精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期上学期 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（ ） A. 8 B. 12 C. 24 D. 48 6. 一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1、2；红球有两个，编号为3，4．从盒中不放回的依次取出两个球，表示事件“第一次取出的是红球”，表示事件“取出的两球同色”，表示事件“取出的两球不同色”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与互斥 C. D. 7. 某文化传播公司有员工25名，其中包含经理1名、保洁1名，为了调查该公司员工的工资情况，有两种方案．方案一：调查全部25名员工的工资情况；方案二：收入最高的经理和收入最低的保洁工资不纳入调查范围，只调查其他23名员工的工资．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差 8. 已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值，则在上也有最小值 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 10. 已知，则（ ） A. B. C. 的虚部为4 D. 的共轭复数为 11. 下列有6个面的多面体是（ ） A. 五棱锥 B. 四棱柱 C. 四棱锥 D. 圆柱 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别为人、人、人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为________. 13. 如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是___________． 14. 若向量，满足，，，则与的夹角弧度数为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最大值； （2）求成立的的取值集合. 16. 如图，在四棱柱中，底面是菱形，. （1）求证：平面； （2）求证：. 17. 如图，某农户计划用的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地．设该矩形菜地与墙平行的边长为，与墙垂直的边长为． （1）当为何值时，面积取得最大值？最大面积为多少？ （2）求的最小值． 18. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形.再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知.并做答. 条件①：；条件②：；条件③：平面平面. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的崭新名片．某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示． （1）由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数； （2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； （3）已知样本中男生与女生的比例是3∶1，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集与交集的定义可求解. 【详解】因为全集，，所以， 又因为，. 故选：D. 2. 已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，判断平行或垂直. 【详解】A.若若，则或，故A错误； B. 若，则与相交或平行，故B错误； C.若直线相交，若，则，若直线平行，则或相交，故C错误； D.满足面面垂直的性质定理，故D正确. 故选：D 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行运算即可求解. 【详解】. 故选：B. 4. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，复数在复平面对应的点为位于第一象限. 故选：A. 5. 直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（ ） A. 8 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用柱体体积公式计算得解. 【详解】在直三棱柱中，， ，， 所以该棱柱的体积. 故选：C 6. 一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1、2；红球有两个，编号为3，4．从盒中不放回的依次取出两个球，表示事件“第一次取出的是红球”，表示事件“取出的两球同色”，表示事件“取出的两球不同色”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与互斥 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列举出事件A，事件B，事件C，及总事件包含的情况，进而求解判断各选项即可. 【详解】由题意，事件A包含， 事件B包含， 事件C包含， 显然， 与不互斥，与不互斥，故AB错误， 总事件的情况为， ，共12种情况， 其中包含，共8种情况， 故，故C错误， 事件包含，共6种情况， 则包含事件，共4种情况， 故，故D正确. 故选：D. 7. 某文化传播公司有员工25名，其中包含经理1名、保洁1名，为了调查该公司员工的工资情况，有两种方案．方案一：调查全部25名员工的工资情况；方案二：收入最高的经理和收入最低的保洁工资不纳入调查范围，只调查其他23名员工的工资．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差以及极差的概念一一判断各选项，即得答案. 【详解】由题意，某文化传播公司25名员工的工资情况组成25个数据， 按大小顺序排列，排在中间的数是中位数，去掉一个最大值和一个最小值， 剩余23个数据按大小顺序排列，排在中间的还是原来的数，所以中位数不变； 平均数是与每一个数据都有关系的量，所以可能会发生变化； 方差也是与每一个数据都有关系的量，所以可能会变化； 极差是与最大值和最小值的差，所以去掉最高和最低的两个数据极差会变小． 故选：B． 8. 已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据构造函数通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，最后利用这些性质可解得或 【详解】令则, 因为当时，所以在上单调递增, 又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数, 由得解得或 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值，则在上也有最小值 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定A；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得在上有最大值，进而判定B； 利用奇函数的单调性性质判定C；利用奇函数的定义根据时的解析式求得时的解析式，进而判定D. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，故，A正确； 当时，，且存在使得， 则时，，，且当有， 在上有最大值为，故B不正确； 若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性， 则在上为增函数，故C错误； 若时，， 则时，，，故D正确. 故选：AD 10. 已知，则（ ） A. B. C. 的虚部为4 D. 的共轭复数为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数相等求参数，由复数的虚部、共轭复数的定义判断各项的正误. 【详解】由题意得，得，A错误，B正确． 的虚部为4，共轭复数为，C正确，D错误． 故选：BC 11. 下列有6个面的多面体是（ ） A. 五棱锥 B. 四棱柱 C. 四棱锥 D. 圆柱 【答案】AB 【解析】 【分析】根据五棱锥、四棱柱、四棱锥以及圆柱的概念以及结构特征，即可判断答案. 【详解】对于A，五棱锥是有5个侧面，1个底面，共6个面的多面体，正确； 对于B，四棱柱是有4个侧面2个底面，共6个面的多面体，正确； 对于C，四棱锥是有4个侧面1个底面，共5个面的多面体，不符合题意； 对于D，圆柱为旋转体，不符合题意， 故选：AB 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别为人、人、人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质即可求解. 【详解】应该从青年员工中抽取的人数为人. 故答案为：6 13. 如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律及正方形的性质得解. 【详解】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点， 则，， 由Q是BC的中点，得，又，则， 所以取值范围为； 故答案为： 14. 若向量，满足，，，则与的夹角弧度数为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式求解即得. 【详解】由，得，而，， 因此，又，则， 所以与的夹角弧度数为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最大值； （2）求成立的的取值集合. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）首先利用二倍角余弦公式及两角和与差的正弦公式化简，再求最大值即可； （2）结合（1）的化简结果，利用正弦型函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 . 的最大值为. 【小问2详解】 ，即， 所以，， 解得，， 故成立的的取值集合为. 16. 如图，在四棱柱中，底面是菱形，. （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证； （2）利用线面垂直的判定与性质定理即可得证. 【小问1详解】 连接，记，连接，如图所示. 因为在四棱柱，易得为的中点，为的中点， 所以， 又平面平面，所以平面； 【小问2详解】 连接，如图所示. 因为四边形是菱形，所以， 因为，所以， 所以，又为的中点，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. 17. 如图，某农户计划用的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地．设该矩形菜地与墙平行的边长为，与墙垂直的边长为． （1）当为何值时，面积取得最大值？最大面积为多少？ （2）求的最小值． 【答案】（1）当时，面积取得最大值，最大面积为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，从而可得该菜地的面积为，进而利用基本不等式即可求解； （2）利用，根据“1”的代换利用基本不等式可求最小值． 【小问1详解】 由题意得，，都为正数， 则该菜地的面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以当时，面积取得最大值，最大面积为． 【小问2详解】 由，，都为正数，则， 所以 ， 当且仅当，又，即时，等号成立， 所以的最小值为． 18. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形.再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知.并做答. 条件①：；条件②：；条件③：平面平面. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先判断出选择条件①③，可以解决两个问题，利用面面垂直的性质定理得出，再由三角形全等得出，从而利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，直线的方向向量，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 若选择条件①②，则不能解决丙个问题，若选择条件②③，则可以解决第（1）问，不能解决（2）问，若选择条件①③，则可以解决两个问题. 因为平面平面，平面平面所以平面，又平面，所以. 因为，所以，则， 又且两直线在平面内，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，选择条件①③，则可以解决两个问题. 以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 且，则， 所以 设平面的法向量为，则由 ，令，则，取. 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的崭新名片．某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示． （1）由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数； （2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； （3）已知样本中男生与女生的比例是3∶1，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差． 【答案】（1）72.5 （2）20人 （3）29.25 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图，根据中位数左边和右边的直方图面积应该相等，即可求解； （2）先求分数在的频率，从而可求样本中分数在的人数，进而可知样本中分数在的人数，从而可求解； （3）根据分层总体的方差公式即可求解. 【小问1详解】 在频率分布直方图，中位数左边和右边的直方图面积应该相等， 由于，．因此中位数落在之间． 设中位数为x，则有，解得， 所以样本中学生分数的中位数约为72.5． 【小问2详解】 由频率分布直方图知， 分数在的频率为， 样本中分数在的人数为（人）， 样本中分数在的人数为95人， 所以估计总体中分数在的人数为（人）， 总体中分数小于40的人数为人； 【小问3详解】 总样本的均值为， 所以总样本的方差为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $