山东省泰安实验中学2025-2026学年高一上学期12月份阶段性检测数学模拟试卷

山东省泰安实验中学2025-2026学年12月份阶段性检测模拟卷高一上 一、单选题 1．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．“”是“幂函数在区间上单调递减”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．下列各组函数表示相同函数的是（    ） A． B．和 C．和 D．和 6．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的图象关于直线对称，且对，都有，当时，，则（    ） A．2 B． C． D． 8．函数的大致图像为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为4 10．已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 11．函数为奇函数，函数（    ） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 三、填空题 12．设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 . 13．已知函数（且），在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 14．设函数在区间上单调递减，则的最大值为 . 四、解答题 15．计算: (1); (2). (3)已知，试用表示和. 16．已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 17．已知函数，. (1)若不等式对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)求关于x的不等式的解集. 18．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求，的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围. (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】利用补集的意义与交集的意义可求解. 【详解】因为，，所以， 由，得，又， 所以. 故选：C. 2．A 【分析】先根据幂函数的定义求出的值，再结合函数单调性判断条件. 【详解】是幂函数，则，求解得，， 时，在区间上单调递减，充分性成立， 时，在区间上单调递增，故舍去， 若幂函数在区间上单调递减，则，必要性成立， 因此“”是“幂函数在区间上单调递减”的充要条件， 故选：A 3．B 【分析】根据不等式的性质，运用特殊值法计算判断选项A，D，运用作差法计算判断选项B，C． 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，，， 所以，即，故B正确； 对于C，因为， 若，则，， 所以，即，故C错误； 对于D，令，，则，，故D错误． 故选：B． 4．C 【分析】首先将不等式化简，转换为，利用一元二次不等式的解法，先求对应方程的根，再比较两个根的大小，最终得出不等式的解集. 【详解】原不等式可等价变形为：； 因为，所以，不等式等价于； 令得，，； 因为，所以，，； 比较，的大小：； 因为，所以，所以； 所以原不等式的解集为； 故选：C. 5．B 【分析】利用相同函数的定义域与对应关系相同，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A：，由且，可得， 即定义域为， ，由，得或， 即的定义域为，两函数定义域不同，故不是相同函数，错误； 对于B：的定义域为R，的定义域为R， 且，所以两函数定义域相同，对应关系也相同，故是相同函数，正确； 对于C：的定义域为R，的定义域为，两个函数的定义域不同， 所以不是相同函数，错误； 对于D：的定义域为R，的定义域为，两个函数的定义域不同， 所以不是相同函数，错误. 故选：B 6．D 【分析】利用单调性和奇偶性求出，的解集，再根据异号求解. 【详解】由题意可知，在，上单调递增， 因，则， 则得或；得或； 由得或，得或， 故不等式的解集为. 故选：D 7．B 【分析】根据给定条件，推理论证出函数的周期，再利用周期性计算即可. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，， 因为对有，即， 代入中得， 所以， 故， 所以是周期为的函数， 又当时，， 所以. 故选：B. 8．A 【分析】利用奇偶性排除C；根据排除D；利用极限思想排除B. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数，故C错误； 又因为，故D错误； 当时，，且指数函数增长速度要快于一次函数，则，故B错误； 故选：A 9．BC 【分析】利用基本不等式可判断A、B；妙用“1”可判断C；取特值可判断D. 【详解】对于A，，，，则， 当且仅当时等号成立，即的最大值为，故错误； 对于B，，，因， 则，可得， 当且仅当时等号成立，即的最大值为2，故B正确； 对于C，，，， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故C正确； 对于D，令，显然满足，而， 所以的最小值不是4，D错误. 故选：BC. 10．BD 【分析】根据对数型函数的定义域、复合函数的单调性、值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，由题可得，解得，所以函数定义域为，故A错. 对于B，因为， 设， 因函数在定义域内为增函数， 函数在上单调递增且大于零， 根据复合函数单调性可得在上单调递增，故B正确； 对于C，根据B选项的分析可知，在上单调递增，在上单调递减， 故函数在上不单调，C错误； 对于D，当时，， 所以的值域为，即，故D正确． 故选：BD． 11．BCD 【分析】对于A，由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，对于B，利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性；对于C，利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可；对于D，分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】对于A，对任意的，， 所以，的定义域为且函数为奇函数， 所以，则， 因为， 所以是奇函数，符合题意，故成立，故A错误； 对于B，由（1），则，是定义域上的增函数，证明如下： 对任意的、且，则， 由可得， 故函数为上的增函数，故B正确； 对于C，因为函数是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由可得， 根据B项，可得，可得，即， 因为，则，解得，即原不等式的解集为，故C正确； 对于D，因为函数，显然，所以有 可得，则，则， 因为 ， 令，当时，， 设，所以，， 于是当时，， 对，总，使得成立， 故函数的值域为函数在上的值域的子集，即， 所以有，解得，即实数的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 12．0. 【分析】先通过奇偶性转化为对称关系，再通过变量代换将不同的对称关系结合，推导函数的周期，最后利用周期简化运算求和. 【详解】由是偶函数，得（偶函数的对称性）， 这说明函数的图象关于直线对称， 由是奇函数，得（奇函数的对称性）， 且（奇函数过原点）， 由，令，则： ，则， 结合，可得：. 再令，则： ，则， 代入，得：，即. 因此，是周期为的周期函数. 已知当时，，结合对称性与周期性计算到： ； ； ； ； ； ； ； ； 一个周期内（到）的和为：， 因为函数周期为，余，即包含个完整周期， 余下， 因为一个周期和为，所以总和为：. 故答案：. 13． 【分析】根据分段函数的单调性，结合一次函数以及指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】由于函数在上单调递增， 所以需要满足：，解得：. 因此可得：实数的取值范围是. 故答案为： 14．4 【分析】由对数型复合函数的单调性结合二次函数的单调性列出不等式求解即可. 【详解】由在区间上单调递减， 可得函数在区间上单调递减，且恒成立， 而函数开口向上，对称轴为， 则，解得，所以的最大值为4． 故答案为：4. 15．(1)； (2)8； (3)， . 【分析】（1）根据指数和对数的运算得解； （2）根据指数幂的运算化简得解. （3）根据条件及对数的运算性质，用表示出，进而根据对数的运算可得解. 【详解】（1） ； （2） （3）由，得①， 由，得②， 由①②得，， 所以， . 16．(1)1 (2)或 【分析】（1）先求出集合，再由分析出，由一元二次方程根与系数的关系即可求出的值； （2）若，分析出集合有四种情况，即或或或，结合一元二次方程的判别式及根与系数的关系，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 17．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先判断时是否合题意，当时，结合二次函数的图象开口向下，且与x轴无交点，列式求解即可； （2）分，，讨论即可，其中，时还要比较对应一元二次方程的两个根的大小关系. 【详解】（1）①当时，恒成立，符合题意； ②当时，由已知可得，解得. 综上，a的取值范围是. （2）不等式可化为，即， ①当时，可化为，得，原不等式的解集； 当时，方程的两根为和2， ②当时，可化为，解得，原不等式的解集为； ③当时，解得或，则原不等式的解集为或； ④当时，解得，则原不等式的解集为 ⑤当时，解得或，则原不等式的解集为或； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 18．(1)，； (2)在上为减函数，证明见解析． (3)． 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【详解】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴，又∵，即，∴． 则，由， 则当，时，原函数为奇函数． （2）由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． （3）因为是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 19．(1)1 (2) (3) 【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故. （2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以，对任意的恒成立， 由可得， 当时，不等式成立， 当时， 参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，则， 即， 综上可知，实数的取值范围是. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $