第17讲 空间线段以及线段之和最值问题-2026年高考数学二轮复习立体几何专题（新高考通用）

第17讲 空间线段以及线段之和最值专题 目 录 高考分析 1 学习目标 3 解题策略 5 一、单选题 7 二、多选题 12 三、填空题 24 空间线段及线段之和最值问题是高考立体几何的压轴热点，多以选择题、填空题（分值5分）形式出现，偶尔融入解答题最后一问，融合空间几何、平面几何、函数最值等知识，侧重考查直观想象、转化与化归思想，以下从命题特点、核心考点、考查趋势三方面展开分析： 一、命题特点 1. 载体特征： ◦ 以规则几何体（正方体、长方体、直棱柱、圆锥/圆柱、正四面体）为主要背景，如“正方体表面上两点间的最短路径”“圆柱侧面上动点到定点的线段最值”“正四面体中异面直线上两点间线段的最小值”； ◦ 常结合动点约束条件命题，约束条件多为：① 动点在几何体表面/棱/面上运动；② 动点满足线面平行/垂直等位置关系；③ 线段之和（如PA+PB）的最值。 2. 题型分类： ◦ 表面最短路径问题：动点在几何体表面（多面体/旋转体）运动，求两点间线段的最小值（核心为“展开成平面”）； ◦ 异面直线上线段最值问题：动点分别在两条异面直线上，求两点间线段的最小值（核心为“公垂线段”）； ◦ 线段之和最值问题：动点在某轨迹上运动，求到两个定点的线段之和（PA+PB）的最值（核心为“对称转化”）； ◦ 空间线段长度最值问题：动点满足某约束（如到定平面距离为定值），求动点到定点的线段长度的最值（核心为“函数建模”）。 3. 解法倾向： ◦ 核心思路是“空间问题平面化”“几何问题代数化”——通过展开、对称、建系等手段，将空间最值转化为平面几何最值（如两点之间线段最短、三角形三边关系）或函数最值（如二次函数、三角函数最值）； ◦ 优先用几何转化法（展开、对称），复杂情况用坐标法（建立空间直角坐标系，构建函数求解）。 二、核心考点 1. 表面最短路径转化能力： ◦ 掌握多面体（正方体、长方体）表面展开的方法，将表面路径转化为平面内的直线段； ◦ 掌握旋转体（圆柱、圆锥）侧面展开的特征（圆柱展开为矩形、圆锥展开为扇形），利用平面几何计算最短路径。 2. 对称转化思想应用： ◦ 对于线段之和（PA+PB）的最值，能通过作定点关于动点轨迹的对称点，将折线转化为直线段（利用“两点之间线段最短”）； ◦ 如正方体中，动点P在棱AB上，求PC+PD的最小值，作C关于AB的对称点C'，则PC+PD的最小值为C'D的长度。 3. 公垂线段与异面直线距离： ◦ 理解异面直线上两点间线段的最小值为异面直线的公垂线段长度，能通过几何法或坐标法求公垂线段； ◦ 掌握异面直线距离的计算方法（向量法：利用两直线方向向量与连接向量的混合积）。 4. 函数建模与最值求解： ◦ 能建立空间直角坐标系，用参数表示动点坐标（如设λ为参数），将线段长度表示为关于参数的函数（如二次函数、三角函数），再求函数最值； ◦ 能结合参数的取值范围（如λ∈[0,1]）确定最值（避免超出几何体边界）。 三、考查趋势 1. 综合化加深： ◦ 从单一动点约束转向复合约束（如“动点在截面内且到定直线距离为定值”），如“正方体中动点P在截面内运动，求PA+PB的最小值”； ◦ 融合折叠、轨迹问题，如“折叠后的几何体中，表面动点的最短路径”“轨迹上动点的线段之和最值”。 2. 动态化与创新化： ◦ 从静态几何体转向动态变化（如“圆锥的高变化时，侧面上最短路径的最值变化”）； ◦ 结合实际背景命题，如“无人机在仓储空间（长方体）内飞行的最短路径”“卫星绕圆柱体型建筑的最近距离”。 3. 对数学思想要求更高： ◦ 侧重考查转化与化归思想（空间→平面、折线→直线）、数形结合思想（函数图像与几何最值的对应）、分类讨论思想（动点在几何体不同表面的情况）； ◦ 减少对固定公式的依赖，更强调灵活转化能力。 四、高考评分关键点 1. 表面最短路径问题中，需明确写出“将几何体表面展开为平面”的具体方式（如“将正方体的面ABB₁A₁与面BCC₁B₁展开为同一平面”），未说明展开方式会扣分； 2. 对称转化法求解线段之和最值时，需证明对称点的合理性（如“点C'为C关于AB的对称点，故PC=PC'”），缺失证明会扣分； 3. 函数建模求解最值时，需标注参数的取值范围（如λ∈[0,1]），并验证最值点是否在范围内，遗漏会导致结果错误。 结合高考对空间线段及线段之和最值问题的考查要求，从基础认知、能力突破、综合应用三个维度制定学习目标，覆盖“转化方法、计算能力、思想应用”全环节： 一、基础认知目标 1. 掌握核心转化原理： ◦ 明确“空间问题平面化”的核心逻辑（表面最短路径依赖几何体展开、线段之和最值依赖对称转化）； ◦ 熟记关键概念：异面直线的公垂线段（异面直线上线段的最小值）、几何体表面展开图特征（正方体展开为矩形、圆锥展开为扇形）、对称点的性质（对称轴上的点到对称点距离相等）。 2. 夯实公式与定理基础： ◦ 掌握空间两点间距离公式： ◦ 理解异面直线距离的向量计算方法（混合积公式）； ◦ 熟记二次函数、三角函数的最值求解方法（配方法、有界性）。 3. 识别常见题型特征： ◦ 能区分表面最短路径、异面直线线段最值、线段之和最值三类题型的核心约束条件； ◦ 明确不同几何体（正方体、圆柱、正四面体）对应的最值问题解法差异。 二、能力突破目标 1. 空间到平面的转化能力： ◦ 表面最短路径：能根据动点位置选择最优展开方式（如正方体展开相邻面、圆柱沿母线展开），将空间路径转化为平面直线段并计算长度； ◦ 线段之和最值：能通过作定点关于动点轨迹的对称点，将折线PA+PB转化为直线段A'B（A'为A的对称点），利用“两点之间线段最短”求解最值； ◦ 异面直线线段最值：能找到或计算异面直线的公垂线段长度，确定线段最小值。 2. 函数建模与计算能力： ◦ 能建立空间直角坐标系，用参数（如λ）表示动点坐标，将线段长度转化为关于参数的函数（二次函数、三角函数）； ◦ 能结合参数的取值范围（如λ∈[0,1]）求解函数最值，验证最值点是否在几何体边界内。 3. 规范解题能力： ◦ 表面最短路径问题：书写时明确展开方式（如“将圆柱侧面沿母线MN展开为矩形”），标注展开后两点的位置； ◦ 对称转化问题：说明对称点的构造依据（如“作点A关于棱BC的对称点A'，由对称性质知PA=PA'”）； ◦ 函数建模问题：清晰写出参数设定、函数表达式及取值范围，避免关键步骤缺失。 三、综合应用目标 1. 跨题型融合解题能力： ◦ 能处理复合约束的最值问题（如“动点在截面内运动的线段之和最值”“折叠后几何体的表面最短路径”）； ◦ 能结合轨迹问题求解最值（如“轨迹上动点到定点的线段长度最大值”）。 2. 易错点规避能力： ◦ 避免“展开方式错误”（如正方体展开时选错相邻面，导致路径非最短）； ◦ 避免“对称点构造错误”（如对称轴选择不当，无法转化为直线段）； ◦ 避免“参数范围遗漏”（如求函数最值时忽略动点在几何体上的边界限制）。 3. 数学思想应用能力： ◦ 熟练运用转化与化归思想（空间→平面、折线→直线、几何→代数）； ◦ 运用数形结合思想，通过几何图形直观预判最值位置，再用代数方法验证； ◦ 运用分类讨论思想，分析动点在几何体不同表面/棱上的最值差异。 空间线段及线段之和最值问题的核心解题逻辑是“转化与化归”——将空间问题转化为平面问题，将折线问题转化为直线问题，将几何问题转化为函数问题，以下分题型梳理具体策略： 一、题型1：几何体表面最短路径问题 核心思路：展开表面为平面，利用“两点之间线段最短”求解 1. 多面体（正方体/长方体/正四面体）表面最短路径 • 步骤： ① 确定动点的起点和终点所在的面，将这两个面（及相关面）展开为同一平面（优先选择展开后两点连线不跨越多余面的方式）； ② 在展开后的平面中连接起点和终点，得到直线段，即为最短路径； ③ 利用勾股定理/余弦定理计算线段长度（展开后平面为矩形用勾股定理，为三角形用余弦定理）。 2. 旋转体（圆柱/圆锥）侧面最短路径 • 圆柱侧面： ① 沿母线展开为矩形（矩形长=圆柱底面周长2πr，宽=圆柱高h）； ② 展开后起点和终点对应矩形中的两点，连接成直线段，用勾股定理计算长度（如底面圆周上A到上底面圆周上B的最短路径=√((πr)²+h²)，r为底面半径）。 • 圆锥侧面： ① 沿母线展开为扇形（扇形弧长=圆锥底面周长2πr，半径=圆锥母线长L，圆心角θ=2πr/L）； ② 展开后起点和终点为扇形上两点，用余弦定理计算线段长度。 易错点： • 展开时遗漏部分面，导致路径不是最短； • 圆锥侧面展开后误将底面圆周上两点的圆心角当作原圆锥的圆心角（需用弧长公式换算）。 二、题型2：异面直线上两点间线段最值问题 核心思路：最小值为异面直线的公垂线段长度，无最大值（两点无限远离时线段无限长） 1. 几何法（找公垂线段） • 步骤： ① 过其中一条直线作与另一条直线平行的平面； ② 求另一条直线到该平面的距离，即为公垂线段长度（异面直线间的距离）； ③ 公垂线段的两个端点即为异面直线上距离最短的点。 • 适用场景：异面直线位置关系直观（如正方体中面对角线与体对角线）。 2. 向量法（计算公垂线段长度） 三、题型3：线段之和（PA+PB）最值问题 核心思路：对称转化，将折线PA+PB转化为直线段A'P+PB（A'为A的对称点），利用“两点之间线段最短” 1. 动点在直线/棱上运动（如正方体棱AB上的动点P） • 步骤： ① 作定点A关于动点轨迹（棱AB）的对称点A'； ② 连接A'B，与轨迹（棱AB）的交点即为使PA+PB最小的点P； ③ A'B的长度即为PA+PB的最小值（若A'B与轨迹无交点，则最小值在轨迹端点处）。 2. 动点在平面/曲面上运动（如正方体面ABCD上的动点P） • 步骤： ① 作定点A关于动点所在平面/曲面的对称点A'； ② 连接A'B，若A'B与平面/曲面有交点P，则A'B长度为PA+PB的最小值；若无交点，最小值在平面/曲面边界处。 • 技巧：若动点在平面上，可通过空间直角坐标系计算对称点坐标，再求直线与平面的交点。 易错点： • 对称点构造错误（如对称轴/对称平面选择不当）； • 忽略动点轨迹的边界限制（如A'B与轨迹无交点时，需比较端点处的线段和）。 四、题型4：单一线段（PA）的最值问题（P为动点，A为定点） 核心思路：建立函数模型，将PA长度表示为参数的函数，求函数最值 步骤： 1 建立空间直角坐标系，用参数λ（λ∈[0,1]）表示动点P的坐标 ② 用距离公式表示PA的长度：，整理为关于λ的函数f(λ) ③ 结合λ的取值范围（[0,1]），求函数f(λ)的最值（二次函数用配方法，三角函数用有界性）。 五、通用解题技巧 1. 优先几何转化：能通过展开、对称解决的问题，避免复杂的坐标计算； 2. 验证边界条件：所有最值问题都需验证动点在几何体边界处的取值，避免遗漏； 3. 数形结合辅助：画出几何体直观图（或展开图），标注动点、定点位置，直观预判最值位置； 4. 分类讨论：若动点可能在多个面/棱上运动，需分类计算各区域的最值，再综合比较。 一、单选题 1.在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 2.长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.如图，已知正方体的棱长为为底面正方形内（含边界）的一动点，则下列结论中:①若点为的中点，则的最小值为；②过点作与和都成的直线，可以作四条；③若点为的中点时，过点作与直线垂直的平面，则平面截正方体的截面周长为；④若点到直线与到直线的距离相等，的中点为，则点到直线的最短距离是.其中正确的命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4.正方体的棱长为2，是棱上的一个动点（含端点），则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 6.已知底面边长为2的正四棱锥O-ABCD的侧棱长为，E，F分别为AB，BC的中点，点P，Q在底面ABCD内，且Q在线段DE上，过顶点O平行于底面ABCD的平面为，F在平面内的射影为，长度为，则PQ长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 7.如图，在长方体中，，点M在平面上，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 8.如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段和MN上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9.已知直四棱柱的底面为矩形，，且该棱柱外接球的表面积为，为线段上一点．则当该四棱柱的体积取最大值时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 10.已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 11.以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成的二面角.若，，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12.已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，且平面为的中点，为平面内一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 13.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E为BC的中点，M为PE上的动点，N为平面APD内的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14.如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 15.已知高为的正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（    ） A．平面与平面的夹角为 B．球的体积为 C．的最小值为 D．与平面所成角度数的最大值为 16.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（    ） ①异面直线与所成的角为45°； ②此八面体的外接球与内切球的体积之比为； ③若点为棱上的动点，则的最小值为； ④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17.半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2、 多选题 1.在长方体中，为的中点，点满足，则（    ） A．若为的中点，则三棱锥体积为定值 B．存在点使得 C．当时，平面截长方体所得截面的面积为 D．若为长方体外接球上一点，，则的最小值为 2.在边长为2的正方体中，动点满足，且，下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为 B．当时，异面直线与所成角的余弦值为 C．当，且时，则的轨迹长度为 D．当时，与平面所成角的正弦值的最大值为 3.已知棱长为2的正方体中，动点在棱上，记平面截正方体所得的截面图形为，则（    ） A．平面平面 B．不存在点，使得直线平面 C．的最小值为 D．的周长随着线段长度的增大而增大 4.在正方体中，分别为的中点，点满足，则（       ） A．平面 B．三棱锥的体积与点的位置有关 C．的最小值为 D．当时，平面截正方体的截面形状为五边形 5.棱长为1的正方体中，点满足，，，则下面结论正确的是：（    ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，直线与平面所成的角不可能为 D．当时，的最小值为 6.在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列说法正确的有（   ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得直线与平面所成的角为 C．的最小值为 D．以为球心，为半径的球体积最小时，被正方形截得的弧长是 7.如图，正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，点在四边形内，若，则下列结论正确的有（    ）    A． B．// C．点的轨迹长度为 D．的最小值是 8.已知正方体的棱长为1，点满足，则（    ） A．若，则 B．若，则平面 C．若，则的最小值为 D．若，则与平面的所成角为定值 9.下列有关正方体的说法，正确的有（    ） A．正方体的内切球､棱切球､外接球的半径之比为 B．若正方体的棱长为为正方体侧面上的一个动点，为线段的两个三等分点，则的最小值为 C．若正方体8个顶点到某个平面的距离为公差为1的等差数列，则正方体的棱长为 D．若正方体的棱长为3，点在棱上，且，则三棱锥的外接球表面积为 10.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，点和分别满足，，其中，，则下列结论正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，四棱锥的外接球的表面积是 C．当时，不存在使得 D．的最小值为 11.如图，在长方体中，为的中点，分别是直线上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为4 B． C．直线所成角的余弦值为 D．的最小值为 12.在正方体中，分别为的中点，，点满足，，则（    ） A．平面 B．三棱锥的体积与点的位置有关 C．的最小值为 D．当时，平面截正方体的截面形状为五边形 13.已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，以下结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，最小值是 C．当时，BP的最大值 D．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 14.如图，已知正方体的棱长为为底面正方形内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．三棱锥的体积为定值 C．当点在棱上时，的最小值为 D．若点到直线与到直线的距离相等，的中点为，则点到直线的最短距离是 15.在棱长为1的正方体中，下列结论正确的有（    ） A．平面 B．点到平面的距离为 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．若为正方体侧面上的一个动点，为线段的两个三等分点，则的最小值为 16.在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点平面，且与所成角是，则下列正确的选项有（   ） A． B．点的轨迹是双曲线 C．的最小值为4 D．直线与平面所成角的最小值为 17.已知正方体的棱长为3，在棱上，且满足，动点在内（包括边界）移动，动点在正方体内（包括边界）移动，且，则（   ） A．的最小值为 B．动点在面内运动轨迹的长度为 C．动点的轨迹与动点的轨迹的交线是椭圆的一部分 D．在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4 18.在棱长为2的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，的最小值为 D．当，时，若点为四边形（含边界）内一动点，且，则点的轨迹长度为 19.棱长为2的正方体中，分别是的中点，点在线段上，点在底面内部（包含边界）.则下列说法中，正确的是（    ） A．当点在棱上移动时，总存在点，使得成立 B．当点在棱上移动时，存在点和，使得成立 C．三棱锥体积的最大值是 D．的最小值是 20.在棱长为3的正方体中，点M是线段的中点，点F满足 ，其中，则 （   ） A．平面平面 B．对于任意， 三棱锥的体积为定值 C．周长的最小值为 D．当时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为 21.已知直棱柱的所有棱长均为，，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．若直线与直线所成角为定值，则点轨迹为圆的一部分 C．当时，三棱锥的外接球的体积为 D．记点到直线的距离为，当时，则的最小值为 22.如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．点到平面的距离为定值 B．直线与所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．若为线段上的动点，且平面，则的最小值为 23.如图，棱长为的正方体为底面的中心，为棱的中点，是线段上的动点，为平面内的动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B． C．的最小值为 D．的最小值为 24.如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若平面CEF，则点P的轨迹长度为 B．若，则点P的轨迹长度为 C．若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为 D．若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面截球O所得截面的面积为 25.如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，且，，为线段的中点，为线段的中点，点满足（，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则三棱锥的体积为定值 B．若，则有且仅有一个点P，使得 C．若，则的最小值为6 D．若，，则平面DPM截该直棱柱所得截面周长为 26.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，P为的中点，点满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则四面体的体积为定值 B．若，则点的轨迹为一段圆弧 C．若的外心为O，则为定值2 D．若且，则存在点E在线段上，使得的最小值为 27.已知正四棱柱的底面边长为1，，点在底面内运动（含边界），点满足，则（    ） A．当时，的最小值为 B．当时，存在点，使为直角 C．当时，满足的点的轨迹平行平面 D．当时，满足的点的轨迹围成的区域的面积为 28.如图，在正四棱柱中，，E，F，N分别是棱，，的中点，P是上一点，Q在平面内，则（    ） A．平面 B．直线与是异面直线 C．当取得最小值时，的最小值为 D．直线与平面的交点是的外心 29.如图，在直三棱柱中，，分别是棱，上的动点，，，则下列说法正确的是（   ） A．直三棱柱的体积为 B．直三棱柱外接球的表面积为 C．若，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 D．取得最小值时， 30.已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，则下列说法正确的是（   ） A．三棱柱的体积为4 B．以为球心，体积为的球面与侧面的交线的长度为 C．若，分别为，的中点，点在平面上，则的最小值为 D．若空间中的一点满足，则的最小值为 31.如图，正三棱柱的所有棱长均为4，点在棱上运动，点在四边形内（包括边界）运动，则下列结论正确的是（    ）    A．三棱锥的体积为 B．若为的中点，则到平面的距离为 C．的周长的最小值为 D．若，则点的轨迹的长度为 32.如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱底面，三棱锥的体积为，底面和的中心分别是和是的中点，过点的平面分别交于点F、N、M，且平面是线段MN上任意一点（含端点），是线段上任意一点（含端点），则下列说法正确的是（） A．侧棱的长为 B．四棱柱的外接球的表面积是 C．当时，平面截四棱柱的截面是五边形 D．当和变化时，的最小值为5 33.已知一个各棱长均为4（单位：）的正三棱柱容器（容器壁厚度忽略不计），则（    ） A．能够将直径为2的球体放入该容器 B．能够将棱长为3.9的正四面体放入该容器 C．能够将棱长为1.6的正八面体放入该容器 D．若点P为线段的中点，则沿该容器的表面从点A到达点P路程的最小值超过5.6 34.在三棱锥中，平面，，，为内的一个动点（包括边界），与平面所成的角为，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．有且仅有一个点，使得 D．所有满足条件的线段形成的曲面面积为 35.如图，已知菱形的边长为2，，将沿翻折为三棱锥，点为翻折过程中点的位置，则下列结论正确的是（    ） A．无论点在何位置，总有 B．点存在两个位置，使得成立 C．当时，边旋转所形成的曲面的面积为 D．当时，为上一点，则的最小值为 36.四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则（    ） A．不存在点，使得 B．的最小值为 C．四棱锥的外接球表面积为 D．点到直线的距离的最小值为 37.已知四棱台的底面为正方形，棱底面，且，则下列说法正确的是（    ） A．直线与平面相交 B．若直线与平面交于点，则为线段的中点 C．平面将该四棱台分成的大､小两部分体积之比为 D．若点分别在直线上运动，则线段长度的最小值为 38.如图.直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中点，是棱上一动点（不包含端点），则（    ） A．与平面有可能平行 B．与平面有可能平行 C．三角形周长的最小值为 D．三棱锥的体积为定值 39.已知正方体的棱长为1，为线段上任意一点，下列说法正确的是（    ） A． B．动点到线段的距离可以是 C．是中点时，直线与平面所成的角的正弦值是 D．三棱锥体积最大时，若点满足，其中，则的最小值是 三、填空题 1.在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，分别是线段上的动点，则的最小值为 . 2.在棱长为1的正方体中，，分别为线段和上的动点，且，则的最小值为 . 3.如图，在长方体中，，，M，N分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AMN，则取最小值时，三棱锥的体积为 ． 4.已知直三棱柱，底面三角形是等腰直角三角形，其中为直角顶点，且．若点为棱的中点，点为平面的一动点，则的最小值是 ． 5.如图，正方体的棱长为2，点M为侧面内的动点，，点N在对角线上且，则MN的最小值为 ． 6.如图，正方形和正方形所在的平面互相垂直. 为中点，为正方形内一点（包括边界），且满足，为正方形内一点（包括边界），设，给出下列四个结论： ①，使； ②，使； ③点到的最小值为； ④四棱锥体积的最大值为. 其中正确结论的序号是 . 7.已知正方体的棱长为1，点M，N分别在线段上运动，若与底面所成角为，则线段长度的最小值为 ． 8.如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为 ，动点满足，且，则的最小值为    9.已知正方体的体积为8，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为 . 10.如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为 ． 11.在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则的周长的最小值为 . 12.在长方体中，，分别在对角线上取点，使得直线平面，则线段长的最小值为 ． 13.如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为 . 14.如图，在三棱锥中，平面，，，为线段的中点，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为 ． 15.一种糖果的包装纸由一个边长为3的正方形和两个等腰直角三角形组成（如图1），沿，将这两个三角形折起到与平面垂直（如图2），连接，，，，若点满足且，则的最小值为 ． 16.如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，则直线和夹角的余弦值为 ．若分别是上的动点，且，则的最小值是 ． 17.如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为 .    18.已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为 ． 19.正方体的棱长为2，点M在线段上，且，动点P在正方形内运动（含边界），若，则当取得最小值时，三棱锥外接球的表面积为 20.三棱锥中，，，，，点M，N分别在线段，上运动.若二面角的大小为，则的最小值为 . 21.已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为 ． 22.如图，在直三棱柱中，，若为空间一动点，且，则满足条件的所有点围成的几何体的体积为 ；若动点在侧面内运动，且，则线段长的最小值为 ．    23.如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .    ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 空间线段以及线段之和最值专题 目 录 高考分析 1 学习目标 3 解题策略 5 一、单选题 7 二、多选题 25 三、填空题 95 空间线段及线段之和最值问题是高考立体几何的压轴热点，多以选择题、填空题（分值5分）形式出现，偶尔融入解答题最后一问，融合空间几何、平面几何、函数最值等知识，侧重考查直观想象、转化与化归思想，以下从命题特点、核心考点、考查趋势三方面展开分析： 一、命题特点 1. 载体特征： ◦ 以规则几何体（正方体、长方体、直棱柱、圆锥/圆柱、正四面体）为主要背景，如“正方体表面上两点间的最短路径”“圆柱侧面上动点到定点的线段最值”“正四面体中异面直线上两点间线段的最小值”； ◦ 常结合动点约束条件命题，约束条件多为：① 动点在几何体表面/棱/面上运动；② 动点满足线面平行/垂直等位置关系；③ 线段之和（如PA+PB）的最值。 2. 题型分类： ◦ 表面最短路径问题：动点在几何体表面（多面体/旋转体）运动，求两点间线段的最小值（核心为“展开成平面”）； ◦ 异面直线上线段最值问题：动点分别在两条异面直线上，求两点间线段的最小值（核心为“公垂线段”）； ◦ 线段之和最值问题：动点在某轨迹上运动，求到两个定点的线段之和（PA+PB）的最值（核心为“对称转化”）； ◦ 空间线段长度最值问题：动点满足某约束（如到定平面距离为定值），求动点到定点的线段长度的最值（核心为“函数建模”）。 3. 解法倾向： ◦ 核心思路是“空间问题平面化”“几何问题代数化”——通过展开、对称、建系等手段，将空间最值转化为平面几何最值（如两点之间线段最短、三角形三边关系）或函数最值（如二次函数、三角函数最值）； ◦ 优先用几何转化法（展开、对称），复杂情况用坐标法（建立空间直角坐标系，构建函数求解）。 二、核心考点 1. 表面最短路径转化能力： ◦ 掌握多面体（正方体、长方体）表面展开的方法，将表面路径转化为平面内的直线段； ◦ 掌握旋转体（圆柱、圆锥）侧面展开的特征（圆柱展开为矩形、圆锥展开为扇形），利用平面几何计算最短路径。 2. 对称转化思想应用： ◦ 对于线段之和（PA+PB）的最值，能通过作定点关于动点轨迹的对称点，将折线转化为直线段（利用“两点之间线段最短”）； ◦ 如正方体中，动点P在棱AB上，求PC+PD的最小值，作C关于AB的对称点C'，则PC+PD的最小值为C'D的长度。 3. 公垂线段与异面直线距离： ◦ 理解异面直线上两点间线段的最小值为异面直线的公垂线段长度，能通过几何法或坐标法求公垂线段； ◦ 掌握异面直线距离的计算方法（向量法：利用两直线方向向量与连接向量的混合积）。 4. 函数建模与最值求解： ◦ 能建立空间直角坐标系，用参数表示动点坐标（如设λ为参数），将线段长度表示为关于参数的函数（如二次函数、三角函数），再求函数最值； ◦ 能结合参数的取值范围（如λ∈[0,1]）确定最值（避免超出几何体边界）。 三、考查趋势 1. 综合化加深： ◦ 从单一动点约束转向复合约束（如“动点在截面内且到定直线距离为定值”），如“正方体中动点P在截面内运动，求PA+PB的最小值”； ◦ 融合折叠、轨迹问题，如“折叠后的几何体中，表面动点的最短路径”“轨迹上动点的线段之和最值”。 2. 动态化与创新化： ◦ 从静态几何体转向动态变化（如“圆锥的高变化时，侧面上最短路径的最值变化”）； ◦ 结合实际背景命题，如“无人机在仓储空间（长方体）内飞行的最短路径”“卫星绕圆柱体型建筑的最近距离”。 3. 对数学思想要求更高： ◦ 侧重考查转化与化归思想（空间→平面、折线→直线）、数形结合思想（函数图像与几何最值的对应）、分类讨论思想（动点在几何体不同表面的情况）； ◦ 减少对固定公式的依赖，更强调灵活转化能力。 四、高考评分关键点 1. 表面最短路径问题中，需明确写出“将几何体表面展开为平面”的具体方式（如“将正方体的面ABB₁A₁与面BCC₁B₁展开为同一平面”），未说明展开方式会扣分； 2. 对称转化法求解线段之和最值时，需证明对称点的合理性（如“点C'为C关于AB的对称点，故PC=PC'”），缺失证明会扣分； 3. 函数建模求解最值时，需标注参数的取值范围（如λ∈[0,1]），并验证最值点是否在范围内，遗漏会导致结果错误。 结合高考对空间线段及线段之和最值问题的考查要求，从基础认知、能力突破、综合应用三个维度制定学习目标，覆盖“转化方法、计算能力、思想应用”全环节： 一、基础认知目标 1. 掌握核心转化原理： ◦ 明确“空间问题平面化”的核心逻辑（表面最短路径依赖几何体展开、线段之和最值依赖对称转化）； ◦ 熟记关键概念：异面直线的公垂线段（异面直线上线段的最小值）、几何体表面展开图特征（正方体展开为矩形、圆锥展开为扇形）、对称点的性质（对称轴上的点到对称点距离相等）。 2. 夯实公式与定理基础： ◦ 掌握空间两点间距离公式： ◦ 理解异面直线距离的向量计算方法（混合积公式）； ◦ 熟记二次函数、三角函数的最值求解方法（配方法、有界性）。 3. 识别常见题型特征： ◦ 能区分表面最短路径、异面直线线段最值、线段之和最值三类题型的核心约束条件； ◦ 明确不同几何体（正方体、圆柱、正四面体）对应的最值问题解法差异。 二、能力突破目标 1. 空间到平面的转化能力： ◦ 表面最短路径：能根据动点位置选择最优展开方式（如正方体展开相邻面、圆柱沿母线展开），将空间路径转化为平面直线段并计算长度； ◦ 线段之和最值：能通过作定点关于动点轨迹的对称点，将折线PA+PB转化为直线段A'B（A'为A的对称点），利用“两点之间线段最短”求解最值； ◦ 异面直线线段最值：能找到或计算异面直线的公垂线段长度，确定线段最小值。 2. 函数建模与计算能力： ◦ 能建立空间直角坐标系，用参数（如λ）表示动点坐标，将线段长度转化为关于参数的函数（二次函数、三角函数）； ◦ 能结合参数的取值范围（如λ∈[0,1]）求解函数最值，验证最值点是否在几何体边界内。 3. 规范解题能力： ◦ 表面最短路径问题：书写时明确展开方式（如“将圆柱侧面沿母线MN展开为矩形”），标注展开后两点的位置； ◦ 对称转化问题：说明对称点的构造依据（如“作点A关于棱BC的对称点A'，由对称性质知PA=PA'”）； ◦ 函数建模问题：清晰写出参数设定、函数表达式及取值范围，避免关键步骤缺失。 三、综合应用目标 1. 跨题型融合解题能力： ◦ 能处理复合约束的最值问题（如“动点在截面内运动的线段之和最值”“折叠后几何体的表面最短路径”）； ◦ 能结合轨迹问题求解最值（如“轨迹上动点到定点的线段长度最大值”）。 2. 易错点规避能力： ◦ 避免“展开方式错误”（如正方体展开时选错相邻面，导致路径非最短）； ◦ 避免“对称点构造错误”（如对称轴选择不当，无法转化为直线段）； ◦ 避免“参数范围遗漏”（如求函数最值时忽略动点在几何体上的边界限制）。 3. 数学思想应用能力： ◦ 熟练运用转化与化归思想（空间→平面、折线→直线、几何→代数）； ◦ 运用数形结合思想，通过几何图形直观预判最值位置，再用代数方法验证； ◦ 运用分类讨论思想，分析动点在几何体不同表面/棱上的最值差异。 空间线段及线段之和最值问题的核心解题逻辑是“转化与化归”——将空间问题转化为平面问题，将折线问题转化为直线问题，将几何问题转化为函数问题，以下分题型梳理具体策略： 一、题型1：几何体表面最短路径问题 核心思路：展开表面为平面，利用“两点之间线段最短”求解 1. 多面体（正方体/长方体/正四面体）表面最短路径 • 步骤： ① 确定动点的起点和终点所在的面，将这两个面（及相关面）展开为同一平面（优先选择展开后两点连线不跨越多余面的方式）； ② 在展开后的平面中连接起点和终点，得到直线段，即为最短路径； ③ 利用勾股定理/余弦定理计算线段长度（展开后平面为矩形用勾股定理，为三角形用余弦定理）。 2. 旋转体（圆柱/圆锥）侧面最短路径 • 圆柱侧面： ① 沿母线展开为矩形（矩形长=圆柱底面周长2πr，宽=圆柱高h）； ② 展开后起点和终点对应矩形中的两点，连接成直线段，用勾股定理计算长度（如底面圆周上A到上底面圆周上B的最短路径=√((πr)²+h²)，r为底面半径）。 • 圆锥侧面： ① 沿母线展开为扇形（扇形弧长=圆锥底面周长2πr，半径=圆锥母线长L，圆心角θ=2πr/L）； ② 展开后起点和终点为扇形上两点，用余弦定理计算线段长度。 易错点： • 展开时遗漏部分面，导致路径不是最短； • 圆锥侧面展开后误将底面圆周上两点的圆心角当作原圆锥的圆心角（需用弧长公式换算）。 二、题型2：异面直线上两点间线段最值问题 核心思路：最小值为异面直线的公垂线段长度，无最大值（两点无限远离时线段无限长） 1. 几何法（找公垂线段） • 步骤： ① 过其中一条直线作与另一条直线平行的平面； ② 求另一条直线到该平面的距离，即为公垂线段长度（异面直线间的距离）； ③ 公垂线段的两个端点即为异面直线上距离最短的点。 • 适用场景：异面直线位置关系直观（如正方体中面对角线与体对角线）。 2. 向量法（计算公垂线段长度） 三、题型3：线段之和（PA+PB）最值问题 核心思路：对称转化，将折线PA+PB转化为直线段A'P+PB（A'为A的对称点），利用“两点之间线段最短” 1. 动点在直线/棱上运动（如正方体棱AB上的动点P） • 步骤： ① 作定点A关于动点轨迹（棱AB）的对称点A'； ② 连接A'B，与轨迹（棱AB）的交点即为使PA+PB最小的点P； ③ A'B的长度即为PA+PB的最小值（若A'B与轨迹无交点，则最小值在轨迹端点处）。 2. 动点在平面/曲面上运动（如正方体面ABCD上的动点P） • 步骤： ① 作定点A关于动点所在平面/曲面的对称点A'； ② 连接A'B，若A'B与平面/曲面有交点P，则A'B长度为PA+PB的最小值；若无交点，最小值在平面/曲面边界处。 • 技巧：若动点在平面上，可通过空间直角坐标系计算对称点坐标，再求直线与平面的交点。 易错点： • 对称点构造错误（如对称轴/对称平面选择不当）； • 忽略动点轨迹的边界限制（如A'B与轨迹无交点时，需比较端点处的线段和）。 四、题型4：单一线段（PA）的最值问题（P为动点，A为定点） 核心思路：建立函数模型，将PA长度表示为参数的函数，求函数最值 步骤： 1 建立空间直角坐标系，用参数λ（λ∈[0,1]）表示动点P的坐标 ② 用距离公式表示PA的长度：，整理为关于λ的函数f(λ) ③ 结合λ的取值范围（[0,1]），求函数f(λ)的最值（二次函数用配方法，三角函数用有界性）。 五、通用解题技巧 1. 优先几何转化：能通过展开、对称解决的问题，避免复杂的坐标计算； 2. 验证边界条件：所有最值问题都需验证动点在几何体边界处的取值，避免遗漏； 3. 数形结合辅助：画出几何体直观图（或展开图），标注动点、定点位置，直观预判最值位置； 4. 分类讨论：若动点可能在多个面/棱上运动，需分类计算各区域的最值，再综合比较。 一、单选题 1.在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，且，， ∴，，又， ∴，即． ∵， ∴， 当且仅当时等号成立. 故选：B 2.长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图： 根据题意，截面是边长为的正方形，为的中点. 点在上，在线段上取点，使得. 根据正方形的对称性，则，所以， 表示点沿着折线到直线的距离. 取的中点，则，根据垂线段最短可得：. 所以的最小值为. 故选：A 3.如图，已知正方体的棱长为为底面正方形内（含边界）的一动点，则下列结论中:①若点为的中点，则的最小值为；②过点作与和都成的直线，可以作四条；③若点为的中点时，过点作与直线垂直的平面，则平面截正方体的截面周长为；④若点到直线与到直线的距离相等，的中点为，则点到直线的最短距离是.其中正确的命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【解析】在棱长为的正方体中， 延长到，使，由点为的中点，得平面是线段的中垂面，连接， 则，, 当且仅当点为直线与平面的交点时取等号，①正确； 连接，四边形是正方体的对角面，则四边形是矩形，即， 显然，则，的平分线与直线都成的角， 显然在空间过点作与直线都成角的直线只有1条， 则过空间任意点作与直线都成角的直线只有1条，②错误； 当点为的中点时，取的中点，连接， 显然≌，则，， 即有，而平面，平面，则， 又平面，于是平面，而平面， 因此，同理，显然平面， 所以是平面截正方体所得截面，其周长为，③错误； 由于平面，则点到直线距离等于，即点到点的距离等于它到直线的距离， 因此点轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线在正方形及内部， 以线段中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 点轨迹方程为，直线的方程为，令， 因此点到直线：的距离， 于是当，即点时，，④正确， 所以正确命题的个数为2.故选：C 4.正方体的棱长为2，是棱上的一个动点（含端点），则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】由正方体的性质可得为等边三角形，边长为， 为等腰直角三角形，其直角边长为， 将下图中绕翻折至与共平面， 因为，，所以，，共线时， 最小，此时为中点，则最小值为． 故选：C 5，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别是棱，AB，BC的中点，P是底面ABCD内（包括边界）的动点，平面EFG，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接， 因为E，F，G分别是棱，AB，BC的中点， 所以，∥， 因为，∥， 所以，∥， 所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面，平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，所以平面∥平面， 所以点在上移动时，平而EFG， 所以当时，取得最小值， 因为为等边三角形， 所以当为的中点时，， 因为正方体的核长为2， 所以， 所以， 所以的最小值为， 故选：C 6.已知底面边长为2的正四棱锥O-ABCD的侧棱长为，E，F分别为AB，BC的中点，点P，Q在底面ABCD内，且Q在线段DE上，过顶点O平行于底面ABCD的平面为，F在平面内的射影为，长度为，则PQ长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得正四棱锥的高为2， 故可将正四棱锥放置在棱长为2的正方体中， 如图所示，易得线段的中点即为点，连接，则， 进而，， 所以在平面内，点的轨迹是以为圆心､以1为半径的圆， 作，垂足为.， ，所以， 所以长度的最小值为. 故选：D. 7.如图，在长方体中，，点M在平面上，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意问题转化为求点B到平面ACD1的距离， 因为 所以，， 所以边上的高， 故三角形ACD1的面积为， 又三棱锥的体积， 所以，故选: D 8.如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段和MN上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过点作，交于点，交于点， 过点作，交于点，连接， 取中点，连接， 根据题意，因为， 所以当三点共线，且时， ，且有最小值，如图所示， 在中，，， 所以， 在中，， 所以， 在中，， 所以， 所以的最小值为， 故选：A. 9.已知直四棱柱的底面为矩形，，且该棱柱外接球的表面积为，为线段上一点．则当该四棱柱的体积取最大值时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设外接球O的半径为R，则球O的表面积，所以， 设矩形的长和宽分别为x和y， 则，所以， ，当且仅当时取等号， 即底面为边长为2的正方形时，四棱柱的体积最大. 则有， 将平面沿展开，与处于同一平面， 则， 即平面图形中三点共线时，有最小值.故选：D 10.已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设四棱锥的内切球的半径为r，取的中点为H，的中点为N，连接，，， 球O为四棱锥的内切球， 底面为矩形，侧面为正三角形且垂直于底面， 则平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆， 此圆为的内切圆，半径为r，与，分别相切于点E，F， 平面平面，交线为，平面， 为正三角形，有，平面， 平面，， ，，则有，，， 则中，，解得. 所以，四棱锥内切球半径为1，连接. 平面，平面，， 又，平面，， 平面，平面，可得， 所以内切球表面上一点M到直线的距离的最小值即为线段的长减去球的半径， 又. 所以四棱锥内切球表面上的一点M到直线的距离的最小值为. 故选：B. 11.以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成的二面角.若，，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得，所以是和折成的二面角的平面角， 所以，又，所以， ，所以， 因为，其中，所以点M在平面内， 则的最小值为点D到平面的距离，设点D到平面的距离为h， 因为，，平面，平面， 所以平面，所以是点到平面的距离， 所以， 又中，，所以， 所以，则， 所以，解得，所以的最小值为， 故选：D. 12.已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，且平面为的中点，为平面内一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【解析】 平面平面平面平面. 如图，设点关于平面对称的点为，连接，， 则四边形为平行四边形且. 连接（当且仅当三点共线时取等号）. 取的中点，连接， 则平面平面. 在中，由余弦定理，得， ，的最小值为.故选：A. 13.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E为BC的中点，M为PE上的动点，N为平面APD内的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图1，取AD的中点F，连接EF，PF，过点M作PF的垂线，垂足为H.由，，四边形ABCD为矩形，可得，由平面平面ABCD，可得平面PAD.在中，由，，可得.由平面PAD，可得平面PAD，可得.将和所在平面折叠在一个平面内，过点B作PF的垂线，垂足为T，如图2所示，易知.记，由，，可得，，，，，可得，，，则，故的最小值为. 故选：. 14.如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】D 【解析】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积为：，故A错误； 对于B，当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为，故B错误； 对于C，因为为等腰三角形，，又，所以， 当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值， 又因为与不重合，则，又，可得，故C错误； 对于D，由，得，又， 则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 则为等边三角形，，如图可知， 因为， ， 则，故D正确；故选：D. 15.已知高为的正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（    ） A．平面与平面的夹角为 B．球的体积为 C．的最小值为 D．与平面所成角度数的最大值为 【答案】D 【解析】 对于：取中点为，连接，则， 所以平面与平面的夹角为， 因为，所以，， 又高为，所以， 所以，即平面与平面的夹角为.故错误； 对于：，所以点到各个顶点的距离都为， 所以点即为正四棱台的外接球的球心， 所以球的半径为，所以球的体积为，故错误； 对于：易得平面，且平面， 所以平面平面， 连接，交于点，连接，则四边形为菱形， 所以，，又平面， 平面平面， 所以平面，连接， 因为平面，所以， 所以，所以， 当且仅当点与重合时等号成立，故错误； 对于：因为平面，垂足为， 平面，所以为直线到平面的距离， 所以点到平面的距离为， 设直线与平面所成角为，则， 因为，所以， 当且仅当点与重合时等号成立， 所以与平面所成角度数的最大值为，故正确. 故选： 16.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（    ） ①异面直线与所成的角为45°； ②此八面体的外接球与内切球的体积之比为； ③若点为棱上的动点，则的最小值为； ④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】对①：连接，取中点，连接、， 由题意可得、为同一直线，、、、四点共面， 又，故四边形为菱形， 故，故异面直线与所成的角等于直线与所成的角， 即异面直线与所成的角等于，故①错误； 对②：由四边形为正方形，有， 故四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等， 即此八面体的外接球球心为，半径为， 设此八面体的内切球半径为， 则有，化简得， 则此八面体的外接球与内切球的体积之比为，故②正确； 对③：将延折叠至平面中，如图所示： 则在新的平面中，、、三点共线时，有最小值， 则，故③错误. 对于④，设三角形的内切圆半径为，则由等面积法，有， 解得， 由②可知，点到平面的距离为， 所以， 这表明当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动， 它的周长是， 根据对称性可知动点的轨迹长度为，故④正确. 正确的编号有②④.故选：B. 17.半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将该半正多面体展开为平面，且在线段两侧（两线段在两点之间），如下图所示，   由半正多面体中，棱长为2，得，， 且，故， 所以，当且仅当在展开图中共线时等号成立. 故选：D. 2、 多选题 1.在长方体中，为的中点，点满足，则（    ） A．若为的中点，则三棱锥体积为定值 B．存在点使得 C．当时，平面截长方体所得截面的面积为 D．若为长方体外接球上一点，，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A：因为为的中点，为的中点，所以，面，面，所以面，故A正确； 则到面的距离为定值，所以体积为定值． 对于B：在平面的投影为， 设在平面的投影为，则在直线上. 则平面，平面，所以， 若，，所以平面， 平面，则， 因为四边形为正方形，所以与不垂直，所以B错． 对于C：平面与平面重合，平面与平面重合， 所以延长会与有交点，因为， 所以延长与交于点，取中点， 则平面截长方体所得截面为矩形，所以面积为．故C正确； 对于D：长方体外接球球心为中点，半径为， 由阿氏球得，在直线上必存在一点，使得， 此时点在延长线上，且满足， 以为原点，建系如图，所以，则， 因为，所以．故D正确. 故选：ACD. 2.在边长为2的正方体中，动点满足，且，下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为 B．当时，异面直线与所成角的余弦值为 C．当，且时，则的轨迹长度为 D．当时，与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】AD 【解析】对于A，在上取点H，使，在上取点K，使， 因为，即，故M点在上， 将平面与平面沿着展开到同一平面内，如图： 连接交于P，此时三点共线，取到最小值即的长， 由于，则， 故， 即此时的最小值为，A正确； 对于B，由于时，则， 此时M为的中点，取的中点为N，连接， 则,故即为异面直线与所成角或其补角， 又,， 故， 而异面直线所成角的范围为， 故异面直线与所成角的余弦值为，B错误； 对于C，当时，可得点M的轨迹在内（包括边界）， 由于平面，平面，故， 又，平面，故平面， 平面，故，同理可证, 平面，故平面， 设与平面交于点P，由于， 为边长为的正三角形，则点A到平面的距离为， 若，则， 即M点落在以P为圆心，为半径的圆上， P点到三遍的距离为， 即M点轨迹是以P为圆心，为半径的圆的一部分，其轨迹长度小于圆的周长，C错误； 对于D，因为平面，平面，故平面， 因为当时，，即M在上， 点M到平面的距离等于点B到平面的距离，设点B到平面的距离为d， 则， 为边长为的正三角形，即， 解得， 又M在上，当M为的中点时，取最小值， 设直线与平面所成角为， 则，即与平面所成角的正弦值的最大值为，D正确， 故选：AD 3.已知棱长为2的正方体中，动点在棱上，记平面截正方体所得的截面图形为，则（    ） A．平面平面 B．不存在点，使得直线平面 C．的最小值为 D．的周长随着线段长度的增大而增大 【答案】ACD 【解析】由于正方体的对角面相互垂直，故正确； 当点与重合时，直线平面，故错误； 将四边形翻折至与四边形共面，则，故C正确； 当时，为，且的周长为． 当时，为四边形，且四边形的周长为． 当时，如图，过点作，易得，所以为四边形， 设，四边形的周长为，则， 所以，令，解得， 所以在上单调递增，所以的周长随着线段长度的增大而增大，故D正确． 故选:ACD． 4.在正方体中，分别为的中点，点满足，则（       ） A．平面 B．三棱锥的体积与点的位置有关 C．的最小值为 D．当时，平面截正方体的截面形状为五边形 【答案】AD 【解析】A选项，以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 则， 所以， 又平面平面， 所以平面，故A正确； B选项，因为在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，因此， 又平面平面，所以平面， 因此棱上的所有点到平面的距离都相等，又是棱上的动点， 所以三棱锥的体积始终为定值，故B错； C选项，，因为， 所以，所以， ， ，当时，有最小值，最小值为，故C错误； D选项，连接，取中点为，当与交点为点时， 平面截正方体截面图形为四边形，如下图1， 此时，此时， 当时，如下图2，截面为五边形，故D正确； 故选∶AD 5.棱长为1的正方体中，点满足，，，则下面结论正确的是：（    ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，直线与平面所成的角不可能为 D．当时，的最小值为 【答案】ABC 【解析】 根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 故， 因为，故，故 对于A，当时，，故， 而，故，故，故A成立. 对于B，因为，故在平面，故到平面的距离为， 而的面积为定值，故为定值，故为定值，故B正确. 对于C，，故，而平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为，则， 因为，故，故，故不可能为，故C错误. 对于D，由C的分析可得且 ，，故， ， 设，，，如下图， 故，故D错误. 6.在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列说法正确的有（   ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得直线与平面所成的角为 C．的最小值为 D．以为球心，为半径的球体积最小时，被正方形截得的弧长是 【答案】BCD 【解析】方法一： 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，, ，则， 对于A，因为为正方体， 所以， 由三垂线定理得，， 因为，平面， 所以平面， 是平面一个法向量， 假设面，则与共线矛盾，假设不成立，A错． 对于B，若存在，与所成角为，则或，或， ，不满足条件， 假设不成立，B对． 对于C， ． 表示与，距离之和， ，，C对． 对于D，， 时最小，，， 设截面小圆的圆心为，半径为，则平面，所以，， 因为， 所以球与面为圆心，为半径的圆弧， 因为， 所以在正方形内轨迹为半圆，弧长，选项D正确； 方法二：对于A，若平面，则，由三垂线定理知为中点，但此时不与垂直，故不存在这样的，A不正确； 对于B，同法一，B正确； 对于C，可将面与面摊平，，C正确． 对于D，球半径最小值为到的距离，，，在面上的射影为， 截面圆半径， 过作分别交，于，，， 球被正方体截得的弧长是半圆弧，长为，D正确， 故选：BCD． 7.如图，正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，点在四边形内，若，则下列结论正确的有（    ）    A． B．// C．点的轨迹长度为 D．的最小值是 【答案】ACD 【解析】 以为原点建立空间直角坐标系，故，，，， 故，， 则，，则，故A正确， 而，，显然与无倍数关系， 则//不成立，故B错误， 设，由两点间距离公式得， 化简得，又，故轨迹长度为，故C正确， 易知点的轨迹是圆，故该轨迹的参数方程为，，(是参数)， 故，由两点间距离公式得 ， 易知当时，取得最小值，此时，故D正确. 故选：ACD 8.已知正方体的棱长为1，点满足，则（    ） A．若，则 B．若，则平面 C．若，则的最小值为 D．若，则与平面的所成角为定值 【答案】ACD 【解析】对于A选项，因为，所以易知点为中点， 如图，连接和，由正方形易知， 因为点是的中点，所以，故A选项正确； 对于B选项，由题意得点在线段上运动， 由正方体的性质可知，所以，，，四点共面， 因为点，所以点平面， 所以平面和平面为同一平面， 所以在平面，故B选项错误； 对于C选项，由题意得扫过的平面为平面， 扫过的平面为平面，所以将这两个平面独立出来展开成同一个平面， 易知当点、、三点共线时最短， 所以，故C选项正确； 对于D选项，由和易知点在以为圆心半径为的圆上运动， 因为平面，所以扫过的图形为圆锥面， 所以，且为圆锥的母线， 因为圆锥的母线与底面的夹角是恒定的， 所以与平面的所成的线面角恒定， 因为，所以，故D选项正确. 故选：ACD. 9.下列有关正方体的说法，正确的有（    ） A．正方体的内切球､棱切球､外接球的半径之比为 B．若正方体的棱长为为正方体侧面上的一个动点，为线段的两个三等分点，则的最小值为 C．若正方体8个顶点到某个平面的距离为公差为1的等差数列，则正方体的棱长为 D．若正方体的棱长为3，点在棱上，且，则三棱锥的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】对于选项A，设正方体边长为，则其内切球､棱切球､外接球半径分别为，故比值为，故A正确； 对于选项B，如图，当共线的时候最小， 在中，， 由余弦定理得， 所以，所以有最小值，故B正确； 对于选项C，因为点到某个平面的距离成等差数列，且公差为1. 不妨设平面为符合题意的平面，过点， 延长分别交平面于点， 则点与平面的距离分别应为， 因为互相平行，所以它们与平面所成角相等， 故由比例关系得. 设正方体的棱长为，则， 用几何方法可解得， 由余弦定理可得， ， 故， 由平面，知为四面体的底面上的高， 所以由，算得点到平面的距离， ， 因为，所以，从而可得， 所以正方体的棱长为，故C错误； 对于选项D，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设三棱锥的外接球球心为， 由得，，解得， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球表面积为，D正确. 故选：ABD. 10.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，点和分别满足，，其中，，则下列结论正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，四棱锥的外接球的表面积是 C．当时，不存在使得 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】 对于A项，如上图所示连接，当时是的中点，易知为的中点， 所以中，， 又平面，平面，所以平面， 因为，则到平面的距离即到平面距离， 显然三棱锥的底面积是定值，且顶点到底面的距离也是定值， 故A正确； 对于B项，如上图所示，连接交于点， 当时，易知四棱锥为正四棱锥，， 可知其外接球球心在直线上， 设，外接球半径为R，则， 解之得，所以其外接球的表面积为，故B正确； 对于C项，如图所示建立空间直角坐标系，当时，P与重合， 易知， 则， 所以，， 则，符合前提条件，故存在使得，故C错误； 对于D项，易知点三点在平面上，如图所示沿着翻折得， E点对应，过作，垂足为P，交于Q， 可知，设，作交于， 易知为的中点且，， 易得，所以， 由梯形中位线可知：， 易知此时，故D正确. 故选：ABD 11.如图，在长方体中，为的中点，分别是直线上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为4 B． C．直线所成角的余弦值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A，由等体积法可得三棱锥的体积为，可知A正确； 对于B，利用长方体性质可得，即B正确； 对于C，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如下图所示： 易知，则； 则 所以直线所成角的余弦值为，即C错误； 对于D，易知，则，， 设，即， 设，则 当与，都垂直时，取得最小值； 即，解得； 可，此时的最小值为，即D正确； 故选：ABD 12.在正方体中，分别为的中点，，点满足，，则（    ） A．平面 B．三棱锥的体积与点的位置有关 C．的最小值为 D．当时，平面截正方体的截面形状为五边形 【答案】AD 【解析】 A选项，以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， ， ， 所以，， 又，平面，平面， 所以平面，故A正确； B选项，因为在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，因此， 又平面，平面，所以平面， 因此棱上的所有点到平面的距离都相等，又是棱上的动点， 所以三棱锥的体积始终为定值，故B错； C选项，，，，因为，，所以， 所以， ， 又， 当时，有最小值，最小值为，故C错误； D选项，连接，取中点为，当与交点为点时，平面截正方体截面图形为四边形，如图1， 此时，，，，此时， 当时，如图2，截面为五边形EBFKL，故D正确； 故选：AD. 13.已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，以下结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，最小值是 C．当时，BP的最大值 D．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 【答案】AB 【解析】以A为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ，， 则，， 当时，，则 故，故，A正确； 对于B，当时，P在上，将平面和平面沿展开成为一个平面， 则展开图中线段AD的长即为的最小值， 由于为等边三角形，边长为，为等腰直角三角形， 故此时P恰为的中点，则， 故，即，最小值是，B正确； 对于C，，， 当时，，即， ，， 则，时取等号， 即BP的最大值，C错误； 对于D，因为平面，为在平面上的射影， 故为与平面所成角，即， 故，故P点轨迹为四边形内以为圆心，1为半径的圆， 则P点轨迹长度为，D错误， 故选：AB 14.如图，已知正方体的棱长为为底面正方形内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．三棱锥的体积为定值 C．当点在棱上时，的最小值为 D．若点到直线与到直线的距离相等，的中点为，则点到直线的最短距离是 【答案】ABD 【解析】对于A选项，如图，连接，， 因为在正方体中，平面，平面， 所以，因为为正方形，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可得， 因为，，平面，所以平面， 所以当点P与A重合时，平面，故A正确； 对于B选项，三棱锥的体积就是三棱锥的体积，而P到上底面的距离是定值， 所以三棱锥的体积是定值，故B正确； 对于C选项，当点P在棱上时，把平面沿旋转， 使得旋转面与平面共面，连接，如图， 此时取得最小值，在中，，， 则，故C错误； 对于D，由点P到直线与到直线的距离相等， 可知P在以为准线，B为焦点的抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，P的轨迹是抛物线，其方程为， 因为CD的中点为E，、， 所以AE的方程:，与AE平行的抛物线的切线方程设为， 联立，可得， 则由，解得，可得切线方程为， 则点P到直线AE的最短距离为，故D正确； 故选：ABD. 15.在棱长为1的正方体中，下列结论正确的有（    ） A．平面 B．点到平面的距离为 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．若为正方体侧面上的一个动点，为线段的两个三等分点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A，因为平面也就是平面与直线有公共点，所以A选项不正确. 对于B，设点到平面的距离为，由得， 由已知易得则是直角三角形， 所以，，解得.故B选项正确 对于C，设点到平面的距离为，易知点所在的直线与平面平行， 则点到平面的距离为定值，因为， 其中也为定值，故C选项正确. 对于D，如图，当共线的时候最小， 在中， 由余弦定理得， 所以，所以有最小值，故D正确. 故选：BCD 16.在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点平面，且与所成角是，则下列正确的选项有（   ） A． B．点的轨迹是双曲线 C．的最小值为4 D．直线与平面所成角的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A项，连接， 在正方体中，， 由且平面，所以平面， 又因为平面，故，故A正确. 对于B项，与所成角是，所以与所成角是， M在以为轴的圆锥的表面上，平面，平面截圆锥的图形为双曲线，故B正确； 对于C项，把往上翻折到与平面共面， 又因为，即往上翻折成，即在四边形中求， 所以可得最小值为，故C不正确； 对于D项，连接，再连接， 在正方体，易得平面， 所以即为直线与平面所成角， 在中， ，当点与点重合时最大，最大值为， 直线与平面所成角的正切的最小值为， 所以直线与平面所成角的最小值为，所以D正确. 故选：ABD 17.已知正方体的棱长为3，在棱上，且满足，动点在内（包括边界）移动，动点在正方体内（包括边界）移动，且，则（   ） A．的最小值为 B．动点在面内运动轨迹的长度为 C．动点的轨迹与动点的轨迹的交线是椭圆的一部分 D．在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4 【答案】BD 【解析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设关于平面的对称点为，则， 所以，解得，所以， 又点，点到平面的距离相等，所以， 所以，解得或（舍去），所以， 所以，故A错误； 因为平面，若动点在平面内时，则， 又，则，可得的轨迹是以为圆心，3为半径的圆弧， 且在四边形的圆弧是圆的， 所以动点在面内运动轨迹的长度为，故B正确； 动点的轨迹是以为轴，为顶点的圆锥在正方体内的部分， 底面半径为， 易得，又平面，平面，所以平面， 又是圆锥的母线，所以平面与圆锥的交线是抛物线的一部分，故C错误； 设正四面体的底面正三角形的中心为， 由正四面体的性质可得平面， 由正弦定理可得， 所以正四面体的高为， 设正四面体的内切球的半径为， 则，所以， 设半径是的球的内接正四面体的边长为，则可将内接正四面体补形成边长为 的正方体， 则，解得， 在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4，故D正确． 故选：BD. 18.在棱长为2的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，的最小值为 D．当，时，若点为四边形（含边界）内一动点，且，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】对于A，如图所示，当时，点的轨迹为线段，连接、，可得，， 所以平面，所以，同理可证得，所以平面，所以，所以选项A正确； 对于B，如图所示，取、的中点、，当时， 点的轨迹为线段，，， 因为平面，所以到平面的距离， 所以三棱锥的体积为定值，所以选项B正确； 对于C，如图所示，当时，点的轨迹为线段，将三角形旋转至平面内， 可知， 由余弦定理可得， 所以选项C错误； 对于D，如图所示，当，时，点为的中点，，， 所以，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以点的轨迹长度为， 所以选项D正确. 故选：ABD. 19.棱长为2的正方体中，分别是的中点，点在线段上，点在底面内部（包含边界）.则下列说法中，正确的是（    ） A．当点在棱上移动时，总存在点，使得成立 B．当点在棱上移动时，存在点和，使得成立 C．三棱锥体积的最大值是 D．的最小值是 【答案】ACD 【解析】建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则有， 设，则， 则， 对于A，若，则， 解得，所以当点为的中点时，满足题意，故A正确； 对于B，若，则，且， ，，故B错误； 对于C，点在棱上时，的面积最大， 此时，，故C正确； 对于D，在平面内作关于的对称点，取中点， 连接,则有，三点共线. 由于平面，平面，则， 故只需三点共线且时，取最小值. 由于平面，这样可使平面， 又平面，从而，此时取最小值， 由，,则， 则，故D正确. 故选：ACD. 20.在棱长为3的正方体中，点M是线段的中点，点F满足 ，其中，则 （   ） A．平面平面 B．对于任意， 三棱锥的体积为定值 C．周长的最小值为 D．当时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】ACD 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 对于选项A：因为，，， 设平面法向量，则， 令，则，可得， 设平面法向量，则， 令，则，可得， 因为，则， 所以平面平面，故A正确； 对于选项B：因为，则， 可知与不垂直，则与平面不平行， 所以当在运动时，到平面的距离不是定值， 且底面的面积为定值，则三棱锥的体积不是定值，故B错误； 对于选项C：因为， 将平面沿旋转至与平面共面， 则，可得， 所以周长的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为正方体的球心，球的半径， 当时，则，可得， ， 设平面法向量为，则， 令，则，可得， 则球心到平面的距离， 设平面截该正方体的外接球所得截面圆的半径为， 则， 所以平面截该正方体的外接球所得截面的面积为，故D正确. 故选：ACD. 21.已知直棱柱的所有棱长均为，，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．若直线与直线所成角为定值，则点轨迹为圆的一部分 C．当时，三棱锥的外接球的体积为 D．记点到直线的距离为，当时，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于选项A：因为， 所以点M在平面内，因为底面为菱形，所以, 又因为直棱柱，所以,又因为平面, 平面，所以平面，又平面， 所以，故A正确； 对于选项C， 当时，点M在体对角线交点处，故点M在与底面垂直 且到底面距离为1，因为,所以的外接圆半径 为，设外接球半径为，球心到平面的距离为h， 则, 即，两式联立得， 故外接球体积为，故C正确； 对于选项D， 当时，则三点共线，即点M在线段上，如图建立空间直角坐标系， 则,, 则， 故,则, 又得，, 故，当且仅当时，，故D正确； 对于选项B，，，， ， 由（1）可知，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则， 设，由于是直线与平面内所有直线中所成角的最小值， 所以，，由， 化简可得，且， 易知点为平面内的一点， 当时，则，此时，点的轨迹为平面内的一条线段； 当时，则，此时，点的轨迹为平面内的一条线段； 当时，化简可得或， 此时，点的轨迹为平面内的两条线段，故B错误. 故选：ACD. 22.如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．点到平面的距离为定值 B．直线与所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．若为线段上的动点，且平面，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】选项A：如图1，由题易知，因为平面，平面， 所以平面， 所以动点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，A正确. 选项B：直线与所成的角即直线与所成的角， 当为的中点时，所成的角最大，为， 当与（或）重合时，所成的角最小，为， 所以与所成角的取值范围为，B正确. 选项C：将沿直线翻折，使其与平面共面， 记翻折后点对应的点为，连接，如图2， 则，在中，由余弦定理可得： ， 即的最小值为，C错误. 选项D：如图3，过作于点，连接， 则，平面，平面，所以平面， 又平面，，，平面， 所以平面平面，则平面， 又平面，平面平面，所以. 设，则，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，D正确. 故选；ABD 23.如图，棱长为的正方体为底面的中心，为棱的中点，是线段上的动点，为平面内的动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，所以， 所以不平行于平面，故A错误； 又，所以，故B正确； 将绕旋转使与在一个平面内，如图所示： 易求得，， 所以，所以，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 的最小值即为，故C正确； 设关于平面的对称点为， 的中点为，所以， 则，因为，， 所以，， 解得，所以， 所以， 的最小值即为，故D正确. 故选：BCD. 24.如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若平面CEF，则点P的轨迹长度为 B．若，则点P的轨迹长度为 C．若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为 D．若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面截球O所得截面的面积为 【答案】ACD 【解析】如图，取的中点为N，M，连接MN，DN，BD，BM，NE，， 所以，又E，F分别是棱的中点， 所以，所以， 平面CEF，平面CEF， ∴平面CEF， 因为N，E分别是棱的中点，所以，且， 所以四边形CDNE为平行四边形， 所以，又平面CEF，平面CEF， ∴平面CEF， 又，MN，平面BDNM， 所以平面平面CEF， 点P是正方形内的动点，且平面CEF， 所以点P的轨迹为线段MN，由勾股定理得，故A正确； 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，设， ， 所以，所以点P的轨迹为为圆心，半径为1的个圆， 所以点P的轨迹长度为，故B错误： 如图，将平面CEF翻折到与平面共面， 连接PC，与EF交于点Q，此时取到最小值， ∵，且， 所以点Q为EF的中点，所以， 所以， 即的最小值为，故C正确： 如图，连接PF，交于点，连接PE，设三棱锥的外接球的半径为， 若P是棱的中点，则， 所以FP是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心， 过点作平面ABCD的垂线，则三棱锥的外接球的球心O一定在该垂线上， 连接OP，设，则， 连接OC，，所以， 所以，解得， 所以， 点到平面的距离为， 则球心到平面的距离为， 则截面圆的半径为， 所以截面的面积为，故D正确； 故选：ACD． 25.如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，且，，为线段的中点，为线段的中点，点满足（，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则三棱锥的体积为定值 B．若，则有且仅有一个点P，使得 C．若，则的最小值为6 D．若，，则平面DPM截该直棱柱所得截面周长为 【答案】ACD 【解析】对于选项：当时，，故点在上运动， 而平面， 所以三棱锥的体积为定值. 故正确； 对于选项：当时，取中点记为，连接，易得点在上运动， 当点与点重合时，因为底面为菱形，且， 所以，又因为为中点，所以， 又，所以，又由已知此棱柱为直棱柱，所以面. 则，所以， 又，所以，即 所以，即. 当点与点重合时，因为， 又，所以，则，即， 所以，即. 故错误； 对于选项：当时，取中点记为，取中点记为， 连接， 则点在线段上运动，易得点关于直线的对称点为， 连接，此时点、、三点共线， 故点与点重合时，取得最小值为， 故正确； 对于选项：当，时，为的中点， 因为由直棱柱性质可知，面面，面面， 则平面截该直棱柱交于，交于. 且由定理可得 ，所以易得与相似，与相似， 易知，， 所以，， ， ， 易得平面截该直棱柱所得截面周长为， 故正确. 故选：ACD 26.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，P为的中点，点满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则四面体的体积为定值 B．若，则点的轨迹为一段圆弧 C．若的外心为O，则为定值2 D．若且，则存在点E在线段上，使得的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A，如图，取靠近的三等分点为，靠近的三等分点为， 连接， 因为，所以， 令，而， 则，得到， 因为靠近的三等分点为，靠近的三等分点为，所以， 而由直四棱柱性质得， 而，由勾股定理得， 在直四棱柱中，，， 得到四边形是平行四边形，故， 则，由题意得为的中点，则的面积是定值， 而面，面，所以面， 结合，由线面平行性质得到面的距离为定值， 即四面体的体积为定值，故A正确， 对于B，如图，在面中，过作，连接， 由直四棱柱性质得面，则， 而，面， 故面，则， 而面为菱形，则面为菱形， 因为，所以， 因为，所以，则， 由锐角三角函数定义得，解得，由勾股定理得， 因为，所以由勾股定理得， 则在以为圆心，为半径的圆上运动， 设该圆与交于，与交于， 由三角函数定义得，则， 即点的轨迹为一段圆弧，故B正确， 对于C，如图，作，由题意得的外心为，故是的中点， 由已知得，因为，所以， 而， ，故C错误， 对于D，若且，此时， 因为P为的中点，所以， 由向量加法法则得，故， 则点与点重合，此时把沿着翻折， 如图，使得四点共面，此时有最小值， 此时的点均为翻折过的点，因为P为的中点，所以， 由勾股定理得，如图，连接， 由已知得，则， 由余弦定理得，解得， 由直四棱柱性质得面，则， 则由勾股定理得， 则，故， 而，则，得到， 由余弦定理得，解得，故D正确. 故选：ABD 27.已知正四棱柱的底面边长为1，，点在底面内运动（含边界），点满足，则（    ） A．当时，的最小值为 B．当时，存在点，使为直角 C．当时，满足的点的轨迹平行平面 D．当时，满足的点的轨迹围成的区域的面积为 【答案】ACD 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则点关于平面的对称点为，连接， 与平面的交点即为使得取最小值的点， 此时，A正确； B选项，当时，， 设，则，，， 令，即， 故，则需满足， 不合要求，故不存在点，使为直角，B错误； C选项，当时，， 设，则， ， 在平面中画出点的轨迹，如图所示， 其轨迹为线段，其中分别为的中点， 其中， 又平面，平面， 故平面， 当时，满足的点的轨迹平行平面，C正确； D选项，当时，， 设，则， 则， 即， 故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，刚好与正方形相切， 故面积为， 当时，满足的点的轨迹围成的区域的面积为，D正确. 故选：ACD 28.如图，在正四棱柱中，，E，F，N分别是棱，，的中点，P是上一点，Q在平面内，则（    ） A．平面 B．直线与是异面直线 C．当取得最小值时，的最小值为 D．直线与平面的交点是的外心 【答案】ACD 【解析】由题意得，以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 对于选项A，由题意可知，， ，，, 则，，， 可得，， 即，，且，平面， 所以平面，故A正确； 对于选项 B：连接， 因为，，，， 则，，所以， 由图可知，不共线，所以，则四点共面， 所以直线与是共面直线，故B错误； 对于选项C：设， 且，则， 若取得最小值，则， 可得，解得， 所以，， 且，即， 若取到最小值，即取到最小值，即为点到平面的距离， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：设直线与平面的交点为， 由正方体的性质知，， 则四面体为正四面体， 又因为平面，则为正三角形的中心， 即为正三角形的外心，故D正确. 故选：ACD. 29.如图，在直三棱柱中，，分别是棱，上的动点，，，则下列说法正确的是（   ） A．直三棱柱的体积为 B．直三棱柱外接球的表面积为 C．若，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 D．取得最小值时， 【答案】BCD 【解析】对于A，由，，得直三棱柱为正三棱柱， 则，A错误； 对于B，令和外接圆的圆心分别为和，连接，的中点为，连接， 则，为直三棱柱的外接球半径， 且，该球的表面积为，B正确； 对于C，取的中点，连接，由是棱的中点， 得，则四边形为平行四边形，，同理， 即异面直线与所成角或其补角，， 连接，则，， 因此异面直线与所成角的余弦值为，C正确； 对于D，将直三棱柱的侧面展开得到平面展开图，连接，分别交于点， 于是的最小值为，由，得，D正确． 故选：BCD 30.已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，则下列说法正确的是（   ） A．三棱柱的体积为4 B．以为球心，体积为的球面与侧面的交线的长度为 C．若，分别为，的中点，点在平面上，则的最小值为 D．若空间中的一点满足，则的最小值为 【答案】AD 【解析】对于A，由直三棱柱的底面为等腰直角三角形，， 所以，所以，故A正确； 对于B，设体积为的球的半径为，所以，解得， 取中点，由，所以，， 由直三棱柱的性质可得平面， 设为球面与侧面的交线上的任一点，所以， 所以，所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又点在侧面内，故体积为的球面与侧面的交线的长度为，故B错误； 对于C，取关于平面的对称点，连接交于线段的中点， 又点在平面上，故点为线段的中点时， 的最小值为， 此时的最小值为， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，点满足， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆绕长轴旋转形成的椭球面，且， 所以， 又，所以在椭圆的短轴所在直线上，又， 所以到椭圆的中心的距离为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：AD. 31.如图，正三棱柱的所有棱长均为4，点在棱上运动，点在四边形内（包括边界）运动，则下列结论正确的是（    ）    A．三棱锥的体积为 B．若为的中点，则到平面的距离为 C．的周长的最小值为 D．若，则点的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】正三棱柱的所有棱长均为4， 对于A，点到平面的距离即为正边上的高， 则，A正确； 对于B，在中，，由为的中点，得， 的面积为，由选项A得三棱锥的体积为， 设点到平面的距离为，则，解得，B错误； 对于C，将正三棱柱的侧面和侧面沿展开到一个平面内， 当且仅当三点共线时，取得最小值，， 又，因此的周长的最小值为，C正确； 对于D，取的中点，连接，由三棱柱是正三棱柱，得侧面， ，连接，由，得， 因此点的轨迹是以为圆心，2为半径的半圆弧，点的轨迹的长度为，D正确. 故选：ACD 32.如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱底面，三棱锥的体积为，底面和的中心分别是和是的中点，过点的平面分别交于点F、N、M，且平面是线段MN上任意一点（含端点），是线段上任意一点（含端点），则下列说法正确的是（） A．侧棱的长为 B．四棱柱的外接球的表面积是 C．当时，平面截四棱柱的截面是五边形 D．当和变化时，的最小值为5 【答案】ACD 【解析】对于选项A，因为三棱锥的体积是，解得，故选项A正确； 对于选项B，外接球的半径满足，故外接球的表面积，故选项B错误； 对于选项C，如图，延长交的延长线于点，连接交于点，在平面内作交于，连接, 在四棱柱中，易知,因为平面，所以平面， 因为平面,平面平面, 所以,因为平面经过的中点, 所以分别为的中点， 所以，此时， 所以平面截四棱柱的截面是五边形，故选项C正确； 对于选项D，由C选项可知， 又因为四边形是正方形，，所以， 因为侧棱底面底面，所以， 又,所以平面，垂足是， 故对任意的都有， 又因为，故，故选项D正确， 故选：ACD. 33.已知一个各棱长均为4（单位：）的正三棱柱容器（容器壁厚度忽略不计），则（    ） A．能够将直径为2的球体放入该容器 B．能够将棱长为3.9的正四面体放入该容器 C．能够将棱长为1.6的正八面体放入该容器 D．若点P为线段的中点，则沿该容器的表面从点A到达点P路程的最小值超过5.6 【答案】ABC 【解析】对于A，设正三棱柱底面的内切圆半径为r， 则由等面积法得，所以，， 故直径为2dm的球体可以放入该正三棱柱容器，A正确； 对于B，棱长为3.9dm的正四面体其高显然小于其棱长， 故可将该正四面体的底面放置于该容器的底面上，则其顶点在该容器内， 即能够将棱长为3.9dm的正四面体放入该容器，B正确； 对于C，如图1为一个边长为4dm的正， 正方形DEFG的各顶点在的边上， 设正方形的边长为2x，则，，则， 即，解得， 而棱长为1.6dm的正八面体的面对角线长为， 所以能够将棱长为1.6dm的正八面体放入该容器，C正确； 对于D，正三棱柱如图2所示.当按照图3所示展开， 过P作于，可知，， 由勾股定理可得； 当按照图4所示展开，连接AP交BC于点O， 可知，，所以， 因为，故点A到点P的路程最小值，D错误. 故选：ABC. 34.在三棱锥中，平面，，，为内的一个动点（包括边界），与平面所成的角为，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．有且仅有一个点，使得 D．所有满足条件的线段形成的曲面面积为 【答案】ACD 【解析】因为平面，平面，所以， 又，所以， 取的中点，则， 又平面，所以平面， 过作于，因为平面，所以， 又平面，所以平面， 所以为与平面所成的角的平面角， 因为平面，平面，则， 又在中，，则， 所以， 因为，所以，， 所以点轨迹是以为圆心，以为半径的圆在内部的一部分，如图， 所以的最小值为，故正确； 由于轨迹圆部分在平面外部，所以的最大值不等于，故B错误； 因为平面，平面，所以， 若，则点在线段上，有且仅有一个点满足题意，故C正确； 动线段形成的曲面为圆锥侧面积的一部分， 易知三棱锥是正三棱锥，平面，故为等边的中心， 所以， 因为，所以， 因为，所以曲面面积为圆锥侧面面积的， 圆锥侧面积为， 所以所有满足条件的动线段形成的曲面面积为，故D正确. 故选：ACD. 35.如图，已知菱形的边长为2，，将沿翻折为三棱锥，点为翻折过程中点的位置，则下列结论正确的是（    ） A．无论点在何位置，总有 B．点存在两个位置，使得成立 C．当时，边旋转所形成的曲面的面积为 D．当时，为上一点，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 选项A，设菱形对角线的交点为， 如上图所示，无论点在何位置，总有，， 因为，，平面，平面，， 所以平面； 又因为平面，且平面，所以成立，选项A正确； 选项B，点旋转到使得平面平面成立时，取得最大值， 其中， 使得成立，只有平面平面成立时的一个点，选项B错误； 选项C，由于，当时，， 边旋转所形成的曲面是“以为顶点，以为半径的圆锥”的表面的， 其面积为，C正确； 选项D，当时，易得都为正三角形，取最小值时，点为中点， 的最小值为，D不正确； 故选：AC. 36.四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则（    ） A．不存在点，使得 B．的最小值为 C．四棱锥的外接球表面积为 D．点到直线的距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A：连接，且，如图所示，当在中点时， 因为点为的中点，所以，因为平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为为正方形，所以. 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以A错误； 对于B：将和所在的平面沿着展开在一个平面上，如图所示， 则的最小值为，直角斜边上高为，即， 直角斜边上高也为，所以的最小值为，所以B正确； 对于C：易知四棱锥的外接球直径为， 半径，表面积，所以C正确； 对于D：点到直线的距离的最小值即为异面直线与的距离， 因为，且平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，过点作， 因为平面，所以,又,且, 故平面，平面，所以，因为， 且，平面，所以平面，所以点到平面的距离， 即为的长，如图所示， 在中，，，可得， 所以由等面积得，即直线到平面的距离等于，所以D正确， 故选：BCD. 37.已知四棱台的底面为正方形，棱底面，且，则下列说法正确的是（    ） A．直线与平面相交 B．若直线与平面交于点，则为线段的中点 C．平面将该四棱台分成的大､小两部分体积之比为 D．若点分别在直线上运动，则线段长度的最小值为 【答案】ACD 【解析】根据题意，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 对于A，由，可知为平面的一个法向量， 又，所以， 因此与不垂直，即直线与平面相交，故A正确； 对于B，连接、、, 设正方形的中心为，正方形的中心为， 则为中点，为中点，连接，可得平面， 、平面，故与的交点即为点， 由，故，且， 故与相似，故， 故是的一个三等分点，故B错误； 对于C，如图，延长至，使得， 则， 又， 所以， 从而平面分四棱台所成的大､小两部分的体积之比为： ，故C正确； 对于D，设，其中， 因此， 则， 因此，当时取等号， 所以长度的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 38.如图.直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中点，是棱上一动点（不包含端点），则（    ） A．与平面有可能平行 B．与平面有可能平行 C．三角形周长的最小值为 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】对于A，连接，当Q为的中点时，， 因为，∥，∥，， 所以，∥， 所以四边形为平行四边形， 所以与互相平分，设与交于点，连接， 因为P是棱的中点，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面BPQ，故A正确； 对于B，，又平面BPQ，BD与平面BPQ只能相交， 所以与平面BPQ只能相交，故B错； 对于C，，把沿展开与在同一平面（如图）， 则当B，P，Q共线时，有最小值， 在直角梯形中，，，，， 则， 所以， 所以， 所以三角形BPQ周长的最小值为，故C正确； 对于D，，因为定值，因为∥，∥， 所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面ABP，故Q到平面ABP的距离也为定值，所以为定值．所以D正确， 故选：ACD． 39.已知正方体的棱长为1，为线段上任意一点，下列说法正确的是（    ） A． B．动点到线段的距离可以是 C．是中点时，直线与平面所成的角的正弦值是 D．三棱锥体积最大时，若点满足，其中，则的最小值是 【答案】ACD 【解析】如图，以为坐标原点，分别为轴所在直线，建立空间直角坐标系， 则， 设， 对于选项A：因为， 可得，所以，故A正确； 对于选项B：取的中点，则， 可得， 因为，所以， 可知动点到线段的距离， 且，可知当或1时，取得最大值， 即动点到线段的距离不可以是，故B错误； 对于选项C：若是中点时，则， 可得， 可得，可知， 且平面，可知平面，即为平面的法向量， 可得， 所以直线与平面所成的角的正弦值是，故C正确； 对于选项D：由选项C可知：平面， 若三棱锥体积最大时，则点即为点， 若点满足，其中，可知点平面， 则的最小值即为点到平面的距离， 因为，则点到平面的距离为， 所以的最小值是，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 1.在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，分别是线段上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】在棱长为1的正方体中，连接，连接， 由平面，平面，得， 由分别是棱的中点，得，而，则， 又平面，于是平面，又平面， 连接，显然平面，因此，则有， 当且仅当点与重合，即为线段的中点时取等号， 又平面，把展开放置于同一平面内，连接， 于是的最小值，即为线段长， 连接，依题意，，在中，， ，而， ，， 则， 在中，由余弦定理得， 的最小值为. 故答案为： 2.在棱长为1的正方体中，，分别为线段和上的动点，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】依题意，设，则，其中， 作，，连接，，如图所示， 因为平面，所以平面， 又平面，平面，所以，， 同理：，则， 由得，由得， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴当时，取最小值. 故答案为：. 3.如图，在长方体中，，，M，N分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AMN，则取最小值时，三棱锥的体积为 ． 【答案】/ 【解析】取的中点E，的中点F，连接EF，，， 则易得，， 因为平面，平面，故平面， 同理：平面AMN，又平面， 所以平面平面，又平面AMN， 所以平面，即点在平面与平面的交线EF上， 当时，取最小值． 易知，故当取最小值时，P为EF的中点， 此时的面积， 则． 故答案为：. 4.已知直三棱柱，底面三角形是等腰直角三角形，其中为直角顶点，且．若点为棱的中点，点为平面的一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】如图所示： 由题意得，又因为三棱柱是直三棱柱， 所以平面平面，且平面平面， 平面ABC，所以平面， 又平面BCD，所以平面平面， 所以点关于平面BCD对称点E落在的延长线上， 且，即， 若最小，则三点共线， 所以， ， 故答案为： 5.如图，正方体的棱长为2，点M为侧面内的动点，，点N在对角线上且，则MN的最小值为 ． 【答案】 【解析】点M在侧面内的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧． 以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系， 设，则． 因为，所以， 所以， 所以． 当时，最小，最小值为． 故答案为： 6.如图，正方形和正方形所在的平面互相垂直. 为中点，为正方形内一点（包括边界），且满足，为正方形内一点（包括边界），设，给出下列四个结论： ①，使； ②，使； ③点到的最小值为； ④四棱锥体积的最大值为. 其中正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【解析】根据题意，正方形和正方形所在的平面互相垂直， 平面平面 ，为正方形内一点， 所以平面，平面，平面， 所以 、 均为直角三角形， 因为， 所以，又因为为中点， , 所以 , 如图，以D为原点， 所在直线分别作 ， 轴，建立平面直角坐标系， 因为，所以，，，设， 由可得 ， 化简可得 ，点 的轨迹为以圆心 半径为的圆的一部分，如图所示， 当 与 重合， 在点 时，此时平面，平面，所以，故①正确； 当 与 重合， 在点 时，最大，即， ， ，所以在 中，， 因为,故不存在，使，故②错误； 设到的距离为，点到的距离最小值为-， 在 中，利用等面积法可得：，即，解得 ， 所以点到的距离最小值为，故③正确； 四边形的面积，， 当 在点 时，四棱锥体积有最大值，，故④正确. 故答案为：①③④ 7.已知正方体的棱长为1，点M，N分别在线段上运动，若与底面所成角为，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【解析】以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 由题意可设，， 其中， 所以， 显然为平面的法向量， 所以， 显然（否则矛盾）， 从而， 注意到， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：. 8.如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为 ，动点满足，且，则的最小值为    【答案】 【解析】如图所示，连接 显然，,，则梯形 是平面截正方体所得截面； 由题易知， 所以截面面积为； 由题可知， 由柯西不等式 ，当且仅当时等号成立， 可知 得，当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：18； 9.已知正方体的体积为8，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为 . 【答案】/ 【解析】由题意得，，将平面展成与平面同一平面， 当点共线时，此时最小， 在展开图中作，垂足为N， 因为为等腰直角三角形，所以，， 由得，，解得， 在正方体，过点作，垂足为，则， 如图，以D为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则， 因为，所以， 又因为平面，且， 所以平面， 因为， 所以三棱锥外接球的球心在上， 设球心为，设，则， 因为， 所以， 解得，即，所以外接球， 所以三棱锥外接球的体积， 故答案为：. 10.如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设是的中点，， 所以，则. 对任一点，的最小值是到直线的距离， 过作，交于， 过作，交于，连接， 由于，所以平面，平面， 所以， 由于，平面，所以平面， 又平面，所以， 则，易得. ，， ， 所以， 当三点共线，且是的中点，是与的交点， 此时取得最小值为，所以的最小值为. 故答案为： 11.在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则的周长的最小值为 . 【答案】 【解析】如图①，设侧面的中心为，根据正方体的结构特征可得， 则周长的最小值即的最小值. 将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上， 将平面绕着旋转至与平面在同一平面上， 过点作⊥于点，则，其中， 如图②，则， 故的周长的最小值为. 故答案为： 12.在长方体中，，分别在对角线上取点，使得直线平面，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【解析】作于点，作于点， 则，即共面； 平面,平面,故平面, ∵线段平行于对角面，,平面, 故平面平面, 又平面平面， 平面平面，， 由于，故为等腰直角三角形， 由于，，则，； 故设，则， 在直角梯形中，， 故， ∴当时，取最小值，则的最小值为， 故答案为： 13.如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设的中点为，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图. 由，可得， 则， 所以当时，取最小值. 故答案为：. 14.如图，在三棱锥中，平面，，，为线段的中点，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为平面，面，所以， 又因为，， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在中，可得， 在中，， 故， 则， 又因为， 所以， 即，当且仅当时，等号成立， 当时，为的中点，此时当时，为的中点， 综上所述，的最小值是. 故答案为： 15.一种糖果的包装纸由一个边长为3的正方形和两个等腰直角三角形组成（如图1），沿，将这两个三角形折起到与平面垂直（如图2），连接，，，，若点满足且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】，且， ，所以四点共面，即点是平面上的动点， 所以的最小值即点到平面的距离， 由题意，几何体可补成边长为3的正方体，如图， 则可得， 设点到平面的距离为，则， 即， 解得.所以的最小值为. 故答案为：. 16.如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，则直线和夹角的余弦值为 ．若分别是上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 /0.25；． / 【解析】连接，如下图， 由题意，，，正方形中，， 正方形中，平面，平面，平面平面， 就是二面角的平面角，则， 向量与向量夹角为，且， ①，，， ， ， 直线和夹角的余弦值为； ②设，则， 且由题意， ， ， 令，,，图象开口向上，且对称轴为， 当时，取得最小值，又， ，即的最小值是． 故答案为：；． 17.如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为 .    【答案】/ 【解析】设的中心为，则底面，延长至， 使得，则， 由三条侧棱两两垂直且相等， 故可以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，则、，, 有， 由对称性可设，则有， 解得，故， ， 的最小值为. 故答案为：. 18.已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意知，在几何体内部，但在面内， 把面沿展开与在一个平面上如图，连接， 则的长度即为的最小值， 因为在直三棱柱中，平面， 而平面，则， 因为，则，即， 又平面，则平面， 而平面，所以，即， 因为，易知，所以 所以， 而，， 所以在中，， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 19.正方体的棱长为2，点M在线段上，且，动点P在正方形内运动（含边界），若，则当取得最小值时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】 【解析】正方体的棱长为2，显然平面，平面，则， 于是，即点在以点为圆心，1为半径的圆在正方形及内部的圆弧上， 又平面，平面，则，， 要最小，当且仅当最小，即点为线段与圆弧的交点，此时， 在中，， 而，即， 因此三棱锥的外接球截平面所得小圆圆心是线段中点，小圆半径， 而平面，则三棱锥的外接球球心在线段的中垂面上，该中垂面平行于平面， 该球心到平面的距离，令三棱锥的外接球半径为， 于是， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 20.三棱锥中，，，，，点M，N分别在线段，上运动.若二面角的大小为，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】依题意，将三棱锥补形成直三棱柱， 此时易知，，满足题意， 又，所以为二面角的平面角，即， 在中，，，则， 在中，，则， 又，所以是正三角形， 要求的最小值，即求异面直线，的距离， 以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 21.已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意知，在几何体内部，但在面内， 把面沿展开与在一个平面上如图，连接， 则的长度即为的最小值， 因为在直三棱柱中，平面， 而平面，则， 因为，则，即， 又平面，则平面， 而平面，所以，即， 因为，易知，所以 所以， 而，， 所以在中，， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 22.如图，在直三棱柱中，，若为空间一动点，且，则满足条件的所有点围成的几何体的体积为 ；若动点在侧面内运动，且，则线段长的最小值为 ．    【答案】 【解析】由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的球面， 所以围成的球的体积为， 过作， 由，则由等面积法可得, 由于在直三棱柱中，平面 平面故, 由于平面，故平面， 由于平面，故, 所以, 由于到平面的距离和点到平面的距离相等，均为， 又，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的球与侧面的截面圆，该截面圆的半径为,圆心为,且满足， 因此点的最小距离为， 故， 故答案为：， 23.如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .    【答案】 【解析】如图， 沿着侧棱把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点被分到两处， 则线段的长度即为周长的最小值. 在中，，， 故，所以. 故答案为：. 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