精品解析：北京市第二中学2025-2026学年高三上学期11月月考数学试卷

2025-2026学年北京二中高三（上）月考数学试卷（11月份） 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是，则的模是（ ） A. 5 B. C. 2 D. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 5. 在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称.若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量，则“与共线”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在数列中，，，则 A. B. C. D. 8. 将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则函数的（ ） A. 最大值为 B. 最小值为 C. 一个对称中心为 D. 一条对称轴为 9. 近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再经过年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，约为（ ） （参考数据：，） A. 280 B. 300 C. 360 D. 640 10. 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（ ） A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 12. 已知递减的等差数列满足成等比数列，则数列的前n项和的最大值为______. 13. 设函数. （1）当时，的解集为______； （2）若函数有3个零点，则实数a的取值范围是______. 14. 已知长方体的外接球的表面积为，，点在四边形内含边界，且直线与平面所成角的正切值为，则长方体的体积最大时，三棱锥体积的最小值为______. 15. 2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，设平面过点且与平行，现有下列四个结论： ①当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于； ②当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于； ③异面直线与所成角的余弦值为； ④三棱锥的体积是该“堑堵”体积的. 所有正确结论的序号是___________. 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 记的内角的对边分别为，已知，. （1）求及； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 17. 在五面体中，平面，平面． （1）求证：； （2）若，点D到平面的距离为，求二面角的大小． （3）在第（2）问条件下，线段上是否存在点M，使得与平面所成的角为．若存在，求的长度，若不存在，请说明理由． 18. 某大学学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，已知A学院男生与女生人数之比为，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在月份的累计跑步里程进行统计，得到下表. 跑步里程 男生 女生 用样本频率估计总体概率. （1）求的值，并估计从学院所有学生中抽取一人，该学生月份累计跑步里程在中的概率； （2）从学院男生样本中随机抽取人，从学院女生样本中随机抽取人，将这人中在月份的累计跑步里程不低于的人数记为，求的分布列和数学期望； （3）该大学学院男生与女生人数之比为，学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样，已知学院和学院的样本数据整理如下表. 月份累计跑步里程平均值（单位：） 学院 性别 A B 男生 50 59 女生 40 45 设学院样本中学生月份累计跑步里程平均值为，学院样本中学生月份累计跑步里程平均值为，是否存在，使得？如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由. 19. 已知椭圆的离心率，且经过点，，，，为椭圆的四个顶点（如图），直线过右顶点且垂直于轴． （1）求该椭圆的标准方程； （2）为上一点（轴上方），直线，分别交椭圆于，两点，若，求点的坐标． 20. 已知函数.（注：…是自然对数的底数） （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若只有一个极值点，求实数m的取值范围； （3）若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值. 21. 对于有限正整数数列，若存在连续子列和符号序列，，使得，其中，则称数列存在平衡连续子列． （1）写出数列2，1，2，3的一个平衡连续子列； （2）设对任意正整数，定义函数为满足的非负整数，其中为奇数，令．证明：数列不存在平衡连续子列； （3）设数列的每一项均为不大于的正整数，证明：当时，存在平衡连续子列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北京二中高三（上）月考数学试卷（11月份） 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出两个集合，然后根据交集的定义得出答案. 【详解】由题意得：或， ， 所以. 故选：D 2. 在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是，则的模是（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算及模长公式即可求解. 【详解】由题意知，，，所以 所以， 故选：D. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“分段法”来确定正确答案. 【详解】，， ， 所以. 故选：C 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】据题意，，，，根据向量的数量积运算即可求. 【详解】 因为为边上的中线，所以，又BE为边AC上的高， 所以，且在中，， 所以 . 故选：D. 5. 在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称得，再结合二倍角的余弦公式和诱导公式即可. 【详解】由题意，即， 由于，故. 故选：A 6. 已知非零向量，则“与共线”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的性质，运用特殊值法结合充分条件的判断规则分析充分性，结合余弦函数的性质结合必要条件的判断规则分析必要性． 【详解】已知非零向量， 若“与共线”： 当时，，则，故充分性不成立； 若： 则，即，化简得， ，，即， ，，即，与共线，必要性成立； 故“与共线”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 7. 在数列中，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：在数列中， 故选A. 8. 将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则函数的（ ） A. 最大值为 B. 最小值为 C. 一个对称中心为 D. 一条对称轴为 【答案】D 【解析】 【分析】利用平移变换求得的解析式，进而求得最值判断AB；求得对称中心与对称轴方程判断CD. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度， 可得的图象， 又再向下平移1个单位长度得到函数的图象，所以， 当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 由，得，所以函数的， 当时，的一个对称中心为，故C错误； 由，得，所以的对称轴为， 当当时，的一条对称轴为，故D正确. 故选：D. 9. 近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再经过年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，约为（ ） （参考数据：，） A. 280 B. 300 C. 360 D. 640 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意建立等式，然后化简求解即可. 【详解】由题可知， ，即， 两式相比得 解得 故选：C 10. 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（ ） A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 【答案】B 【解析】 【分析】利用取倒数法并构造新数列求其通项公式，再由等比数列求和公式结合数列的单调性解不等式即可. 【详解】由，可得， 易知，两侧同时除，可得，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则， 故， 故， 易知单调递增，，所以. 故选：B 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中，且点M为BC边上的中点， 设内切圆的圆心为， 由于，故， 设内切圆半径为，则： ， 解得：，其体积：. 故答案为：. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 12. 已知递减的等差数列满足成等比数列，则数列的前n项和的最大值为______. 【答案】57 【解析】 【分析】利用已知条件求出，然后根据前项和与通项的关系即可求解. 【详解】解：因为数列是递减的等差数列，设公差为d，则， 所以，即，即①， 又成等比数列， 所以，即②， 联立①②，解得， 所以， 令，则，解得：， 又数列是递减的等差数列， 所以从到均大于0，从开始每项都小于0， 所以. 故答案为：. 13. 设函数. （1）当时，的解集为______； （2）若函数有3个零点，则实数a的取值范围是______. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】（1）分别求出当时和当时不等式的解集，最后取并集即可得解； （2）由零点个数可得在上有一个零点，在上有两个零点，分别求出a的取值范围，最后取交集即可得解. 【详解】当时，函数， 当时，，即， 解得； 结合，得 当时，即， 解得或， 结合，得或 综上，的解集为； 若函数有3个零点，可得在上有一个零点，在上有两个零点， 当时，，得， 因，故， 即当时，在上有一个零点； 当时，，这是一元二次方程，需有2个正根， 则，解得， 综上，a的取值范围是. 故答案为：（1）；（2）. 14. 已知长方体的外接球的表面积为，，点在四边形内含边界，且直线与平面所成角的正切值为，则长方体的体积最大时，三棱锥体积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，根据长方体外接球半径的求法可得，进而知当时，长方体的体积最大，再由线面角的定义与求法可确定点的运动轨迹，然后利用等体积法求解即可. 【详解】设长方体的外接球的半径为，则，即， 设，，， 则，即，所以， 而长方体的体积，当且仅当时，等号成立， 所以长方体的体积最大时，，即， 所以，，， 连接，，交于点，连接，则， 由长方体的性质知，平面， 因为平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以就是直线与平面所成角，即， 在中，，，所以， 即点的轨迹是在四边形内含边界，以为圆心，为半径的半圆， 过点作于点， 因为，所以， 所以半圆上的点到距离的最小值为， 所以三棱锥体积， 即三棱锥体积的最小值为 故答案为： 15. 2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，设平面过点且与平行，现有下列四个结论： ①当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于； ②当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于； ③异面直线与所成角的余弦值为； ④三棱锥的体积是该“堑堵”体积的. 所有正确结论的序号是___________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】分别对四个结论结合题意分析判断即可. 【详解】对于①，如图，取，，分别为对应边中点， 易知四边形是等腰梯形，且高为， 当不是中点时，不平行平面， 则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，. 所以① 正确； 对于②，向下作截面满足题意的梯形是直角梯形，同理，直角梯形有且仅有一个， 其面积. 所以②错误； 对于③，将三棱柱补成正方体，为对应边中点，易知为异面直线与所成角或补角，，，所以，所以③ 正确； 对于④，，，所以④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛： 平移线段法是求两异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出两异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角（或补角）； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由于两异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两异面直线所成的角． 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 记的内角的对边分别为，已知，. （1）求及； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求解角度和边长即可. （2）首先证明条件①不符合题意，选择条件②和条件③时利用余弦定理结合给定条件求解面积即可. 【小问1详解】 由和余弦定理可得. 因为为的内角，所以，故， 由变形得，由正弦定理得. 【小问2详解】 选择条件①：， 由正弦定理得，解得， 因为为的内角，所以，故， 与相互矛盾，故不存在这样的三角形， 所以我们不选择条件①， 选择条件②：， 因为，，所以， 解得，由余弦定理得， 化简得，解得或（舍）， 所以. 选择条件③：， 因为，所以. 因为，所以， 由余弦定理得，化简得. 解得或，当时，是直角三角形，与题干不符，故排除， 所以. 17. 在五面体中，平面，平面． （1）求证：； （2）若，点D到平面的距离为，求二面角的大小． （3）在第（2）问条件下，线段上是否存在点M，使得与平面所成的角为．若存在，求的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 平面，平面， ，平面，平面， 平面， 平面平面，平面， ． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）运用线面平行的判定定理得出线面平行，再由线面平行的性质定理证明线线平行； （2）利用等体积法求出为等腰直角三角形得出线段长度，建立空间直角坐标系，利用向量垂直求出，求解两平面的法向量，进而利用向量夹角余弦公式计算求解； （3）设，结合平面的法向量，利用向量法求解即可得出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，，平面，平面， ， 又平面，平面， ， 又，平面， 平面， ，， ，即， ，即，， 以D为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 设，则 ， ， ，，解得， 设平面的法向量为，平面的法向量为， ， ，令则， ， ，令，则， 设二面角的大小为，结合图象可知为钝角， ，故． 【小问3详解】 设线段上存在点M，使得与平面所成的角为， 设， 则，则， 由（2）知，平面的法向量为， ，即，解得， ，， 线段上是存在点M，使得与平面所成的角为，此时． 18. 某大学学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，已知A学院男生与女生人数之比为，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在月份的累计跑步里程进行统计，得到下表. 跑步里程 男生 女生 用样本频率估计总体概率. （1）求的值，并估计从学院所有学生中抽取一人，该学生月份累计跑步里程在中的概率； （2）从学院男生样本中随机抽取人，从学院女生样本中随机抽取人，将这人中在月份的累计跑步里程不低于的人数记为，求的分布列和数学期望； （3）该大学学院男生与女生人数之比为，学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样，已知学院和学院的样本数据整理如下表. 月份累计跑步里程平均值（单位：） 学院 性别 A B 男生 50 59 女生 40 45 设学院样本中学生月份累计跑步里程平均值为，学院样本中学生月份累计跑步里程平均值为，是否存在，使得？如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）， （2） ， （3）存在，最大值为 【解析】 【分析】（1）先根据男女比即可求出a，再根据古典概型即可求出所求概率； （2）由题意的可能取值为，求得各自对应的概率得到分布列，再计算期望即可； （3）设学院女生人数为，则男生人数为，求，即可得到不等式，解得即可. 【小问1详解】 依题意，解得， 所以在中的概率为； 【小问2详解】 学院所抽取的学生中男生有人， 其中月份的累计跑步里程低于有人，不低于有人， 学院所抽取的学生中女生有人， 其中月份的累计跑步里程低于有人，不低于有人， 由题意的可能取值为， ，， ，， 则的分布列为： ； 【小问3详解】 设学院女生有人，则男生有人， 则，， 依题意，即， 显然，解得，所以的最大值为 19. 已知椭圆的离心率，且经过点，，，，为椭圆的四个顶点（如图），直线过右顶点且垂直于轴． （1）求该椭圆的标准方程； （2）为上一点（轴上方），直线，分别交椭圆于，两点，若，求点的坐标． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的离心率和经过的点，列方程组求解即可．（2）设P（2，m），m＞0，得直线PC方程与椭圆联立，利用韦达定理，推出E的坐标， 同理求F点横坐标，由S△PCD＝2S△PEF，转化求解即可． 【详解】（1）因的离心率，且经过点， 所以 解得，．所以椭圆标准方程为． （2）由（1）知椭圆方程为，所以直线方程为，，． 设，，则直线的方程为， 联立方程组消得， 所以点的横坐标为； 又直线的方程为 联立方程组消得， 所以点的横坐标为． 由得， 则有，则， 化简得，解得，因为，所以， 所以点的坐标为． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法和直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力和转化思想的应用. 20. 已知函数.（注：…是自然对数的底数） （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若只有一个极值点，求实数m的取值范围； （3）若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程； (2)讨论的符号，判断的单调性，进而确定的零点； (3)要使取到最小值，则取最大，分析可得，结合零点代换处理即可. 【小问1详解】 （1）当时，， 故， 故在点处的切线方程为； 【小问2详解】 解：由题意知有且只有一个根且有正有负， 构建，则. ①当时，当时恒成立，在上单调递增， 因为， 所以有一个零点，即为的一个极值点； ②当时，在上恒成立，即无极值点； ③当时，当；当， 所以在单调递减，在上单调递增， 故， 若，则，即. 因为，所以当时，， 当时，， 令，则，故， 故在上为增函数. 故， 故， 故当时，有两个零点，此时有两个极值点， 当时，当时恒成立，即无极值点； 综上所述：. 【小问3详解】 解：由题意知，对于任意的，使得恒成立， 则当取最大值时，取到最小值. 当时，因为，故当时，的最小值为； 当时，当时，， 所以无最小值，即无最小值； 当时，由（2）得只有一个零点，即且， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 此时， 因为，所以， 代入得， 令， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，此时， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数求参数时，常采用分离常数法，转化求函数的最值问题. 21. 对于有限正整数数列，若存在连续子列和符号序列，，使得，其中，则称数列存在平衡连续子列． （1）写出数列2，1，2，3的一个平衡连续子列； （2）设对任意正整数，定义函数为满足的非负整数，其中为奇数，令．证明：数列不存在平衡连续子列； （3）设数列的每一项均为不大于的正整数，证明：当时，存在平衡连续子列． 【答案】（1）1，2，3 （2）证明：因为1，3，5，7是奇数，故， 所以． 因为，所以． 因为，所以， 所以数列4，2，4，1，4，2，4． 因为， 所以与奇偶性相同． 当或时，因为中，为奇数，其余各项均为偶数， 所以为奇数． 所以． 当取时， 由（1）可知， 综上，该数列不存在平衡连续子列． （3）证明：设， 则是整数数列． 下面证明对任意，均有． 显然满足． 假设结论不成立，则存在，使得或， 且当时都有． （ⅰ）若，当时，， 因为，所以，矛盾； 当时，， 因为，所以，矛盾． （ⅱ）若，当时，， 因为，所以，矛盾； 当时，， 因为， 又是整数，所以，矛盾． 综上，对任意，均有． 若存在，使得， 则存在且，使得， 此时数列存在平衡连续子列． 若任意， 因为中共个非零整数， 当时，数列中存在且，使得， 从而存在，使得， 此时数列存在平衡连续子列． 综上，当时，数列存在平衡连续子列． 【解析】 【分析】（1）通过平衡连续子列的概念判断即可； （2）分析数列中各项的奇偶性、模数特性，结合符号组合的限制条件，证明无法构造出和为0的子列； （3）通过分析将原问题转化为或且当时都有，对进行分类讨论，即可得证． 【小问1详解】 1，2，3. 子列1，2，3对应原数列的，，， 设符号序列为，，，需满足，其中，，， 若取，，，则和为， 满足， 由于存在连续子列1，2，3，以及符号序列，，均属于， 使得符号与对应项乘积的和为0，完全符合“平衡连续子列”的定义（存在连续子列和符号序列，使符号加权和为， 综上，子列1，2，3是数列2，1，2，3的平衡连续子列； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $