第5章 对函数的再探索 单元检测题 2025-2026学年青岛版数学九年级下册

《对函数的再探索》单元培优检测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．下列函数中y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝﹣3x B． C． D．y＝x﹣1 2．抛物线y＝x2+2x﹣4的顶点坐标是（　　） A．（1，5） B．（5，﹣1） C．（﹣1，﹣5） D．（1，﹣5） 3．下列函数中属于二次函数的是（　　） A．y＝2x+2 B．y＝2x2+2x C． D． 4．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m，那么水位上涨1m时，水面的宽度为（　　）m． A． B． C． D． 5．将二次函数y＝x2﹣4x﹣5改写成顶点式，下列正确的是（　　） A．y＝（x﹣4）2﹣21 B．y＝（x+4）2﹣21 C．y＝（x﹣2）2﹣9 D．y＝（x+2）2﹣9 6．氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（　　） 水的质量x/g 4.5 9 18 36 45 氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5 A．y B．y＝9x C．yx D．y 7．若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 8．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（　　）m． A．6 B．45 C．35 D．25 9．将二次函数y＝x2的图象向下平移3个单位、向右平移2个单位，得到的解析式是（　　） A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x+2）2+3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣3 10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二．填空题（每题4分，共28分） 11．反比例函数的图象在每一个象限内y随x增大而减小，则常数a的取值范围是　 　 ． 12．把二次函数y＝2x2图象向上平移1个单位所得图象的二次函数表达式为　 　 ． 13．抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为 　 　 ． 14．已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣1）、B（5，﹣1），那么该二次函数图象的对称轴为直线　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两端点分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，△AOB的面积为1，将线段AB绕平面内一点旋转180°，点A的对应点E在反比例函数第一象限的图象上，点B的对应点F在反比例函数的图象上，若点E的横坐标是点F的横坐标的倍，则k的值为 　 　 ． 16．函数与的图象如图所示，当y1，y2均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是 　 　 ． 17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1）和（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：①abc＜0；②关于x的方程ax2+bx+c+1＝0有两个不等的实数根；③a＞2；④若方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＞﹣2．其中正确的有　 　 ． 三．解答题（共8小题，共62分） 18．已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）经过点（0，1），对称轴是直线x＝1． （1）求抛物线的解析式； （2）若m是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，记，比较M与1的大小． 19．某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） （1）设菜地的宽AB为x米，则AD＝　 　 米（用含x的代数式表示）； （2）当x为何值时，围成的菜地面积最大？ 20．爱思考的源源发现碗橱里的碗壁近似呈抛物线形，碗底MN与碗口AB平行，且CM⊥MN，DN⊥MN，经过测量发现碗口AB＝10cm，碗底MN＝2cm，CM＝DN＝1cm，以MN所在直线为x轴，过点A且垂直于MN的直线为y轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式yx2+bx+c（b、c为常数）． （1）求点B的坐标； （2）向碗中倒入一些水，水面EF∥AB，且EF与AB之间的距离为cm，求水面的宽度EF． 21．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝ax2+bx+c … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 … （Ⅰ）该二次函数解析式为　 　 ； （Ⅱ）当x＝　 　 时，y有最　 　 值（填“大”或“小”）是　 　 ； （Ⅲ）若该二次函数图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），满足若x1＜x2＜﹣1，则y1　 　 y2（从符号“＞、＜、＝”中选择一个填空）； （Ⅳ）当ax2+bx+c＜0时，x的取值范围是　 　 ； （Ⅴ）当﹣2＜x＜3时，y的取值范围是　 　 ． 22．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系xOy，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是3m，小明进行了两次投篮训练． 第一次训练时，小明投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 … 竖直高度y/m 2.0 3.0 3.6 3.8 3.6 … （1）在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； （2）结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度； （3）已知此时小明距篮筐中心的水平距离5m，小明第一次投篮练习是否成功，请说明理由． 23．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． （1）求A和B的坐标； （2）点D为第一象限内抛物线上一动点，连接BD，CD． ①当点D运动到何处时，CD＝BD？请直接写出点D的坐标； ②当点D运动到何处时，△BCD的面积最大？求出点D的坐标和△BCD面积的最大值． 24．如图，直线y＝k1x+b与双曲线y交于A、B两点，已知点A的坐标（﹣3，1），点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求双曲线和直线AB的解析式； （2）若点P在第二象限，且在y图象上，满足S△OCP＝3S△ODB，求点P的坐标； （3）若点E在x轴上，是否存在以点E、C、D为顶点构成的三角形与△ODB相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图，抛物线C1：y＝ax2﹣4ax+c与x轴交于A，B两点，AB＝8，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）过点C的直线yx﹣3与x轴交于点D，点P为y轴右侧的抛物线上一点，过P作PH⊥x轴交直线CD于点E．若点E′是点E关于直线PC的对称点，且点E′落在y轴上，求点P的横坐标； （3）如图2，将抛物线C1向左平移2个单位得到抛物线C2，不过原点的直线l1与抛物线C2交于点M，交y轴的正半轴于点F，直线l2∥l1，直线l2和抛物线C2有且只有一个公共点N，若CF＝CM+4，请你证明直线MN恒过定点，并求出这个定点的坐标． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A C C D B C C 二．填空题 11．a． 12．y＝2x2+1． 13．1． 14．x＝2． 15．3． 16．x＞1． 17．②③④． 三．解答 18．解：（1）已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）经过点（0，1），对称轴是直线x＝1． 把（0，1）代入y＝ax2+2x+c（a≠0）中得c＝1． ∴， 解得a＝﹣1． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1． （2）由题意可得：﹣m2+2m+1＝0，即m2＝2m+1． ＝m， ∵m2＝2m+1， ∴， ∴当时，M＞1；当时，M＜1． 19．解：（1）设菜地的宽AB为x米， ∴AD＝39+1﹣2x＝（40﹣2x）米， 故答案为：40﹣2x； （2）设围成的菜地面积为S， 依题意，S＝AB×AD ＝x（40﹣2x） ＝﹣2x2+40x ＝﹣2（x2﹣20x+100）+200 ＝﹣2（x﹣10）2+200， ∵﹣2＜0， ∴在x＝10时，此时AD＝40﹣2×10＝20（米），S取得最大值，且为200平方米， ∴当x为10米，围成的菜地面积最大． 20．解：（1）∵AB＝10， ∴抛物线的对称轴为直线x＝5， ∴5． ∴b， ∵MN＝2cm，CM＝DN＝1cm，CM⊥MN，DN⊥MN， ∴OM4（cm）． ∴C（4，1）． 将点C（4，1）代入yx2x+c， ∴c＝7． ∴抛物线解析式为yx2x+7． 当x＝10时，y10210+7＝7， ∴点B的坐标为（10，7）； （2）∵EF与AB之间的距离为cm， ∴EF的纵坐标为7． ∴令y，则x2x+7． ∴x1＝1，x2＝9． ∴9﹣1＝8cm，即水面的宽度EF为8cm． 21．解：（1）由题意可得： ， ∴， ∴y＝x2+2x﹣3； （2）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， 故，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为：（﹣1，﹣4）， ∴当x＝﹣1时，y有最小值是﹣4， 故答案为：﹣1，小，﹣4． （3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， ∴在x≤﹣1的范围内，y随x的增大而减小， ∴该二次函数图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），满足若x1＜x2＜﹣1，则y1＞y2； 故答案为：＞； （4）∵当y＝0时，x的取值为：﹣3或1， 又∵抛物线开口向上， ∴当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1， 即当ax2+bx+c＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1， 故答案为：﹣3＜x＜1． （5）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，|﹣1﹣（﹣2）|＝1，|3﹣（﹣1）|＝4， ∴当﹣2＜x＜3时，在x＝﹣1时，y取到最小值， 又∵x＝﹣1时，y＝﹣4；x＝3时，y＝32+2×3﹣3＝12， ∴当﹣2＜x＜3时，y的取值范围是﹣4≤y＜12， 故答案为：﹣4≤y＜12． 22．解：（1）如图所示即为所求， （2）∵图象经过点（2，3.6），（4，3.6）， ∴抛物线关于直线x＝3对称， 由（1）可知，图象开口向下，且经过点（3，3.8）， ∴篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为3.8m； （3）小明第一次投篮练习成功． 该抛物线的顶点坐标为（3，3.8）， ∴y＝a（x﹣3）2+3.8， 则：2.0＝a（0﹣3）2+3.8， ∴． ∴， 将x＝5代入得，， ∴小明第一次投篮练习成功． 23．解：（1）∵x2+3x+4＝﹣（x+1）（x﹣4）， ∴当y＝0时，x＝﹣1或x＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0）； （2）①当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），设（t，﹣t2+3t+4）， ∵CD＝BD， ∴t2+（﹣t2+3t）2＝（t﹣4）2+（﹣t2+3t+4）2， 解得或（舍）， ∴D点坐标为； ②设D（m，﹣m2+3m+4）， 设直线BC的解析式为y＝kx+4， ∴4k+4＝0， 解得k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 过点D作DE∥y轴交BC于点E，则E（m，﹣m+4）， ∴DE＝﹣m2+3m+4+m﹣4＝﹣m2+4m， ∴， ∴当m＝2时，△BCD面积的最大值是8，此时点D的坐标是（2，6）． 24．解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：3，解得：k2＝﹣3， 即反比例函数表达式为：y， 将点B的坐标代入上式得：﹣3，解得x＝1， 即点B的坐标为（1，﹣3）， 设直线AB的表达式为y＝k1x+b， 则， 解得， 即直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣2； （2）对于y＝﹣x﹣2，令y＝﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2，即点C（﹣2，0），即OC＝2， ∵S△OBDOD×xB2×1＝1，S△PCOOC×yP2yP＝yP，△OCP的面积是△ODB的面积的3倍， ∴S△PCO＝yP＝3， 当y＝3时，y，解得x＝﹣1， 即点P（﹣1，3）； （3）由点B、D的坐标得：BD，同理可得：CD＝2，OB， 由OD＝OC＝2知，∠OCD＝∠ODC＝45°，则∠ODB＝135°， 1）当E在线段OC（不与O重合）上时，两个三角形一定不能相似； 2）当E在线段OC的延长线上时，设E的坐标是（x，0），则CE＝﹣2﹣x， 此时，∠ECD＝∠ODB＝135°， 当△CED∽△DBO时， 则，即， 解得x＝﹣4， 即点E（﹣4，0）； 当△CED∽△DOB时， 则，即， 解得x＝﹣6， 即点E（﹣6，0）， 3）当点E在CO的延长线上时，设E的坐标是（x，0），则CE＝2+x， 此时，∠CDE＝∠ODB＝135°， 当△CDE∽△BDO时， 则，即， 解得x＝22， 即点E（22，0）； 当△CED∽△ODB时， 则，即， 解得x＝22， 即点E（22，0）， 综上，点E的坐标为（﹣4，0）或（﹣6，0）或（22，0）或（22，0）． 25．解：（1）∵抛物线过点C（0，﹣3）， ∴c＝﹣3， ∵对称轴为直线， ∴． ∴B（6，0），代入y＝ax2﹣4ax+c， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）连接EE'，作EG⊥OC于点G， 设点，则， 在Rt△CEG中，ECp， ∵点E'是点E关于直线PC的对称点，PH⊥x轴交直线CD于点E． ∴∠ECP＝∠E'CP＝∠EPC， ∴EC＝EP， ∴， ∴， ①时， 则p2pp， 解得p1＝0（舍），p2＝12， ②时， 则， 解得p1＝0（舍），p2＝2， ∴点P的横坐标为2或12； （3）抛物线C1：， 抛物线C1向左平移得到抛物线C2：， 设点M，则， ∴设l2：， 联立， 解得， ∴l2：， ∵l1∥l2， ∴l1：， ∴， ∴， 则CF＝CM+4， ∴OF＝CF﹣3， ∴， ∴mn＝﹣12， ∴， ∴直线MN恒过定点（0，﹣1）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/11 16:09:26；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $