专项突破03 有理数的混合运算（期末复习-知识回顾+18个重难点培优题型+真题演练 共51题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册精讲练

该初中数学讲义以“知识回顾+题型突破+真题演练”构建有理数混合运算复习体系，通过6个知识点梳理（含加减乘除混合运算、乘方、非负数性质等）搭建知识框架，清晰呈现运算顺序、符号规律等重难点内在联系，培养学生抽象能力与符号意识。 讲义亮点在于18个培优题型设计，如“算24点”“程序流程图计算”等创新题型，结合精讲与变式练习，培养运算能力和模型意识。真题演练强化实战，分层设计助力不同学生提升，为教师精准教学和学生自主复习提供系统支持。

专项突破03 有理数的混合运算 （知识回顾+18个重难点培优题型+真题演练 共51题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：有理数的加减混合运算 2 知识点梳理02：有理数的乘除混合运算 2 知识点梳理03：有理数的加减乘除混合运算 2 知识点梳理04：有理数的乘方 2 知识点梳理05：非负数的性质：偶次方 3 知识点梳理06：有理数的混合运算 3 重点难点 培优讲练 3 题型1 有理数的加减混合运算 3 题型2 有理数加减中的简便运算 4 题型3 有理数加减混合运算的应用 5 题型4 省略加法和括号的形式 6 题型5 有理数乘除混合运算 7 题型6 有理数乘除中的简便运算 8 题型7 有理数四则混合运算 9 题型8 有理数四则混合运算的实际应用 10 题型9 根据点在数轴的位置判断式子的正负 11 题型10 数轴上的翻折 12 题型11 有理数的乘方运算 14 题型12 有理数乘方逆运算 15 题型13 乘方运算的符号规律 16 题型14 程序流程图与有理数计算 17 题型15 算 “24” 点 18 题型16 含乘方的有理数混合运算 19 题型17 科学记数法 19 题型18 近似数和有效数字 21 期末真题 实战演练 21 知识点梳理01：有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点梳理02：有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点梳理03：有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 知识点梳理04：有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点梳理05：非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点梳理06：有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 题型1 有理数的加减混合运算 【精讲】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）有理数的加减运算： (1) (2) 【变式】（25-26七年级上·江西赣州·期中）计算的值等于(    ) A． B． C． D． 题型2 有理数加减中的简便运算 【精讲】（25-26七年级上·山西忻州·期中）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； 【变式】（25-26七年级上·陕西延安·期中）阅读下面的文字，并回答问题： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算： (1) ． (2)． 题型3 有理数加减混合运算的应用 【精讲】（25-26七年级上·广东汕尾·期中）外卖小哥小赵某天从蓝天广场出发，在东西走向的红城大道上骑电动车送外卖，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）： 3，，，1.2，2.7，，4.5，，，2． (1)当小赵将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为多少千米？ (2)若小赵的电动车充满电能行驶，在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【变式】（25-26七年级上·北京西城·期中）钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如现在是时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时．如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替时） 根据上述材料解决下列问题： (1)__________，__________； (2)①在有理数运算中，相加得0的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，则8的相反数是__________；的相反数是__________（用含的代数式表达）； ②判断有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中是否仍然成立？__________（填“是”或“否”）： (3)规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字，，，若，判断是否一定成立，若一定成立，说明理由：若不一定成立，请举出一个反例加以说明． (4)已知巴黎时间的日出时间比北京时间晚六个小时，飞行时间为个小时，则北京时间9日晚时出发，到达巴黎时是巴黎几日几时？请用式子表示出运算过程． _____________ 答：到达时间是巴黎__________日__________（填“上午”或“下午”）__________时． 题型4 省略加法和括号的形式 【精讲】（25-26七年级上·河南商丘·月考）平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式               …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算：． 【变式】（22-23七年级上·河南南阳·期中）（1）把下列各式写成省略加号的和的形式，并写出它们的两种读法： （2）【我计算】请计算： 【我排序】明明在做完上题之后，对“计算”的思考过程进行了以下梳理． ①确定和的绝对值：； ②确定和的符号：计算出加数+2和-3的绝对值，分别是2和3，通过比较它们的绝对值发现，加数-3的绝对值较大，写出和的符号为“-”； ③写出计算结果； ④决定应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”； ⑤判断出是两个有理数相加的问题； ⑥观察两个加数的符号，发现是异号两数相加． 明明同学不小心把顺序写乱了，请你仔细阅读他的思考过程，写出正确的顺序为（只写出对应的顺序号即可）：___________ 【我会算】请计算： 题型5 有理数乘除混合运算 【精讲】（25-26七年级上·山东日照·期中）已知：，且a，b，c都均为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【变式】（25-26七年级上·广东珠海·期中）书籍是人类进步的阶梯，让课外书为孩子们打开一扇扇窗，开启一道道门．我校在十月上旬开展了“携手经典，浸润和美”的读书活动．七年级某班的三名同学同读一本书，下表记录了每人每天看的页数和看完所需的时间： 甲 乙 丙 每天看的页数 15 20 30 看完所需的时间/天 8 ___________ ____________ (1)把上面的表格补充完整； (2)在看这本书的过程中那个量不变，每天看的页数和看完所需的时间有什么关系？ (3)看了3天，他们已看的页数和剩下的页数成反比例关系吗？为什么？ 题型6 有理数乘除中的简便运算 【精讲】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【变式】（25-26七年级上·江苏南京·月考）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 题型7 有理数四则混合运算 【精讲】（25-26七年级上·吉林长春·期中）数学上，我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为． 例：，请根据阅读理解上述材料解答下列各题： (1)填空：________；________； (2)填空：________； (3)已知有理数a，b满足行列式． ①a与b的数量关系是________； ②求代数式的值． 【变式】（25-26七年级上·安徽淮南·期中）阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，，，，… (1) （根据规律写算式，不要直接写结果）； (2)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律 ； (3)求式子的值． 题型8 有理数四则混合运算的实际应用 【精讲】（25-26七年级上·四川·期中）国庆、中秋双节期间，某乐园在8天假期中每天的游客人数情况如下表所示．以3千人为标准，多于3千人的记为“”，不足3千人的记为“”，刚好3千人的记为“”． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数情况∕千人 (1)10月2日这一天的游客有 千人； (2)请求出双节期间游客最多的一天比最少的一天多多少千人； (3)若该乐园的门票是每人100元，请计算双节期间期间该乐园的门票收入． 【变式】（25-26七年级上·湖北恩施·期中）某工厂根据安排原计划每天生产个零件，但实际日产量与原计划相比有出入，下表是一周内的实际日产量．（增产记为正，减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量/个 (1)日实际产量最多为__________个，最少为__________个； (2)该厂实行计件工资制：若当天完成计划，计划内生产出的零件每个按10元发工资，超额完成的部分每个按15元发工资；若当天未完成计划，已完成的部分每个按10元的六折发工资，求该厂这一周发放的工资总额； (3)若将题干中的“增产记为正，减产记为负”改为“比前一天产量增加记为正，比前一天产量减少记为负”，题干中表格的数据依次转化为下表数据．直接写出下表中“？”处的数据． 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量/个 … … … … ？ … 题型9 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【精讲】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，实数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B， C， D，若，则下列说法正确的个数有（    ）． ①；②；③；④ ；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的有理数是 (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的有理数是______； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的有理数为______； (3)有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的序号是______． ①；②；③；④ 题型10 数轴上的翻折 【精讲】（25-26七年级上·河北保定·期中）综合与探究 【概念呈现】 大家知道在数轴上的意义是表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；式子在数轴上的意义是表示5的点与表示2的点之间的距离；式子在数轴上的意义是表示—1的点与表示—2的点之间的距离．若点在数轴上分别表示数，则两点之间的距离可表示为． 【初步探究】 （1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ． （2）请计算表示的点和表示的点之间的距离与表示的点和表示的点之间的距离之和． 【类比学习】 （3）若点在数轴上表示数，则在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离． （4）的最小值为 ． 【拓展应用】 （5）若，则 ． （6）如图，将一条数轴沿点折叠，若表示的点的重合点与表示4的点之间的距离为1，则点表示的数为 ． 【变式】（25-26七年级上·山东临沂·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，    (1)若A表示的数是，则数轴上点B所表示的数是________； (2)若以点B为原点，求A，B，C所对应的数的和； (3)若C表示的数是4，将数轴折叠，使点A与点C重合，求折叠后与点B重合的点表示的数． 题型11 有理数的乘方运算 【精讲】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果是______； （2）关于除方，下列说法错误的是______；（填序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②对于任何正整数，1的圈次方都等于1； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算．请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算 （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； （4）计算： 题型12 有理数乘方逆运算 【精讲】（25-26七年级上·辽宁·阶段练习）数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作，运算法则如下：． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ； ； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 【变式】（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 题型13 乘方运算的符号规律 【精讲】（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算： ；；；；；； (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为______，并把这两个数的______相加，请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 【变式】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 题型14 程序流程图与有理数计算 【精讲】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图是一数值转换机的示意图，若输入的x值为，则输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图，小明制定了一种密码规则，将26个英文字母A，B，C，…，Z依次对应1，2，3，…，26．密文字母所对应的数字x与明文字母所对应的数字y之间的关系如下： 例如：密文“”，对应的数字为“6  13”，那么“6”代入计算得明文对应的数字为“15”，进而对应明文为“O”；“13”代入计算得明文对应的数字为“11”，进而对应明文为“K”；所以密文“”破译成明文为“”；那么密文“”破译成明文为“ ”． 题型15 算 “24” 点 【精讲】（25-26七年级上·河北承德·期中）计算，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： 0 (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果 ； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果 ； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果 ； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算．（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【变式】（25-26八年级上·河南周口·期中）数学活动课上，老师拿出如图1所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求解答下列问题： (1)老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为，6，．请将这三个数对应的点标在如图2所示的数轴上，按照从小到大的顺序依次用点A，B，C表示． (2)在（1）的基础上，以点B为折点，将此数轴向右折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为______，点到点C的距离为______个单位长度． (3)①请任选其中的两张卡片，将卡片上的数字相乘，结果记作P，则P的最大值比P的最小值大多少？ ②用这四张卡片上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于24，请直接写出一种满足题意的算式． 题型16 含乘方的有理数混合运算 【精讲】（25-26七年级上·北京·期中）计算： (1) (2) (2) (4) 【变式】（25-26七年级上·北京昌平·期中）计算： (1) (2)． (3) (4)． 题型17 科学记数法 【精讲】（25-26七年级上·江苏常州·期中）作为城市高质量发展“大动脉”的常州地铁，近年来为城市发展和居民生活提供了高效便捷的公共交通服务．其中1号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2019年9月21日开通运营，这条线路呈南北走向，北起新北区森林公园站，途经天宁区，南至武进区南夏墅站．如图为1号线串联的部分站点．据统计，2025年10月1日至7日，常州地铁1号线客流量达196.27万人次． (1)若万人次用科学记数法表示为人次，则 ． (2)某天，小帅同学从外国语学校站开始乘坐地铁1号线，在地铁各站点做志愿者服务，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，约定向南夏墅站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：，，，，，，，． ①通过计算发现A站是 站． ②若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小帅志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是多少千米？ 【变式】（25-26七年级上·贵州贵阳·月考）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示） (1)经测量，100 张面值为 100 元的新版人民币大约厚厘米，如果将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 题型18 近似数和有效数字 【精讲】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）下列说法正确的是（  ） A．5.78万精确到百分位 B．近似数3千和3000的精确度是相同的 C．547500精确到万位可以表示为 D．若数x四舍五入后是5.20，则数x的取值为 【变式】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）下列说法正确的是（   ） A．158200000000用科学记数法表示为 B．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 C．1.399用四舍五入法保留两位小数后，取近似数后为1.4 D．近似数2.1和2.10精确度相同 1．如图所示，数轴上点、对应的有理数分别为、，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·广东汕头·期末）稀土元素有独特的性能和广泛的应用，我国稀土资源总储藏量为10.5亿吨，是全世界稀土资源最丰富的国家，用科学记数法表示为（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 3．对于有理数a、b，有以下几种说法，其中正确的说法个数是（    ） ①若，则a与b互为相反数   ②若，则a与b异号 ③若，且a、b同号时，则， ④若且a、b异号，则   ⑤若，则 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．（23-24六年级上·山东东营·期末）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“+”号表示数的加法，则的值是（　　） A．1 B．0 C．2025 D．-2024 5．（24-25七年级上·山西晋中·期末）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 6．（23-24七年级上·浙江·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是5，第1次输出的结果是2，第2次输出的结果是，依次继续下去，……，第2027次输出的结果是 ． 7．（23-24七年级上·重庆·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入时，则输出的数是 ． 8．（24-25七年级上·广西防城港·期中）如图所示是计算机程序计算，当输入的数为5时，则输出的结果 ． 9．（24-25七年级上·江西南昌·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中，正确的有 ．（把正确的序号填在横线上．） ①；②；③；④；⑤． 10．（24-25七年级上·浙江·期末）已知a，b为实数，下列说法： ①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则是正数；④若，则；⑤若，且，则，其中正确的是 ． 11．（24-25七年级上·贵州安顺·期末）定义一种新运算“☆”：对于任意两个有理数a和b，满足．例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 12．（25-26七年级上·湖北·期末）计算： (1)； (2)． 13．（25-26七年级上·河南·期末）计算： (1) (2) (2) 14．（23-24七年级上·广东深圳·期中）综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)【发现】归纳*运算的法则 两数进行*运算时， ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算， ； (2)【实践】计算：________． (3)【提升】是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 15．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方 乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破03 有理数的混合运算 （知识回顾+18个重难点培优题型+真题演练 共51题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：有理数的加减混合运算 2 知识点梳理02：有理数的乘除混合运算 2 知识点梳理03：有理数的加减乘除混合运算 2 知识点梳理04：有理数的乘方 2 知识点梳理05：非负数的性质：偶次方 3 知识点梳理06：有理数的混合运算 3 重点难点 培优讲练 3 题型1 有理数的加减混合运算 3 题型2 有理数加减中的简便运算 4 题型3 有理数加减混合运算的应用 6 题型4 省略加法和括号的形式 9 题型5 有理数乘除混合运算 11 题型6 有理数乘除中的简便运算 13 题型7 有理数四则混合运算 14 题型8 有理数四则混合运算的实际应用 16 题型9 根据点在数轴的位置判断式子的正负 18 题型10 数轴上的翻折 20 题型11 有理数的乘方运算 23 题型12 有理数乘方逆运算 25 题型13 乘方运算的符号规律 28 题型14 程序流程图与有理数计算 30 题型15 算 “24” 点 31 题型16 含乘方的有理数混合运算 33 题型17 科学记数法 35 题型18 近似数和有效数字 36 期末真题 实战演练 38 知识点梳理01：有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点梳理02：有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点梳理03：有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 知识点梳理04：有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点梳理05：非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点梳理06：有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 题型1 有理数的加减混合运算 【精讲】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）有理数的加减运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数加减的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）去括号运算即可； （2）把小数变成分数运算即可． 【规范解答】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ． 【变式】（25-26七年级上·江西赣州·期中）计算的值等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的加减混合运算．将序列每两个数分组，每组和为，最后剩余一个正数，计算组数和剩余项求和． 【规范解答】解： ． 故选：C． 题型2 有理数加减中的简便运算 【精讲】（25-26七年级上·山西忻州·期中）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)有理数减法法则 (2) (3)二；写成了 (4) 【思路引导】考查有理数的减法法则、加法运算律（交换律、结合律）．解题关键是正确运用减法法则转化运算，利用运算律凑整简化计算；易错点是符号处理错误，或运算律应用时漏变符号． （1）根据“减法变加法（减一个数等于加它的相反数）”确定第一步的变形依据； （2）第二步调整数的位置，对应加法交换律； （3）检查步骤中符号是否正确，发现第二步将误写为； （4）先通过加法交换律调整数的顺序，再用结合律分组计算（小数与小数结合、分数与分数结合），最终得出结果． 【规范解答】（1）有理数的减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）． 故答案为：有理数的减法法则． （2）加法交换律：． 故答案为：． （3）从第二步开始出错，错误原因是：将误写为，符号处理错误． 故答案为：二；写成了． （4）原式 【变式】（25-26七年级上·陕西延安·期中）阅读下面的文字，并回答问题： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2021 【思路引导】本题考查了分数的简便运算． （1）将每个带分数分为整数部分和分数部分，分别计算后再合并； （2）将每个带分数分为整数部分和分数部分，分别计算后再合并． 【规范解答】（1）解： （2）解： ． 题型3 有理数加减混合运算的应用 【精讲】（25-26七年级上·广东汕尾·期中）外卖小哥小赵某天从蓝天广场出发，在东西走向的红城大道上骑电动车送外卖，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）： 3，，，1.2，2.7，，4.5，，，2． (1)当小赵将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为多少千米？ (2)若小赵的电动车充满电能行驶，在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)当小赵将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为0.6千米 (2)在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下，他能完成上面的行程 【思路引导】本题考查了正负数的应用、有理数加减的实际应用、绝对值的实际应用，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键． （1）将全天记录的行程相加即可得； （2）将全天记录的行程的绝对值相加，再与进行大小比较即可得． 【规范解答】（1）解： 故当小赵将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为0.6千米； （2）解： ， 因为， 故在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下，他能完成上面的行程． 【变式】（25-26七年级上·北京西城·期中）钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如现在是时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时．如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替时） 根据上述材料解决下列问题： (1)__________，__________； (2)①在有理数运算中，相加得0的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，则8的相反数是__________；的相反数是__________（用含的代数式表达）； ②判断有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中是否仍然成立？__________（填“是”或“否”）： (3)规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字，，，若，判断是否一定成立，若一定成立，说明理由：若不一定成立，请举出一个反例加以说明． (4)已知巴黎时间的日出时间比北京时间晚六个小时，飞行时间为个小时，则北京时间9日晚时出发，到达巴黎时是巴黎几日几时？请用式子表示出运算过程． _____________ 答：到达时间是巴黎__________日__________（填“上午”或“下午”）__________时． 【答案】(1)5，9 (2)①4，②是 (3)不成立，反例见解析 (4)，上午，3 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据钟表的定义及钟表上的加减法运算的方法进行计算即可； （2）①在钟表中，相加得的两个数互为相反数，据此定义进行计算即可；②运用钟表中加减运算方法进行验证，此结论依然成立； （3）举出反例当，，时，， ，则，即可验证此结论不一定成立； （4）根据钟表运算的定义列式，并进行计算得到答案． 【规范解答】（1）解：根据题意可知，， ． 故答案为：5，9； （2）解：①在钟表中，相加得的两个数互为相反数， ，则的相反数是． 故答案为：4，； ②有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中仍然成立； 证明：设，分别表示钟表中的数字， ， 的相反数为， ∴“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中仍然成立． 故答案为：是； （3）解：不一定成立，理由如下， 当，，时， ， ，则， 当时，不一定成立． （4）解：． 故答案为：，上午，3． 题型4 省略加法和括号的形式 【精讲】（25-26七年级上·河南商丘·月考）平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式               …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算：． 【答案】(1) (2)0 (3) 【思路引导】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键： （1）根据加法法则，省略掉括号即可； （2）根据有理数的加法法则进行计算即可； （3）将带分数化为整数和真分数的和的形式，利用交换律和结合律进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）原式 ； 故答案为：0； （3）原式 ． 【变式】（22-23七年级上·河南南阳·期中）（1）把下列各式写成省略加号的和的形式，并写出它们的两种读法： （2）【我计算】请计算： 【我排序】明明在做完上题之后，对“计算”的思考过程进行了以下梳理． ①确定和的绝对值：； ②确定和的符号：计算出加数+2和-3的绝对值，分别是2和3，通过比较它们的绝对值发现，加数-3的绝对值较大，写出和的符号为“-”； ③写出计算结果； ④决定应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”； ⑤判断出是两个有理数相加的问题； ⑥观察两个加数的符号，发现是异号两数相加． 明明同学不小心把顺序写乱了，请你仔细阅读他的思考过程，写出正确的顺序为（只写出对应的顺序号即可）：___________ 【我会算】请计算： 【答案】（1）；读法见解析；（2）；⑤⑥④②①③；． 【思路引导】（1）利用有理数的加减运算法则变形得到结果，写出读法即可； （2）根据有理数的加法运算即可得到答案；根据有理数的加法法则即可排出正确的顺序；根据有理数的除法法则，先确定结果的符号，同时除法转化为乘法，再根据陈发法则计算即可得到结果． 【规范解答】解：（1）； 两种读法：①加减减；②、、、的和； （2）“我计算”； “我排序” 正确的顺序为⑤⑥④②①③， 答案为：⑤⑥④②①③； “我会算” ． 【考点剖析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 题型5 有理数乘除混合运算 【精讲】（25-26七年级上·山东日照·期中）已知：，且a，b，c都均为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了有理数乘除的应用． 根据题意可得，，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴a，b，c中最小的数是b． 故选：B． 【变式】（25-26七年级上·广东珠海·期中）书籍是人类进步的阶梯，让课外书为孩子们打开一扇扇窗，开启一道道门．我校在十月上旬开展了“携手经典，浸润和美”的读书活动．七年级某班的三名同学同读一本书，下表记录了每人每天看的页数和看完所需的时间： 甲 乙 丙 每天看的页数 15 20 30 看完所需的时间/天 8 ___________ ____________ (1)把上面的表格补充完整； (2)在看这本书的过程中那个量不变，每天看的页数和看完所需的时间有什么关系？ (3)看了3天，他们已看的页数和剩下的页数成反比例关系吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)每天看的页数和看完所需的时间之间是反比例关系； (3)已看的页数和剩下的页数不成反比例关系． 【思路引导】本题考查代数式的应用，反比例关系式： （1）先求出总页数，进而求出乙、丙每天的阅读量，根据读书的天数与每天所读页数的乘积为定值，可判断两者成反比例关系； （2）计算出已读的页数和剩下的页数，再根据反比例关系的特点进行判断即可． 【规范解答】（1）解：（页），（天），（天）， 表格补充如下 甲 乙 丙 每天看的页数 15 20 30 看完所需的时间/天 8 6 4 （2）解：因为甲乙丙阅读同一本书，所以这本书的总页数等于他们各自读书的天数与每天所读的页数之间的乘积，即乘积是一定的， 因此每天看的页数和看完所需的时间之间是反比例关系； （3）解：照这样的速度看了3天，甲读了45页，还剩页； 乙读了60页，还剩页； 丙读了90页，还剩页， 已读的页数和剩下的页数不成反比例关系， 因为反比例关系是两种相关联的量乘积为定值，而已看的页数和剩下的页数关系是和是定值，所以已看的页数和剩下的页数不成反比例关系． 题型6 有理数乘除中的简便运算 【精讲】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式】（25-26七年级上·江苏南京·月考）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【规范解答】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 题型7 有理数四则混合运算 【精讲】（25-26七年级上·吉林长春·期中）数学上，我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为． 例：，请根据阅读理解上述材料解答下列各题： (1)填空：________；________； (2)填空：________； (3)已知有理数a，b满足行列式． ①a与b的数量关系是________； ②求代数式的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)①；②． 【思路引导】本题考查了新定义运算． （1）由计算即可； （2）由（1）得到规律，再利用规律进行计算即可得到答案； （3）①由，可得：， ②化简代数式可得：原式，再代入求值可得答案． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解： ， 故答案为：； （3）① ， ， ∴， 故答案为：； ② ． 【变式】（25-26七年级上·安徽淮南·期中）阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，，，，… (1) （根据规律写算式，不要直接写结果）； (2)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律 ； (3)求式子的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，找到式子的规律，裂项相减是解题的关键． （1）根据规律拆为两个分数的差即可求解； （2）根据（1）的运算，总结规律即可求解； （3）根据规律化简式子，然后根据有理数的加减进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）归纳可得：， 故答案为：； （3）解： ． 题型8 有理数四则混合运算的实际应用 【精讲】（25-26七年级上·四川·期中）国庆、中秋双节期间，某乐园在8天假期中每天的游客人数情况如下表所示．以3千人为标准，多于3千人的记为“”，不足3千人的记为“”，刚好3千人的记为“”． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数情况∕千人 (1)10月2日这一天的游客有 千人； (2)请求出双节期间游客最多的一天比最少的一天多多少千人； (3)若该乐园的门票是每人100元，请计算双节期间期间该乐园的门票收入． 【答案】(1) (2)千人 (3)元 【思路引导】本题考查了正负数的意义，有理数运算的应用． （1）用千加上10月2号变化的人数即可； （2）用记录数据最多的一天减去最少的一天即可； （3）先求出所记录数据变化的人数，加上8天的标准人数，求出出总人数，再乘以100即可． 【规范解答】（1）解：10月2日这一天的游客有（千人）， 故答案为：； （2）解：由题可知，最多人为10月3日为6千人，最少为10月8日为千人， 所以最多比最少多（千人）； （3）解：由题意得双节期间总人数为：（千人）， 所以总费用为（元）． 答：双节期间期间该乐园的门票收入为元． 【变式】（25-26七年级上·湖北恩施·期中）某工厂根据安排原计划每天生产个零件，但实际日产量与原计划相比有出入，下表是一周内的实际日产量．（增产记为正，减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量/个 (1)日实际产量最多为__________个，最少为__________个； (2)该厂实行计件工资制：若当天完成计划，计划内生产出的零件每个按10元发工资，超额完成的部分每个按15元发工资；若当天未完成计划，已完成的部分每个按10元的六折发工资，求该厂这一周发放的工资总额； (3)若将题干中的“增产记为正，减产记为负”改为“比前一天产量增加记为正，比前一天产量减少记为负”，题干中表格的数据依次转化为下表数据．直接写出下表中“？”处的数据． 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量/个 … … … … ？ … 【答案】(1)， (2)元 (3) 【思路引导】本题主要考查正负数在实际生活中的应用．解决本题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，按照题意的要求计算即可． （１）根据正负数的实际意义，进行有理数的大小比较即可； （２）先计算每天的工资，再相加即可求解； （３）根据题意计算差值即可． 【规范解答】（1）解：， 日实际产量最多为：（个）， 日实际产量最少为：（个）． 故答案为：，． （2）解：由题意得，该厂这一周发放的工资总额为： （元）． 答：该厂这一周发放的工资总额为元． （3）解：由题意得，， “？”处的数据为：． 题型9 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【精讲】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，实数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B， C， D，若，则下列说法正确的个数有（    ）． ①；②；③；④ ；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数轴上的有理数，比较有理数的大小，绝对值的意义，有理数的加法，减法，乘法运算，先观察数轴，确定各数的大小，再得出绝对值的大小，然后进行有理数的运算即可判断． 【规范解答】解：∵， ∴b是正数，d是负数，且， 观察数轴可知，a是负数，c是正数，且，故①正确； ∴，，，，故③正确，②④错误； ∴，故⑤正确； 则下列说法正确的个数有3个． 故选：C． 【变式】（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的有理数是 (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的有理数是______； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的有理数为______； (3)有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的序号是______． ①；②；③；④ 【答案】(1)4； (2)2或6； (3)①④ 【思路引导】（1）根据数轴的三要素，平移思想解答即可； （2）设点C表示的数为，根据题意，得，化简绝对值求解即可． （3）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“<”号把这些数连接起来即可． 本题考查了在数轴上表示有理数以及有理数的比较大小，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． 【规范解答】（1）解：如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是 向右平移3个单位长度后对应点表示的数就是原点， 为原点，点B所表示的数是4， 故答案为：4； （2）解：设点C表示的数为， 根据题意，得， 故或， 解得或， 故答案为：2或6； （3）解：由数轴可知：且， ，，，， 结论正确的序号是①④． 故答案为：①④． 题型10 数轴上的翻折 【精讲】（25-26七年级上·河北保定·期中）综合与探究 【概念呈现】 大家知道在数轴上的意义是表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；式子在数轴上的意义是表示5的点与表示2的点之间的距离；式子在数轴上的意义是表示—1的点与表示—2的点之间的距离．若点在数轴上分别表示数，则两点之间的距离可表示为． 【初步探究】 （1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ． （2）请计算表示的点和表示的点之间的距离与表示的点和表示的点之间的距离之和． 【类比学习】 （3）若点在数轴上表示数，则在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离． （4）的最小值为 ． 【拓展应用】 （5）若，则 ． （6）如图，将一条数轴沿点折叠，若表示的点的重合点与表示4的点之间的距离为1，则点表示的数为 ． 【答案】（1）2；3；（2）；（3）；4；（4）5；（5）1或3；（6）0或1 【思路引导】本题考查绝对值的几何意义，两点间的距离，数轴上的折叠问题，熟练掌握绝对值的几何意义，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据距离公式进行求解即可； （2）根据距离公式进行求解即可； （3）根据绝对值的几何以及作答即可； （4）根据绝对值的几何意义，得到当在和4之间时，的值最小，进行求解即可； （5）根据绝对的几何意义，进行求解即可； （6）分两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：（1）；； （2）； （3）在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示4的点之间的距离； （4）由（3）可知，当在和4之间时，的值最小，为表示的点与表示4的点之间的距离，即为； （5），表示数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为1， 故或； （6）由题意，折叠后表示数的点与表示的点或的点重合， 当表示数的点与表示3的点重合时，点表示的数为； 当表示数的点与表示5的点重合时，点表示的数为； 故答案为：0或1． 【变式】（25-26七年级上·山东临沂·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，    (1)若A表示的数是，则数轴上点B所表示的数是________； (2)若以点B为原点，求A，B，C所对应的数的和； (3)若C表示的数是4，将数轴折叠，使点A与点C重合，求折叠后与点B重合的点表示的数． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了数轴上的点与数的对应关系、距离计算及折叠问题，解题关键是利用数轴上点的位置关系与距离的对应规则，结合数轴折叠的对称性分析计算． （1）根据点A表示的数，结合A到B的距离，即可得点B表示的数； （2）以B为原点，结合A到B、B到C的距离，确定A、B、C对应的数，再求和； （3）先由C的数和B到C的距离得B的数，再求A的数，根据A、C的中点（折叠点），计算与B重合的点的数． 【规范解答】（1）解：A表示的数是，点A到点B的距离为3， 数轴上点B所表示的数为 故答案为：． （2）解：点B表示原点，点A在点B的左边，且，点C在点B的右边，且， 点B表示的数为0，点A表示的数为，点C所表示的数为8， ， 点A，B，C所对应的数的和为5． （3）解：点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，C表示的数是4， ， 点A、B、C分别表示数、、， 将数轴折叠，点A与点C重合， 折痕处表示的数为， 折痕处表示的数到点B的距离为， ， 折叠后与点B重合的点表示的数为1． 题型11 有理数的乘方运算 【精讲】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)24 (2) (3)25 (4) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是遵循运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内），灵活运用乘法分配律简化计算． （1）去括号后按有理数加法计算； （2）将除法转化为乘法，再依次计算； （3）提取公因式25，利用乘法分配律简化运算； （4）先计算乘方，再计算括号内的式子，最后计算括号外的减法． 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【变式】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果是______； （2）关于除方，下列说法错误的是______；（填序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②对于任何正整数，1的圈次方都等于1； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算．请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算 （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； （4）计算： 【答案】（1）；（2）③；（3），；（4） 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算、正负数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用除方的意义解答即可； （2）利用除方的意义对每个选项进行逐一判断即可； （3）利用除方的意义解答即可； （4）利用除方的意义和有理数的混合运算的法则解答即可． 【规范解答】解：（1）； （2）①当时，，该说法正确，不合题意； ②，，，， ∴对于任何正整数，1的圈次方都等于1，该说法正确，不合题意； ③，，，该说法错误，符合题意； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，该说法正确，不合题意； 故选：③； （3）； ； 故答案为：，； （4）由（3）知，， ∴原式 ． 题型12 有理数乘方逆运算 【精讲】（25-26七年级上·辽宁·阶段练习）数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作，运算法则如下：． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ； ； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查有理数的乘方逆运算，掌握乘方逆运算法则、分类讨论思想的运用是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算即可； （2）逆用运算法则列一元一次方程求解； （3）根据题意分三种情况进行讨论即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得 ； ； 故答案为：； （2）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ∴ ， 解得； （3）解：根据题意得，可分为三种情况， 当指数相等，且底数不为0时，即，且。 ∴ 解得， ∵， ∴符合题意， 当底数为时，即 解得， 此时指数为， 式子为，符合条件； 当底数为时，且指数差为偶数，即，且是偶数， ∴ 解得， 计算指数差： ， 此时，符合条件， ∴x的值． 【变式】（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【答案】(1)2，4，6 (2) (3)5 【思路引导】此题考查定义新运算，掌握运算的方法，找出计算的规律解决问题． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）利用（2）得出结论：，进一步计算得出答案即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：∵，，，； ∴； （3）解：； ， ． ∴． 题型13 乘方运算的符号规律 【精讲】（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算： ；；；；；； (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为______，并把这两个数的______相加，请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 【答案】(1)正或0，平方 (2)170 (3) 【思路引导】本题为新定义运算问题，考查了有理数的混合运算，平方的非负性等知识，归纳出符号*的运算法则是解题关键． （1）根据提供的7个计算题，从符号和绝对值两方面进行归纳即可求解； （2）根据（1）结论先计算，再计算即可求解； （3）根据（1）结论得到，即可得到，从而求出 【规范解答】（1）解：归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为正或0，并把这两个数的平方相加． 故答案为：正或0，平方； （2）解：； （3）解：因为， 所以， 所以， 所以． 【变式】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【答案】(1)相等 (2) (3)5 【思路引导】本题考查有理数的乘方， （1）根据乘方的定义分别计算可得； （2）根据（1）中计算结果可得； （3）根据所得结论计算可得． 【规范解答】（1）解：① ，，则； ② ，，则； 即每组两个算式的结果相等 （2）解：； （3）解：． 题型14 程序流程图与有理数计算 【精讲】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图是一数值转换机的示意图，若输入的x值为，则输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了程序流程图与有理数计算，含乘方有理数的混合运算，根据程序流程图得出，然后通过运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】解： ， 故选：． 【变式】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图，小明制定了一种密码规则，将26个英文字母A，B，C，…，Z依次对应1，2，3，…，26．密文字母所对应的数字x与明文字母所对应的数字y之间的关系如下： 例如：密文“”，对应的数字为“6  13”，那么“6”代入计算得明文对应的数字为“15”，进而对应明文为“O”；“13”代入计算得明文对应的数字为“11”，进而对应明文为“K”；所以密文“”破译成明文为“”；那么密文“”破译成明文为“ ”． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，根据密文“”对应的数字为“16 21”，代入运算程序计算得出明文即可． 【规范解答】解：密文“”对应的数字为“16 21”， 当时，，对应明文T， 当时，，对应明文O ∴密文“”破译成明文为“”， 故答案为：． 题型15 算 “24” 点 【精讲】（25-26七年级上·河北承德·期中）计算，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： 0 (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果 ； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果 ； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果 ； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算．（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)①；②；③； (2)见详解 【思路引导】（1）由题意易得，则有①要使两张卡片上数字之和最大，应选择最大的两个数字进行相加即可；②要使这两张卡片上数字之差最小，应选择最小的数减去最大的数即可；③要使这两张卡片上数字之积最大，应选择同号的两张，并且是最大或最小的两张进行相乘即可； （2）根据有理数的运算进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果为； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果； ③使这两张卡片上数字之积最大，则有，，所以最大的为； 故答案为，，； （2）解：由题意得：； ； ． 【变式】（25-26八年级上·河南周口·期中）数学活动课上，老师拿出如图1所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求解答下列问题： (1)老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为，6，．请将这三个数对应的点标在如图2所示的数轴上，按照从小到大的顺序依次用点A，B，C表示． (2)在（1）的基础上，以点B为折点，将此数轴向右折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为______，点到点C的距离为______个单位长度． (3)①请任选其中的两张卡片，将卡片上的数字相乘，结果记作P，则P的最大值比P的最小值大多少？ ②用这四张卡片上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于24，请直接写出一种满足题意的算式． 【答案】(1)见解析 (2)0；6 (3)①200；②（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，数轴的应用，解题的关键是读懂题意，正确地运算． （1）根据数轴上点对应的数，在数轴上标出A，B，C三点即可； （2）结合数轴上A点位置得到点位置和所对应的数，从而得到结果； （3）①根据有理数乘法运算法则求出P的最大值和最小值，即可得到结果； ②根据，，6，20四个数字按要求进行混合运算，使其结果为24即可． 【规范解答】（1）解：， 点对应，点对应，点对应6，如图所示： （2）解：以点为折点，将此数轴向右折叠，点落在数轴上的点处， 在数轴上对应数字0， ∵点对应6， 点到点的距离为6个单位长度； （3）解：①由题意可得P的最大值为：， 最小值为：， ， 即P的最大值比P的最小值大200． ②．（答案不唯一） 题型16 含乘方的有理数混合运算 【精讲】（25-26七年级上·北京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)32 【思路引导】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接根据有理数的加减计算法则进行求解即可； （2）直接根据有理数的乘除法计算法则进行求解即可； （3）直接利用乘法分配律计算即可得到结果； （4）先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算，有括号先计算括号内的运算即可得到结果． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式】（25-26七年级上·北京昌平·期中）计算： (1) (2)． (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，化简绝对值，乘法分配律，涉及有理数的加减混合运算，有理数的乘除法，有理数的乘方，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先去括号，然后从左到右进行计算即可； （2）先将除法转化成乘法，然后从左到右进行计算即可； （3）根据乘法分配律的逆运算，将原式转化为，然后先算括号，最后计算乘法即可； （4）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后进行加减运算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型17 科学记数法 【精讲】（25-26七年级上·江苏常州·期中）作为城市高质量发展“大动脉”的常州地铁，近年来为城市发展和居民生活提供了高效便捷的公共交通服务．其中1号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2019年9月21日开通运营，这条线路呈南北走向，北起新北区森林公园站，途经天宁区，南至武进区南夏墅站．如图为1号线串联的部分站点．据统计，2025年10月1日至7日，常州地铁1号线客流量达196.27万人次． (1)若万人次用科学记数法表示为人次，则 ． (2)某天，小帅同学从外国语学校站开始乘坐地铁1号线，在地铁各站点做志愿者服务，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，约定向南夏墅站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：，，，，，，，． ①通过计算发现A站是 站． ②若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小帅志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是多少千米？ 【答案】(1) (2)①翠竹；②千米 【思路引导】本题考查科学记数法，正负号的实际应用，有理数混合运算的应用： （1）将万写成的形式即可，其中，n是正整数； （2）①将所记录数据相加，结合站点排列情况即可求解；②将所记录数据的绝对值相加，再乘以相邻两站之间的平均距离，即为所求． 【规范解答】（1）解：万， 故答案为：； （2）解：①， 外国语学校向南夏墅站方向第6站为翠竹站，即A站是翠竹站， 故答案为：翠竹； ② （千米） 答：这次小帅志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是千米． 【变式】（25-26七年级上·贵州贵阳·月考）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示） (1)经测量，100 张面值为 100 元的新版人民币大约厚厘米，如果将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 【答案】(1)厘米 (2)天 【思路引导】本题考查了科学记数法及其计算，正确表示各数是解题的关键； （1）先求出10亿元人民币的总张数，再计算高度； （2）用10亿元人民币的张数除以1天点钞机点的张数列式求解即可． 【规范解答】（1）解：10 亿， 所以10亿元面值为100元的新版人民币的总张数为， （厘米）； 答：将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有厘米高． （2）解：； 答：点钞机大约要点天． 题型18 近似数和有效数字 【精讲】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）下列说法正确的是（  ） A．5.78万精确到百分位 B．近似数3千和3000的精确度是相同的 C．547500精确到万位可以表示为 D．若数x四舍五入后是5.20，则数x的取值为 【答案】D 【思路引导】本题考查近似数的精确度和四舍五入法．根据相关知识点逐一进行判断即可． 【规范解答】解：A、5.78万，精确到百位，原说法错误，不符合题意； B、近似数3千精确到千位，3000精确到个位，两数的精确度不同，原说法错误，不符合题意； C、547500精确到万位可以表示为，原说法错误，不符合题意； D、若数x四舍五入后是5.20，则数x的取值为；正确，符合题意； 故选D． 【变式】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）下列说法正确的是（   ） A．158200000000用科学记数法表示为 B．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 C．1.399用四舍五入法保留两位小数后，取近似数后为1.4 D．近似数2.1和2.10精确度相同 【答案】A 【思路引导】本题考查科学记数法和近似数的精确度概念．选项A正确表示了大数的科学记数法；选项B混淆了精确度的位置；选项C错误理解了四舍五入保留小数的结果；选项D忽略了近似数末尾零对精确度的影响． 【规范解答】解：∵158200000000是12位数，科学记数法表示为，选项A正确． ∵最后一位3对应百位， ∴精确到百位，不是百分位，选项B错误． ∵1.399保留两位小数，第三位，向前进位， ∴结果为1.40，不是1.4（1.4表示保留一位小数），选项C错误． ∵ 2.1精确到十分位，2.10精确到百分位， ∴ 精确度不同，选项D错误． 故选A 1．如图所示，数轴上点、对应的有理数分别为、，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了数轴特点，绝对值意义，由数轴可知，，，然后通过运算逐一判断即可，知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：、由数轴可知，，则，原选项说法错误，不符合题意； 、由数轴可知，，，则，原选项说法错误，不符合题意； 、由数轴可知，，原选项说法错误，不符合题意； 、由数轴可知，，则，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 2．（22-23七年级上·广东汕头·期末）稀土元素有独特的性能和广泛的应用，我国稀土资源总储藏量为10.5亿吨，是全世界稀土资源最丰富的国家，用科学记数法表示为（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】B 【思路引导】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【规范解答】解：亿吨吨， 故选：． 3．对于有理数a、b，有以下几种说法，其中正确的说法个数是（    ） ①若，则a与b互为相反数   ②若，则a与b异号 ③若，且a、b同号时，则， ④若且a、b异号，则   ⑤若，则 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【思路引导】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，加法法则；理解性质与法则，会举反例判断是解题的关键． ①由相反数的定义即可判断； ②举反例当，即可判断； ③由加法法则，即可判断； ④举反例，，即可判断； ⑤可得，由加法法则即可判断． 【规范解答】解：①若，则a与b互为相反数，故此项说法正确； ②因为当，所以若，则a与b不一定异号，故此项的原说法错误； ③若，且a、b同号时，则，，故此项的原说法正确； ④因为，，所以若且a、b异号，则 ，故此项的原说法错误； ⑤若，则，故此项说法正确； 说法正确的有①③⑤，共个； 故选：A． 4．（23-24六年级上·山东东营·期末）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“+”号表示数的加法，则的值是（　　） A．1 B．0 C．2025 D．-2024 【答案】A 【思路引导】本题考查新定义运算，有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据给定的新运算，运用规则进行变形，通过代入特殊数值简化计算，逐步推导得出结果 【规范解答】解：∵ 对任意有理数 ，有 和 ， 令 ， 则 ， 即 ， 又 ∵ ， ∴ ①， 计算： 令 ， 则 ， 即 ， ∵ ， ∴ ②， ②式代入①式得： ∴， ∴ ． 故选：A． 5．（24-25七年级上·山西晋中·期末）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘除法符号问题，根据，分三种情况分别求得的值，即可判断①；根据，可得，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值进而判断②，根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可判断③，根据，可得，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，分类讨论化简绝对值，根据③的方法即可判断④和⑤． 【规范解答】解：①∵， 当同号时，即或，时， 或， 当异号，即，或，， ∴或 ∴当时，的值为或；故①正确； 当时，即， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，的值为；故②正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为．故③不正确； ∵，则 ∴， ∴a、b、c中有3个负数或一负两正， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有一负两正时，； ∴的值为或；故④正确； ∵， ∴a、b、c中一负两正或一正两负， 当a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴ 当a、b、c中一正两负， 不妨设, ∴ ∴的所有可能的值为，故⑤正确， 故正确的有①②④⑤， 故选：C． 6．（23-24七年级上·浙江·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是5，第1次输出的结果是2，第2次输出的结果是，依次继续下去，……，第2027次输出的结果是 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了代数式的运算以及周期规律的探究，解题的关键是找出运算结果的周期规律． 按照运算程序依次计算输出结果，找出周期规律，再根据周期计算第2027次输出的结果． 【规范解答】解：根据运算程序，依次计算输出结果： 第1次输入（非负数），输出， 第2次输入（非负数），输出， 第3次输入（负数），输出， 第4次输入（非负数），输出， 第5次输入（负数），输出， 第6次输入（非负数），输出， 第7次输入（非负数），输出， 第8次输入（负数），输出， 从第3次开始，输出结果以为一个周期循环， 除去前2次的次数：， 一个周期有3个结果，，刚好整除， 说明第2027次输出的结果是周期的最后一个数4． 故答案为：4． 7．（23-24七年级上·重庆·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入时，则输出的数是 ． 【答案】7 【思路引导】本题考查程序流程图与有理数的计算，根据流程图，列出算式进行计算即可． 【规范解答】解：，继续输入 ，输出； 故答案为：7． 8．（24-25七年级上·广西防城港·期中）如图所示是计算机程序计算，当输入的数为5时，则输出的结果 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查有理数的加减混合运算与程序图的运用，理解程序图的计算，掌握有理数的加减混合运算是解题的关键． 根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可． 【规范解答】解：由计算机程序可知，当输入的数为5时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即输出的结果． 故答案为： 9．（24-25七年级上·江西南昌·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中，正确的有 ．（把正确的序号填在横线上．） ①；②；③；④；⑤． 【答案】②③④ 【思路引导】本题考查了数轴，有理数的大小比较，绝对值，有理数的加减等知识，综合性强，难度较大．根据数轴得到，并且，即可得到①错误，可判断②⑤；化为得到三个负数相加，得到③正确；根据绝对值意义得到，，即可得到④正确，问题得解． 【规范解答】解：由数值得，并且， ∴，故①错误； ，故②正确； ，故⑤不正确； ，故③正确； ∵，， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 10．（24-25七年级上·浙江·期末）已知a，b为实数，下列说法： ①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则是正数；④若，则；⑤若，且，则，其中正确的是 ． 【答案】①②③⑤ 【思路引导】此题考查了相反数，绝对值和有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键． ①除0外，互为相反数的商为，可作判断； ②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到与都为负数，即小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断； ③分类讨论，，，，以及分别处理即可； ④由的绝对值等于它的相反数，得到为非正数，得到与的大小，即可作出判断； ⑤先根据，得，由和有理数乘法法则可得，，分情况可作判断． 【规范解答】①∵，且，互为相反数， ∴，故本选项正确； ②∵， ∴与同号， ∵， ∴，， ∴，故本选项正确； ③若，当，则是正数， 当时，是正数， 当时，是正数， 当时，是正数，本选项正确； ④∵，即， ，即，本选项错误； ⑤∵， ， ， ，， 当时，， ，不符合题意； ∴，， ， 则，本选项正确， 故答案为：①②③⑤． 11．（24-25七年级上·贵州安顺·期末）定义一种新运算“☆”：对于任意两个有理数a和b，满足．例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查新运算“☆”的定义，涉及有理数的混合运算、绝对值和平方的非负性，准确计算是解题的关键． （1）直接代入计算； （2）小题先计算内层运算，再计算外层运算； （3）小题先根据非负性求出x和y的值，再代入运算； 【规范解答】（1） ， ； （2）先计算 = ； 再计算， ； （3），且，， ，， ，， 计算． 再计算 ． 12．（25-26七年级上·湖北·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据有理数的运算法则进行计算，计算时可以运用运算律进行简便计算． 运用加法交换律和结合律把互为相反数的数结合起来，进行简便计算； 根据乘方的定义先把乘方计算出来，再根据运算法则进行计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26七年级上·河南·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，有理数的乘方，有理数的加减混合运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据加减混合运算法则，进行计算即可； （2）先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号； （3）先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．（23-24七年级上·广东深圳·期中）综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)【发现】归纳*运算的法则 两数进行*运算时， ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算， ； (2)【实践】计算：________． (3)【提升】是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； (2)17 (3)存在，，使得， 【思路引导】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用． （1）首先根据运算的运算法则进行运算的算式，归纳出运算的运算法则即可；然后根据：；，可得：0和任何数进行 运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方． （2）根据（1）中总结出的运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【规范解答】（1）解：归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方． 故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； （2） ． 故答案为：17 （3）存在， ， ，， 解得，， ∴存在，，使得， 15．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方 乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 【答案】（1）， （2） （3） （4） （5） 【思路引导】本题主要考查了有理数的除法运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，读懂题意，深刻理解题中所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据除方的定义逐项分析判断即可； （3）根据题中所给示例进行计算即可得出答案； （4）分别求出和，然后比较即可； （5）根据除方的定义进行计算即可． 【规范解答】解：（1）由题知：， ， 故答案为：，； （2）由题知： A．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； B．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； C．当为正数时，的次商表示个相除，结果是正数， 当为负数时，奇数个负数相除结果为负，偶数个负数相除结果为正， 该说法错误，故选项符合题意； D．由除方的定义可知，次商等于它本身的数是， 该说法正确，故选项不符合题意； 故选：； （3）由题知： ， 故答案为：； （4），， ， 故答案为：； （5） ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $