专题 5.8 一元一次方程（全章知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年人教版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 5.8 一元一次方程（全章知识梳理+题型精析+同步练习） 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点一、方程定义 1 【题型1】方程的辨析与列方程 1 知识点二、一元一次方程 3 【题型2】一元一次方程的辨析与列一元一次方程 3 知识点三、方程的解与解方程 4 【题型3】方程的解判定 4 知识点四、等式的性质 6 【题型4】等式的性质的判定与应用 6 知识点五、一元一次方程的解法 8 【题型5】解一元一次方程 9 【题型6】解特殊一元一次方程 11 【题型7】用简便方法解一元一次方程 13 知识点六、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 16 【题型9】配套、方案、和差倍分问题 16 【题型10】行程与工作问题 19 【题型11】销售与利润问题 22 【题型12】阶梯问题 24 二．同步练习​ 27 【基础巩固（15题）】 27 【能力提升（15题）】 36 一．知识梳理与题型分类精析 知识点一、方程定义 含有未知数的等式叫做方程． 【题型1】方程的辨析与列方程 【例题1】（25-26七年级上·四川达州·开学考试）下面式子中，是方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是方程的定义，解题关键是熟练掌握方程的定义． 方程是指含有未知数的等式．根据该定义判断即可得解． 解：、不是等式，不符合方程定义，该选项错误； 、是含有未知数的等式，符合方程定义，该选项正确； 、没有未知数，不符合方程定义，该选项错误； 、不是等式，不符合方程定义，该选项错误． 故选：． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）一系列方程，第1个方程是，解为；第2个方程是，解为；第3个方程是，解为，，根据规律，第10个方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，解方程的运用，根据题目中方程的变化规律，即可求解，理解数量关系，找出规律是解题的关键． 解：第1个方程是，解为， 第2个方程是，解为， 第3个方程是，解为， ， 根据规律，第个方程为，解为， ∴第10个方程是，解为， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）列方程表示下列语句中的相等关系： （1）某地2023年9月10日的温差是，这天最高气温是，最低气温是； （2）某校七年级学生人数为n，其中男生占，女生有110人； （3）一种商品每件进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元； （4）在5天中，第一小组共植树60棵，第二小组共植树棵，平均每天第一小组比第二小组多植2棵树． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是理解题意，找出相等关系列出方程． （1）根据温差最高气温最低气温，列出方程即可； （2）根据女生人数总人数女生所占的比例，列出方程即可； （3）根据现售价原来的售价降价的钱数，列出方程即可； （4）根据第一小组平均每天种树的棵数第二小组平均每天种树的棵数，列出方程即可． 解：（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得； （3）解：根据题意，得； （4）解：根据题意，得． 知识点二、一元一次方程 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 【题型2】一元一次方程的辨析与列一元一次方程 【例题2】（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）下列方程中，不是一元一次方程的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键； 根据一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，对选项一一判断即可求解． 解：A、，是一元一次方程，不符合题意； B、，是一元一次方程，不符合题意； C、，是一元一次方程，不符合题意； D、，含有个未知数，不是一元一次方程，符合题意． 故选：D． 【变式1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列方程中， 是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 【答案】②③ 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，据此逐一进行判断即可得到答案． 解：根据一元一次方程的定义可知： ①，不是一元一次方程，不符合题意； ②，是一元一次方程，符合题意； ③，是一元一次方程，符合题意； ④，不是一元一次方程，不符合题意； 故答案为：②③． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键． 根据一元一次方程的定义列式求解即可． 解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 【归纳小结】判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 知识点三、方程的解与解方程 使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 【题型3】方程的解判定 【例题3】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）实数是关于的方程的解，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解、求代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解此题的关键．将代入方程可得，再将，，代入可得，从而可得答案． 解：实数是关于的方程的解， ， ，， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知是关于x的一元一次方程，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元一次方程的定义（二次项系数为 0 且一次项系数不为 0）及代数式求值，解题的关键是通过一元一次方程的定义确定m的值，再求解x并代入代数式计算． 根据一元一次方程定义列条件，确定；代入m的值解出；将m和x代入代数式计算结果． 解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，解得或， ，即，解得． 综上，． 将代入原方程，得： ，即， 解得． 将代入代数式得， ． 故答案为：0． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程是一元一次方程． （1）求的值． （2）请判断和是否为方程的解． （3）求的值． 【答案】（1）；（2）不是方程的解；是方程的解；（3） 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，可知，，解之即可得到答案； （2）将（1）中得到的的值代入原方程，分别将，，代入方程中，若能使等式成立，即为方程的解，否则就不是； （3）化简求值后，将（1）中得到的的值代入即可得到答案． 解：（1）解：由题意，得，解得． （2）解：由（1）可知，，则方程为． 把代入，左边右边，故不是方程的解； 把代入，左边右边，故是方程的解． （3）解：原式． 当时，原式． 【点拨】本题考查了一元一次方程的解及其定义，熟练掌握一元一次方程的概念及解法是解题的关键． 知识点四、等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 【题型4】等式的性质的判定与应用 【例题4】（24-25六年级下·江苏南京·期末）学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 【答案】A，B 【分析】本题主要考查数学基本事实应用，根据2个苹果个梨个梨，等号两边都去掉1个梨得出2个苹果个梨，运用了等式的性质；2个苹果克，2个苹果个梨，可得4个梨克，运用了等量的等量相等，由此可得结论． 解：2个苹果个梨个梨，等号两边都去掉1个梨得出2个苹果个梨，运用了等式的性质； 2个苹果克，2个苹果个梨，可得4个梨克，运用了等量的等量相等， 故答案为：A，B． 【变式1】（24-25七年级上·广东广州·期末）下列运算错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的基本性质计算即可． 解：A、根据等式的基本性质1，将两边同时加，得， ∴A正确，不符合题意； B、由，得， ∴， ∴B正确，不符合题意； C、当时，根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得， 当时，不定成立， ∴C错误，符合题意； D、根据等式的基本性质2，将的两边同时乘-1，得， 根据等式的基本性质1，将的两边同时加，得， 根据等式的基本性质1，将的两边同时除以3，得， ∴D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） （1）第______步等式变形产生错误； （2）请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【答案】（1）；（2）产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为． 【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步； （）根据等式的基本性质即可解答； 本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 解：（1）解：第步等式变形产生错误， 故答案为：； （2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为． 正确过程： 两边同时加，得， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 知识点五、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． （2）去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． （3）移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． （4）合并：合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b（a≠0）的形式． （5）系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解（a≠0）． （6）检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【题型5】解一元一次方程 【例题5】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1（对于有分母的方程还需去分母）． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解方程． 解：（1）解：， ； （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并得，， 系数化为1，得：． 【变式1】（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，解题关键是根据错误的去分母过程求出的值．根据错误解法求得，进一步求得，再代入原方程求解正确的解即可． 解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 小玲解得， ，， 将代入得： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可． 整理、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可． 解：（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解：整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 【题型6】解特殊一元一次方程 【例题6】（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． （1）解方程：； （2）解方程：； （3）探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 【答案】（1）或；（2）或；（3）当时，方程无解；当时，方程只有一个解；当时，方程有两个解 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． （1）先移项得到，利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）先利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （3）利用绝对值的意义讨论：当或或时确定方程的解的个数即可． 解：（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， ∴原方程的解为或； （3）解：∵， ∴当时，方程无解； 当时，方程只有一个解； 当时，方程有两个解． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于x的方程有4个不同的解，则的值为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，解决本题的关键是正确理解绝对值的意义并根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把方程转化为一般形式的方程．首先去绝对值符号得到，进而得到或，由关于x的方程有4个不同的解，得到，求出，再整体代入化简计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∵关于x的方程有4个不同的解， ∴且， ∴， ∴． 【变式2】（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）或或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值方程等知识点，熟练掌握一元一次方程的解法并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）将方程化为，各部分分别通分并相加，将方程变形为，于是得解； （2）分类讨论：当时；当时；当时；分别求解即可． 掌握解法，能将方程转化为一元一次方程是解题的关键． 解：（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 综上所述：或或． 【题型7】用简便方法解一元一次方程 【例题7】（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． 先去括号，再移项，然后合并同类项，最后系数化为即可． 解：去中括号，得：， 去小括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 【变式】（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，理解一元一次一次方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，是解答关键. （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1求解； （2）先去中括号，再去小括号，再移项，合并同类项，系数化1求解． 解：（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去中括号，得， 去小括号，得， 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 【题型9】（2024七年级下·江西上饶·竞赛）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，数式的规律探索，有理数的混合运算，熟练根据题意得出，再进行裂项计算是解题的关键．先得出，方程化为，整理后裂项为，计算即可． 解：∵，，， ∴， ∴原方程可化为：， 即：， 所以， 化为， 则， 即， 解得． 【变式】（2025七年级下·广东湛江·竞赛）求未知数x的值： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解答本题的关键． （1）根据“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”求出未知数的值即可． （2）将方程变形为，再运用裂项法求解即可． 解：（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1，得：； （2）解：， ， ， ， ， 解得：． 知识点六、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 【题型9】配套、方案、和差倍分问题 【例题9】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）高州市深镇仙人洞自然生态风景旅游区有“高州九寨沟”之称，山清水秀，吸引着各方游客．“五一”黄金周为吸引更多的游客，管理处在普通票价每人50元的基础上，制定两种团队票优惠方案：甲方案是团队中两人按原票价购买，其余每人优惠；乙方案是按团队人数每人均优惠．设某团队共x人，请对x的取值情况进行分析，说明应选择哪种优惠方案更合算？ 【答案】时，乙方案更合算；，甲方案和乙方案所需费用相同；，甲方案更合算 【分析】本题考查了列代数式，方案选择问题，根据题意列出代数式，然后再分情况讨论即可得出答案． 解：设某团队共x人， 甲方案： ， 乙方案： ， 令， 解得， 当时，， 时，乙方案更合算， 当时，， ，甲方案和乙方案所需费用相同， 当时，， ，甲方案更合算． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． （1）若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ （2）现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 【答案】（1）用钢材做部件，用钢材做部件；（2）当时，选择方案二更合算，当时，两种方案费用相同；当时，选择方案一更合算． 【分析】（1）设应用钢材做A部件，钢材做B部件，根据一套检测仪器由两个A部件和三个B部件构成，列方程求解；（2）方案一租金根据当a超过60套时，超过的套数每套支付租金打八折列式计算可得；方案二租金根据每套支付租金90元列式计算可得；根据,得到，三种情况分析即可； （1）解：设用钢材做部件，用钢材做部件．依题意，得，解得，则． 答：用钢材做部件，用钢材做部件． （2）解：方案一：元． 方案二：元． 当时，解得． 答：当时，，选择方案二更合算； 当时，两种方案费用相同； 当时，选择方案一更合算． 【点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用，配套问题的解决方法，解决问题的关键是正确理解题意列得方程或列式计算． 【变式2】（23-24七年级上·重庆·期中）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． （1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数； （2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】（1）生产盲盒A的工人人数为600人；（2）该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为人，根据该工厂共有1000名工人，列出方程，解方程即可； （2）设安排m人生产盲盒A，则安排人生产盲盒B，根据2个盲盒A和3个盲盒B组成，列出方程，解方程即可． 解：（1）解：设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为人， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：生产盲盒A的工人人数为600人； （2）解：设安排m人生产盲盒A，则安排人生产盲盒B， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 【题型10】行程与工作问题 【例题10】（2025九年级·江西·专题练习）把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． （1）这个班有多少名学生？ （2）读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 【答案】（1）这个班有45名学生；（2）应先安排2人整理图书 【分析】（1）设这个班有名学生，根据如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则差本．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设应先安排人整理图书，现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，正好完成这项任务，列出一元一次方程，解方程即可． 解：（1）解：设这个班有名学生． 由题意，得， 解得． 答：这个班有名学生． （2）解：设应先安排人整理图书． 由题意，得， 解得． 答：应先安排人整理图书． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·期末）育红学校七年级学生步行到郊外旅行，七（1）班学生组成前队，步行速度为5千米/时，七（2）班学生组成后队，步行速度为7千米/时，前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断进行联络，他骑车的速度为12千米/时，根据上面的事实回答问题． （1）后队第一次追上前队用了　　小时；后队第一次追上前队时联络员行了　　千米． （2）联络员第一次追上前队用了多长时间？请你写出求解过程． （3）联络员第一次与后队相遇用了多长时间？请你写出求解过程． 【答案】（1）；30；（2）联络员第一次追上前队用了小时；（3）联络员第一次与后队相遇用了小时 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键． （1）根据两队行驶的速度列出算式求出后队第一次追上前队所用时间即可；根据速度、路程和时间关系，求出联络员行驶的路程即可； （2）设联络员第一次追上前对用了x小时，根据联络员第一次追上前队需要行驶的路程与前队行驶的总路程相等，列出方程，解方程即可； （3）设联络员第一次与前队相遇到与后队相遇用了y小时，根据题意列出方程，求出y，最后求出结果即可． 解：（1）解：由题得： 后队第一次追上前队用的时间为： （小时）， 后队第一次追上前队时联络员行驶的路程为： （千米）， （2）解：设联络员第一次追上前队用了x小时，根据题意得： ， 解得，， 即联络员第一次追上前队用了小时； （3）解：设联络员第一次与前队相遇到与后队相遇用了y小时，根据题意得： ， 解得：， ∴， 即联络员第一次与后队相遇用了小时． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为9． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是________； （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数． （3）若当电子蚂蚁P从B点出发，以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距4个单位长度？ 【答案】（1）4；（2）；（3）2或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）先求得A、B两点的距离，进而用点的数减去的距离的一半，即可求解； （2）设运动的时间为，根据题意，列出一元一次方程，即可求解； （3）设运动的时间为，分相遇前与相遇后相距4个单位，列出方程，解方程即可求解． 解：（1）解：依题意，A点对应的数为，B点对应的数为9． ， 对应的数为， 故答案为：4． （2）解：设运动的时间为t， ， 解得， 点C所表示的数为； （3）设运动的时间为t， 相遇前：， 解得， 相遇后：， 解得， 综上所述：或． 【题型11】销售与利润问题 【例题11】（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）一个农业合作社以元的成本收获了某种农产品，目前可以以的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失，且每星期需支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元． （1）设储藏了个星期，请用含的代数式表示每吨农产品的价格为______元，此时农产品有______吨； （2）若出售这批农产品可获利元，问这批农产品储藏了多少个星期？ 【答案】（1），；（2）这批农产品储藏了15个星期 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，明确题意，列出相应的方程和代数式是解答本题的关键． （1）根据题意，可以用含x的代数式表示出每吨农产品的价格和此时农产品的吨数； （2）根据题意，设这批农产品储藏了m个星期，可以列出相应的方程，然后求解即可． 解：（1）解：由题意可得， 储藏了个星期，每吨农产品的价格为：元，此时农产品有吨， 故答案为：，； （2）解：设这批农产品储藏了m个星期， 由题意可得：， 解得， 答：这批农产品储藏了15个星期． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）某合作社用17500元从农户处购进，两种水果共进行销售，其中种水果收购单价为10元，种水果收购单价为15元． （1），两种水果各购进多少千克？ （2）已知种水果运输和仓储过程中质量损失，要使种水果获得的利润，不计其他费用，求种水果的销售单价． 【答案】（1）种水果购进，种水果购进；（2）种水果的销售单价为元 【分析】（1）设种水果购进，则种水果购进，根据该合作社用元从农户处购进，两种水果共进行销售，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设种水果的销售单价为元，根据种水果运输和仓储过程中质量损失，要使种水果获得的利润，列出一元一次方程，解方程即可． 解：（1）解：设种水果购进，则种水果购进． 根据题意，得， 解得，． 故种水果购进，种水果购进． （2）解：设种水果的销售单价为元． 根据题意，得，解得． 故种水果的销售单价为元． 【点拨】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【变式2】（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）国庆节期间某商场对顾客实行优惠，规定如下：若一次购物不超过200元（含200元），按标价九折优惠，若一次购物超过200元，但不超过500元（含500元），所有商品按标价给予八折优惠，若一次购物超过500元，其中500元按八折优惠之外，超过500元的部分给予七折优惠．某人两次购物分别付款180元和456元，如果他合起来一次去购买同样的商品，他还可以节约多少钱？ 【答案】他合起来一次去购买同样的商品，他可以节约40或22.5元钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设付款180元和456元的标价分别为x元、y元，然后分①付款180元购物不超过200元，②付款180元购物超过200元两种情况，根据优惠方法分别列出方程求解，再根据优惠方法求出合起来一次去购买同样的商品时的付款，再求解即可． 解：设付款180元和456元的标价分别为x元、y元， ①由题意得，， 解得， ， 解得， 合起来一次去购买同样的商品标价为元， 应付款：元， 节约的钱数元； ②， 解得， 合起来一次去购买同样的商品标价为元， 应付款：元， 节约的钱数元； 答：他合起来一次去购买同样的商品，他可以节约40或22.5元钱． 【题型12】阶梯问题 【例题12】（24-25七年级上·全国·课后作业）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市将居民用管道天然气用气量及价格分为三档，其中： 用气量 年用气量 价格 第一档 不超出的部分 3.0 第二档 超出，不超出的部分 a 第三档 超出的部分 （1）若甲用户2024年前三个月已使用天然气，则应缴费________元． （2）若乙用户2024年已使用天然气，则应缴费________元．（用含a的代数式表示） （3）已知丙用户2024年用气量为，当时，请用含x的代数式表示丙用户这一年的燃气费． 【答案】（1）600；（2）；（3）当丙用户用气量不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过时，支出的燃气费为元 【分析】（1）甲用户年前三个月已使用天然气，不超过，直接用用量×第一档单价即可求出费用； （2）乙用户2024年已使用天然气，需将用量分为两部分：第一档的和第二档的，分别按对应单价计算后求和，得到含的代数式即可； （3）对三档分类讨论费用计算．已知，需根据用量的不同范围，分别计算各档的费用并汇总，体现分类讨论的数学思想． 解：（1）解：甲用户使用天然气，因为不超过，价格为元. 故费用为：（元）. （2）解：乙用户年已使用天然气，为两段缴费：不超过和在和之间两段进行缴费：（元）； （3）解：丙用户用气量不确定，需进行分类讨论： 当时： 缴费：元； 当时： 缴费：（元）， 当时， （元） 当时： 缴费： 当时， （元） 综上所述：丙用户这一年的燃气费为：当丙用户用气量不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过时，支出的燃气费为元 【点拨】本题主要考查了列代数式，解答的关键是理解清楚题意，找到其中的数量关系． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）某市为鼓励居民节约用电，对居民生活用电实行阶梯收费，居民用电价格改革方案已出台，如下表： 用电量的范围 不超过的部分 超过的部分 价格/﹝元/（﹞ 0.5 0.6 小芳家二月份用电，交电费105元，则的值为 ． 【答案】150 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用（分段计费问题）需判断用电量是否超过阶梯电量，再根据电费的计算方式列出方程求解． 解：首先，若全部按元收费，电费为元 由于实际交电费元，说明即用电量超过了． 根据分段计费规则： 不超过的部分，电费为元； 超过的部分为kW⋅h，电费为元； 总电费为元，因此列方程： 解得：． 故答案为：150． 【点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用（分段计费问题），解题关键是判断用电量是否超过阶梯电量，再根据不同收费段的标准列出方程． 【变式2】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． （1）求a的值； （2）该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据水费标准进行计算即可； （2）判断出10月份的用水量超过，根据水费的收费办法列方程求解即可． 本题考查一元一次方程的应用，理解题目中“收费办法”是解决问题的关键． 解：（1）由题意得，， 解得， 答：； （2）， 该居民用户10月份的用水量超过， 设该居民用户10月份的用水量为，由题意得， ， 解得， 答：该用户10月份用水． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·广西桂林·期中）下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加减同一数或乘除同一非零数，等式仍成立．需注意乘除时数不能为零． 解：选项A：若， 两边加6得， 符合等式性质，正确． 选项B：若， 当时， 无论a、b为何值等式均成立， 此时无法推出． 因未限定，变形错误． 选项C：若， 隐含，两边乘c， 得，正确． 选项D：若， 两边除以（非零数），得，正确． 综上，B选项的变形未排除的情况，故错误． 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各题中的变形属于移项的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，移项是指将方程中的项从等号的一边移动到另一边，并改变该项的符号；根据此定义，逐一判断各选项； 解：选项A：由 得 ，移动时符号错误，不属于移项； 选项B：由 得 ，仅运用加法交换律，不属于移项； 选项C：由 得 ，将8移项后变为，将移项变为，符号改变，属于移项； 选项D：由 得 ，仅交换等式两边，不属于移项。 故选：C 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果与的值互为相反数，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去括号、移项、合并、将未知数系数化为，求出解． 根据互为相反数两数之和为列出方程，求出方程的解即可得到的值． 解：根据题意得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 故选：D． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】求出第一个一元一次方程的解得到的值，再代入第二个方程中即可求出的值． 解：解方程得 两个方程的解相同， 把代入,得 解得： 故选：C． 【点拨】本题考查了同解方程及解一元一次方程，两方程未知数的值相同即为同解方程，解决问题的关键是准确计算. 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）某书中有一个方程，■处在印刷时被墨盖住了．若已知书后的答案为，则■处的数字应是（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，把代入原方程，得到关于■的一元一次方程，解方程即可得出答案． 解：∵是方程的解， ∴ ∴ ∴， 解得： ， 故选B. 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，根据总人数不变，分别用x表示两种乘车方式下的人数，建立方程即可． 解：每3人乘一车，剩余2辆车， ∴总人数为 ； 每2人共乘一车，剩余9人无车， ∴人数为 ； ∴， 故选B． 二、填空题 7．（2025七年级上·全国·专题练习）已知是方程的一个解，则整式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查方程的解，代数式求值，掌握方程的解的定义是解题的关键． 将代入，得到和的数量关系并代入计算即可． 解：将代入， 得， 经整理，得， 则 ． 故答案为：2025． 8．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）已知，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的非负性是解决本题的关键． 根据绝对值的非负性求出x，y的值，进而代入即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴ ， 故答案为：2021． 9．（24-25七年级下·河南南阳·开学考试）若单项式与是同类项，则的值是 【答案】0 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，解一元一次方程，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键． 根据相同字母的指数相同列方程求解即可． 解：∵单项式与是同类项， ∴ 解得． 故答案为：0． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）当 时，代数式的值比代数式的值大1． 【答案】 【分析】根据代数式的值比代数式的值大这一条件，列出一元一次方程，再通过解一元一次方程的一般步骤求解的值． 解：根据题意，列方程： 去分母： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为 ：． 故答案为：． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是根据代数式值的大小关系列出一元一次方程，并熟练运用“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1”的步骤解一元一次方程． 11．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）满足的整数共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值的化简，绝对值方程，熟练掌握绝对值的意义及性质，利用绝对值的性质解题是关键． 先进行分类讨论，再根据绝对值的性质化简即可求出答案． 解：当时，， 令，解得：； 当时，，恒为4， ∵是整数 ∴或或0； 当时，， 令， 解得： 综上，整数可能为、、、0、1，共有5个． 故答案为：5． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余45cm；将绳子对折再量木头，木头还剩余10cm．木头长多少厘米？设木头长xcm，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据绳子长度不变这一等量关系，用含木头长度的式子表示出绳子的长度，进而列出方程． 解：设木头长厘米 用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余，绳子长度为：厘米； 第二次将绳子对折再量木头时，根据将绳子对折再量木头，木头还剩余10cm可得对折后的绳长为cm，因此绳子总长为cm； 由于绳子的长度始终不变，则： 整理得： 故答案为：． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是抓住绳子长度不变这一等量关系，分别用含的式子表示出绳子的长度，进而建立方程． 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·单元测试）解下列一元一次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握其解法是解题的关键． （1）去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 解：（1）解： （2）解： . 14．（25-26七年级上·重庆·开学考试）解下列一元一次方程： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，熟练掌握一元一次方程的求解步骤是解决本题的关键． （1）先去分母，等号两边同乘6，再去括号，并移项合并同类项求解即可； （2）先去括号，再去分母，等号两边同乘4，并移项合并同类项求解即可． 解：（1）解：方程为， 去分母可得，， 去括号可得，， 移项并合并同类项可得，， 解得， ∴方程的解为； （2）解：方程为， 去括号可得，， 去分母可得，， 去括号可得，， 移项并合并同类项可得，， 解得， ∴方程的解为． 15．（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 解：（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 16．（25-26七年级上·江苏南通·开学考试）A、B两个玩具城都在搞促销活动（如下）． A玩具城所有商品一律八折 B玩具城每满100元减25元 （1）小军要买一辆280元的玩具汽车，在哪个玩具城购买更便宜？ （2）一个一百多的玩具熊，在两个玩具城不仅标价相同，而且促销后的优惠价也相同，这个玩具熊的标价是多少元？ 【答案】（1）A玩具城；（2）125元 【分析】本题主要考查最优化问题，关键是明确两家玩具城的优惠政策； （1）根据两家玩具城的优惠政策，分别计算所需钱数；然后比较两家玩具城所需钱数，即可得出结论． （2）一个一百多的玩具熊，在玩具城只能优惠25元，设这个玩具熊的标价是元，根据促销后的优惠价也相同列方程解答即可． 解：（1）解：玩具城： （元） 玩具城： （组） （元） （元） 答：在玩具城买便宜． （2）解：设这个玩具熊的标价是元． 答：这个玩具熊的标价是125元． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值是（　 　）． A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义及解一元一次方程，解题的关键是利用“方程的解能使方程左右两边相等”的性质，将代入原方程，转化为关于的一元一次方程求解． 根据方程的解的定义，将代入原方程，得到关于的方程；对该方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出的值；将求出的值与选项对比，确定答案． 解：∵方程的解是， ∴将代入方程得：， 去括号：， 合并同类项：， 移项：， 即． 系数化为1： 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式性质1：等式两边加（或减）同一个数或式子，结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 根据等式的基本性质，逐一分析各选项是否符合条件，特别注意除数不能为零的情况． 解：A．若，两边同时加，得，而非，故该选项错误，不符合题意； B．若，当时，两边可除以得；但若，原式恒成立，此时和不一定相等，故该选项错误，不符合题意； C．若，两边同乘得．无论是否为0，此操作均成立（若，两边均为0），故该选项正确，符合题意； D．若，两边应同时加减相同数．左边加，右边减会导致，显然破坏等式平衡，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）满足的的值的个数为（   ） A．5个 B．6个 C．无数个 D．不存在 【答案】C 【分析】此题考查的是绝对值的意义，解一元一次方程，掌握利用绝对值的性质去绝对值是解决此题的关键．根据与6的大小关系分类讨论，分别去掉绝对值解方程即可得出结论． 解：当时， 由可得， 解得：； 当时， 由可得， 可得， 此方程有无数个解； 综上：方程的解的个数为无数个． 故选：C． 4．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元一次方程解的情况求参数，有理数的加法运算，先解方程得到 ，根据方程有正整数解，得到 必须是负整数且是的约数，从而求出整数的值，再求和即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴， ∵ 方程有正整数解， ∴ 且为整数， ∴且是的约数， ∵的负约数有和， ∴或， 解得或， ∴整数的所有可能取值的和为， 故选：． 5．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某商人一次卖出两件衣服，一件赚了，一件亏了，售价都是元，在这次生意中，该商人（  ） A．不赚不赔 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是计算出两件商品的进价，再根据售价和进价的关系得到答案． 首先计算出两种商品的进价，然后再根据售价，比较是亏是赚，亏多少，赚多少．还应注意亏赚都是在原价的基础上． 解：设赚了的衣服的进价是元， 则：， 解得：， 设赔了的衣服的进价是元， 则， 解得：， 总进价：元， 总售价：元 元， 所以亏了元， 故选：C． 6．（25-26七年级上·全国·期末）如图所示的是某月的月历，任意选取“H”形框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（  ） A．154 B．98 C．85 D．70 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握“H”型框中的7个数的数字排列规律是解决问题的关键. 设“H”型框中的正中间的那个数为,则其他6个数分别为,然后表示出这7个数的和，分别建立方程，解方程逐项分析即可得. 解：设“H”型框中的正中间的那个数为,则其他6个数分别为, 所以这7个数的和为. A、若,解得,结合月历可知，成立，则此项不符合题意； B、若,解得,结合月历可知，成立，则此项不符合题意； C、若,解得,不是正整数，不成立，则此项符合题意； D、若,解得,结合月历可知，成立，则此项不符合题意； 故选：C. 二、填空题 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上表示的点与表示6的点到原点的距离相等，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据题意列出方程并化简绝对值的表达式，解方程即可，解题的关键是根据绝对值的几何意义列出方程求解． 解：数轴上表示的点与表示数6的点到原点的距离相等， ， ， ， ， 故答案为： ． 8．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）关于的一元一次方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 【答案】16 【分析】本题考查一元一次方程的解，先解方程，得到，再根据有正整数解，求出m的值，相加即可得到答案． 解：， ， 当时，， ∵是正整数， ∴整数， 所以，它们的和为； 故答案为：16． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）关于x的方程与的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程中的同解方程，求出方程的解，再把解代入即可求出的值. 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 将代入得： 解得： 故答案为： ． 10．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数，解一元一次方程，将错就错，求出的值，再根据正确的步骤解方程即可． 解：小明的做法是：， ， ， ， ， ， 小明得到方程的解为， ， ， ∴方程为， ， ， ， ， ， ∴方程的正确解为， 故答案为：． 11．（2024七年级下·湖南长沙·竞赛）方程：的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，通过将方程拆项移项转化为，即可求得方程的解． 解：原方程转化为， ， 即， ∴． 故答案为：． 12．（25-26六年级上·上海·阶段练习）将正整数按如下方式排列：    在这个数阵里用长方形框出两行六个数（图中长方形框仅为示意）．如果框出来的六个数的和是432，则框出的六个数中，最小的数是最大的数的 （填几分之几）． 【答案】 【分析】本题考查数阵规律以及一元一次方程的应用． 解题关键在于找出数阵中数的排列规律，设出最小的数，用含未知数的式子表示出其余五个数，再根据六个数的和列出方程求解，最后求出最小数与最大数的比值． 解：设最小的数为，则这六个数为， ， ， 解得， 所以最小的数为，最大的数为， 则最小的数是最大的数的． 三、解答题 13．（2024六年级下·重庆渝中·专题练习）解方程． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）先根据等式的基本性质进行变形，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 解：（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）解： 变形得， 去分母得， 去括号得， 移项得，， 合并得，， 解得，． 14．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： （1）． （2） 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先变形，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出x的值； （2）移项得，则，再由绝对值的含义可得或，再解方程进行判断即可． 解：（1）解：， 方程可化为， 去分母得，， ， ， ， 解得：． （2）解：， 则， ， 解得， 由绝对值的意义可得，或， 解得（舍去）或（舍去）， 所以，原方程无解． 15．（24-25七年级下·四川内江·期中）市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． （1）求甲、乙两队合作施工的时间． （2）施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 【答案】（1）甲、乙两队合作8天才能完成该工程；（2）甲、乙两队各获得工程款万元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出方程和算式，准确计算； （1）设甲、乙两队合作天才能完成该工程，将整个工程看作单位1，然后列方程，解方程即可； （2）根据题意求得各自完成工作量，再按比例分配，计算即可． 解：（1）.解：设甲、乙两队合作天才能完成该工程，则甲队单独施工的时间为天， 依题意可列方程：， 解得：， 所以甲、乙两队合作8天才能完成该工程； （2）解：由（1）知乙队完成工作量，则甲队也完成工作量， 按比例分配得甲队获得工程款万元，乙队获得工程款万元， 答：甲、乙两队各获得工程款万元． 16．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）超市零食区共有薯片、饼干、坚果三种零食共100袋，其中薯片数量是饼干数量的，坚果有40袋．进货补充后，饼干的总库存数量是薯片总库存数量的．已知坚果的总库存数量是200袋，薯片的总库存数量比坚果的总库存数量多． （1）求超市零食区原有薯片与饼干各有多少袋？ （2）求进货补充后，超市零食区薯片的总库存和饼干的总库存分别是多少袋？ （3）超市计划将这些零食全部售出，若薯片进价每袋4元，饼干进价每袋2元，坚果进价每袋3.5元．薯片售价每袋6元，饼干售价每袋3元，坚果售价每袋5元．预计在出售过程中，平均每种零食会有因包装破损不能出售，超市全部出售完是赚钱还是赔钱？赚了多少元或赔了多少元？ 【答案】（1）超市零食区原有薯片袋，饼干袋；（2）补充后，超市零食区薯片的总库存是袋，饼干的总库存是袋；（3）超市全部出售完是赚钱，赚了元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，有理数四则运算的实际应用． （1）设超市零食区原有饼干袋，则超市零食区原有薯片袋，根据超市零食区原有薯片、饼干、坚果三种零食共100袋，坚果有40袋，列出一元一次方程求解即可； （2）根据进货补充后，坚果的总库存数量是200袋，薯片的总库存数量比坚果的总库存数量多，即可求出薯片的总库存数量，再根据饼干的总库存数量是薯片总库存数量的即可求出饼干的总库存数量； （3）先求出总的进货货款，再求出总的销售额，作差即可解答． 解：（1）解：设超市零食区原有饼干袋，则超市零食区原有薯片袋， 根据题意，得， 解得， 则（袋）， 答：超市零食区原有薯片袋，饼干袋； （2）解：根据题意，薯片的总库存数量为（袋）， 饼干的总库存数量为（袋）， 答：补充后，超市零食区薯片的总库存是袋，饼干的总库存是袋； （3）解：根据题意，总的进货货款为 （元） 总的销售额为 （元） （元） 答：超市全部出售完是赚钱，赚了元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.8 一元一次方程（全章知识梳理+题型精析+同步练习） 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点一、方程定义 1 【题型1】方程的辨析与列方程 1 知识点二、一元一次方程 2 【题型2】一元一次方程的辨析与列一元一次方程 2 知识点三、方程的解与解方程 2 【题型3】方程的解判定 2 知识点四、等式的性质 3 【题型4】等式的性质的判定与应用 3 知识点五、一元一次方程的解法 4 【题型5】解一元一次方程 4 【题型6】解特殊一元一次方程 4 【题型7】用简便方法解一元一次方程 5 知识点六、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 5 【题型9】配套、方案、和差倍分问题 5 【题型10】行程与工作问题 6 【题型11】销售与利润问题 7 【题型12】阶梯问题 7 二．同步练习​ 9 【基础巩固（15题）】 9 【能力提升（15题）】 10 一．知识梳理与题型分类精析 知识点一、方程定义 含有未知数的等式叫做方程． 【题型1】方程的辨析与列方程 【例题1】（25-26七年级上·四川达州·开学考试）下面式子中，是方程的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）一系列方程，第1个方程是，解为；第2个方程是，解为；第3个方程是，解为，，根据规律，第10个方程是 ． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）列方程表示下列语句中的相等关系： （1）某地2023年9月10日的温差是，这天最高气温是，最低气温是； （2）某校七年级学生人数为n，其中男生占，女生有110人； （3）一种商品每件进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元； （4）在5天中，第一小组共植树60棵，第二小组共植树棵，平均每天第一小组比第二小组多植2棵树． 知识点二、一元一次方程 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 【题型2】一元一次方程的辨析与列一元一次方程 【例题2】（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）下列方程中，不是一元一次方程的是 （    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列方程中， 是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【归纳小结】判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 知识点三、方程的解与解方程 使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 【题型3】方程的解判定 【例题3】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）实数是关于的方程的解，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知是关于x的一元一次方程，则代数式的值为 ． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程是一元一次方程． （1）求的值． （2）请判断和是否为方程的解． （3）求的值． 知识点四、等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 【题型4】等式的性质的判定与应用 【例题4】（24-25六年级下·江苏南京·期末）学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 【变式1】（24-25七年级上·广东广州·期末）下列运算错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） （1）第______步等式变形产生错误； （2）请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 知识点五、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． （2）去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． （3）移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． （4）合并：合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b（a≠0）的形式． （5）系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解（a≠0）． （6）检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【题型5】解一元一次方程 【例题5】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解方程： （1） （2） 【变式1】（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解下列方程： （1）； （2）． 【题型6】解特殊一元一次方程 【例题6】（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． （1）解方程：； （2）解方程：； （3）探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于x的方程有4个不同的解，则的值为多少？ 【变式2】（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）解方程： （1）； （2）． 【题型7】用简便方法解一元一次方程 【例题7】（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程：． 【变式】（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： （1）； （2）． 【题型9】（2024七年级下·江西上饶·竞赛）解方程：． 【变式】（2025七年级下·广东湛江·竞赛）求未知数x的值： （1）； （2）． 知识点六、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 【题型9】配套、方案、和差倍分问题 【例题9】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）高州市深镇仙人洞自然生态风景旅游区有“高州九寨沟”之称，山清水秀，吸引着各方游客．“五一”黄金周为吸引更多的游客，管理处在普通票价每人50元的基础上，制定两种团队票优惠方案：甲方案是团队中两人按原票价购买，其余每人优惠；乙方案是按团队人数每人均优惠．设某团队共x人，请对x的取值情况进行分析，说明应选择哪种优惠方案更合算？ 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． （1）若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ （2）现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 【变式2】（23-24七年级上·重庆·期中）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． （1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数； （2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【题型10】行程与工作问题 【例题10】（2025九年级·江西·专题练习）把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． （1）这个班有多少名学生？ （2）读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·期末）育红学校七年级学生步行到郊外旅行，七（1）班学生组成前队，步行速度为5千米/时，七（2）班学生组成后队，步行速度为7千米/时，前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断进行联络，他骑车的速度为12千米/时，根据上面的事实回答问题． （1）后队第一次追上前队用了　　小时；后队第一次追上前队时联络员行了　　千米． （2）联络员第一次追上前队用了多长时间？请你写出求解过程． （3）联络员第一次与后队相遇用了多长时间？请你写出求解过程． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为9． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是________； （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数． （3）若当电子蚂蚁P从B点出发，以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距4个单位长度？ 【题型11】销售与利润问题 【例题11】（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）一个农业合作社以元的成本收获了某种农产品，目前可以以的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失，且每星期需支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元． （1）设储藏了个星期，请用含的代数式表示每吨农产品的价格为______元，此时农产品有______吨； （2）若出售这批农产品可获利元，问这批农产品储藏了多少个星期？ 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）某合作社用17500元从农户处购进，两种水果共进行销售，其中种水果收购单价为10元，种水果收购单价为15元． （1），两种水果各购进多少千克？ （2）已知种水果运输和仓储过程中质量损失，要使种水果获得的利润，不计其他费用，求种水果的销售单价． 【变式2】（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）国庆节期间某商场对顾客实行优惠，规定如下：若一次购物不超过200元（含200元），按标价九折优惠，若一次购物超过200元，但不超过500元（含500元），所有商品按标价给予八折优惠，若一次购物超过500元，其中500元按八折优惠之外，超过500元的部分给予七折优惠．某人两次购物分别付款180元和456元，如果他合起来一次去购买同样的商品，他还可以节约多少钱？ 【题型12】阶梯问题 【例题12】（24-25七年级上·全国·课后作业）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市将居民用管道天然气用气量及价格分为三档，其中： 用气量 年用气量 价格 第一档 不超出的部分 3.0 第二档 超出，不超出的部分 a 第三档 超出的部分 （1）若甲用户2024年前三个月已使用天然气，则应缴费________元． （2）若乙用户2024年已使用天然气，则应缴费________元．（用含a的代数式表示） （3）已知丙用户2024年用气量为，当时，请用含x的代数式表示丙用户这一年的燃气费． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）某市为鼓励居民节约用电，对居民生活用电实行阶梯收费，居民用电价格改革方案已出台，如下表： 用电量的范围 不超过的部分 超过的部分 价格/﹝元/（﹞ 0.5 0.6 小芳家二月份用电，交电费105元，则的值为 ． 【变式2】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． （1）求a的值； （2）该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·广西桂林·期中）下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各题中的变形属于移项的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果与的值互为相反数，那么的值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）某书中有一个方程，■处在印刷时被墨盖住了．若已知书后的答案为，则■处的数字应是（   ） A．7 B．5 C． D． 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025七年级上·全国·专题练习）已知是方程的一个解，则整式的值为 ． 8．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）已知，求 ． 9．（24-25七年级下·河南南阳·开学考试）若单项式与是同类项，则的值是 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）当 时，代数式的值比代数式的值大1． 11．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）满足的整数共有 个． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余45cm；将绳子对折再量木头，木头还剩余10cm．木头长多少厘米？设木头长xcm，则可列方程为 ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·单元测试）解下列一元一次方程： （1）； （2）． 14．（25-26七年级上·重庆·开学考试）解下列一元一次方程： （1）； （2）； 15．（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）解方程． （1）； （2）． 16．（25-26七年级上·江苏南通·开学考试）A、B两个玩具城都在搞促销活动（如下）． A玩具城所有商品一律八折 B玩具城每满100元减25元 （1）小军要买一辆280元的玩具汽车，在哪个玩具城购买更便宜？ （2）一个一百多的玩具熊，在两个玩具城不仅标价相同，而且促销后的优惠价也相同，这个玩具熊的标价是多少元？ 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值是（　 　）． A．4 B． C．2 D． 2．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）满足的的值的个数为（   ） A．5个 B．6个 C．无数个 D．不存在 4．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某商人一次卖出两件衣服，一件赚了，一件亏了，售价都是元，在这次生意中，该商人（  ） A．不赚不赔 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元 6．（25-26七年级上·全国·期末）如图所示的是某月的月历，任意选取“H”形框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（  ） A．154 B．98 C．85 D．70 二、填空题 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上表示的点与表示6的点到原点的距离相等，则a的值为 ． 8．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）关于的一元一次方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）关于x的方程与的解相同，则a的值为 ． 10．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为 ． 11．（2024七年级下·湖南长沙·竞赛）方程：的解为 ． 12．（25-26六年级上·上海·阶段练习）将正整数按如下方式排列：    在这个数阵里用长方形框出两行六个数（图中长方形框仅为示意）．如果框出来的六个数的和是432，则框出的六个数中，最小的数是最大的数的 （填几分之几）． 三、解答题 13．（2024六年级下·重庆渝中·专题练习）解方程． （1） （2） 14．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： （1）． （2） 15．（24-25七年级下·四川内江·期中）市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． （1）求甲、乙两队合作施工的时间． （2）施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 16．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）超市零食区共有薯片、饼干、坚果三种零食共100袋，其中薯片数量是饼干数量的，坚果有40袋．进货补充后，饼干的总库存数量是薯片总库存数量的．已知坚果的总库存数量是200袋，薯片的总库存数量比坚果的总库存数量多． （1）求超市零食区原有薯片与饼干各有多少袋？ （2）求进货补充后，超市零食区薯片的总库存和饼干的总库存分别是多少袋？ （3）超市计划将这些零食全部售出，若薯片进价每袋4元，饼干进价每袋2元，坚果进价每袋3.5元．薯片售价每袋6元，饼干售价每袋3元，坚果售价每袋5元．预计在出售过程中，平均每种零食会有因包装破损不能出售，超市全部出售完是赚钱还是赔钱？赚了多少元或赔了多少元？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $