精品解析：吉林省长春市第五中学2025-2026学年高一上学期第二学程考试数学试卷

长 春 市 第 五 中 学 长春市田家炳实验中学 2025—2026学年度 高一年级上学期 第二学程考试 数学学科试题 考试时间：100分钟 满分：120分 出题人：马爽 审核人：高一数学组 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的三要素，逐一判断即可. 【详解】对于A，因为与对应法则不一致，不是同一函数； 对于B，因为定义域为，而的定义域为R， 所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数； 对于C，因为定义域为，而的定义域为， 所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数； 对于D，，的定义域均为R，对应关系也相同，值域也相同， 故能表示同一函数. 故选：D. 2. 已知幂函数在区间上单调递增，则（ ） A. -2 B. 1 C. D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及性质分类讨论计算即可. 【详解】由题意有，解得或， ①当时，，在区间上单调递减，不合题意； ②当时，，在区间上单调递增，符合题意. 故选：B 3. ，，，则下列正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的定义可得，根据指数函数单调性可得，，即可得结果. 【详解】因为，，，即， 所以. 故选：B. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域为，得，则， 即的定义域为，在函数中，由，解得， 所以所求函数的定义域为. 故选：A 5. 某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（，）（ ） A. 2026年 B. 2027年 C. 2028年 D. 2029年 【答案】C 【解析】 【分析】依据题意设出解析式，再用对数的相关知识求解即可. 【详解】设第年获利元，则是正整数，年是第一年， 故，解得 故，即从年开始这家加工厂年获利超过60万元. 故选：C 6. 已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数的单调性，由此列不等式组来求得的取值范围. 【详解】由于对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：C 7. 已知偶函数的定义域为R，若在上单调递减且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数性质把不等式化为，再利用函数单调性得，最后利用对数函数单调性解不等式即可. 【详解】因为是定义域为R的偶函数且，所以不等式等价， 又函数在上单调递减，所以，所以或， 所以或，即满足的的取值范围是. 故选：D 8. 已知，则下列结论不正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，以及对数函数的性质，结合基本不等式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由题可得，， ，即，所以， 对于A，因为，所以，所以A正确； 对于B，因为，所以，所以B正确； 对于C，因为，所以，所以C正确； 对于D，因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，这与已知矛盾，所以，所以D不正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，在上的值域是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分别判断各选项中的函数在上的值域是否为即可. 【详解】函数在上单调递增，所以，值域为，选项A正确； 函数，当时，，所以选项B错误； 函数在上单调递增，所以，值域为，选项C正确； 函数当时，，所以选项D错误. 故选：AC. 10. 若关于的不等式 的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 函数在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三个二次的关系，将条件转化成方程的根的情况，判断的符号，利用韦达定理得到的数量关系，再根据选项一一判断或求解不等式即得. 【详解】对于A，由题意，方程有两根为和2，且，故A正确； 由韦达定理，即. 对于B，由， 即解得或，故B错误； 对于C，因，且， 故，故C正确； 对于D，， 因，故该函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 为减函数 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A令；B令，再令；C利用单调性定义证明；D先求出，再根据抽象函数关系式化简，求证即可. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则，∴， 令，则， ∴，为奇函数，故B正确； 对于C，令，则 ∵， ∴，即， 故为增函数，故C不正确； 对于D，令，则，∴， ∵，∴， 又奇函数为增函数，∴， ， 即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数的最大值为，最小值为，则___________ 【答案】4 【解析】 【分析】整理可得，令，根据定义，可得为奇函数，根据奇函数的性质，可得，代入计算，即可得答案. 【详解】， 令，定义域为R， 则， 为定义在上的奇函数， ，则， . 故答案为：4 13. 函数的单调递减区间是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定函数的定义域, 再分别得出内层函数和外层函数的单调性，根据复合函数的性质求出函数的单调区间即可. 【详解】 的定义域为，解得， 或, 求原函数的单调递增区间, 即求函数的减区间, , 可知单调递减区间为, 综上可得, 函数单调递增区间为 . 令 , 由 , 得或, 函数 的定义域为 , 当 时, 内层函数 为增函数,而外层函数 为减函数, 函数 的单调递减区间是 . 故答案为:. 14. 对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性的性质判断函数的单调性，结合题中函数的定义，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为函数与都是实数集上的增函数， 所以函数在R上单调递增，且， 当时，，所以当时，， 当时，， 由，即当时，恒成立， 即当时，，即恒成立， 设，则， 当且仅当，即，即时，等号成立， . 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的性质，运用基本不等式进行求解. 四、解答题：本题共4小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算：（需要写出计算过程） （1） （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂运算法则，化简计算，即可得答案. （2）根据对数的运算法则，化简计算，即可得答案. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 （2）原式 . 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求实数a和b的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）若，求t取值范围． 【答案】（1）， （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数为上的奇函数得到，求出，再代入，求出，验证后得到答案； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形，判号，下结论； （3）由函数的单调性和奇偶性，结合定义域得到不等式组，求出答案. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得， 则，又因为，则，解得， 经检验时，是奇函数， 所以． 【小问2详解】 ，函数在上单调递增， 证明：任取， 所以， 因为，所以， 则， 所以，即，故函数在上单调递增． 【小问3详解】 函数是定义在上的奇函数，且， 则， 因为函数在上单调递增． 所以，则 解得，所以t的取值范围是． 17. 已知指数函数的图像过点，且函数的图像与的图像关于轴对称． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）最大值，最小值 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的性质结合已知点坐标得出的解析式，再利用函数的图像与的图像关于轴对称，求出的解析式； （2）利用的单调性，把已知函数转化为一元二次不等式，解不等式求出的取值范围； （3）先分析在区间上单调性，再根据单调性求出函数在区间上的最大值和最小值． 【小问1详解】 设指数函数且，图像过点， ，解得，， 函数的图像与的图像关于轴对称，满足“把替换为”，则， ． 【小问2详解】 ，为单调递减函数， ， ，整理得，解得， 的取值范围为． 【小问3详解】 ， 是单调递减函数，是单调递增函数， 是单调递减函数，是单调递减函数，在上单调递减函数， 的最大值为， 的最小值为． 18. 对于函数，若，则称实数为函数不动点．设函数，． （1）若，求函数的不动点； （2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数a的取值范围； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）0和1； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）直接根据定义解方程即可； （2）将方程分离参数化为，利用换元法结合对勾函数的单调性计算即可； （3）不等式，利用指数函数的单调性得出，，再分离参数并换元结合函数的单调性计算即可. 【小问1详解】 当时，方程可化为，解得或； 所以，函数的不动点为0和1． 【小问2详解】 方程，即，可化为． 令，则当时，关于单调递增，且． 由题意，关于的方程在上有两个不等实根． 由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 且． 所以，． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 不等式可化为． 易知，函数在上最大值为，最小值为； 由题意，，，即． 上述不等式可化为． 令，则当时，． 由题意，，不等式恒成立． 函数在上单调递增，最大值为； 函数在上单调递减，最小值为． 所以，，即． 综上，实数a的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：第二问将对数方程化为指数方程，利用分离参数及换元法转化为对勾函数定区间内有零点，结合对勾函数的单调性计算即可；第三问含有双变量的恒成立问题，先将原不等式化为在定区间恒成立，利用的最值得出的范围，同第二问分离参数及换元，利用函数的单调性计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $