专题26.2 实际问题与反比例函数（知识梳理+1个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共28题）-2025-2026学年人教版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题26.2 实际问题与反比例函数 （知识梳理+1个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共28题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：利用反比例函数解决实际问题思路 1 知识点梳理02：运用反比例函数解决实际问题的一般步骤 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：实际问题与反比例函数 2 中考真题 实战演练 3 难度分层 拔尖冲刺 5 基础夯实 5 培优拔高 8 知识点梳理01：利用反比例函数解决实际问题思路 在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系，那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题，运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路： （1）通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数表达式，再根据题目条件确定函数表达式中的待定系数的值； （2）已知反比例函数模型的表达式，运用反比例函数的图象及性质解决问题； 知识点梳理02：运用反比例函数解决实际问题的一般步骤 （1）审； （2）设； （3）列； （4）写； （5）解. 【特别提示】利用反比例函数解决实际问题时应注意: 1.要理清题目中的常量与变量及其基本数量关系； 2.结合问题的实际意义确定目变量的取值范围； 3.要熟练掌握反比例函数的薏义、图象和性质。 考点1：实际问题与反比例函数 【典例精讲】（2025·山西长治·模拟预测）如果三角形的面积为15平方厘米，那么它的一边y厘米与这边上的高x厘米之间的函数关系用图像表示大致是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】．（23-24九年级下·安徽淮南·期末）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体压强是气球体积的反比例函数，其图象如图所示，若气体压强为时，求气球体积． 【变式训练2】（2025·辽宁沈阳·二模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，则该用电器可变电阻R应控制范围是 ． 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，电路中有三个定值电阻，且的阻值（单位：Ω）满足方程，（已知并联电路电阻之间的关系为：）．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是 V． 2．（2024·河北张家口·中考真题）如图是台阶状的折线示意图，每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为，若反比例函数的图象与该折线有公共点，则k的整数值有 个． 3．（2024·河南开封·中考真题）变速自行车通过调节牙盘（前齿轮）与飞轮（后齿轮）的齿数组合来调节车速，如图，始终满足：前齿轮齿数前齿轮转速后齿轮齿数后齿轮转速．若将前齿轮齿数设定为40，转速为100转/分钟；后齿轮齿数为x，其转速为y转/分钟，错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．要增大y，应增大x D．若x增大一倍，则y减少一半 4．（2024·吉林长春·中考真题）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，与的函数关系的图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到了米，则近视眼镜的度数减少了（    ） A．100度 B．150度 C．200度 D．250度 5．（2024·广东广州·中考真题）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：    (1)当时，求y与x的函数关系式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 基础夯实 1．（2025·云南·模拟预测）某物体对地面的压力为1000N，物体对地面的压强p与受力面积S之间的函数关系式，该函数图象位于   （   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·江西·模拟预测）跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P 越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南郑州·模拟预测）随着科学技术的发展，汽车抬头显示系统被广泛应用，该系统利用平面镜成像原理，将显示器上的行驶数据通过挡风玻璃投射在正前方，驾驶员不用低头就可以看到车辆行驶信息．这种“智能玻璃”还能根据车外光照度自动调节玻璃的透明度，实现车内的光照度为一个适宜的定值．研究发现：玻璃的透明度与车外光照度成反比例关系，其图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．玻璃的透明度与车外光照度满足关系式： B．当车外光照度为时，玻璃透明度为 C．车外光照度越大，玻璃透明度越高 D．当玻璃透明度为时，车外光照度为 4．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）小军驾驶汽车从A地去B地，他以的平均速度用了到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度与时间的函数关系式是 ． 5．（23-24九年级下·河南开封·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是 ．（填序号） ①这个反比例函数解析式为 ②蓄电池的电压是 ③当时， ④当时， 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率 ． 7．（24-25九年级下·山西晋城·期末）在数学实践课上，八（1）班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是 ． 8．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高． 9．（2025·浙江·模拟预测）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 10．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 培优拔高 11．（24-25九年级下·江苏·自主招生）长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D．水温不低于的时间为 12．（23-24九年级下·云南大理·月考）若蓄电池的电压为定值，则电流（单位:A）与电阻（，单位：）是反比例函数关系，当时，．下列结论不正确的是（   ） A．蓄电池的电压为36伏 B．电流随电阻的增大而减小 C．当时， D．该函数图象分别位于第一、第三象限 13．（2025·江苏淮安·二模）已知关于x的方程（m、n为常数，且）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．一个实数根 B．两个实数根 C．三个实数根 D．没有实数根 14．（2024·湖南·模拟预测）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的有 ．（填序号） ①函数解析式为；②容器内气体的质量是；③当时，；④当时，． 15．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了 ． 16．（24-25九年级下·福建泉州·期中）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为 ． 17．（24-25九年级下·海南三亚·阶段练习）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后质量时，它最快移动速度；当其载重后总质量时，它最快移动速度 ． 18．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：）满足关系式，其中I与R是反比例函数关系，它的图像如图所示．当时，． (1)求电流I关于电阻R的函数关系式； (2)若，求电阻R的范围． 19．（2024·广东·模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与用电器电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，且不低于5A，那么用电器可变电阻R应控制在什么范围？ 20．（2023九年级下·浙江宁波·竞赛）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？ (2)求的值； (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有多少小时？ 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.2 实际问题与反比例函数 （知识梳理+1个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共28题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：利用反比例函数解决实际问题思路 1 知识点梳理02：运用反比例函数解决实际问题的一般步骤 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：实际问题与反比例函数 2 中考真题 实战演练 4 难度分层 拔尖冲刺 8 基础夯实 8 培优拔高 14 知识点梳理01：利用反比例函数解决实际问题思路 在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系，那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题，运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路： （1）通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数表达式，再根据题目条件确定函数表达式中的待定系数的值； （2）已知反比例函数模型的表达式，运用反比例函数的图象及性质解决问题； 知识点梳理02：运用反比例函数解决实际问题的一般步骤 （1）审； （2）设； （3）列； （4）写； （5）解. 【特别提示】利用反比例函数解决实际问题时应注意: 1.要理清题目中的常量与变量及其基本数量关系； 2.结合问题的实际意义确定目变量的取值范围； 3.要熟练掌握反比例函数的薏义、图象和性质。 考点1：实际问题与反比例函数 【典例精讲】（2025·山西长治·模拟预测）如果三角形的面积为15平方厘米，那么它的一边y厘米与这边上的高x厘米之间的函数关系用图像表示大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用和反比例函数的图像，得出、的函数解析式是解题的关键． 根据三角形面积公式得到、之间的关系式为， 由可知函数图像在第一象限，从而得到答案． 【规范解答】解：三角形的面积公式得：， ， ，， 图像在第一象限， 故选：C． 【变式训练1】．（23-24九年级下·安徽淮南·期末）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体压强是气球体积的反比例函数，其图象如图所示，若气体压强为时，求气球体积． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用．根据题意可知P与V的函数的表达式为，利用待定系数法即可求得函数解析式；再把代入解析式计算即可． 【规范解答】解：设与之间的函数关系式为，则， ∴函数关系式为， 将代入中， 得， 解得， 当气球内气体压强为时，气球体积为． 【变式训练2】（2025·辽宁沈阳·二模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，则该用电器可变电阻R应控制范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题． 根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，求解即可． 【规范解答】解：设反比例函数关系式为：， 由条件可得：， ， 当时，则， 根据函数图象可得：当时，， 故答案为：． 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，电路中有三个定值电阻，且的阻值（单位：Ω）满足方程，（已知并联电路电阻之间的关系为：）．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是 V． 【答案】9 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用和一元二次方程的根与系数的关系，先根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，再根据已知关系式求出，再求出电路中总电阻，然后根据得出结论． 【规范解答】解：∵的阻值满足方程， ∴，， ∴， ∴， ∴电路中总电阻为， ∵， ∴， ∴电源的电压是， 故答案为：9． 2．（2024·河北张家口·中考真题）如图是台阶状的折线示意图，每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为，若反比例函数的图象与该折线有公共点，则k的整数值有 个． 【答案】4 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的应用，由图可得，当反比例函数图象过点B开始与台阶有交点，直到反比例函数图象过点C为止，进而求解即可． 【规范解答】解：∵每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为， ∴、、、、、， 如图，当反比例函数图象过点B开始与台阶有交点，直到反比例函数图象过点C为止， ， ∴k取3，4，5，6， ∴k的整数值有4个， 故答案为：4． 3．（2024·河南开封·中考真题）变速自行车通过调节牙盘（前齿轮）与飞轮（后齿轮）的齿数组合来调节车速，如图，始终满足：前齿轮齿数前齿轮转速后齿轮齿数后齿轮转速．若将前齿轮齿数设定为40，转速为100转/分钟；后齿轮齿数为x，其转速为y转/分钟，错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．要增大y，应增大x D．若x增大一倍，则y减少一半 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数的实际应用，根据前齿轮齿数前齿轮转速后齿轮齿数后齿轮转速，进行判断即可． 【规范解答】解：A、当时，，故A正确，不符合题意； B、当时，，故B正确，不符合题意； C、根据题意得，所以要增大y，应减小x，故C不正确，符合题意； D、根据题意得，所以x增大一倍，则y减少一半，故D正确，不符合题意， 故选：C． 4．（2024·吉林长春·中考真题）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，与的函数关系的图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到了米，则近视眼镜的度数减少了（    ） A．100度 B．150度 C．200度 D．250度 【答案】B 【思路点拨】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键． 由已知设，结合图象求出解析式，再分别求出当时，当时的函数值，并进行比较求解，即可解题． 【规范解答】解：设， 由图知，， ， 当时，； 当时，； 小雪的镜片焦距由米调整到了米，则近视眼镜的度数减少了(度)； 故选：B． 5．（2024·广东广州·中考真题）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：    (1)当时，求y与x的函数关系式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用，解答时应注意临界点的应用． （1）应用待定系数法求函数解析式即可； （2）观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的x值，相减可得结论． 【规范解答】（1）解：设双曲线解析式为：， ， ， 双曲线的解析式为：； （2）解：设的解析式为： 把 代入中得： 解得： 的解析式为： 当时，，解得 把代入，得 解得： 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时． 基础夯实 1．（2025·云南·模拟预测）某物体对地面的压力为1000N，物体对地面的压强p与受力面积S之间的函数关系式，该函数图象位于   （   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的应用．根据，可得结论． 【规范解答】解：物体对地面的压强与受力面积S之间的函数解析式， ∴该函数图象位于第一象限． 故选：A． 2．（2026·江西·模拟预测）跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P 越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．根据实际意义以及函数的解析式，确定函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【规范解答】解：结合物理知识可得， ∴压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，同时自变量是正数． 故选：D． 3．（2025·河南郑州·模拟预测）随着科学技术的发展，汽车抬头显示系统被广泛应用，该系统利用平面镜成像原理，将显示器上的行驶数据通过挡风玻璃投射在正前方，驾驶员不用低头就可以看到车辆行驶信息．这种“智能玻璃”还能根据车外光照度自动调节玻璃的透明度，实现车内的光照度为一个适宜的定值．研究发现：玻璃的透明度与车外光照度成反比例关系，其图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．玻璃的透明度与车外光照度满足关系式： B．当车外光照度为时，玻璃透明度为 C．车外光照度越大，玻璃透明度越高 D．当玻璃透明度为时，车外光照度为 【答案】D 【思路点拨】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．根据图象提供的信息回答即可． 【规范解答】解：根据图象获取信息，设玻璃的透明度与车外光照度满足关系式为常数，且， 将坐标代入， 得， 解得， 玻璃的透明度与车外光照度满足关系式， 不正确，不符合题意； 当车外光照度为时，玻璃透明度不为， 不正确，不符合题意； 车外光照度越大，玻璃透明度越低， 不正确，不符合题意； 当时，得，解得， 当玻璃透明度为时，车外光照度为， D正确，符合题意． 故选：． 4．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）小军驾驶汽车从A地去B地，他以的平均速度用了到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度与时间的函数关系式是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了根据实际情况列函数关系式，找准各量之间的关系是解题的关键． 先求出A地到B地的路程，再根据速度等于路程除以时间可得函数关系式． 【规范解答】解：由题意，A地到B地的路程为． 返回时，速度与时间满足，其中． 故答案为：． 5．（23-24九年级下·河南开封·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是 ．（填序号） ①这个反比例函数解析式为 ②蓄电池的电压是 ③当时， ④当时， 【答案】①②④ 【思路点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式． 根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，然后根据反比例函数的性质判断其他说法即可． 【规范解答】解：根据题意，设， 图象过， ， ， 蓄电池的电压是，故①、②正确， 当时，，故③错误； 当时，， 由图象知：当时，，故④正确； 故答案为：①②④． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率 ． 【答案】20 【思路点拨】本题考查反比例函数的应用．根据题意得知函数是反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式即可． 【规范解答】解：设功率为，由题可知，即， 将，代入解得， 故答案为：． 7．（24-25九年级下·山西晋城·期末）在数学实践课上，八（1）班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将代入，结合函数图象即可求解． 【规范解答】解：设反比例函数解析式为， 将代入得，， ∴反比例函数解析式为：， 当时，． ∴配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高． 【答案】(1) (2)火焰的像高为 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，正确列出函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法进行计算，即可解答； （2）把代入解析式中进行计算，即可解答． 【规范解答】（1）解：设与的函数表达式为：． 把代入，得．解得． 关于的函数表达式为； （2）解：把代入，得． 火焰的像高为； 9．（2025·浙江·模拟预测）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【答案】(1) (2)压强由加压到，则气体体积压缩了 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的实际应用，注意正确计算． （1）设，利用待定系数法即可得到结论； （2）分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：设， 把代入中得：， 解得， 压强与汽缸内气体的体积的函数表达式为； （2）在中，当时，，当时，， ， 压强由加压到，则气体体积压缩了． 10．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 【答案】(1) (2)半径为米 【思路点拨】（1）设y与x之间的函数表达式为，把点代入，解方程即可得到结论； （2）把代入反比例函数的解析式即可得到答案； 本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数图象过点， ∴ ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴当某人迈出的步长差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． 培优拔高 11．（24-25九年级下·江苏·自主招生）长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握函数解析式的确定及函数值的计算是解题的关键． 先分析加热阶段的时间，再确定降温阶段的反比例函数解析式，然后逐一验证每个选项． 【规范解答】解：∵水温从加热到，升温幅度为，加热速度是每分钟 ∴所需时间为，故项错误． ∵加热到时，用时，即此时，降温阶段与成反比例， ∴设，代入得，解得，即，故项错误． 上午点接通电源，距离接通电源的时间为． 当时，代入，得，即后水温降至，然后饮水机再次加热后，水温再次升到，， 当时，，故上午点接通电源，可以保证当天不能喝到不超过的水，故项错误． 加热阶段：水温从到，当时，，解得，加热阶段满足的时间是． 降温阶段：代入到，得，降温阶段满足的时间是． ∴总时间为，故项正确． 故选：． 12．（23-24九年级下·云南大理·月考）若蓄电池的电压为定值，则电流（单位:A）与电阻（，单位：）是反比例函数关系，当时，．下列结论不正确的是（   ） A．蓄电池的电压为36伏 B．电流随电阻的增大而减小 C．当时， D．该函数图象分别位于第一、第三象限 【答案】D 【思路点拨】本题考查了实际问题与反比例函数，设，根据“当时，”可求出，据此即可进行判断． 【规范解答】解：设， ∵当时，． ∴ ∴ 蓄电池的电压为伏，故A正确； 电流随电阻的增大而减小，故B正确； 当时，，故C正确； ∵， ∴该函数图象在第一象限，故D错误； 故选：D 13．（2025·江苏淮安·二模）已知关于x的方程（m、n为常数，且）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．一个实数根 B．两个实数根 C．三个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与方程等知识，把关于x的方程（m、n为常数，且），看作是两个函数设，，利用两个函数的交点的个数即可解答． 【规范解答】解：∵x的方程（m、n为常数，且）， ∴， 设，， ①当，时，如图1，两个函数有一个交点，即关于x的方程有一个实数根； ②当，时，如图2，两个函数有一个交点，即关于x的方程有一个实数根； ③当，时和当 ，时，两个函数有一个交点，即关于x的方程有一个实数根； 故选：A． 14．（2024·湖南·模拟预测）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的有 ．（填序号） ①函数解析式为；②容器内气体的质量是；③当时，；④当时，． 【答案】①③/③① 【思路点拨】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键．利用待定系数法求出函数解析式为，再逐项求解即可． 【规范解答】解：密度与体积是反比例函数关系， 设， 由图象可知，反比例函数图象可知，当时，， ， ， 函数解析式为，故①正确； 质量密度体积， 容器内气体的质量，故②错误； 当时，， ∵, ∴由图象可得，在第一象限内，随着的增大而减小， ∴，故③正确； 当时，， 解得：，故④错误， 故答案为：①． 15．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了 ． 【答案】2.4 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故答案为2.4． 16．（24-25九年级下·福建泉州·期中）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用，由题意可得点，设，求出，然后通过题意当时，，从而得出整个冷却塔高度，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得， ∵，， ∴点， 设， ∴， ∴， ∵上口宽， ∴的横坐标为， ∴当时，， ∴整个冷却塔高度为， 故答案为：． 17．（24-25九年级下·海南三亚·阶段练习）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后质量时，它最快移动速度；当其载重后总质量时，它最快移动速度 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查反比例函数的应用；由题意易得该函数的解析式为，然后代入求出v的值即可． 【规范解答】设，把，代入得， ∴函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 18．（23-24九年级下·广东汕尾·月考）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：）满足关系式，其中I与R是反比例函数关系，它的图像如图所示．当时，． (1)求电流I关于电阻R的函数关系式； (2)若，求电阻R的范围． 【答案】(1)电流I关于电阻R的函数关系式为 (2)电阻R的范围为 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的应用，利用待定系数法解得电流关于电阻的函数关系式是解题关键． （1）设与满足反比例函数关系为，利用待定系数法求解即可； （2）分别求得当和时电阻的值，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：根据图象可知，该函数过点， 将点代入，得 ∴， ∴ ∴电流I关于电阻R的函数关系式为． （2）解：当时，， 当时，， ∴电阻R的范围为． 19．（2024·广东·模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与用电器电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，且不低于5A，那么用电器可变电阻R应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2)可变电阻R应控制在与之间 【思路点拨】本题考查反比例函数的应用： （1）将代入即可求解； （2）求出，对应的的值，即可求解． 【规范解答】（1）解：设反比例函数关系式为， 由图可知，反比例函数图象经过点， ， 这个反比例函数的解析式为； （2）解：当时， ， 当时， ， 可变电阻R应控制在与之间． 20．（2023九年级下·浙江宁波·竞赛）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？ (2)求的值； (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有多少小时？ 【答案】(1)小时 (2) (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有15小时 【思路点拨】本题考查一次函数和反比例函数的应用，求出一次函数和反比例函数的解析式是解题的关键． （1）段满足温度为； （2）把代入，即可求解； （3）先用待定系数法求出的解析式，再根据解析式计算出，段时对应的x的值，即可求解． 【规范解答】（1）解：恒温系统在这天保持大棚内温度的时间为：（小时）； （2）解：把代入中得： ； （3）解：记0时对应的点为点D，设的解析式为： 把，代入中得： ， 解得， 的解析式为：， 当时，， （小时）． 答：恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有15小时． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $