函数奇偶性、对称性与周期性 专项训练——2026届高三数学一轮复习

奇偶性与周期性 一．知识点过关填空 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的______________一个，都有______________，那么称为偶函数。 奇函数：若对于定义域内的______________一个，都有______________，那么称为奇函数。 注：①判断函数奇偶性先判断函数的定义域是否关于__________对称； ②常函数一定是________，其中________既是奇函数又是偶函数； 2.奇偶函数的图象与性质 （1）是奇函数且在有定义，则有__________； （2）在关于原点对称的两个单调区间内，奇函数有__________的单调性，偶函数有__________的单调性。 （3）奇偶性运算性质 奇函数奇函数=__________；偶函数偶函数=__________；偶函数偶函数=__________； 奇函数奇函数=__________；奇函数偶函数=__________；=__________； 3.常见的奇函数（） （1）（n为奇数）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8）； （9）；（10）； （11）； 4.常见的偶函数（） （1）（n为偶数）（2）；（3）； （4）； （5）；（6）； 5.周期性与对称性 （1）若函数在定义域内都有成立，则是周期函数，且周期为_________； （2）若函数是周期为T的函数，则有_________； （3）若函数在定义域内都有成立，则关于直线_________成轴对称； （4）若函数在定义域内都有成立，则关于点________成中心对称； （5）点关于直线的对称点为_________； （6）点关于直线的对称点为_________； （7）三次函数的对称中心为_________________ ； （8）对称性与周期的关系 若函数的图象关于直线和直线对称，则函数f(x)的周期为 ； 若函数的图象关于点和点对称，则函数f(x)的周期为 ； 若函数的图象关于点和直线对称，则函数f(x)的周期为＝ ； 二．基础题型过关练 1．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（       ） A． B． C． D． 2．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5，那么在区间上是（       ） A．减函数且最小值是 B．增函数且最大值是 C．减函数且最大值是 D．增函数且最小值是 3.函数y＝（ex+e﹣x）sinx的部分图象大致为（　　） A． B． C． D． 4．已知函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（       ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数 5．已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，若实数满足，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 6.f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）﹣f（x）＝0，若，则（　　） A． B． C． D． 7．若函数，则以下函数为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 8.设函数f（x）＝ax﹣a﹣x+bsin3x+c（a＞0且a≠1）．若f（﹣t）＝1，f（t）＝3，则c＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9.已知函数是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足，当时，，则（ ） A. －4 B. 4 C. －1 D.1 10.已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(ln 3)的值为(　　) A． B．3 C． D． 11.（多选）下列说法正确的是（       ） A．是函数为奇函数的充要条件 B．设函数的反函数为，则 C．若函数是奇函数，当时，则当时 D．若函数是偶函数，且在上单调递增，则 12.（多选）已知f(x)是定义域为R的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. f(x)的最小正周期为4 B. f(x)的图像关于直线对称 C.当时，函数f(x)的最大值为2 D. 当时，函数f(x)的最小值为 13.（多选）已知函数f(x)定义域为R，且，，，则（ ） A. f(x)的图象关于直线x＝2对称 B. C. f(x)的图象关于点(－2,0)中心对称 D. 为偶函数 14.若函数f(x)＝ax＋ln(ex＋1)是偶函数，则实数a＝____________. 15．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，，则不等式 x·f(x)＞0 的解集为_______________. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 奇偶性与周期性 一．知识点过关填空 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数。 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都，那么称为奇函数。 注：①判断函数奇偶性先判断函数的定义域是否关于_原点_对称； ②常函数一定是偶函数，其中既是奇函数又是偶函数； 2.奇偶函数的图象与性质 （1）是奇函数且在有定义，则有； （2）在关于原点对称的两个单调区间内，奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性。 （3）奇偶性运算性质 奇函数奇函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数；偶函数偶函数=偶函数； 奇函数奇函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数；=偶函数； 3.常见的奇函数（） （1）（n为奇数）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8）； （9）；（10）； （11）； 4.常见的偶函数（） （1）（n为偶数）（2）；（3）； （4）； （5）；（6）； 5.周期性与对称性 （1）若函数在定义域内都有成立，则是周期函数，且周期为； （2）若函数是周期为T的函数，则有； （3）若函数在定义域内都有成立，则关于直线成轴对称； （4）若函数在定义域内都有成立，则关于点成中心对称； （5）点关于直线的对称点为； （6）点关于直线的对称点为； （7）三次函数的对称中心为； （8）对称性与周期的关系 若函数的图象关于直线和直线对称，则函数f(x)的周期为 ； 若函数的图象关于点和点对称，则函数f(x)的周期为 ； 若函数的图象关于点和直线对称，则函数f(x)的周期为＝ ； 二．基础题型过关练 1．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【解析】对于A，为奇函数，所以A不符合题意； 对于B，为偶函数，在上单调递减，所以B不符合题意； 对于C，既是偶函数，又在上单调递增，所以C符合题意； 对于D，为奇函数，所以D不符合题意． 故选：C． 2．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5，那么在区间上是（       ） A．减函数且最小值是 B．增函数且最大值是 C．减函数且最大值是 D．增函数且最小值是 【答案】D 【分析】由奇函数的性质分析判断即可得结论 【解析】因为为奇函数，在上是增函数且最大值为5， 所以在区间上为增函数，且最小值是， 故选：D 3.函数y＝（ex+e﹣x）sinx的部分图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 解：函数f（﹣x）＝﹣（ex+e﹣x）sinx＝﹣f（x），图象是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，当x＞0且x→0，f（x）＞0，排除A， 故选：C． 4．已知函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（       ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】D 【分析】根据奇偶函数的定义可得，，则分别判别四个选项，可得答案. 【解析】因为是奇函数，是偶函数，所以，．易得，故是奇函数，A错误； ，故是偶函数，B错误； ，故是奇函数，C错误； ，故是偶函数，D正确． 故选：D． 5．已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，若实数满足，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性和奇偶性可得，由此可求得的取值范围. 【解析】解：由题意得 ∵奇函数的定义域为，且在上单调递增 ∴在定义域内单调递增． 若实数满足，即 故有，解得，所以的取值范围为. 故选：D 6.f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）﹣f（x）＝0，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 解：因为f（1+x）﹣f（x）＝0，所以f（1+x）＝f（x）， 所以函数的周期为1， 因为f（x）是定义域为R的奇函数，， 所以， 故选：C． 7．若函数，则以下函数为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对选项，，定义域为，且满足，函数为奇函数，故选项正确； 对选项，，定义域为，但不满足，函数不是奇函数，故选项错误； 对选项，，定义域为，故不是奇函数，故选项错误； 对选项，，定义域为，故不是奇函数，故选项错误； 故选： 8.设函数f（x）＝ax﹣a﹣x+bsin3x+c（a＞0且a≠1）．若f（﹣t）＝1，f（t）＝3，则c＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 解：根据题意，函数f（x）＝ax﹣a﹣x+bsin3x+c， 则f（﹣x）＝a﹣x﹣ax+bsin3（﹣x）+c＝﹣（ax﹣a﹣x+bsin3x）+c， 则有f（x）+f（﹣x）＝2c，则f（﹣t）+f（t）＝2c， 若f（﹣t）＝1，f（t）＝3，则f（﹣t）+f（t）＝2c＝4，必有c＝2， 故选：B． 9.已知函数是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足，当时，，则（ ） A. －4 B.4 C. －1 D.1 【答案】C 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且x>1时，满足， 所以，，即可得x>1时， 因为当时，， 所以 ， 故选：C 10.已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(ln 3)的值为(　　) A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】 因为函数y＝f(x)＋ex为偶函数，所以f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex， 即f(x)－f(－x)＝e－x－ex①.又因为函数y＝f(x)－3ex为奇函数，所以f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex， 即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x②.联立①②可得f(x)＝ex＋2e－x， 所以f(ln 3)＝eln 3＋2e－ln 3＝. 选D　 11.（多选）下列说法正确的是（       ） A．是函数为奇函数的充要条件 B．设函数的反函数为，则 C．若函数是奇函数，当时，则当时 D．若函数是偶函数，且在上单调递增，则 【答案】BD 【详解】A，满足，但不是奇函数，所以A选项错误. B，函数的反函数为，，所以B选项正确. C，，所以C选项错误. D，函数是偶函数，且在上单调递增，所以在上递减，所以，D选项正确. 故选：BD 12.（多选）已知f(x)是定义域为R的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. f(x)的最小正周期为4 B. f(x)的图像关于直线对称 C.当时，函数f(x)的最大值为2 D. 当时，函数f(x)的最小值为 【答案】ABC 【详解】对于A，，，则，即f(x)的最小正周期为4，故①正确； 对于B，由知f(x)的图像关于直线对称，故②正确； 对于C，当时，在上单调递减，在上单调递增 根据对称性可知，函数f(x)在，上单调递减，在，上单调递增，则函数f(x)在[0,4]上的最大值为，故③正确； 对于D，根据周期性以及单调性可知，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，则函数f(x)在[6,8]上的最小值为，故④错误. 故选：ABC 13.（多选）已知函数f(x)定义域为R，且，，，则（ ） A. f(x)的图象关于直线x＝2对称 B. C. f(x)的图象关于点(－2,0)中心对称 D. 为偶函数 【答案】BCD 【详解】对于A，假设f(x)的图象关于直线对称，则， 因为，故，即2为函数的一个周期， 则，由，可得，矛盾， 故f(x)的图象不关于直线对称，A错误； 对于B, 函数f(x)定义域为R，且，则， 由得，则， ，故，故B正确； 对于C，由B的分析可知，，即， 所以， 即，故的图象关于点中心对称，C正确； 对于D，由可得， 由得， 故，即为偶函数，D正确. 故选：BCD. 14.若函数f(x)＝ax＋ln(ex＋1)是偶函数，则实数a＝____________. 【解析】 依题意，f(－x)＝f(x)，即－ax＋ln (e－x＋1)＝ax＋ln (ex＋1)，整理得2ax＋ln ＝0，即2ax＋ln ex＝0，则有(2a＋1)x＝0.因为x不恒为0，所以必有2a＋1＝0，解得a＝－. 故选B 15．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，，则不等式 x·f(x)＞0 的解集为_______________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，单调性以及符号法则即可解出． 【解析】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，，所以，且在上单调递增．因此，当时，，当时，，当时，，当时，， 所以x·f(x)＞0 的解集为． 故答案为：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $