精品解析：上海市奉贤区实验中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025学年第一学期期中练习卷 八年级数学试卷 2025．11 （考试时间：100分钟满分：100分） 一、单项选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列实数中，是无理数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查无理数的定义，会判断无理数．解题的关键是了解它的三种形式：①开方开不尽的数，如：；②无限不循环小数，如：0．2020020002…（相邻两个2中间依次多1个0）；③含有的数，如：． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 负数没有立方根； B. 是4的算术平方根； C. 立方根是它本身的数只有0； D. 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立方根和算术平方根的概念，相反数的定义，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、负数有立方根，且负数的立方根是负数，故该选项不符合题意； B、4的算术平方根是2，不是，故该选项不符合题意； C、立方根是本身的数有0、1、，故该选项不符合题意； D、互为相反数的数的立方根也互为相反数，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义（被开方数不含能开得尽方的因数、不含分母，且分母不含根号），逐一判断各选项。 【详解】解：A、 = = ，含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； B、 被开方数含分母，不是最简二次根式； C、 被开方数不含能开得尽方的因式，且不含分母，是最简二次根式； D、 含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选：C 4. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，只含一个未知数，且最高次数为的整式方程是一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程化简为，是一元二次方程，该选项符合题意； 、当时，方程为，是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 5. 下列关于的方程中，有两个实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式．通过计算每个方程的判别式或直接求解，判断实数根的个数，只有选项A的判别式大于0，有两个实数根，即可作答． 【详解】解：A、方程化为，∴ ，有两个实数根； B、方程，∴ ，无实数根； C、方程化为 ，∴，无实数根； D、方程，得，∵，∴无实数根， 故选：A． 6. 当时，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质．由可知，因此，代入原式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 的平方根是__． 【答案】± 【解析】 【详解】解：∵， ∴的平方根是±，即. 故答案为±. 8. 比较大小：__________（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理，根据，得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：>． 9. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式．根据同类二次根式的定义，将化为最简二次根式后，被开方数为5，因此令的被开方数等于5，解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，，其被开方数为5， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 计算：________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，先化简，将除法转化为乘法，然后进行乘法运算，通过约分得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 不等式 的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式， 根据移项，系数化为1，再分母有理化解答. 【详解】解：不等式， 移项，得， 两边都除以，得， 即. 故答案为：. 12. 方程的解为_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握因式分解法解一元二次方程并能熟练运用求解． 通过因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：方程， 提取公因式，得， 因此或， 解得：，． 故答案为：，． 13. 已知是关于的方程的一个根，那么的值是______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，因式分解法解一元二次方程．将代入方程，得到关于m的一元二次方程，再进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入方程， 得，即，整理得， ∴， 解得或． 故答案为：2或． 14. 已知关于的方程有两个实数根，那么实数的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数．根据一元二次方程根的判别式，方程有两个实数根时判别式大于或等于零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 已知：，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，利用平方根的性质和给定的近似值，通过小数点移动的关系求解． 【详解】解：由，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理_______个基本数据单元．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．根据芯片处理一个基本数据单元的时间，计算一秒内处理的数量，需用总时间除以每个单元的时间，并将结果用科学记数法表示，即可作答． 【详解】解：∵处理一个基本数据单元的时间为纳秒，已知一纳秒等于秒， 因此处理一个单元的时间为秒， 设一秒内处理的基本数据单元个数为n， 则． 故答案为：． 17. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据“同伴方程”的定义，两个方程有且只有一个相同的实数根．先求解方程的根，再分析方程 的根，再根据新定义进行求解即可． 【详解】解：， 因式分解得， 解得，； 方程的根为，． 由题意，，得或，得； 故的值为或； 故答案为：或． 18. 我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，因式分解法解一元二次方程等知识，设，代入原方程，利用换元法将方程转化为关于的二次方程，求解后得到的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，设，则， 代入原方程，得， ， ∵， ∴， ∴， ， 设（)，则， 代入得：，即， 整理为：， ∴，（舍去，因为)， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式= = =． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的性质化简，二次根式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据分母有理化以及二次根式的性质进行化简，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 21. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先计算乘除，再计算减法． 【详解】解∶原式 ． 22. 解方程： 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，本题中分别把和看作一个整体，利用平方差公式分解因式，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，通过解一元一次方程求出一元二次方程的解． 【详解】解：， 分解因式可得：， 整理可得：， 可得：或， 解得：，． 四、解答题（本大题共5题，第23、24、25题每题6分，第26题7分，第27题9分，满分34分） 23. 解方程，乐乐的解答过程如下： 解：①移项，得， ②将二次项系数化为1，得： ③配方，得 ④两边开平方，得或 ⑤所以， （1）乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________． （2）请写出正确的解答过程（全部）． 【答案】（1）③，配方出错； （2） ， 移项，得， 将二次项系数化为1，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， 所以， 即． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； （2）根据配方法的步骤，进行作答即可． 【小问1详解】 解：第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； 【小问2详解】 略 24. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，已知字母的值求代数式的值．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，则，化简，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ； 把代入， 得． 25. 如图、是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边叫做格线．请仅用一根无刻度直尺作图在网格图中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示（不要求说明理由，需保留必要的作图痕迹，写出结论） 例如：在图中，是格点，要作出线段的中点，可利用无刻度直尺，连接格点所得线段与线段交点就是线段中点，利用可说明． （1）在图中，是格点，请仅用一根无刻度直尺作出线段的垂直平分线； （2）在图中，是格点，请仅用一根无刻度直尺作出等腰直角三角形，点是格点； （3）在（2）的基础上，请仅用一根无刻度直尺作出线段的垂直平分线． 【答案】（1） 解：如图a中，直线即为所求； （2） 解：如图b中，点或即为所求； （3）解：如图b中，直线即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）取格点J，K，连接交网格线于点M，作直线即可； （2）根据等腰直角三角形的判定画出图形即可； （3）取与格线交点，即的中点M，与的交点为N，作直线即可，由图知则，即点都在的垂直平分线上，故为所求作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 26. 小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． （1）图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． （2）如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； （3）在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，无理数的估算，数轴上两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等面积法得大的正方形的面积，结合算术平方根的性质，得大的正方形的边长，然后运用无理数的估算，得出边长介于两个连续整数2和3之间； （2）由（1）得，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，列式表达出点在数轴上表示的数为或； （3）先整理得点在数轴上表示的数为，根据数轴上的两点间的距离进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为 ∴大的正方形的边长为， 即 ∵， ∴， 即边长介于两个连续整数2和3之间； 【小问2详解】 解：由（1）得， 把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合， 则点在数轴上表示的数为或； 【小问3详解】 解：在（2）的基础上，点在点的右侧，，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为， ∵点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点所表示的数为， ∴， ∴， 解得， 即点所表示的数为． 27. 数学课上，某数学小组正在认真研究：到三个定点距离之和最小的点 【实际背景】设要建造一座发电厂向附近的三座工厂输电，将发电厂建造在哪里，可以使从发电厂出发的输电线的总长度最短？ 【数学问题】在平面内，假设三座工厂分别记作点，发电厂记作点，请在平面内找一点，使得最小． （1）探究1．当点在同一直线上（如图1），点在点和点之间，要使得最小，点的位置为_________________ 依据是：_________________（填写序号） ①三角形任意两边之和大于第三边； ②线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． （2）探究2．当点不共线时（如图2），中，最大内角，点在内． 小敏说：两条折线段之和最小值就是连结两点的线段长； 小丽提出困惑：如何把题目中共顶点三条线段转化为首尾相连的三条折线段呢？ 欢欢说：目前线段相等转化的方法有：构造全等三角形、等边三角形（或等腰三角形）…… 聪聪说：将绕点顺时针旋转得，连接（如图3）；此时要使得最小，则点在同一直线上（如图4），可以得出． ①你同意该小组同学的说法吗？如果不同意，请说出理由；如果同意，请写出证明的推理过程． ②从上面的证明还可以得到是等边三角形，此时点在线段上；请用直尺和圆规在图5中作出点使得最小． 【答案】（1）点B，① （2） ①同意． 理由：由旋转变换的性质可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴点A、P、在同一直线上，的值最小， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图5中，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短以及等边三角形的性质，深入理解题意是解决问题的关键． （1）利用三角形任意两边之和大于第三边判断即可； （2）①利用旋转变换的性质判断出：点A、P、在同一直线上，的值最小，可得结论； ②在的下方作等边，在的右侧作等边，连接交于点P，与交于点，连接，根据，则，可得，则，再根据可得，则，故点P即为所求． 【小问1详解】 解：当点A、B、C在同一直线上（如图1），点B在点A和点C之间，要使得最小，点P的位置为点B．依据是三角形任意两边之和大于第三边． 故答案为：点B，①； 【小问2详解】 解：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中练习卷 八年级数学试卷 2025．11 （考试时间：100分钟满分：100分） 一、单项选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列实数中，是无理数的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 负数没有立方根； B. 是4的算术平方根； C. 立方根是它本身的数只有0； D. 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于的方程中，有两个实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 当时，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 的平方根是__． 8. 比较大小：__________（填“>”“<”或“=”） 9. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________________． 10. 计算：________________． 11. 不等式 的解集是_____． 12. 方程的解为_______． 13. 已知是关于的方程的一个根，那么的值是______． 14. 已知关于的方程有两个实数根，那么实数的取值范围是___． 15. 已知：，那么_______． 16. 为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理_______个基本数据单元．（用科学记数法表示） 17. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则的值为_______． 18. 我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得______． 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 计算： 20. 计算： 21. 计算： 22. 解方程： 四、解答题（本大题共5题，第23、24、25题每题6分，第26题7分，第27题9分，满分34分） 23. 解方程，乐乐的解答过程如下： 解：①移项，得， ②将二次项系数化为1，得： ③配方，得 ④两边开平方，得或 ⑤所以， （1）乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________． （2）请写出正确的解答过程（全部）． 24. 先化简再求值：，其中． 25. 如图、是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边叫做格线．请仅用一根无刻度直尺作图在网格图中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示（不要求说明理由，需保留必要的作图痕迹，写出结论） 例如：在图中，是格点，要作出线段的中点，可利用无刻度直尺，连接格点所得线段与线段交点就是线段中点，利用可说明． （1）在图中，是格点，请仅用一根无刻度直尺作出线段的垂直平分线； （2）在图中，是格点，请仅用一根无刻度直尺作出等腰直角三角形，点是格点； （3）在（2）的基础上，请仅用一根无刻度直尺作出线段的垂直平分线． 26. 小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． （1）图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． （2）如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； （3）在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 27. 数学课上，某数学小组正在认真研究：到三个定点距离之和最小的点 【实际背景】设要建造一座发电厂向附近的三座工厂输电，将发电厂建造在哪里，可以使从发电厂出发的输电线的总长度最短？ 【数学问题】在平面内，假设三座工厂分别记作点，发电厂记作点，请在平面内找一点，使得最小． （1）探究1．当点在同一直线上（如图1），点在点和点之间，要使得最小，点的位置为_________________ 依据是：_________________（填写序号） ①三角形任意两边之和大于第三边； ②线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． （2）探究2．当点不共线时（如图2），中，最大内角，点在内． 小敏说：两条折线段之和最小值就是连结两点的线段长； 小丽提出困惑：如何把题目中共顶点三条线段转化为首尾相连的三条折线段呢？ 欢欢说：目前线段相等转化的方法有：构造全等三角形、等边三角形（或等腰三角形）…… 聪聪说：将绕点顺时针旋转得，连接（如图3）；此时要使得最小，则点在同一直线上（如图4），可以得出． ①你同意该小组同学的说法吗？如果不同意，请说出理由；如果同意，请写出证明的推理过程． ②从上面的证明还可以得到是等边三角形，此时点在线段上；请用直尺和圆规在图5中作出点使得最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $