专项突破09 一次函数的图像与性质（期末复习-知识回顾+16个重难点培优题型+真题演练 共51题）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册精讲练

该初中数学讲义通过“知识回顾+题型分类”系统构建一次函数图像与性质的知识体系，知识梳理部分用表格归纳k、b与函数图象象限、增减性的关系，用步骤总结呈现待定系数法等核心方法，清晰呈现重难点分布和内在逻辑，培养学生几何直观与抽象能力。 讲义亮点在于16种分层题型设计，从基础的象限判断到综合的对称旋转问题，结合真题演练，如通过两条直线交点求不等式解集的题型，培养推理意识与模型意识。每个题型配套精讲与变式练习，帮助不同层次学生提升，教师可据此实施精准复习教学。

专项突破09 一次函数的图像与性质 （知识回顾+16种重难点培优题型+真题演练 共51题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：一次函数的图象 2 知识点梳理02：一次函数的性质 2 知识点梳理03：确定一次函数表达式 2 知识点梳理04：图象的平移 3 知识点梳理05：两条直线间的位置关系 3 重点难点 培优讲练 3 题型1 根据一次函数解析式判断其经过的象限 3 题型2 已知函数经过的象限求参数范围 5 题型3 一次函数图象与坐标轴的交点问题 6 题型4 求一次函数自变量或函数值 9 题型5 画一次函数图象 10 题型6 一次函数图象平移问题 14 题型7 一次函数图象与对称问题 16 题型8 一次函数图象与旋转问题 19 题型9 根据一次函数增减性求参数 22 题型10 比较一次函数值的大小 24 题型11 一次函数的规律探究问题 25 题型12 已知直线与坐标轴交点求方程的解 27 题型13 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 30 题型14 利用图象法解一元一次方程 33 题型15 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 35 题型16 根据两条直线的交点求不等式的解集 37 期末真题 实战演练 40 知识点梳理01：一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 知识点梳理02：一次函数的性质 (1)一次函数的性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源:学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 ] 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 (2)一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 知识点梳理03：确定一次函数表达式 (1)待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． (2)常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 知识点梳理04：图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 知识点梳理05：两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 题型1 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【精讲】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）已知直线不经过第四象限，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查判断直线经过的象限，根据直线不经过第四象限，得到，进而得到，判断出一次函数的图象所经过的象限即可． 【规范解答】解：∵直线不经过第四象限， ∴， ∴， ∴一次函数的图象过一，三，四象限； 故满足题意的只有选项C； 故选：C． 【变式】（25-26八年级上·山东济南·期中）一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤x的值每增加1，的值增加．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是关键． 根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【规范解答】解：①由图象可知：函数中，随的增大而减小；故①正确； ②由图象可知：， ， ∴，故②正确； ③由图象可知：，故函数的图象不经过第一象限；故③正确； ④由图象可知，两函数图象交点的横坐标为，故，故④正确； ⑤当时，， 当时，， ， ∴的值每增加的值增加，故⑤错误， 故选：A． 题型2 已知函数经过的象限求参数范围 【精讲】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，直线与轴交于点，下列说法正确的是（  ） A．， B．直线不经过第四象限 C．关于的方程的解为 D．若，是直线上的两点，若，则 【答案】C 【思路引导】本题考查一次函数的图象和性质，由直线与坐标轴交点求方程的解．由直线的图象可知，即可判断A；又可得出，即得出直线经过第一、二、四象限，可判断B；进而由一次函数的性质可判断D；由直线与坐标轴交点的横坐标即为其相关一元一次方程的解，可判断C． 【规范解答】解：由图象可知直线经过第一、二、三象限，且与y轴的交点位于x轴上方， ∴， ∴，故A错误，不符合题意； 又∵，， ∴直线经过第一、二、四象限，故B错误，不符合题意； ∵直线与x轴交于点， ∴关于x的方程的解为，故C正确，符合题意； ∵直线经过第一、二、三象限， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴，故D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式】（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知函数，m为常数． (1)若该函数的图象与直线平行，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式（组），掌握相关知识是解决问题的关键． （1）两直线平行，则两直线的解析式中x的系数相等，据此解答即可； （2）一次函数图象不经过第二象限，即函数图象经过一、三、四象限或只经过一、三象限，则x的系数为正数，常数项为负数或零，据此解答即可． 【规范解答】（1）解：∵函数的图象平行于直线， ， ； （2）解：函数是一次函数，且不经过第二象限， ∴且， ∴， ∴m的取值范围是． 题型3 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【精讲】（25-26八年级上·山东济南·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．函数的自变量每增加1，函数值增加2 B．函数的图象与x轴交于点 C．函数的图象向下平移5个单位长度得到的图象 D．若点、点在此函数图象上，则 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数的性质、图象平移及函数值比较，解题的关键是掌握一次函数的斜率意义、坐标轴交点求法、平移规律及增减性． 通过一次函数的斜率、坐标轴交点求法、图象平移规律及增减性，逐一判断各选项． 【规范解答】解：A、的斜率为，自变量每增加1，函数值减少2，此选项不符合题意； B、令，则，解得，图象与x轴交于，此选项不符合题意； C、图象向下平移5个单位，得，此选项符合题意； D、，函数值随增大而减小，，故，此选项不符合题意； 故选：C． 【变式】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线的表达式； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查了一次函数与面积的综合问题，用待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握一次函数与面积的综合问题是解题的关键． （1）令，得到方程，求解方程即得答案； （2）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）设点，当点P在射线上时，根据，得到，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案；当点P在射线上时，可得，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案． 【规范解答】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为． 故答案为：． （2）解：设直线的表达式为， 将，的坐标代入，得， 解得， 直线的表达式为； （3）解：设点， 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 综上所述，存在动点P，使得的面积等于面积的倍，点P的坐标为或． 题型4 求一次函数自变量或函数值 【精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若在该函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）将点代入求解即可． 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及利用一次函数解析式求点的坐标，掌握待定系数法是解题关键． 【规范解答】（1）将，代入一次函数得， ， 解得 ∴； （2）∵在该函数图象上， ∴ ∴． 【变式】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数进行了相关探究：对一次函数（）进行探究后，得出下列结论：①是“不动点函数”，且只有一个不动点；②是“不动点函数”，且不动点是；③是“不动点函数”，且有无数个不动点．以上结论中，你认为正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】③ 【思路引导】本题考查了新定义“不动点函数”的理解及一次函数不动点的求解，解题的关键是根据不动点的定义，将问题转化为解方程． 根据不动点定义，对每个一次函数求解方程；对于，方程 无解，不是不动点函数；对于，解方程得，不动点为，原结论错误；对于，方程恒成立，有无数个不动点． 【规范解答】解：根据不动点定义，令， 对于①：，解方程，得，无解，故①错误； 对于②：，解方程，得，，此时，不动点为，故②错误； 对于③：，解方程，恒成立，故有无数个不动点，③正确． 故答案为：③． 题型5 画一次函数图象 【精讲】（25-26八年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的奇妙相遇 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③其图象与y轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到． 将一次函数的表达式中自变量x添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 3 … y … ______ 0 ______ 0 1 … ②在图②中描点、连线：    (1)请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； (2)根据图②中的函数图象回答下列问题： ①当______时，y有最小值为______； ②请写出该函数的一条性质：______． (3)若的图象与直线没有交点，则k的取值范围是______． 【答案】(1)①见解析；②图见解析 (2)①0；；②时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【思路引导】本题主要考查画一次函数的图象，一次函数图象与性质，正确画图是解答本题的关键． （1）根据题目要求解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）根据图象解答即可． 【规范解答】（1）解：当时，， 当时，， 填表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 0 0 1 … 描点，连线得， （2）解：①当时，y有最小值为； 故答案为：0；； ②请写出该函数的一条性质：时，y随x的增大而减小； 故答案为：时，y随x的增大而减小； （3）解：由图象可知，当时，的图象与直线没有交点， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数的图象经过点，． (1)①求，的值； ②在上图的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (2)当时，直接写出的取值范围： ； (3)将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过，则的值为 ． 【答案】(1)①；②见解析； (2)； (3) 【思路引导】本题考查了一次函数的性质． （1）①将，代入计算即可； ②描点连线即可； （2）分别求出当和时y的值，进而作答即可； （3）求出平移后的函数解析式，再将代入计算即可． 【规范解答】（1）①解：将，代入得： ， 解得：； ②解：如图，标出点，，进而连线即可； （2）解：由（1）可知 当时， 当时，， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：将一次函数的图象向上平移个单位得到， ∵经过， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型6 一次函数图象平移问题 【精讲】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）一次函数经过点和点． (1)求这个一次函数的解析表达式； (2)将所得函数图象平移，使它经过点，求平移后直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的平移，利用平移前后一次项系数不变是解题关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）利用平移后解析式的值不变，进而假设出解析式求出即可． 【规范解答】（1）解：∵一次函数经过点和点， ， ∴，， ∴一次函数的解析表达式为． （2）解：设平移后直线的解析式为， 把点代入，得，解得， ∴平移后直线的解析式为． 【变式】（25-26八年级上·广东佛山·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【规范解答】（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3） ， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 题型7 一次函数图象与对称问题 【精讲】（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 首先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据题意得到一次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【规范解答】解：∵直线 ∴当时，， ∴直线与y轴的交点为； ∴当时，， 解得 ∴直线与x轴的交点为 ∵一次函数的图象与直线关于轴对称， ∴一次函数的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为 设一次函数的解析式为 ∴ ∴ ∴此一次函数的解析式为． 故选：A． 【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期中）问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在函数中，自变量的取值范围是______； (2)如表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 … … 1 0 0 … ①______； ②若，为该函数图象上不同的两点，则______； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①该函数的最小值为______； ②已知直线与函数的图象交于、两点（C点在D点左侧），请作出直线，并直接写出点C和点D的坐标，点C的坐标是______，点D的坐标是______． 【答案】(1)全体实数 (2)①；② (3)图象见解析；①；②图象见解析；， 【思路引导】（1）根据题意得自变量的取值范围是全体实数； （2）①把代入，即可求出m；②把代入，即可求出n； （3）①画出该函数的图象即可求解；②在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象，即可求解． 【规范解答】（1）解： 在函数中，自变量的取值范围是全体实数； 故答案为：全体实数 （2）解：①把代入得：； 故答案为： ②当时，， 解得：， ∵，为该函数图象上不同的两点， ∴； 故答案为： （3）画出该函数的图象如图， ①观察图象得：该函数的最小值为； 故答案为； ②对于，当时，；当时，， 在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象， 观察图象得：点C的坐标是，点D的坐标是． 故答案为：， 【考点剖析】考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键． 题型8 一次函数图象与旋转问题 【精讲】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2)1，0； (3) (4) 【思路引导】本题考查了怎样在坐标轴上画函数，函数与坐标轴相交点的坐标，三角形面积的计算． （1）分别令，，可求出与x轴、y轴的交点坐标，过两交点作直线即可． （2）直接由（1）即可求解； （3）根据三角形的面积公式解答即可； （4）根据旋转的性质可得旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【规范解答】（1）解：（1）当时，；当时，，画出图形如下： （2）解：由（1）得：图象与x轴的交点A的坐标为，与y轴交点B的坐标为； 故答案为：1，0； （3）解： （4）解：∵该函数图象绕原点旋转， ∴旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为， 设旋转后的图象的解析式为， ∴，解得：， ∴该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式为． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线与y轴交于点A，将直线l绕点A旋转后，所得直线的表达式为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查旋转的性质，待定系数法求解析式的综合，，则，由题意知所得直线与原直线垂直，故与y轴的正半轴的夹角为，得出点，，代入解析式，即可得出答案． 【规范解答】解∶ 记直线l与x轴的交点为B，旋转后得直线与x轴的交点为． 在中令，则，故点， ． 令，则，故点， ． ． ． 由题意知所得直线与原直线垂直， 故与y轴的正半轴的夹角为，即． 轴， ． ． ． ． 设， 把点，代入的解析式中有 解得 故：． 故答案为∶ ． 题型9 根据一次函数增减性求参数 【精讲】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数（为常数，且）． （1）若该一次函数的图像必经过一点，则该点的坐标为 ； （2）当时，函数有最大值12，则的值为 ． 【答案】 或 【思路引导】此题考查了一次函数的性质， （1）通过整理函数表达式，发现当时，恒为，因此图像必过定点； （2）根据一次函数的增减性，分和两种情况讨论，分别求最大值点，并令其等于，解方程得到的值． 【规范解答】（1） ∵该一次函数的图像必经过一点， ∴当时，即时， ∴该一次函数图像必经过点． 故答案为：； （2）当时，随增大而增大， ∴在时取得最大值，代入得， 令，解得； 当时，随增大而减小， ∴在时取得最大值．代入得， 令，解得． 综上，的值为或． 故答案为：或． 【变式】（25-26八年级上·广西崇左·期中）已知一次函数，求m为何值时，下列各结论分别成立； (1)y随x的增大而减少； (2)函数的图像经过原点； (3)函数的图像不经过第三象限． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据一次函数的性质：当k小于0时，y随x的增大而减少即可得结论； （2）当时，图象经过原点即可得结论； （3）函数的图象不经过第三象限，需满足斜率小于0且纵截距大于等于0，即可得结论． 【规范解答】（1）解：∵y随x的增大而减少， ∴，解得， ∴当时，y随x的增大而减少； （2）∵函数图象经过原点， ∴，解得， ∴当时，函数图象经过原点； （3）∵函数的图象不经过第三象限， ∴，且，解得， ∴当时，函数的图象不经过第三象限． 题型10 比较一次函数值的大小 【精讲】（25-26八年级上·山西运城·期中）已知点在正比例函数的图象上，若点也在这个正比例函数的图象上，且，则和的大小关系是 ． 【答案】 【思路引导】解题思路是先利用已知点求出正比例函数的比例系数，再根据的符号判断函数的增减性，最后结合、的大小关系，得出和的大小关系．本题考查正比例函数的性质，涉及的知识点是正比例函数的解析式求解、增减性判断．解题中用到的方法是 “先求系数，再判增减” 的步骤法．解题关键是准确求出的值，并牢记的符号与函数增减性的关系．易错点是混淆的符号对应的增减性，导致大小关系判断错误． 【规范解答】，将点代入： 因此，正比例函数的解析式为． ，所以随的增大而减小． 已知，且y随x的增大而减小，因此． 故答案为． 【变式】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知点都在一次函数的图象上，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．一次函数的斜率，那么随的增大而增大，由可知，选项B中，若，则且，结合，可得和，因此恒成立．其他选项可通过反例排除． 【规范解答】解：∵中，，且， ∴， 对于选项B： 若，则且， 又∵， ∴， ∴，， ∴，故选项B正确； 其他选项反例： 选项A：取，则，但，，不满足； 选项C：取，则，但，，不满足； 选项D：取，则，但 ，，不满足； 因此，只有选项B正确， 故选：B． 题型11 一次函数的规律探究问题 【精讲】（25-26八年级上·山东青岛·期中）正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律的横坐标是，纵坐标是是解题的关键．依据题意，利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点，，，，的坐标，即可根据正方形的性质得出，，，，的纵坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律点的横坐标是：，再代入即可得出结论． 【规范解答】解：当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵为正方形， ∴点的坐标为， 同理，可知：点的坐标为， 点的坐标为， ∴的横坐标是：，纵坐标是：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，（为自然数）”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【规范解答】解：当时，， 所以点的坐标为． 当时，， 所以点的坐标为． 同理可得，，，，，，， 所以，，，（为自然数）． 因为， 所以点的坐标为，即． 故选：C． 题型12 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【精讲】（25-26八年级上·广西崇左·阶段练习）画出函数的图像，并结合图像求： (1)方程的解； (2)不等式的解集； (3)不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查描点法画函数图像，一次函数与方程、一元一次不等式的关系，运用描点法画出函数图像，运用数形结合思想是解题的关键． （1）运用描点法画出函数图像，根据图像与x轴的交点的横坐标即为方程的解； （2）不等式的解集为函数图像在x轴下方对应的自变量x的取值范围，根据图像即可解答； （3）根据函数图像找出函数值在与7之间的自变量的值即可． 【规范解答】（1）解：列表： x 0 3 0 描点并连线： 由图像可得，一次函数的图像与x轴的交点为， ∴方程的解为． （2）解：由图像可得，不等式的解集为． （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 由图像可得，不等式的解集为． 【变式】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)当时，； 当时，_____； 当时，_____． (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)直接写出关于的方程（为常数，）解的个数及对应的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)当时，方程有两个解；当或或时，方程有一个解；当或时，方程没有解 【思路引导】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）去绝对值符号，化简即可； （2）由（1）的结论可画出函数图象，结合函数图象可得出函数的性质； （3）根据题意分情况讨论，进而判断出k的范围． 【规范解答】（1）当时，； 当时，； （2）函数的图象如图所示． （3）关于的方程（为常数，）， 令，则图象过点， 当直线过点时，， ， 此时，关于的方程（为常数，）有一个解； 当直线平行于直线时，， 时，关于的方程（为常数，）有一个解； 当直线平行于直线时，， 时，关于的方程（为常数，）有一个解． 综上，当时，方程有两个解；当或或时，方程有一个解；当或时，方程没有解． 题型13 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【精讲】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)当时，的取值范围是_____； (3)将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线与轴交于点．若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12 【思路引导】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出点的坐标，再利用描点法画出函数图象即可得； （2）结合函数图象即可得； （3）先求出平移后的直线的解析式，再求出点的坐标，然后求出，根据建立方程，解方程即可得． 【规范解答】（1）解：对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即． 在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象如下： ． （2）解：由函数图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． （3）解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线的解析式为， 将代入得：，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为12． 【变式】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点一次函数的图象与直线相交于点，与轴相交于点，若点是直线上一动点，且满足的面积是面积的倍，则点的坐标为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了一次函数的性质、两条直线相交或平行问题、三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点是关键． 先求出点的坐标，再求出，根据待定系数法求出直线的解析式，设点，利用三角形面积关系建立方程求出值，继而得到点的坐标． 【规范解答】解：在中，当时，， ， ∵ ∴， 由图象得：， ， 由条件可知：， 解得， 直线的解析式为， 设点， ， 解得或， 或． 故答案为：或． 题型14 利用图象法解一元一次方程 【精讲】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系，掌握一元一次方程的解是对应函数图象交点的横坐标是解题的关键. 由函数图象可知：直线与直线的交点的横坐标为，再根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 【规范解答】解：∵由函数图象可知：直线与直线的交点的横坐标为， ∴关于的方程的解为． 故答案为：． 【变式】（24-25八年级下·全国·期末）函数的图象如图所示，利用函数图象解答下列问题： (1)解方程； (2)解不等式； (3)解不等式组． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由函数图象即可得解； （2）待定系数法求出函数为，当时，，解得，再结合函数图象即可得解； （3）结合函数图象即可得解． 【规范解答】（1）解：由图象可得，方程的解为； （2）解：将，代入函数可得：， 解得：， ∴函数为， 当时，， 解得， 由函数图象可得，不等式的解集为； （3）解：由函数图象可得：不等式组的解集为． 题型15 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【精讲】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）已知一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．图象经过第一、二、四象限 C．图象可由直线向上平移4个单位长度得到 D．当时， 【答案】D 【思路引导】本题考查求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．先通过代入已知点坐标求出一次函数的解析式，再根据解析式逐一分析每个选项． 【规范解答】解：∵ 的图象经过点 ，代入得： 解得： ∴一次函数的解析式为 ， ∵ ， ∴ 随 的增大而增大，并非减小，故选项A错误； 在一次函数 中，，， 函数图象经过第一、二、三象限，并非第一、二、四象限，故选项B错误； 直线 向上平移4个单位长度，得到的函数解析式应为 ，与求出的 不一致，故选项C错误； 令 ，即 ， 解得： ∴当 时，，故选项D正确。 故选：D． 【变式】（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，已知一次函数（k、b为常数，）的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若，，结合图象求： (1)关于x的方程的解； (2)关于x的不等式的解集； (3)当x的取值在什么范围时，? 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围． （1）写出点坐标，即可解答； （2）写出点坐标，即可解答； （3）写出点坐标，即可解答． 【规范解答】（1）解：， ， 关于x的方程的解为； （2）解：结合图象可得， 关于x的不等式的解集为； （3）解：由，，可得， ， 所以当x的取值在时，． 题型16 根据两条直线的交点求不等式的解集 【精讲】（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．小明的探究过程如下： 列表： x … m 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 3 2 1 2 3 n 5 … (1)补全表格：_______，_______； (2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线； (3)根据表格及函数图象，探究函数性质： ①当时，_______；当时，_______， ②下列说法正确的个数是_______； （i）变量x是变量y的函数；（ii）x每增加就减小1 （iii）图象经过第一、二象限；（iv）当时，y有最小值； A．1　　B．2    C．3　　D．4 (4)结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程有两个实数解，直接写出实数a的取值范围：______． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①12，2025或；②B (4) 【思路引导】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量，画一次函数图象，一次函数的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出当时的值，当时的值即可得到答案； （2）先描点，然后连线画出对应的函数图象即可； （3）根据（2）所画函数图象进行求解即可； （4）确定直线恒过点，根据方程有两个实数解，即直线与直线有两个交点，画出图象进行求解即可． 【规范解答】（1）解：在中， 当时，则， 或， ∴， 在中，当时，，即， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：根据（2）中图象可得：①当时，； 当时，则，解得：或， 故答案为：12，2025或； ②（i）变量x不是变量y的函数，原说法错误； （ii）当时，x每增加就增加1，原说法错误； （iii）图象经过第一、二象限，正确； （iv）当时，y有最小值，正确； 故选：B． （4）解：直线恒过点， ∵方程有两个实数解， ∴直线与直线有两个交点， 当平行于时，或， 由函数图象可知，当时，直线与直线有两个不同的交点， 即方程有两个实数解， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，直线经过，两点．在同一坐标系中画出函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)当时，写出与的大小关系； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．把解不等式的问题转化为比较函数值的大小，从而可以利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围． （1）过，，画直线得到函数的图象，然后结合函数图象当时直线在直线的下方，从而得到； （2）写出直线在直线的下方且的函数值不小于所对应的自变量的范围即可． 【规范解答】（1）解：如图，当时，一次函数的图象在正比例函数的图象的下方， ∴当时，； （2）解：如图，求的解集即求一次函数的图象在正比例函数的图象的下方，且的函数值不小于时所对应的自变量的取值范围， ∴不等式的解集为． 1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）关于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．若，在函数上，则 B．图象与轴交于正半轴 C．图象经过第一，二，四象限 D．与两坐标轴围成的三角形面积为4 【答案】D 【思路引导】本题考查一次函数的图象与性质，通过计算函数值、交点坐标和图象性质，逐一验证各选项的正误． 【规范解答】A、∵当时，；当时，，，正确，不符合题意； B、当时，，∴图象与y轴交于正半轴，正确，不符合题意； C、，∴图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意； D、当时，由得，当时，， ∴图象与x轴交于点，与y轴交于点， ∴围成的三角形面积，错误，符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·山东临沂·期中）若一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数解析式判断其经过的象限．因为一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，故，，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，即可作答． 【规范解答】解：∵一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限， ∴，， 即一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：B 3．（24-25八年级下·福建厦门·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．当时， B．随的增大而减小 C．它的图象与轴交于点 D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【思路引导】本题考查一次函数的性质．根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【规范解答】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大， 当时，，即一次函数的图象与y轴交于点， 当时，，∴当时，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知点都在直线上，则的值的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，利用一次函数的性质即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵中， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 5．（25-26八年级上·江西·期末）如图，一次函数的图像与轴的交点坐标为，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了已知直线与坐标轴交点求方程的解，根据一次函数的图像与轴的交点坐标为，故的解为，即可作答． 【规范解答】解：∵直线的图象经过点， 则， ∴的解为． 故答案为：． 6．如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是，将a，b，c按从大到小的顺序排列，并用“>”连接： ． 【答案】 【思路引导】根据正比例函数的性质，当时，函数图象经过一、三象限，且的绝对值越大，直线越靠近轴； 当时，函数图象经过二、四象限.通过观察图象所在象限以及直线的陡峭程度来比较、、的大小． 【规范解答】解：对于和，它们的图象经过一、三象限，所以，，又因为的图象比的图象更靠近轴，所以． 对于，它的图象经过二、四象限，所以． 综上，． 故答案为： ． 【考点剖析】本题考查了正比例函数的性质，解题关键是根据正比例函数图象所在象限以及直线的陡峭程度判断比例系数的大小． 7．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）已知一个正比例函数的图象经过、两点，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及正比例函数图象上点的坐标特征． 设正比例函数的解析式为，将点、分别代入得到，，再整理即可求解． 【规范解答】解：设正比例函数的解析式为， ∵一个正比例函数的图象经过、两点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形、、、、，按如图所示的方式放置，其中点、、、、均在一次函数的图象上，点、、、、均在轴上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的横坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律．首先，根据等腰直角三角形的性质求得点，的坐标；然后，将点，的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线方程是；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点的坐标，即可求得点的坐标，进一步可得答案． 【规范解答】解：由条件可知，，则． 是等腰直角三角形，， ． 点的坐标是． 同理，在等腰直角中，，，则． 点，均在一次函数的图象上， ，解得， 该直线方程是． 当时，，即，则， ． ， ， 当时，， 即点的坐标为 的坐标为 故答案为： 9．（23-24八年级下·浙江台州·期末）已知一次函数的图象过点． (1)求的值； (2)试说明两点是否在函数图象上． 【答案】(1) (2)点在函数图象上，点不在函数图象上 【思路引导】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把点代入一次函数解析式进行求解即可； （2）由（1）可知一次函数解析式为，然后分别令和1进行求解即可 【规范解答】（1）解：∵一次函数图象过点． ∴， 解得； （2）解：由（1）可知：一次函数解析式为， ∴当时，；当时，． ∴点在函数图象上，点不在函数图象上． 10．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出函数图象； (3)当时，求出y的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据描点、连线可进行作图； （3）根据（2）中函数图象可进行求解． 【规范解答】（1）解：将点和点分别代入上式，得：， 解之，得：， ∴这个函数解析式为：； （2）解：所作函数图象如下： （3）解：当时，；当时，，结合（2）中函数图象可知： ∴y的取值范围是：． 11．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键． （1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值； （2）将代入一次函数中，即可求出x的值． 【规范解答】（1）解：由是一次函数得， 解得． 故当时，是一次函数； （2）解：由（1）可知． 当时，，解得． 故当时，y的值为3． 12．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点，求m的值与直线的解析式． 【答案】m的值是3，直线的解析式为 【思路引导】本题考查了求一次函数的解析式，熟练掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．把代入，求出，得到，再用待定系数法求一次函数的解析式即可． 【规范解答】解：把代入，得 ， ， ， 把，代入，得， 解得， 的值是3，直线的解析式为． 13．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）已知与成正比例，且当时，．求： (1)y与x之间的函数表达式； (2)若点，在该一次函数的图象上，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据一次函数的增减性，可得，据此即可求解． 【规范解答】（1）解：设， 将，代入得， ， 解得， ∴， 整理，得． 即y与x之间的函数表达式为． （2）∵， ∴y随x的增大而增大， ∵点，在该一次函数的图象上，且， ∴， ∴． 14．（23-24八年级上·江苏扬州·月考）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【思路引导】本题主要考查了求一次函数的解析式、一次函数与不等式、等腰三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点代入可确定点B的坐标，再运用待定系数法求出直线的表达式即可； （2）根据交点坐标的意义，结合函数图象确定不等式的解集即可； （3）先求得、、，然后分三种情况求解即可． 【规范解答】（1）解：将点代入可得：，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得，解得：， ∴． （2）解：根据题意，得图象交点为， ∵， ∴． （3）解：根据题意，得， ∴，即， 同理可得，； ∴； 如图：当时，得到，此时； 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 当时，设，则，， 根据勾股定理，得，解得：， ∴． 综上所述：或或或． 15．（24-25八年级下·广西河池·期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学函数的图象．同时，我们也学习了绝对值的意义； 结合上面的学习过程，解决下列问题： 在函数中，当时，；当时，． (1)求该函数的表达式； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)已知函数的图象如图所示，结合（2）中所画函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式与一次函数的关系． （1）根据在函数中，当时，；当时，，可以求得该函数的表达式； （2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象； （3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 【规范解答】（1）解：∵在函数中，当时，；当时，， ∴， 解得， ∴这个函数的表达式是； （2）解：∵， ∴， 当，函数有最小值， 函数过点和点； 函数过点和点； 画出该函数的图象如下： （3）解：由函数图象可得， 不等式的解集是． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破09 一次函数的图像与性质 （知识回顾+16种重难点培优题型+真题演练 共51题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：一次函数的图象 2 知识点梳理02：一次函数的性质 2 知识点梳理03：确定一次函数表达式 2 知识点梳理04：图象的平移 3 知识点梳理05：两条直线间的位置关系 3 重点难点 培优讲练 3 题型1 根据一次函数解析式判断其经过的象限 3 题型2 已知函数经过的象限求参数范围 4 题型3 一次函数图象与坐标轴的交点问题 5 题型4 求一次函数自变量或函数值 5 题型5 画一次函数图象 6 题型6 一次函数图象平移问题 7 题型7 一次函数图象与对称问题 8 题型8 一次函数图象与旋转问题 10 题型9 根据一次函数增减性求参数 10 题型10 比较一次函数值的大小 11 题型11 一次函数的规律探究问题 11 题型12 已知直线与坐标轴交点求方程的解 12 题型13 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 13 题型14 利用图象法解一元一次方程 15 题型15 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 15 题型16 根据两条直线的交点求不等式的解集 16 期末真题 实战演练 18 知识点梳理01：一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 知识点梳理02：一次函数的性质 (1)一次函数的性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源:学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 ] 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 (2)一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 知识点梳理03：确定一次函数表达式 (1)待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． (2)常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 知识点梳理04：图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 知识点梳理05：两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 题型1 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【精讲】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）已知直线不经过第四象限，则一次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·山东济南·期中）一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤x的值每增加1，的值增加．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③④⑤ D．①②③⑤ 题型2 已知函数经过的象限求参数范围 【精讲】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，直线与轴交于点，下列说法正确的是（  ） A．， B．直线不经过第四象限 C．关于的方程的解为 D．若，是直线上的两点，若，则 【变式】（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知函数，m为常数． (1)若该函数的图象与直线平行，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 题型3 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【精讲】（25-26八年级上·山东济南·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．函数的自变量每增加1，函数值增加2 B．函数的图象与x轴交于点 C．函数的图象向下平移5个单位长度得到的图象 D．若点、点在此函数图象上，则 【变式】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线的表达式； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型4 求一次函数自变量或函数值 【精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若在该函数图象上，求的值． 【变式】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数进行了相关探究：对一次函数（）进行探究后，得出下列结论：①是“不动点函数”，且只有一个不动点；②是“不动点函数”，且不动点是；③是“不动点函数”，且有无数个不动点．以上结论中，你认为正确的是 ．（填写正确的序号） 题型5 画一次函数图象 【精讲】（25-26八年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的奇妙相遇 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③其图象与y轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到． 将一次函数的表达式中自变量x添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 3 … y … ______ 0 ______ 0 1 … ②在图②中描点、连线：    (1)请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； (2)根据图②中的函数图象回答下列问题： ①当______时，y有最小值为______； ②请写出该函数的一条性质：______． (3)若的图象与直线没有交点，则k的取值范围是______． 【变式】（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数的图象经过点，． (1)①求，的值； ②在上图的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (2)当时，直接写出的取值范围： ； (3)将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过，则的值为 ． 题型6 一次函数图象平移问题 【精讲】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）一次函数经过点和点． (1)求这个一次函数的解析表达式； (2)将所得函数图象平移，使它经过点，求平移后直线的解析式． 【变式】（25-26八年级上·广东佛山·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型7 一次函数图象与对称问题 【精讲】（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期中）问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在函数中，自变量的取值范围是______； (2)如表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 … … 1 0 0 … ①______； ②若，为该函数图象上不同的两点，则______； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①该函数的最小值为______； ②已知直线与函数的图象交于、两点（C点在D点左侧），请作出直线，并直接写出点C和点D的坐标，点C的坐标是______，点D的坐标是______． 题型8 一次函数图象与旋转问题 【精讲】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线与y轴交于点A，将直线l绕点A旋转后，所得直线的表达式为 ． 题型9 根据一次函数增减性求参数 【精讲】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数（为常数，且）． （1）若该一次函数的图像必经过一点，则该点的坐标为 ； （2）当时，函数有最大值12，则的值为 ． 【变式】（25-26八年级上·广西崇左·期中）已知一次函数，求m为何值时，下列各结论分别成立； (1)y随x的增大而减少； (2)函数的图像经过原点； (3)函数的图像不经过第三象限． 题型10 比较一次函数值的大小 【精讲】（25-26八年级上·山西运城·期中）已知点在正比例函数的图象上，若点也在这个正比例函数的图象上，且，则和的大小关系是 ． 【变式】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知点都在一次函数的图象上，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型11 一次函数的规律探究问题 【精讲】（25-26八年级上·山东青岛·期中）正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 【变式】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型12 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【精讲】（25-26八年级上·广西崇左·阶段练习）画出函数的图像，并结合图像求： (1)方程的解； (2)不等式的解集； (3)不等式组的解集． 【变式】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)当时，； 当时，_____； 当时，_____． (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)直接写出关于的方程（为常数，）解的个数及对应的取值范围． 题型13 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【精讲】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)当时，的取值范围是_____； (3)将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线与轴交于点．若，求的值． 【变式】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点一次函数的图象与直线相交于点，与轴相交于点，若点是直线上一动点，且满足的面积是面积的倍，则点的坐标为 ． 题型14 利用图象法解一元一次方程 【精讲】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的方程的解为 ． 【变式】（24-25八年级下·全国·期末）函数的图象如图所示，利用函数图象解答下列问题： (1)解方程； (2)解不等式； (3)解不等式组． 题型15 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【精讲】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）已知一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．图象经过第一、二、四象限 C．图象可由直线向上平移4个单位长度得到 D．当时， 【变式】（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，已知一次函数（k、b为常数，）的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若，，结合图象求： (1)关于x的方程的解； (2)关于x的不等式的解集； (3)当x的取值在什么范围时，? 题型16 根据两条直线的交点求不等式的解集 【精讲】（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．小明的探究过程如下： 列表： x … m 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 3 2 1 2 3 n 5 … (1)补全表格：_______，_______； (2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线； (3)根据表格及函数图象，探究函数性质： ①当时，_______；当时，_______， ②下列说法正确的个数是_______； （i）变量x是变量y的函数；（ii）x每增加就减小1 （iii）图象经过第一、二象限；（iv）当时，y有最小值； A．1　　B．2    C．3　　D．4 (4)结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程有两个实数解，直接写出实数a的取值范围：______． 【变式】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，直线经过，两点．在同一坐标系中画出函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)当时，写出与的大小关系； (2)直接写出不等式的解集． 1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）关于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．若，在函数上，则 B．图象与轴交于正半轴 C．图象经过第一，二，四象限 D．与两坐标轴围成的三角形面积为4 2．（23-24八年级下·山东临沂·期中）若一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．当时， B．随的增大而减小 C．它的图象与轴交于点 D．它的图象经过第一、二、三象限 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知点都在直线上，则的值的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江西·期末）如图，一次函数的图像与轴的交点坐标为，则关于的方程的解为 ． 6．如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是，将a，b，c按从大到小的顺序排列，并用“>”连接： ． 7．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）已知一个正比例函数的图象经过、两点，则的值为 ． 8．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形、、、、，按如图所示的方式放置，其中点、、、、均在一次函数的图象上，点、、、、均在轴上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的横坐标为 ． 9．（23-24八年级下·浙江台州·期末）已知一次函数的图象过点． (1)求的值； (2)试说明两点是否在函数图象上． 10．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出函数图象； (3)当时，求出y的取值范围． 11．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 12．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点，求m的值与直线的解析式． 13．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）已知与成正比例，且当时，．求： (1)y与x之间的函数表达式； (2)若点，在该一次函数的图象上，且，求实数m的取值范围． 14．（23-24八年级上·江苏扬州·月考）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25八年级下·广西河池·期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学函数的图象．同时，我们也学习了绝对值的意义； 结合上面的学习过程，解决下列问题： 在函数中，当时，；当时，． (1)求该函数的表达式； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)已知函数的图象如图所示，结合（2）中所画函数图象，直接写出不等式的解集． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $