精品解析：河北省沧州市第十四中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试卷

2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔书写在答题卡指定位置． 一．选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．） 1. 列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，做题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A. 是中心对称图形而不是轴对称图形，故不符合题意； B. 是轴对称图形而不是中心对称图形，故不符合题意； C. 既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故不符合题意； D. 既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了顶点式，顶点坐标是，对称轴是． 已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故答案为：D． 3. 将抛物线平移后得到抛物线，则平移的方式是（　　） A. 向上平移1个单位 B. 向下平移1个单位 C. 向左平移1个单位 D. 向右平移1个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握抛物线顶点式（）中，的变化对应图象左右平移（时向右平移，时向左平移）． 先确定原抛物线与平移后抛物线的顶点坐标，原抛物线的顶点为，平移后抛物线的顶点为；对比两个顶点的横坐标变化，从到是增加，据此判断平移方向． 【详解】解：原抛物线可化为，顶点坐标为； 平移后抛物线,可化为，顶点坐标为 顶点从到，横坐标增加，即抛物线向右平移个单位，与选项D一致． 故选：D． 4. 如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外心，关键是熟练掌握三角形的外心的概念．根据三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三边的垂直平分线的交点， 三角形的外心到三个顶点的距离相等． 由图可知，设网格中每个小正方形的边长为， 则点到三个顶点的距离均为， 即点到三个顶点的距离相等， 的外心是点． 故选：C． 5. 王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用互赠的数量加上老师赠送的数量等于总数量，列出方程即可． 【详解】解：设班级有x名学生，由题意，得：； 故选C． 6. 如图，是的直径，点C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选：C． 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是关于的一元二次方程，可知，根据一元二次方程有实数根，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 又有实数根， ， 解得：， 的取值范围为且． 8. 如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的外接圆， ∴， ∴， 故选：． 9. 用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A、B两点．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③连接，的面积是12.5；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，掌握数形结合的思想是解题的关键． ①根据函数的图象特征即可判断；②根据二次函数与二次方程根的关系即可判断；③运用三角形面积公式计算即可判断；④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再结合函数图像即可确定得取值范围，从而判定④． 【详解】解：①∵直线与抛物线相交于点A，B， ∴由图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴，即①正确； ②由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴是方程的一个解，即②正确； ③ ，即③错误； ④由③可得抛物线的解析式为：， ∴当时，有最小值， ∵ ∴由函数图象可知：当时，有最大值5， ∴当时，的取值范围是，即④错误． 综上，正确的有2个． 故选：C． 11. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征可以解答本题，本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质． 【详解】解：∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 故选：B． 12. 如图，在中,，将绕点B顺时针旋转得到，延长分别交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形（）的判定与性质及三角形内角和定理，解题的关键是利用旋转的性质得出对应边相等、对应角相等，结合相关定理逐步推导各结论的正确性． 根据旋转性质得、，用三角形内角和求，判断②正确，再由求，得，判断①正确；连接，由、证为等边三角形，得，用证，判断③正确；连接，由、证为等边三角形，得，结合及三角形三边关系（），判断④错误，最终确定正确结论有3个． 【详解】解：∵绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴②正确； ∴， ∵， ∴， ∴； ∴①正确； ，如图，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴③正确； 连接，如图， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴④错误； 综上所述，正确的为①②③，共3个； 故选：C． 二．填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的坐标特征，点P和点Q的横坐标、纵坐标分别互为相反数，进行求解即可． 【详解】因为点与点关于原点对称， 所以，． 因此． 故答案为：． 14. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案． 【详解】解：由题意知：且， 解得， 故答案为：． 15. 如图，是的弦，作交的切线于点，交于点．已知，则的度数为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理的应用．连接，根据切线的性质可得，求解，进一步即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．若抛物线与线段只有个交点，则的取值范围为____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的平移，先利用待定系数法求出直线的解析式，根据对称轴为直线，分抛物线在线段上方，以及点在抛物线上两种情况解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，当抛物线在线段上方，且与只有个交点时， 由，得， ∴， 解得； 将抛物线向下移动，当抛物线经过点时，把代入， 得， 解得； 继续向下移动，则与只有一个交点，当经过点时，如图， 把代入，得， 解得； 综上，抛物线与线段只有个交点，则的取值范围为或， 故答案为：或． 三．解答题（本大题有8个小题，共72分．解答时应写出文字说明或演算步骤．） 17. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键． （1）用直接开方法解决即可； （2）用公式法解决即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）将绕原点顺时针旋转得到，请画出旋转后的； （2）画出绕原点旋转后得到的； （3）若与是中心对称图形，请在图中标出对称中心Q，并写出Q点坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； ； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求； 点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图和中心对称的性质，解题的关键熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质，并结合相关性质正确的作图． （1）将的三顶点绕原点顺时针旋转，然后顺次连接即可得到； （2）将的三顶点绕原点旋转，然后顺次连接即可得到； （3）结合与是中心对称图形，连接对应点并确定交点位置，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与是中心对称图形， 连接，交点为， 观察图像可得交点坐标为，即对称中心的坐标为． 19. 关于x的一元二次方程 （1）若方程的一个根是，求m的值； （2）在中，，斜边，两直角边的长a，b恰好是方程的两根，求m的值． 【答案】（1）m的值为1 （2）的值为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系和勾股定理等知识点， 把代入一元二次方程得，然后解一次方程即可； 先根据根与系数的关系得到，，再利用勾股定理得到，根据完全平方公式变形得到，所以，然后解关于m的一元二次方程可得到满足条件的m的值； 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决此题的关键． 【小问1详解】 把代入方程得， 解得， ∴m的值为1； 【小问2详解】 ∵两直角边的长a，b恰好是方程的两根， ，， ， ， ， ， 整理得， 解得舍去，， 的值为 20. 如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE． 求证：≌； 当时，求的度数． 【答案】 （1）由题意可知：，， ， ， ， ， 在与中， ， ≌； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意可知：，，由于，从而可得，根据SAS即可证明≌； （2）由≌可知：，，从而可求出的度数． 【详解】（1）略 （2），， ， 由（1）可知：， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质． 21. 如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． （1）作于点C，求的长； （2）将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 【答案】（1）的长 （2）此时水面截线减少了 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键． （1）如图1：连接，由圆的性质可得，再利用垂径定理得出，再运用勾股定理计算即可解答； （2）如图2：过点O作，垂足为点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出，最后与相减即可解答． 【小问1详解】 解：如图1：连接， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴的长． 【小问2详解】 解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接， ∴ 由题意可知： 在中，根据勾股定理得：， ∴ ，解得：， ∴， ∴， ∴此时水面截线减少了． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔书写在答题卡指定位置． 一．选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．） 1. 列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线平移后得到抛物线，则平移的方式是（　　） A. 向上平移1个单位 B. 向下平移1个单位 C. 向左平移1个单位 D. 向右平移1个单位 4. 如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，点C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 8. 如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A、B两点．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③连接，的面积是12.5；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 11. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中,，将绕点B顺时针旋转得到，延长分别交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则______． 14. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 15. 如图，是的弦，作交的切线于点，交于点．已知，则的度数为____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．若抛物线与线段只有个交点，则的取值范围为____． 三．解答题（本大题有8个小题，共72分．解答时应写出文字说明或演算步骤．） 17. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）将绕原点顺时针旋转得到，请画出旋转后的； （2）画出绕原点旋转后得到的； （3）若与是中心对称图形，请在图中标出对称中心Q，并写出Q点坐标． 19. 关于x的一元二次方程 （1）若方程的一个根是，求m的值； （2）在中，，斜边，两直角边的长a，b恰好是方程的两根，求m的值． 20. 如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE． 求证：≌； 当时，求的度数． 21. 如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． （1）作于点C，求的长； （2）将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $