18.5分式方程（第1课时）课件-2025-2026学年人教版八年级数学上册满分全攻略备课系列

人教版（2024）八年级数学上册 第十八章 分式 18.5分式方程 （第1课时） 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.能从实际情境中抽象出分式方程，了解分式方程的概念，并会正确识别分式方程.（重点） 2.经历解分式方程基本思路的探究过程，了解需要对分式方程的解进行检验的原因，能解可化为一元一次方程的分式方程，体会转化和化归思想.（难点） 新课导入 为解决章引言中提出的问题，我们通过设未知数，用分式表示问题中的量，根据问题中的等量关系得到了方程 ① 方程①的分母中含有未知数，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程(fractional equation).我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中. 思 考 我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中含未知数，因此解分式方程是一个新的问题.能否将分式方程化为整式方程呢?我们自然会想到通过“去分母”实现这种转变. 如何解分式方程①呢？ 分式方程①中各分母的最简公分母是(30+v)(30一v).把方程①的两边乘最简公分母可化为整式方程，得 90(30-v)=60(30+v). 解得 v=6. 检验:将v=6 代入①中，左边=，右边=，这时左、右两边的值相等，因此v=6是分式方程①的解. 由此可知，江水的流速为6 km/h 将方程①化成整式方程的关键步骤是什么? ② 运用“去分母化为整式方程”的方法解方程 你发现了什么问题？ 类似于解分式方程①，在分式方程②的两边乘最简公分母(x-5)(x+5)，去分母得整式方程 x+5=10. 解得 x=5. 将x=5代入②，分母x-5和x²一25的值都为0，相应的分式无意义.因此，x=5虽然是整式方程x+5=10的解，但不是分式方程 的解。实际上，这个分式方程无解. 探 究 比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢? 解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母).方程①两边乘(30+v)(30一v)，得到整式方程，它的解为v=6.当v=6时，最简公分母(30+v)(30-v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同. 方程②两边乘(x-5)(x+5)，得到整式方程，它的解为x=5.当x=5时，最简公分母(x-5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0，因此这样的解不是②的解 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验: 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解. 知识点讲解 定义与概念 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验: 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 分母中含未知数的方程叫作分式方程 典型例题 经典例题 解：方程两边乘 x(x – 3)，得 2x = 3x – 9 解得 x = 9 检验： 当 x = 9时， x(x – 3) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = 9. 例1 解方程 例2 解方程 解：方程两边乘 (x – 1)(x + 2)，得 x(x + 2) – (x – 1)(x + 2) = 3 解得 x = 1 检验： 当x = 1时，(x – 1)(x + 2) = 0 所以，原分式方程无解. 因此， x = 1不是原分式方程的解. 总结归纳 特别提醒 1. 识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的性质变形. 2.分母中有字母，但字母不是未知数的方程也不是分式方程. 分式方程 去分母 整式方程 解整式方程 x = m 检验 x = m 是分式方程的解 x = m 不是分式方程的解 最简公分母不为0 最简公分母为0 目标 解分式方程的一般过程： 解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母.得到整式方程的解后，要对其进行检验. 归纳 课堂练习 基础题 知识点1 分式方程的定义 1.在，，，中，其中关于 的分式方程的个数为( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】不是分式方程；是关于 的分式方程； 是一元一次方程；是关于 的分式方程.故选A. 知识点2 解分式方程 2.［2024山东济宁中考］解分式方程 时，去分母变形正确的是 ( ) A A. B. C. D. 【解析】原方程两边同乘得，即 .故选A. 3.［2025贵州遵义期中］代数式与代数式的值相等，则 ___. 7 【解析】根据题意，得，去分母，得，解得 .经检 验， 是分式方程的解.故答案为7. 18 知识点3 根据方程解的情况求字母的值或取值范围 4.［2024陕西西安期中］已知关于的分式方程 ，对于该方程的解，甲、 乙两人有以下说法：甲：若方程的解是负数，则；乙：当 时，方程的 解是正数.关于甲、乙两人的说法，正确的是( ) B A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 【解析】，去分母得，解得 .要使分式方程有解，则 ，，， 当且时， ， 当时，， 甲说法错误,乙说法正确.故选B. 19 5. 开放性试题［2025河南周口期末］若关于的分式方程 没有 增根，则 的值可以为_________________（写出一个即可）. 1（答案不唯一） 【解析】将分式方程两边都乘，得.当 时， .把代入，解得 ，所以若原分式方程没有增根， 则 .故答案为1（答案不唯一）. 刷有所得 解决增根问题的步骤：①确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整 式方程即可求得相关字母的值. 20 易错题 易错点 ①去分母时，常数项漏乘最简公分母而出错；②解分式方程时,忘记检验 6.［2024河南驻马店质检］小丽解分式方程 时，出现了错误，她的解题过程如下： 解：去分母得, 第一步解得, 第二步 原分式方程的解是 .……第三步 （1）小丽的解答过程从第________________________________________步开始出错，这一步应 为_________________________________，这一步的依据是_________________________________ _______________________________________. 【解】小丽的解答过程从第一步开始出错， 这一步应为， 这一步的依据是等式的性质.故答案为一，，等式的性质. （2）小丽的解答过程缺少的步骤是________________________________________________. 小丽的解答过程缺少的步骤是检验，故答案为检验. （3）请写出正确的解题过程. 【解】，去分母得，解得 .经检验， 是原方程的解， 原分式方程的解是 . 易错警示解分式方程去分母时，常数项不要漏乘最简公分母，做题时要仔细,最后得到的解 不要忘记检验. 提升题 7.解方程： （1） ; (1)解：方程两边乘，得，解得 . 检验：当时， ， 原分式方程的解为 . （2） ; （3） . (2)解：方程两边乘，得，解得 . 检验：当时， . 原分式方程的解为 . (3)解：方程两边乘 , 得，解得.检验：当 时， 原分式方程无解. 8.［教材复习题变式］当取何值时，式子 与 的值相等？ 解：由题意得,解得 . 经检验， 是原分式方程的解， 故当时，式子与 的值相等. 23 拓展题 9. 先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为， ;方程的解为， ; 方程的解为， ;… （1）观察上述方程的解，猜想方程 的解是______________； , （2）根据上面的规律，猜想方程 的解是______________； , （3）根据上述规律，解方程： . 解：原方程可变形为.由上述规律，得 或 .， . 课堂小结 分式方程 定义 分母中含未知数的方程 解法 去分母，转化为整式方程 解整式方程 检验 代入原方程 代入最简公分母 本节课同学们学到了什么？ 布置作业 作业题 教科书第166页练习 第1题 课本练习 解下列方程： （1）解最简公分母：x(x – 2) 去分母，得 解得 x = – 5 检验：将 x = – 5 代入原方程中，左边 = – 1 = 右边，因此 x = – 5 是原方程的解. 5(x – 2) = 7x （2）解：最简公分母：(x + 3)(x – 1) 去分母，得 解得 x = 5 检验：将 x = 5 代入原方程中，左边 = 0.25 = 右边，因此 x = 5 是原方程的解. 2(x – 1) = x + 3 （3）解：方程两边乘 2x(x + 3)，得 x + 3 = 4x 解得 x = 1 检验： 当 x = 1 时， 2x(x + 3) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = 1. （4）解：方程两边乘 3(x + 1)，得 3x = 2x + 3x + 3 解得 x = 检验： 当 x = 时， 3(x + 1) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = . （5）解：方程两边乘 (x – 1)(x + 1)，得 2(x + 1) = 4 解得 x = 1 检验： 当 x = 1 时， (x – 1)(x + 1) = 0， 所以，原分式方程无解. （6）解：方程两边乘 x(x – 1)(x + 1) ，得 5(x – 1) – (x + 1)= 0 解得 x = 检验： 当 x = 时， x(x – 1)(x + 1) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = . $