精品解析：河北省冀州中学2025-2026学年高一上学期12月第一次旬考数学试题

2025－2026学年上学期旬考试题 高一年级数学试题 考试时间：120分钟 试题分数：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. 和 C. 和 D. 和 3. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 定义域为 B. 是偶函数 C. 是减函数 D. 是奇函数 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上不具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 若，则下列命题中错误的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若，则 10. 下列四个结论中，正确的结论是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的单调减区间为，则实数的值为 D. 函数的值域为 11. 已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. C. 若，则的取值范围是 D. 函数的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在上的偶函数，则______. 13. 已知，且，则__________. 14. 给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合， ， ． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知关于的不等式的解集为． （1）求的值并求解不等式的解集； （2）当且满足时，有恒成立，求k的取值范围． 17. 已知幂函数在上单调递减． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围． 18. 已知函数. （1）若恒成立，求的最大值； （2）若在上单调，求的取值范围； （3）求在上的最小值为，求. 19. 已知函数是定义域在上的奇函数，且. （1）求a，b的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式. 20. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“美好函数”． （1）下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的美好函数，说明理由． （2）已知函数． ①函数G是在上的“美好函数”，求a的值； ②当时，函数G是在上的“美好函数”，求t的值； （3）已知函数，若函数G是在（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上学期旬考试题 高一年级数学试题 考试时间：120分钟 试题分数：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集与补集的概念计算即可. 【详解】由题意可知，所以. 故选：C 2. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】利用相同函数的定义域与对应关系相同，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A：，由且，可得， 即定义域为， ，由，得或， 即的定义域为，两函数定义域不同，故不是相同函数，错误； 对于B：的定义域为R，的定义域为R， 且，所以两函数定义域相同，对应关系也相同，故是相同函数，正确； 对于C：的定义域为R，的定义域为，两个函数的定义域不同， 所以不是相同函数，错误； 对于D：的定义域为R，的定义域为，两个函数的定义域不同， 所以不是相同函数，错误. 故选：B 3. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 定义域为 B. 是偶函数 C. 是减函数 D. 是奇函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得.进而可得的单调性和奇偶性，进而逐项分析判断. 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以. 对于A：可知的定义域为，故A错误； 对于BD：因为，可知是偶函数，故B正确，D错误； 对于C：由偶函数对称性可知在定义域内不单调，故C错误； 故选：B. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值的正负即可判断得解. 【详解】函数中，，解得，函数的定义域为， 由，得函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除AD； 当时，，排除选项C，选项B符合要求. 故选：B 5. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断. 【详解】由题意可得：命题“，有”的否定是“，有”. 故选：C. 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【详解】由解得且， 所以的定义域为. 故选：D 7. 已知函数在上不具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次函数在给定区间内不具有单调性，只需对称轴在给定区间内，列不等式求解即可. 【详解】函数的对称轴为. 因为函数在上不具有单调性，所以，解得. 故选：A. 8. 已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的单调性和奇偶性计算即可； 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在区间上单调递增，所以在单调递减； ， 所以，即， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 若，则下列命题中错误的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合作差法，比较大小即可. 【详解】对于A，因为且，则，但不确定的正负，当时，，故A错误； 对于B，，因为且，所以，则即，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，则则故D错误. 故选：ABD. 10. 下列四个结论中，正确的结论是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的单调减区间为，则实数的值为 D. 函数的值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】由两个函数的定义域不同可判断；由抽象函数的定义域求法可判断；根据二次函数的单调性可判断；由换元法求值域可判断. 【详解】对于，函数的定义域为， 函数的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数， 故不正确； 对于，因为函数的定义域为，所以， 所以，即，所以函数的定义域为， 故正确； 对于，因为函数的单调减区间为， 所以，所以，故不正确； 对于，设，，所以， 所以，， 当时，取得最小值，最小值为， 所以函数的值域为，故正确. 故选：. 11. 已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. C. 若，则的取值范围是 D. 函数的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，分析出要使定义在上的函数是减函数，须满足一次函数的斜率，二次函数的对称轴，且函数在左侧的最小值大于等于在右侧的最大值，进而列出不等式组，求出的取值范围，即可判断；对于B，C，利用函数在上的单调性，将不等式，转化为关于的不等式，求出的取值范围，即可判断；对于D，取符合题意的，得到函数的确切解析式并求出其值域，即可判断. 【详解】对于A，当时，函数， 对称轴为，且. 所以要使定义在上的函数是减函数， 须满足，即， 解得，即的取值范围为，故A正确； 对于B，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，整理得， 其判别式，故恒为正， 即对所有的都成立， 所以，恒成立，故B正确； 对于C，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，解得， 即的取值范围是，故C正确； 对于D，由选项A可知，当，函数在上是减函数， 所以令，此时， 当时，可得； 当时，因为， 所以， 所以函数的值域为，不是，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在上的偶函数，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用分段函数的性质与偶函数的性质即可得解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以. 故答案为：4. 13. 已知，且，则__________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得，结合即可求解. 【详解】， 则 则有， 若，则 故答案为： 14. 给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意作出函数的图象，根据函数图象即可求解． 【详解】令，解得或， 作出函数的图象如图所示：    由图象可知，当时，取得最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合， ， ． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集运算求解； （2）根据子集关系列式运算得解. 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 因为成立，． 由得，解得. 所以实数的取值范围为. 16. 已知关于的不等式的解集为． （1）求的值并求解不等式的解集； （2）当且满足时，有恒成立，求k的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集与对应方程根的关系，利用韦达定理求解的值，然后解分式不等式即可得解； （2）先根据的值确定的具体形式，再利用基本不等式求的最小值，最后根据不等式恒成立求解的取值范围. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以1和2是方程的两个根，且． 根据韦达定理得，解得． 不等式即，即，所以，解得或， 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 因为，所以． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8． 因为恒成立，所以，即，解得， 所以的取值范围是． 17. 已知幂函数在上单调递减． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据函数是幂函数，单调性计算求参即可. （2）根据单调性求不等式. 【小问1详解】 由幂函数在上单调递减， 可得，解得，所以． 【小问2详解】 由函数图象关于轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以的取值范围是． 18. 已知函数. （1）若恒成立，求的最大值； （2）若在上单调，求的取值范围； （3）求在上的最小值为，求. 【答案】（1） （2） （3）或5 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得； （2）先求函数的单调区间，依题使为其单调区间的子集，解不等式即得； （3）由函数的单调性，根据给定区间与其对称轴的关系，分类考虑分别求解即得. 【小问1详解】 由题意得恒成立，则， 解得， 所以a的最大值为. 【小问2详解】 由题意得图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即a的取值范围为. 【小问3详解】 当，即时，在上单调递减，， 解得，舍去； 当，即时，在上单调递增，， 解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或0（，舍去）. 故或5. 19. 已知函数是定义域在上的奇函数，且. （1）求a，b的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式. 【答案】（1）； （2） 由（1），令， 则 ， 由，则， 所以函数在上单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）由及列方程求参数值，注意验证； （2）根据单调性定义，应用作差法比较大小，即可证； （3）由奇函数、单调性得，求解即可. 【小问1详解】 由题设，，则， 所以，则，满足题设， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题设， 则， 所以，即. 20. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“美好函数”． （1）下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的美好函数，说明理由． （2）已知函数． ①函数G是在上的“美好函数”，求a的值； ②当时，函数G是在上的“美好函数”，求t的值； （3）已知函数，若函数G是在（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求a的值． 【答案】（1）①，理由：对于①在上单调递增 当时，，当时，， ∴，符合题意； 对于②在上单调递增 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 对于③在上单调递增 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 故①是在上的美好函数； （2）①或，②或； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“美好函数”的定义逐个分析判断即可； （2）①分和两种情况求出二次函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；②求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值； （3）由二次函数的性质可知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①二次函数对称轴为直线， 当时，，当时，， 当时，在上单调递增 ， ， ， 当时，在上单调递减， ， ， 综上所述，或； ②二次函数为，对称轴为直线， 在上单调递增，在上单调递减， 当，， 当时，， 当时，． 若，在上单调递增， 则，解得（舍去）； 若，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去），； 若，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得，（舍去）； 若，在上单调递减， 则，解得（舍去）． 综上所述，或； 【小问3详解】 由（2）可知，二次函数对称轴为直线， 又， ， ， 当时，在上单调递增 当时取得最大值，时取得最小值， ∴ ，为整数，且， ，即的值为5， 又∵， ， ． 【点睛】方法点睛：当二次函数对称轴确定但自变量取值区间变化时，需分“对称轴在区间左侧、中间、右侧”进行讨论，对称轴在区间中间时，还需继续分析自变量区间中间值和对称轴的关系，以此来确定函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $