专项突破04 数字类与图形类规律问题（代数式）（期末复习-知识回顾+2个重难点培优题型+真题演练 共28题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册精讲练

专项突破04 数字类与图形类规律问题（代数式） （知识回顾+2个重难点培优题型+真题演练 共28题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：规律探索型问题解题技巧 1 知识点梳理02：规律探索型问题常见类型 2 知识点梳理03：常见的规律探究问题 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 数字类规律探索 3 题型2 图形类规律探索 6 期末真题 实战演练 12 知识点梳理01：规律探索型问题解题技巧 1）抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号. 2）化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了. 3）要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径. 4）寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 知识点梳理02：规律探索型问题常见类型 1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。 3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。 知识点梳理03：常见的规律探究问题 1、数列的规律 数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。 速记口诀‌：‌一验差值、二联序号、三拆因式、四建函数‌。 验证规律完整性‌：至少验证3项是否符合推导公式，避免片面规律。 2、数（图）表的规律 数（图）表的规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。 口诀速记‌：‌图形数一数，增减看清楚；表格分行列，验证第一步！ 3、算式的规律 ‌口诀速记‌：‌符号增减看指数，分项拆解再重组；递推关系抓前项，验证三步防错误！ 算式的规律：用含有字母的算式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。 4、图形的规律（一次类） 图形的规律（一次型）特点‌：每步增加相同数量的元素；观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 口诀速记‌：‌图形拆解是根基，固定递变看差异（若图形拆解不易，也可以观察图形数量的变化规律）；三项验证防陷阱！ 5、图形的规律（二次类） 递变累加型‌‌特点‌：增量本身成等差（二阶等差）。公式‌：总数 = an² + bn + c。 分区域累加型‌‌特点‌：图形由多个独立部分构成。‌步骤‌：拆解区域→各部分分别列式→求和。 6、图形的规律（指数类） 口诀‌：‌几何倍增看比值，首项定位是根基；补形转化破复杂，两级验算防陷阱！ 图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 7、循环规律类问题 有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。 固定周期重复‌：数字、图形或坐标序列每间隔‌固定项数重复出现。 口诀速记‌：‌周期长度看重复，余数定位是核心；起始项序要验证，两级循环需分层！ 题型1 数字类规律探索 【精讲】（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察下列式子： (1)用含（其中为正整数）的代数式表达上式规律为：___________． (2)利用规律计算：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知两个相邻的正整数的倒数的乘积等于较小的正整数的倒数减去较大的数的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）所求把所求式子裂项求解即可． 【规范解答】（1）解： 以此类推可得； （2）解：∵， ∴ ． 【变式1】（25-26七年级上·北京昌平·期中）观察下面三个等式： ；； 找到其内在的规律．按此规律，完成以下问题： (1)请你再写出一个这样的等式：______； (2)如果一个数为，另一个数为______时（用含a，b的式子表示），可以构成类似上述等式． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【思路引导】本题考查数字规律的探究与代数式的表示，解题的关键是分析等式中两个数的关系，总结出“一个数与另一个数的和等于它们的积”的规律． （1）根据已知等式的规律，构造出符合“和等于积”的新等式； （2）通过分析已知数的结构，推导出用表示的另一个数的代数式． 【规范解答】（1）解：观察已知等式，规律为：若一个数为，则另一个数为， 且满足． 例如取，则另一个数为，构造等式： （答案不唯一）； （2）解：已知一个数为（其中），设另一个数为，根据规律“和等于积”，可得： 解得：． 【变式2】（25-26七年级上·河北邢台·期中）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数的乘方运算．熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键． 通过具体数值代入验证规律，判断式子是否正确． 【规范解答】解：当 时，取， 此时，， 即，故①错误． 当 时，取 ， 此时，， 即，故②正确． 因此，只有②正确． 故选B． 【变式3】（25-26七年级上·四川·期中）北师大版教材中第二章习题中，同学们利用正方形面积通过数形结合完成了的求值，除了数形结合的方法以外，这类式子也有另一种代数求法，解法如下： 设．  ① 将①（注意：是前面式子中后一个除以前一个数的值） ．  ② 将得， 所以 ，． (1)完成下列计算：___________； __________；（用幂表示结果） (2)利用上述方法，求出的值； (3)【新情景】小聪同学用乐高积木块搭建了一个神奇的“知识塔”，塔的第1级用了 块积木，第2级用了块，第3级用了 块，……，按照此规律，直到第12级用了 块．已知每级塔的积木块数都符合 层级数的规律，若 ，求出建造这座“知识塔”总共需要的积木块数（用含 a 的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）利用同底数幂乘法法则及乘法分配律计算即可； （2）设，则，两式相减并计算即可； （3）根据题意令，则，将两式作差后再利用题干中的方法计算即可． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：设，① 将得：，② 得：， ∴， ∴； （3）解：设，① 将得：，② 得：， 由（2）可知， ∴． ∵若， ∴， ∴， ∴． 题型2 图形类规律探索 【精讲】（25-26七年级上·四川·期中）如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下： 第1次把它分成4个小正方形，第2次将上一次分成小正方形其中的一个又等分成4个小正方形，第3次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去． (1)请通过观察和猜想，将第3次，第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数（m）填入下表： 次数（n） 1 2 3 4 … n 正方形总个数（m） 5 9 … (2)试判断，按上述操作方法，能否得到100个正方形，是第几次划分？若不能，说明理由； (3)若正方形的边长为1024，通过上述方式划分正方形，当划分成的最小正方形的边长为1时，求得到正方形的个数． 【答案】(1)13；17； (2)不能，理由见解析 (3)41个 【思路引导】本题考查了图形规律，列代数式，找出规律是解题的关键． （1）根据已知图形发现规律，用代数式表示正方形个数变化规律即可； （2）根据（1）中结论列式，得出n不是整数，即可判断； （3）第n次操作后，最小正方形边长为，由此求出划分10次后，最小正方形的边长为1，将代入即可． 【规范解答】（1）解：第3次划分图中得到的正方形总个数为13，， 第4次划分图中得到的正方形总个数为17，， 以此类推，第n次划分图中得到的正方形总个数为：， 故答案为：13；17；． （2）解：不能，理由如下： 根据规律可得，，可得． ∵n为正整数， ∴n不能等于， ∴上述操作不能得到100个正方形． （3）解：由题意知，第一次操作后，最小正方形边长为， 第二次操作后，最小正方形边长为， 第三次操作后，最小正方形边长为， …… 以此类推，第n次操作后，最小正方形边长为， 令，得， ∴需要划分10次， 将代入得：， ∴得到正方形的个数是41个． 【变式1】（25-26七年级上·山东日照·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 材料一：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令……① 等式两边同时乘以2，得……② 由②式减去①式，得， ∴． 材料二：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是部分①的面积的一半，依此类推， ∴． 阅读材料，解决问题： (1)利用材料一提供的方法，请你求出的值． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料二的启发求的值是 ． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查规数字类和图形类规律探索，理解材料的方法，采用数形结合的方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法求解即可； （2）根据材料提示方法求解即可． 【规范解答】（1）解：设， 等式两边同时乘以得，， ∴， ， ∴； （2）解：如图2，将一个边长为1的正方形纸片分割， 部分（1）的面积是正方形面积的一半，即（1）的面积为， 部分（2）的面积是部分（1）的面积的一半，即（2）的面积为， 依此类推，（3）的面积为， （2025）个图形的面积为， ∴求的值， 即为求将边长为1的正方形的面积减去第（2025）个图形的面积， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条（假设在拉的过程中面条没有断），第次捏合后，得到根细面条，第次捏合后，得到根细面条，第次捏合后，得到根细面条，如图所示： (1)经过次捏合后，可以拉出 根细面条．经过次捏合后，可以拉出 根细面条．（用含的式子表示） (2)到第几次捏合后可拉出根细面条？ (3)假设每根细面条的长度是，则捏合次后，拉出的细面条的总长度为多少？（结果精确到万位） 【答案】(1) (2) (3)厘米 【思路引导】本题考查有理数乘方的实际应用，找规律，列代数式，数的精确．解题的关键是根据题意，抽象概括出经过次捏合后，可以拉出根细面条． （1）根据题意，可以得到经过次捏合后，可以拉出根细面条，即可； （2）利用（1）中结论，列式计算即可； （3）先算出捏合次后，拉出的细面条的根数，再乘以每根的长度，计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意：第一次捏合后，得到根细面条， 第二次捏合后，得到根细面条， 第三次捏合后，得到根细面条， ∴经过次捏合后，可以拉出根细面条，经过次捏合后，可以拉出根细面条； 故答案为：，； （2）解：当时，； ∴到第次捏合后可拉出根细面条； （3）解：； 答：拉出的细面条的总长度为． 【变式3】（25-26七年级上·福建宁德·期中）【综合实践】数学学习中，利用图形验证数学结论是一种非常重要的方法．这种数形结合的方法称为图解法． 探究：计算． 如图，第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为，空白部分的面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…； (1)求第3次分割后空白部分的面积为_____； (2)根据第6次分割图可得： 因为_____ 所以_____ (3)运用以上的图解法计算： 【答案】(1) (2)或；或 (3) 【思路引导】本题考查图形类规律探究，根据图形的面积求解即可． （1）根据每分割一次剩余空白部分面积就乘以求解即可； （2）根据第6次分割后，阴影部分的面积之和为，空白部分的面积为，求解即可； （3）根据第次分割图得规律求解即可． 【规范解答】（1）第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为，空白部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为，空白部分的面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为，空白部分的面积为， 故答案为：； （2）根据第6次分割后，阴影部分的面积之和为，空白部分的面积为， ∴， 因此． 故答案为：或；或； （3）根据第n次分割图可得：阴影部分的面积之和为，空白部分的面积为， ∴， 因此， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·重庆江北·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查找规律，根据程序逐次运算，找准规律是解决问题的关键． 按照题中运算程序逐次运算，找准规律为每6个循环，由，结合规律求解即可得到答案． 【规范解答】解：第一次：，为奇数，则； 第二次：，为偶数，则； 第三次：，为奇数，则； 第四次：，为偶数，则； 第五次：，为奇数，则； 第六次：，为偶数，则； 第七次：，为偶数，则； 第八次：，为偶数，则； 第九次：，为奇数，则； 第十次：，为偶数，则； 第十一次：，为奇数，则； 第十二次：，为偶数，则； 第十三次：，为偶数，则； 第十四次：，为偶数，则； 综上所述，程序运算满足规律是：每6个循环， ， 则第2025次输出的结果是， 故选：B． 2．（25-26八年级上·广西南宁·期中）为非负整数当，1，2，3，…时的展开情况如下所示： 观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如下的图： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（    ） A．32 B．64 C．128 D．216 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，能根据题意得出展开式中各项系数的和为是解题的关键．根据题意，依次求出展开式中各项系数的和，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：由题意知， 展开式中各项系数的和为； 展开式中各项系数的和为； 展开式中各项系数的和为； …， 所以展开式中各项系数的和为； ∴当时，展开式中所有项系数的和为； 故选：C． 3．（24-25七年级上·广西梧州·期末）如图所示，用正六边形瓷砖按规律拼成下面若干图案，则第101个图案共有（    ）个小正六边形瓷砖． A．507 B．513 C．607 D．613 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知后面一个图形比前面一个图形（相邻的两个图形）多5个小正六边形瓷砖，据此规律求解即可． 【规范解答】解：第1个图案有个小正六边形瓷砖， 第2个图案有个小正六边形瓷砖， 第3个图案有个小正六边形瓷砖， ……， 以此类推可得，第n个图案有个小正六边形瓷砖， ∴第101个图案共有小正六边形瓷砖， 故选：A． 4．（2024·山西吕梁·模拟预测）我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，烷烃的通式中的指的是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．观察对应的模型中，可知，碳原子的个数多1个， 氢原子的个数多2个，从而找到规律． 【规范解答】解：在甲烷的分子模型中，碳原子个数为1，氢原子的个数为4个，， 在乙烷的分子模型中，碳原子个数为2，氢原子的个数为6个，， 在丙烷的分子模型中，碳原子个数为3，氢原子的个数为8个，， 在丁烷的分子模型中，碳原子个数为4，氢原子的个数为10个，， ∴碳原子个数为，氢原子的个数为个， 故选：B． 5．（25-26七年级上·江苏常州·期中）将一串有理数按下列规律排列，则数字排在对应于、、、中的什么位置（   ） A．位于位置 B．位于位置 C．位于位置 D．位于位置 【答案】B 【思路引导】本题考查图形变化的规律，理解题意是解决本题的关键． 观察有理数的排列顺序，将从开始的连续四个有理数看成一组即可解决问题． 【规范解答】解：将从开始的连续四个有理数看成一组， 由题意得，数字是第2025个数， ∴， ∴第2025个数所在位置与第1个数所在位置相同， 而由图可得第1个数为，位于位置B， ∴数也位于B位置， 故选B． 6．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图，过点画直线，若点，按如图所示规律排列，则点落在（   ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．直线上 【答案】D 【思路引导】本题考查图形的变化问题，解答本题的关键是明确题意． 根据图形可以发现点的变化规律，从而可以得到点落在哪条直线上． 【规范解答】解：由图可得，到顺时针，到逆时针，每8个点为一周期循， ， 点落在直线上， 故选：D． 7．（20-21七年级下·山东·期末）用等边三角形、正方形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．则第n个图案中正三角形的个数为 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【思路引导】本题考查了图形变化规律，解题的关键是找出图案序号与正三角形个数之间的数量关系； 分析前面几个图形的规律可知：每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，由此即可求解． 【规范解答】解：第一个图案正三角形个数为6个； 第二个图案正三角形个数为个； 第三个图案正三角形个数为个； …； 第n个图案正三角形个数为：个． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为16，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，…，则第2028次输出的结果为 ． 【答案】1 【思路引导】本题主要考查了数字类规律探索，计算出前6次的输出结果， 可得每四次输出结果为一个循环，输出的数依次为8，4，2，1，据此规律求解即可． 【规范解答】解：第一次输出的结果为8， 第二次输出的结果为4， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， ……， 以此类推，可知每四次输出结果为一个循环，输出的数依次为8，4，2，1， ∵， ∴第2028次输出的结果为1， 故答案为：1． 9．（21-22七年级上·江苏盐城·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在横线上写出相应的等式： (2)请写出第个等式： ； (3)利用（2）中的等式计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握通过观察点阵图和等式找到连续奇数和的规律是解题的关键． （1）观察前面等式，等号左边是连续奇数相加，等号右边是相加奇数个数的平方，据此写出等式； （2）根据规律总结第个等式； （3）利用（2）中规律，将所求式子转化为从开始到的连续奇数和减去从开始到的连续奇数和进行计算． 【规范解答】（1）解：观察前面等式，等号左边是连续奇数相加，等号右边是相加奇数个数的平方， ； 故答案为：； （2）解： 所以； 故答案为：； （3）解： ． 10．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）如图所示的图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中共有6个小圆圈，第2个图形中共有9个小圆圈，第3个图形中共有个小圆圈…，按此规律，则第个图形中小圆圈的个数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了图形的变化类问题，发现规律是关键．仔细观察图形，找到图形中圆圈个数的规律第个图形有个圆圈，然后代入求解即可． 【规范解答】解：观察图形得： 第1个图形有个圆圈， 第2个图形有个圆圈， 第3个图形有个圆圈， ， 第个图形有个圆圈， 当时，个圆圈， 故答案为：． 11．（22-23七年级上·山东青岛·期末）问题提出： 某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型： 生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： (1)如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有＝10条线段，所以该校一共要安排10场比赛． (2)若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排 场比赛； (3)根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛． 实际应用： (4)9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手 次． 拓展提高： (5)往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为种 【答案】(1)10 (2)15 (3) (4)861 (5)要准备车票的种数为30种 【思路引导】（1）根据图①线段数量进行作答． （2）根据图②线段数量进行作答． （3）根据每个点存在条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，提出假设，当 时均成立，假设成立． （4）根据题意，代入求解即可． （5）根据题意，代入求解即可． 【规范解答】（1）解：由图①可知，图中共有10条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）由图②可知，图中共有15条线段，所以该校一共要安排15场比赛， 故答案为：15； （3）根据图①和图②可知，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则每个点存在条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次 ∴若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排场比赛． 当 时均成立，所以假设成立， 故答案为：． （4）将代入（3）中结果， ∴全班同学总共握手861次， 故答案为：861； （5）因为行车往返存在方向性，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况 将代入 中 解得 ∴要准备车票的种数为30种． 【考点剖析】本题考查了归纳总结和对变形对角线问题，求出关于n的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键． 12．（22-23七年级上·全国·期中）用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案 （1）第四个图案中有白色地砖 块； （2）第n个图案中有白色地砖 块． 【答案】 18 【思路引导】本题考查图形规律的探索，熟练掌握图形规律的探索方法是解题的关键．依次列出第（1）个图案中白色地砖有（块），第（2）个图案中白色地砖有（块），第（3）个图案中白色地砖有（块），⋯⋯，即可得出规律解答． 【规范解答】解：第（1）个图案中白色地砖有（块）， 第（2）个图案中白色地砖有（块）， 第（3）个图案中白色地砖有（块）， ⋯⋯ 第（4）个图案中白色地砖有（块）， 第n个图案中白色地砖有块， 故答案为：18，． 13．（21-22七年级上·浙江绍兴·期末）如图是一个运算程序的示意图．输入一个整数便能按图中程序进行计算． (1)设输入数x为18，那么根据程序，第1次计算的结果是9，第2次计算的结果是4…，按这样的程序计算下去，第5次计算的结果为 ；程序最终输出结果为 (2)若输入某数x后，程序依次交替进行两种运算，且最后输出结果为1．请尝试通过分析，判断输入数x是奇数还是偶数？进一步借助计算，直接写出该输入数x． 【答案】(1)-4，-4 (2)奇数， 【思路引导】（1）根据程序计算，找到规律，即可求解； （2）根据题意，交替进行两种运算，且最后输出结果为1，则从第2021次往回计算，发现规律，求得即可求得输入数 【规范解答】（1）设输入数x为18，那么根据程序，第1次计算的结果是9， 第2次计算的结果是4， 第3次计算的结果是2， 第4次计算的结果是1， 第5次计算的结果是-4， 第6次计算的结果是-2， 第7次计算的结果是-1 第8次计算的结果是-6 第9次计算的结果是-3 第10次计算的结果是-8 第11次计算的结果是-4 第12次计算的结果是-2 …… 发现规律，从第5次的结果开始，每6次一个循环， ， 故第2021次计算的结果为-4 故答案为：-4 （2）根据题意，交替进行两种运算，则 第2021次计算的结果为1=1+60，则第2020次计算的结果为2=， 第2019次计算的结果为7=1+61，则第2018次计算的结果为14=  ， 第2017次计算的结果为19=，则第2016次计算的结果为， 第2015次计算的结果为，则第2014次计算的结果为， …… 发现规律，第次（奇数次）计算的结果为（为小于2017的奇数）， 则第次计算的结果为（为小于2017的奇数）， 则第3次计算的结果为，则第2次计算的结果为 第一次输入的数为是奇数 设 则 则 【考点剖析】本题考查了根据程序计算有理数的混合运算，代数式求值，数字类规律，等式的性质，找到规律是解题的关键． 14．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在无限大的正方形网格中，按规律涂色，图中涂色部分小正方形的个数分别为5，9，15．根据此规律，图中涂色部分的小正方形的个数是 ． 【答案】423 【思路引导】本题考查了图形的规律探究，找到序号与涂色部分的小正方形的个数之间的关系是解题的关键． 观察图形可知第n个图形涂色部分的小正方形的个数是，将代入求解即可． 【规范解答】解：因为图中涂色部分的小正方形的个数是（个）， 图中涂色部分的小正方形的个数是（个）， 图中涂色部分的小正方形的个数是（个）， 所以依此类推图中涂色部分的小正方形的个数是（个）． 故答案为：423． 15．（25-26七年级上·河南南阳·期中）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，－1的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则的值是 ． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查了新定义运算，找数字规律，解题的关键是理解题意，算出、、，找出规律．根据题目中给出的信息，依次算出、、，然后找出规律，进行解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ，，……， ∴每3次运算结果循环出现一次， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·福建福州·期中）观察下面有规律排列的三行数： (1)第一行数中，第13个数是______； (2)第二行数中，第13个数是______； (3)请用含的式子表示第三行第数，并求出当时式子的值． 第一行数：，4，，16，，64，…… 第二行数：，3，，15，，63，…… 第三行数：6，，18，，66，，…… 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了数字的变化规律，通过分析得到各行数的变化规律是解题的关键． （1）分析第一行数的规律，得出表示第n个数的式子，再代入求解； （2）找出第二行数与第一行数的关系，得出表示第n个数的式子，再代入求解； （3）分析第三行数与第二行数的关系，得出含的式子，再代入计算． 【规范解答】（1）解：∵第一行数：，，，，，，…… ∴第一行数第n个数为， ∴当时，， 故答案为：； （2）解：∵，，，，，…… ∴第二行数的第n个数为， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：∵，，，，，……， 第三行数的第n个数为， 当时，． 17．（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）阅读材料： ，；，； ，，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)仿照阅读材料，将下列各式变形：______，______； (2)计算：_______； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】本题主要考查数字规律，理解材料提示方法，掌握有理数的混合运算法则即可求解． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示方法，结合有理数的计算即可； （3）根据材料提示方法，结合有理数的计算即可． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：    ； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 18．（24-25七年级上·全国·期中）某学习小组用火柴棒摆出下列图形，并制作出下列表格，请你参与共同完成研究： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒的根数 5 9 13 a b (1)_________，_________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为_________；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2024个图形需要的火柴棒的根数． 【答案】(1)17，21 (2) (3)8097 【思路引导】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式． （1）根据所给图形，依次求出图形中火柴棒的根数，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题； （3）利用（2）中的代数式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由所给图形可知， 第1个图形中火柴棒的根数为：； 第2个图形中火柴棒的根数为：； 第3个图形中火柴棒的根数为：； …， 所以第n个图形中火柴棒的根数为根． 当时，． 当时，． 故答案为：17，21； （2）解：由（1）知， 第n个图形中火柴棒的根数为根． 故答案为：； （3）解：由（2）知， 当时， （根）， 即第2024个图形中火柴棒的根数为8097根． 19．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）如图，每一幅图都是由大小相同的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的，图1中有3个灰色小正方形，有9个白色小正方形；图2中有6个灰色小正方形，有14个白色小正方形；图3中有9个灰色小正方形，有19个白色小正方形；…． (1)请用含n的代数式分别表示出图n中，白色小正方形、灰色小正方形的数量； (2)当时，白色小正方形比灰色小正方形正好多多少个？ 【答案】(1)白色小正方形的数量，灰色小正方形的数量为 (2)254 【思路引导】本题考查了图形中的数字规律，观察目标正方形的数量与图形的序号之间的关系，构建其二者联系的代数式即可． (1)第一个图形中灰色小正方形的数量是，第2个图形中灰色小正方形的数量是，第3个图形中灰色小正方形的数量是，由此得到第n个图形中灰色小正方形的数量是； 第一个图形中小正方形的数量是，第2个图形中小正方形的数量是，第3个图形中小正方形的数量是，由此得到第n个图形中小正方形的数量是；从而得到白色小正方形的个数为，解答即可． (2)根据，代入计算即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，得第一个图形中灰色小正方形的数量是， 第2个图形中灰色小正方形的数量是， 第3个图形中灰色小正方形的数量是， …， 由此得到第n个图形中灰色小正方形的数量是； 第一个图形中小正方形的数量是， 第2个图形中小正方形的数量是， 第3个图形中小正方形的数量是， …， 由此得到第n个图形中小正方形的数量是； 从而得到白色小正方形的数量为． （2）解：根据题意，得， 当时，． 即白色小正方形比灰色小正方形多254个． 20．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）问题呈现：在小学我们学习过用图示法求的方法： 如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，…，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2． ①图2中，每层有小圆圈__________个；共有小圆圈__________个． ②__________． 数学思考：如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型： 第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即；……；第n行n个圆圈中数的和为，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为． 为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型． 观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第行的第1个圆圈中的数分别为，2，n）， ③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为__________； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：__________； ⑤__________． 拓展运用：根据以上发现， ⑥计算的结果为__________． ⑦求的值． 【答案】①；②③④⑤⑥⑦ 【思路引导】本题考查图形的规律，能够通过题中所给的方法，探究出规律，并能将得到的公式加以运用是解题的关键； 通过观察图形可得；通过观察图形，可得这三个三角形数阵所有圆圈中数字的总和为： 即可求解，即可得规律代入探究的结论即可得； 【规范解答】解：①由题意可得，同一行圆圈个数之和均为 个；由此可得两个图前n行圆圈个数总和为： ②； ③由题意可得，相同位置上三个圆圈中数字之和均为 ， ④由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数字的总和为： ⑤    ； ⑥计算 ⑦求 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破04 数字类与图形类规律问题（代数式） （知识回顾+2个重难点培优题型+真题演练 共28题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：规律探索型问题解题技巧 1 知识点梳理02：规律探索型问题常见类型 2 知识点梳理03：常见的规律探究问题 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 数字类规律探索 3 题型2 图形类规律探索 5 期末真题 实战演练 8 知识点梳理01：规律探索型问题解题技巧 1）抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号. 2）化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了. 3）要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径. 4）寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 知识点梳理02：规律探索型问题常见类型 1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。 3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。 知识点梳理03：常见的规律探究问题 1、数列的规律 数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。 速记口诀‌：‌一验差值、二联序号、三拆因式、四建函数‌。 验证规律完整性‌：至少验证3项是否符合推导公式，避免片面规律。 2、数（图）表的规律 数（图）表的规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。 口诀速记‌：‌图形数一数，增减看清楚；表格分行列，验证第一步！ 3、算式的规律 ‌口诀速记‌：‌符号增减看指数，分项拆解再重组；递推关系抓前项，验证三步防错误！ 算式的规律：用含有字母的算式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。 4、图形的规律（一次类） 图形的规律（一次型）特点‌：每步增加相同数量的元素；观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 口诀速记‌：‌图形拆解是根基，固定递变看差异（若图形拆解不易，也可以观察图形数量的变化规律）；三项验证防陷阱！ 5、图形的规律（二次类） 递变累加型‌‌特点‌：增量本身成等差（二阶等差）。公式‌：总数 = an² + bn + c。 分区域累加型‌‌特点‌：图形由多个独立部分构成。‌步骤‌：拆解区域→各部分分别列式→求和。 6、图形的规律（指数类） 口诀‌：‌几何倍增看比值，首项定位是根基；补形转化破复杂，两级验算防陷阱！ 图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 7、循环规律类问题 有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。 固定周期重复‌：数字、图形或坐标序列每间隔‌固定项数重复出现。 口诀速记‌：‌周期长度看重复，余数定位是核心；起始项序要验证，两级循环需分层！ 题型1 数字类规律探索 【精讲】（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察下列式子： (1)用含（其中为正整数）的代数式表达上式规律为：___________． (2)利用规律计算：． 【变式1】（25-26七年级上·北京昌平·期中）观察下面三个等式： ；； 找到其内在的规律．按此规律，完成以下问题： (1)请你再写出一个这样的等式：______； (2)如果一个数为，另一个数为______时（用含a，b的式子表示），可以构成类似上述等式． 【变式2】（25-26七年级上·河北邢台·期中）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①②都正确 D．①②都不正确 【变式3】（25-26七年级上·四川·期中）北师大版教材中第二章习题中，同学们利用正方形面积通过数形结合完成了的求值，除了数形结合的方法以外，这类式子也有另一种代数求法，解法如下： 设．  ① 将①（注意：是前面式子中后一个除以前一个数的值） ．  ② 将得， 所以 ，． (1)完成下列计算：___________； __________；（用幂表示结果） (2)利用上述方法，求出的值； (3)【新情景】小聪同学用乐高积木块搭建了一个神奇的“知识塔”，塔的第1级用了 块积木，第2级用了块，第3级用了 块，……，按照此规律，直到第12级用了 块．已知每级塔的积木块数都符合 层级数的规律，若 ，求出建造这座“知识塔”总共需要的积木块数（用含 a 的式子表示）． 题型2 图形类规律探索 【精讲】（25-26七年级上·四川·期中）如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下： 第1次把它分成4个小正方形，第2次将上一次分成小正方形其中的一个又等分成4个小正方形，第3次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去． (1)请通过观察和猜想，将第3次，第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数（m）填入下表： 次数（n） 1 2 3 4 … n 正方形总个数（m） 5 9 … (2)试判断，按上述操作方法，能否得到100个正方形，是第几次划分？若不能，说明理由； (3)若正方形的边长为1024，通过上述方式划分正方形，当划分成的最小正方形的边长为1时，求得到正方形的个数． 【变式1】（25-26七年级上·山东日照·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 材料一：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令……① 等式两边同时乘以2，得……② 由②式减去①式，得， ∴． 材料二：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是部分①的面积的一半，依此类推， ∴． 阅读材料，解决问题： (1)利用材料一提供的方法，请你求出的值． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料二的启发求的值是 ． 【变式2】（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条（假设在拉的过程中面条没有断），第次捏合后，得到根细面条，第次捏合后，得到根细面条，第次捏合后，得到根细面条，如图所示： (1)经过次捏合后，可以拉出 根细面条．经过次捏合后，可以拉出 根细面条．（用含的式子表示） (2)到第几次捏合后可拉出根细面条？ (3)假设每根细面条的长度是，则捏合次后，拉出的细面条的总长度为多少？（结果精确到万位） 【变式3】（25-26七年级上·福建宁德·期中）【综合实践】数学学习中，利用图形验证数学结论是一种非常重要的方法．这种数形结合的方法称为图解法． 探究：计算． 如图，第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为，空白部分的面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…； (1)求第3次分割后空白部分的面积为_____； (2)根据第6次分割图可得： 因为_____ 所以_____ (3)运用以上的图解法计算： 1．（24-25七年级上·重庆江北·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西南宁·期中）为非负整数当，1，2，3，…时的展开情况如下所示： 观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如下的图： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（    ） A．32 B．64 C．128 D．216 3．（24-25七年级上·广西梧州·期末）如图所示，用正六边形瓷砖按规律拼成下面若干图案，则第101个图案共有（    ）个小正六边形瓷砖． A．507 B．513 C．607 D．613 4．（2024·山西吕梁·模拟预测）我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，烷烃的通式中的指的是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·江苏常州·期中）将一串有理数按下列规律排列，则数字排在对应于、、、中的什么位置（   ） A．位于位置 B．位于位置 C．位于位置 D．位于位置 6．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图，过点画直线，若点，按如图所示规律排列，则点落在（   ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．直线上 7．（20-21七年级下·山东·期末）用等边三角形、正方形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．则第n个图案中正三角形的个数为 （用含n的代数式表示）． 8．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为16，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，…，则第2028次输出的结果为 ． 9．（21-22七年级上·江苏盐城·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在横线上写出相应的等式： (2)请写出第个等式： ； (3)利用（2）中的等式计算：． 10．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）如图所示的图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中共有6个小圆圈，第2个图形中共有9个小圆圈，第3个图形中共有个小圆圈…，按此规律，则第个图形中小圆圈的个数为 ． 11．（22-23七年级上·山东青岛·期末）问题提出： 某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型： 生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： (1)如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有＝10条线段，所以该校一共要安排10场比赛． (2)若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排 场比赛； (3)根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛． 实际应用： (4)9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手 次． 拓展提高： (5)往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为种 12．（22-23七年级上·全国·期中）用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案 （1）第四个图案中有白色地砖 块； （2）第n个图案中有白色地砖 块． 13．（21-22七年级上·浙江绍兴·期末）如图是一个运算程序的示意图．输入一个整数便能按图中程序进行计算． (1)设输入数x为18，那么根据程序，第1次计算的结果是9，第2次计算的结果是4…，按这样的程序计算下去，第5次计算的结果为 ；程序最终输出结果为 (2)若输入某数x后，程序依次交替进行两种运算，且最后输出结果为1．请尝试通过分析，判断输入数x是奇数还是偶数？进一步借助计算，直接写出该输入数x． 14．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在无限大的正方形网格中，按规律涂色，图中涂色部分小正方形的个数分别为5，9，15．根据此规律，图中涂色部分的小正方形的个数是 ． 15．（25-26七年级上·河南南阳·期中）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，－1的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则的值是 ． 16．（25-26七年级上·福建福州·期中）观察下面有规律排列的三行数： (1)第一行数中，第13个数是______； (2)第二行数中，第13个数是______； (3)请用含的式子表示第三行第数，并求出当时式子的值． 第一行数：，4，，16，，64，…… 第二行数：，3，，15，，63，…… 第三行数：6，，18，，66，，…… 17．（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）阅读材料： ，；，； ，，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)仿照阅读材料，将下列各式变形：______，______； (2)计算：_______； (3)计算：． 18．（24-25七年级上·全国·期中）某学习小组用火柴棒摆出下列图形，并制作出下列表格，请你参与共同完成研究： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒的根数 5 9 13 a b (1)_________，_________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为_________；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2024个图形需要的火柴棒的根数． 19．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）如图，每一幅图都是由大小相同的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的，图1中有3个灰色小正方形，有9个白色小正方形；图2中有6个灰色小正方形，有14个白色小正方形；图3中有9个灰色小正方形，有19个白色小正方形；…． (1)请用含n的代数式分别表示出图n中，白色小正方形、灰色小正方形的数量； (2)当时，白色小正方形比灰色小正方形正好多多少个？ 20．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）问题呈现：在小学我们学习过用图示法求的方法： 如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，…，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2． ①图2中，每层有小圆圈__________个；共有小圆圈__________个． ②__________． 数学思考：如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型： 第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即；……；第n行n个圆圈中数的和为，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为． 为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型． 观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第行的第1个圆圈中的数分别为，2，n）， ③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为__________； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：__________； ⑤__________． 拓展运用：根据以上发现， ⑥计算的结果为__________． ⑦求的值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $