.3 C.12 D.9 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求，全部选错的得0分，若只有2个正确选项，每 题选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分.) 9.(原创）下列有关双曲线号-活-1的命题中，叙述正确的是( ) A.双曲线的虚轴长为4 B.双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C.双曲线的焦点到渐近线的距离为4 D.经过焦点的最短弦长为6 10.（原创)下列说法正确的为() A.0为空间任意一点，若示=-O+O丽+0d,若A,B,C,P四点共面，则实 数t等于日 B.若{位，方，c}为空间的一个基底，则a+26,a+方，a-6能构成基底 c.向量à=(W3,02),向量6-传0，）， 则向量a在向量b上的投影向量的坐 D.圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-8x-6y+16=0的公切线有3条 11.（改编)布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博 物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形 上画了具有视觉效果的正方体图案， 如图1，把三片这样的达·芬奇方砖 拼成图2的组合，这个组合再转换成 图3所示的空间几何体.若图3中每 个正方体的棱长为1，则下列结论 (图1) (图2 (图3) 正确的是( A.CQ+AB=-AD+2AA B.点C到直线CQ的距离是5 C.直线CQ与平面BC,D的夹角正弦值为5Y3 9 D.异面直线CQ与BD所成角的正切值为√I7 2025一2026学年度上期高二半期七校联考数学试题第2页共4页 第Ⅱ卷（非选择题 共92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12.（原创)抛物线y=4x2的准线方程为 13.（原创)已知{a]的通项公式为an=-3n2+n(1eR),若数列{a]为递减数列，则实 数的取值范围是 14.（改编)已知F,F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 PF>PF2,线段PF的中垂线过F2,记椭圆的离心率为e,双曲线的离心率为e2,则 上+的取值范围是 e e 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤.) 15. (原创)（本小题13分) 数列[an满足a1=5,a.=6-。90mEN,n≥2). An-l 1D求证：数列a3} 是等差数列： (2)求数列{an}的通项公式： 16.（改编)（本小题15分) 已知点A(2,4),B(4,2),直线的方程为：x-2y+1=0, (1)求直线关于点A对称的直线m的方程： (2)求经过A,B两点，且圆心在直线L上的圆的标准方程. 17.(改编)（本小题15分） 已知双曲线C:- a-=1(a>0,b>0)的实轴长为2，点P(0,1)到双曲线C的渐 近线的距离为3 (1)求双曲线C的方程： (2)过点P(O,1)的动直线l交双曲线C于A、B两点，设线段AB的中点为M,求点 M的轨迹方程 2025一2026学年度上期高二半期七校联考数学试题第3页共4页 18.(改编)（本小题17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面四边形ABCD满足 ∠ABC=∠BAD=90°，∠CDA=45°，AB=BC=1. (1)证明：平面PAC⊥平面PCD: (2)若PA=2,平面PAD与平面PBC交线为l, ①求证l⊥AB: @直线I上是否存在点M,使得平面BDM与平面BDP的夹角余弦值为5？若存在， 6 求出PM:若不存在，请说明理由. 19.(改编)（本小题17分） 已知42)和P40)为椭圆C:子+茶=1a>b>0),上两点 (1)求椭圆C的方程： (2)若过点A的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为12，求直线I的方程： (3)设过点D0,V3)的动直线与椭圆C有两个交点M、N,试判断在y轴上是否存 在点T使得向量所成角(TM,)∈臣，元]恒成立，若存在，求出T点纵坐标的取 值范围：若不存在，说明理由。 2025一2026学年度上期高二半期七校联考数学试题第4页共4页2025一2026学年度上期高二半期七校联考 数学试题（参考答案） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D 的 D C D C A CD ACD BCD 12.9-6: 13.1<9; 14（2,4) 8.【答案】6 【详解】如图所示，分别过A、B、P、Q四点向准线心=一？作垂线， 垂足分别为I、 J、D、G, 设A、B、P、Q的横坐标分别为xA、cB、cP、xQ, 由抛物线定义及梯形中位线可知则A=EA=2+号，B=P阳=a+号 21 PD=PA=t号， IQG IAIl+BAm+lBF1 2tp 2 2 2 -,p=6 易知PF+PQ=PDl+|PQ≥1QG=A+B+卫=A++6 2 2 设直线AB:c=m+3,A(cA,yA),B(cB,yB), 联立抛物线得y2=12x=12(my+3),整理得y2-6my-36=0, 所以AB=-36,则亚AB=,2D=9 由基本不等式可知3=V4B≤巴十，当且仅当4==3等号成立 2 故1Pr+PQ=PD+|PQ≥QG=A++6≥6 2 故答案为：6 11.【答案】BCD 【详解】C0=C元+B0=-AD+2BA=-AD+2(AA-AB)=-2AB-AD+ 2AA,即C0+2AB=-AD+2AA,A错误； 以A为原点建立空间直角坐标系，则C(-1,1,0),Q(0,-1,1),C(-1,1,-1),E 第1页共6页 (1,-1,-1),G-1,-1,1),B(0,1,-1),D(-1,0,-1, 所以QC=(-1,2,-1),EC=(-2,2,0),EG=(-2,0,2),BC=（-1,0,1), BD=(-1,-1,0),C☑=(1，-2,2)， 设m= -子，则点G到直线cQ的离d=M2o-m=6号- IcQl 兰，B正确： 5 面BCD的法向量为元=(a,b,c), 元BC=-a+c=0,取a=1,则元=(1，-1,1，C=(1,-2,2) InBD=-a-b=0 设直线CQ与平面BCD所成角为日 ZA G D 则，cos6=lcos<C⑦，元>|= C9元=5W3,C正确： cQ COs<CQ,BD>= CO·BD 1 1 232, 则tanC,BD=√7， cBD D正确.故选：BCD 14.【答案】(2,4) 【详解】设椭圆长轴长为2a1,双曲线实轴长为2a2,公共焦距为2c,不妨设焦点在x 轴上，P在第一象限 由椭圆、双曲线的定义得：|P+PF=2a1,|P-P=2a2. 由点乃在P的垂直平分线上，则PF=|RF=2C. |PFl=2a1-2c=2a2+2c.即a1-a2=2c. 则0=1-02122+1+11士+起 e1 e2 令k=1∈(0,1)：+1+2=2+k+2∈2,4 e e号e2 【答案】证明：①列a满足a=6。nCNn2 1，-1=1。-1。=a1-1。=1-3-1 a-3a133-2 an-1-33an-1-9a-1-33(an1-3)3' 第2页共6页 数5列{。3}是公差为号的等差数列 (7分)： (②由1可知数别列{'3}是公差为号的等差数列， 又a1=5, “数列1 1 (an-3 的首项为、1。 a1-3-21 =1+ a32千3(n-1)=1 3n+1 61 .an 6n+g .(13分). 2m+1 16.【答案】解：(1)设直线m上任意一点P(x,y)关于点A(2,4)的 对称点为Q(xo,0), ..(2分) 则04- )……(4分) (0=8-y 因为0-26+1=0，所以4-0-2(8-)+1=0，.(5分) 整理得x-2y+11=0,即直线m的方程c-2y十11=0..（6分) (2)设圆心C(2b-1,b),. .（7分) 由CA=|1CB,得√(2b-1-2+(b-42=√(2b-1-42+(b-2, ..（10分) 解得b=1, .（12分) 所以圆心为C(1,1),半径r=CA=10,. .(14分) 所以圆C的标准方程为(x-1+(y-12=10..(15分) 17.【答案】解：(1)双曲线C的实轴长为2a,由已知，2a=2,则a=1....(1分) 因为双曲线C:兰-号=1a>0,b>0的一条新近线为bm-ay=0.…2分 a2 b2 点P0.)到驭曲线C的渐近线的距离为9，所以a ==54分 Vb2+(-a月 3 所以c=√5a=√5，所以b2=c2-a2=3-1=2.. .(5分) 所以双曲线C的方程是2-号=L.6分 (2)(法一)易知直线l的斜率存在，设直线的方程为y=kx+1,设A(如，1)小、 B(c2,)、M(xo,o) 联立直线1与双曲线C的方程，得一如十1 2x2-y2=2' 消去y, 得(k2-2)x2+2k+3=0... (8分） 由△=42-12(2-2)>0且2-2≠0，得2<3且2≠2..(9分) 由韦达定理，得+=、2 2-2(10s分) 所以0=四十2=k 2-+12 22-2,6=ka+1=、2 (11分) 2-k2 第3页共6页 c0二 由 2消去k,得2z-6+h=0. ...(14分) 2 10=2-R 由2<3且2≠2，得0≥1或0<-2. 所以，点M的轨迹方程为2x2-2+y=0,其中y≥1或y<-2.(15分) (法二)(2）设A(x1,),B(2,2),中点M(0,0),则： 0=西十2 2 ,0=+业 2 -号=1 因为A,B在双曲线上，故： .(8分) 两式相减（点差法）： 好-喝-业=0 2 因式分解得：(，-，十）--p+驰=0 .(9分) 2 两边除以心1一x2(直线斜率显然存在)，代入心1十x2=2o,十h=20: 20k=0→k=2 2c0- 2 ..（11分) 又直线1过P0,1）和M,0,故斜率k=h-1,因此： 20=y0-1 .(13分) 整理得轨迹方程（将xo,o换为x,y）：2x2-y+y=0 所以，点M的轨迹方程为2x2-y2+y=0,其中y≥1或y<-2..(15分) 18.【详解】(1)由勾股定理计算得AC=√2，所以AC=CD=√2， 故三角形ACD为等腰直角三角形，可得AC⊥CD.(2分) 因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD.....(3分) 又因为PA∩AC=A,PA,ACc平面PAC,所以CD⊥平面PAC..(4分) 又因为CDC平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD, .(5分) (2)①因为BC∥AD,而BCC平面PBC,AD寸平面PBC, 所以AD∥平面PBC,(7分) 又ADC平面PAD,平面PAD∩平面PBC交线=L,所以l∥AD,.(9分) 而AD⊥AB,所以l⊥AB..(10分) ②依题意，建立空间直角坐标系A-xy2,B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2), C(1,1,0),.(11分) 第4页共6页 ZA D立 可得BP=(-1,0,2),BD=(-1,2,0), 设平面BDP的一个法向量为元=（c,y,z), 40,取-2，则元=3,1， 则予=0.，即-z+2=0 BD2=0, ,(13分) 因为点M在l上，所以设点M(0,t,2),设平面BDM的一个法向量为元=(c,y,z), i=0 则 -x+ty+22=0, BD.m=0, 可得-0+2刘=0. 即/t-2y+22=0 x=2y, ,取y=2,则元=(4,2,2-t).(15分) 因为cos<元，i>= 元元 12-t 励√6x20+(2-t 所以 |12-t( √6×√20+(2-t2 9,解84=6，故p16 .(17分) a=4 62=12 19. 【辨折】①由防意信+号=1，解得 a2=16 所以椭圆方程 +12 16 =1.… .(3分 (2 B 当l的斜率不存在时，1：x=2,B(2,-3),AB=6,P到AB距离d=2, 此时368m=?×2×6=6≠12不满足条件 ...(5分) 当直线l斜率存在时，设l:y=k(x-2)+3,设A(m1,1),B(x2,), y=k(x-2)+3 需+号=1 ,消g可得(4+3)2-(162-2)x+16k-4sk-12=0, 当△=(16k2-24)2-4(42+3)(16k2-48k-12)>0时， +购=162地，又=2，所以购=162-2， 462+3 42+3 AB=√1+P11-购=√1+e12+24k .(7分) 3+42 第5页共6页 又P点到直线l的距离d= 2k+3 .(8分) √1+2 所以Saa=Aa:d=)×2k+3 12+24h 2 =6×1(2k+3)(1+2 3+42 3+42 二12 整理可得42-8k+3=0或12k2+8+9=0(无解)，即(2弘-3)(2k-1)=0, 解得k=)或号，此时代入检验，均满足△>0， g=e-2习+3或g=是(-2)+3， 即m-2十4=0或3x-2y=0.(10分） (3)椭圆方程为： 荒+告=1若过D0v5的动直线的斜 率存在，则可设该直线方程为：y=kx十√，设M(,), N(x2,h),T(0,t), 联立椭圆方程可得(3+42)x2+8√5kx-36=0, 故△=1922+143+42)>0，西+=- 8v3k 3+42′012= -36 3+4k2' (12分) 而Ti=(c,-t),TN=(2,功-t), 故T7i.TN=x2+(-t)(-t)=x12+(k,+√5-t)(ka2+3-t) =(1+2)c2+k(V3-t)(1+c2)+(V3-t2 =1+的x(329）-w0-×0+68- ==27-6W3t+3t-482+424_-48+4t)2-27-6W3t+3 ....(14分) 3+42 3+42 因为成示0恒成立故580解得52后仙分》 若过点D(0,√3)的动直线的斜率不存在，则M(0,-2√3)，N(0,2W3), 此时需-2w3≤t≤2W3, 综上，T点纵坐标的陬值范围为-3≤t≤25..(17分) 第6页共6页