精品解析：广东省深圳市北京师范大学南山附属高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

数学期中考试 一､选择题. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则定义域为（ ） A. R B. C. 且 D. 且 5. 下列函数中，为偶函数的是 A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则函数的单调增区间是（ ） A. 和 B. C. 和 D. 8. 若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､选择题 9. 下列命题中是真命题的有（ ） A. 若，，且，则，中至少有一个大于1 B. 的充要条件是 C. ， D. ， 10. 已知正实数a，b，满足a+2b=1，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（    ） A. 4 B. 12 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则__________. 13. 分式不等式的解集为________． 14. 已知函数，，则在区间上的值域为___________；若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是___________． 四､解答题 15. 已知集合或，. （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围 16. 已知，． （1）当时，用表示、中的最大者，记为，将、的图象画在同一坐标系中，由此直接写出的解析式、值域及单调递减区间； （2）当时，恒成立，求实数a的取值范围． 17. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层､每层2000平方米的楼房.经测算，若将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（元）.平均购地费用为购地总费用除以建筑总面积，平均综合费用为平均建筑费用与平均购地费用之和. （1）建立楼房每平方米的平均综合费用与楼层数的函数关系式； （2）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （3）若楼房每平方米的平均综合费用不超过2500元，求该楼房可建层数的范围. 18. 已知函数，且，. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义法证明； （3）若，求实数的取值范围. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）若函数的对称中心为，求实数的值； （2）证明：函数，图象的对称中心为； （3）判断函数的图象是否为中心对称图形，如果是，请求出对称中心；如果不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学期中考试 一､选择题. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解即可. 【详解】集合，，所以. 故选：B 2. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可得. 【详解】命题的否定是. 故选：C 3. 已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质及特殊值法判断A、B、C，作差法判断D. 【详解】因为，所以，又，当时，故A错误； 当，时，，故B错误； 当，时，，故C错误； 由， 所以，故D正确. 故选：D 4. 已知，则定义域为（ ） A. R B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的具体形式，列不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，得，且. 所以函数的定义域为，且. 故选：C 5. 下列函数中，为偶函数的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A、D选项中的函数的定义域不关于原点对称，而B选项中，从而得出选项. 【详解】因为A选项：的定义域为，其定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数； 因为D选项 的定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数； 因为B选项的定义域是R，关于原点对称，但，所以不是偶函数； 因为C选项的定义域为 ，其定义域关于原点对称， 并且，所以是偶函数， 故选C. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的判定，在判定时注意先确定函数的定义域是否关于原点对称，属于基础题. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从函数的定义域、奇偶性及在第一象限的变化快慢三个方面逐一分析各选项即可判断作答. 【详解】幂函数定义域为R，选项C不满足； ，有，即是偶函数，选项B不满足； 因，则函数在第一象限单调递增，且增长趋势越来越快，选项A不满足， 显然选项D满足幂函数的上述特点，即大致图象是D. 故选：D 7. 已知函数，则函数的单调增区间是（ ） A. 和 B. C. 和 D. 【答案】A 【解析】 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 8. 若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：B. 二､选择题 9. 下列命题中是真命题的有（ ） A. 若，，且，则，中至少有一个大于1 B. 的充要条件是 C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用反证法，可判断A的正误；代入特殊值，根据充分、必要条件的定义，可判断B的正误，代入特殊值检验，可判断C、D的正误. 【详解】选项A：假设，都不大于1，即，则，与条件矛盾， 所以假设不成立，故A正确； 选项B：当时，满足，但， 所以不是必要条件，故B错误； 选项C：当时，满足，所以，，故C正确； 选项D：当时，，不满足，故D错误. 故选：AC 10. 已知正实数a，b，满足a+2b=1，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由 ，可以表示 ，代入可得到一个二次函数，求最值可判断AB；对于C：利用基本不等式中“1”的用法，可求最值可判断；对于D：利用C的结论可判断D. 【详解】对于A：由 ，可以表示 ， 因为 ，所以 ，即  ， 当时，，  的最大值为 ，因此选项A正确； 对于B：由 ，可以表示 ， 因为 ，所以 ， ， 当 时，，  的最小值为 ，因此选项B正确； 对于C：， 因为 ，由基本不等式得：， 因此：， 当且仅当，即时取等号，  的最小值为 ，因此选项C错误； 对于D：由 ，可以表示 ，代入得： ， 由选项C可知 的最小值为 ， 所以的最小值为，因此选项D正确. 故选：ABD 11. 已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（    ） A. 4 B. 12 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据对勾函数的单调性，对进行分类讨论，从而得到的可能取值. 【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增， 当，即时在上单调递增，所以， ， 所以，解得； 当，即时，在上单调递减，所以， ， 所以，解得，不符合题意，故舍去； 当，即时在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 若且，即，， 所以，解得或，两个解均舍去； 若且，即，， 所以，解得或（舍去）； 综上可得或. 故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则__________. 【答案】27 【解析】 【分析】将点代入幂函数解析式（含参），求得参数值，即得函数表达式，由此即可求解. 【详解】设，将点代入得，解得， 所以. 故答案为：27 13. 分式不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解. 【详解】由，得， 即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知函数，，则在区间上的值域为___________；若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】空1：根据二次函数的性质即可得到其值域；空2：根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【详解】空1：， 则根据二次函数性质知在区间上的值域为，即. 空2：当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 故答案为：；. 四､解答题 15. 已知集合或，. （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合中根据并集和补集运算性质运算即可； （2）由得出，对集合进行讨论即可. 【小问1详解】 当时，； 又或， 所以，或. 【小问2详解】 若，则， 由 当时，， 当时，由，， 则， 综上所述：实数的取值范围为. 16. 已知，． （1）当时，用表示、中的最大者，记为，将、的图象画在同一坐标系中，由此直接写出的解析式、值域及单调递减区间； （2）当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）在同一坐标系中，作出函数、的图象如图所示， ，值域为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）作出函数图象，由图象可得的解析式、值域及单调递减区间. （2）分离参数，利用基本不等式可得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 令，即，解得或， 由得，；由得或， 在同一坐标系中，作出函数、的图象如图所示， 则，值域为，单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，恒成立， 即当时，恒成立， 整理得，， ∵，当且仅当，即时等号成立， ∴当时，， ∴，即实数a的取值范围为． 17. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层､每层2000平方米的楼房.经测算，若将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（元）.平均购地费用为购地总费用除以建筑总面积，平均综合费用为平均建筑费用与平均购地费用之和. （1）建立楼房每平方米的平均综合费用与楼层数的函数关系式； （2）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （3）若楼房每平方米的平均综合费用不超过2500元，求该楼房可建层数的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由题可得楼房每平方米的平均综合费用为平均建筑费用与平均购地费用之和，结合条件即可求解； (2)利用基本不等式即可求解； (3)由题可得：，利用一元二次不等式求解即可. 【小问1详解】 设楼房每平方米的平均综合费用为， 所以， 则 【小问2详解】 因为， 所以， 当且仅当，即时取到“”， 此时，平均综合费用的最小值为． 当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元 【小问3详解】 楼房每平方米的平均综合费用不超过2500元，则， 即， 解得：, 因为 解得： 则该楼房可建层数的范围 18. 已知函数，且，. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义法证明； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上的单调递增，证明： 在内任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）将函数值代入，即可求得a，b的值，即可得解析式. （2）利用定义法，取值、作差、整理、定号、得结论，按照步骤整理分析，即可得证. （3）根据函数的解析式，结合定义域，分析可得时，，当时，，利用定义法，证明在上的单调性，分别讨论都在内、都在内和一个在内，一个在内，三种情况，根据函数的性质，分析求解，即可得答案. 【小问1详解】 由题意，解得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得，定义域为， 当时，，则，所以， 当时，，则，所以， 在内任取，且， 则， 由（2）得， 所以在上的单调递增. 因为， 所以当都在内，则，无解； 当都在内，则，解得； 当一个在内，一个在内， 则，解得. 综上，实数的取值范围 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）若函数的对称中心为，求实数的值； （2）证明：函数，图象的对称中心为； （3）判断函数的图象是否为中心对称图形，如果是，请求出对称中心；如果不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） 证明：要证明函数图象的对称中心为， 即证明为奇函数即可， 因为 ， 令，① 则，② 又， ，， 所以①②得：， 即， 也即， 故函数，图象的对称中心为. （3）函数的图象是中心对称图形，且对称中心为：. 【解析】 【分析】（1）根据题意得为奇函数，利用函数奇偶性求解即可得出； （2）根据题意证明为奇函数，也即即可； （3）分离常数得，根据（2）先找出函数的对称中心，从而分析得出结论. 【小问1详解】 由题意函数的对称中心为， 则为奇函数， 由， 令， 由为奇函数，则， 即， 所以，解得：，此时为奇函数满足题意， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由 令， 根据（2）知的对称中心为即， 又， 所以对称中心为， 所以函数的图象是中心对称图形，且对称中心为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $