第13讲 空间角的求法（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习立体几何专题（新高考通用）

第13讲 空间角的求法 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 7 题型归纳 7 一．异面直线所成角 7 题型01： 平行四边形平移法求线线角 7 题型02：中位线平移法求线线角 9 题型03： 补形平移法求线线角 9 题型04：向量法异面直线所成角 12 题型05：异面直线所成角的应用 18 二．直线与平面所成角 21 题型01： 作垂线法求线面角 21 题型02： 等体积法求线面角 23 题型03：向量方法求直线与平面的夹角 25 题型04：直线和平面所成角的应用 29 三．两个平面所成角（二面角） 33 题型01：定义法求二面角 33 题型02： 三垂线法求二面角 38 题型03：垂面法求二面角 42 题型04： 补形法求二面角 43 题型05：射影面积法求二面角 48 题型06：向量方法求二面角 51 题型07：二面角的应用 55 题型08：求二面角最值（范围） 63 巩固提升 70 空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）是高考立体几何的核心考点，分值占比约5-8分，常出现在解答题第二问或选择题、填空题压轴位置，下面从命题特点、考查趋势、核心要求三方面展开分析： 一、命题特点 1. 题型分布： ◦ 解答题中，空间角计算是高频设问（近5年新高考卷中占比超80%），多与空间位置关系证明结合，先证后算； ◦ 小题中，常以动态几何体（如动点、翻折、旋转）为背景，考查空间角的范围或最值，侧重直观想象与灵活计算。 2. 载体特征： ◦ 以规则几何体（正方体、长方体、直棱柱、正棱锥、圆柱）为主要载体，偶尔结合不规则几何体（通过补形转化为规则几何体）； ◦ 新高考中逐渐融入实际背景（如仓储货架、建筑构件），但本质仍为空间角计算。 3. 方法倾向： ◦ 优先考查向量法（建立空间直角坐标系，通过坐标运算求解），占比超90%，几何法（平移法、定义法）仅作为辅助或小题快速解法； ◦ 解答题要求步骤规范，需体现“建系→求坐标→求法向量→计算夹角”的完整流程。 二、考查趋势 1. 综合化：空间角与其他考点融合考查，如结合截面问题、探索性问题（是否存在点使空间角为定值）、体积计算，增加思维复杂度； 2. 动态化：动点、动直线、动平面背景下的空间角最值/范围问题成为热点（如2024新高考Ⅰ卷中，动点在棱上运动时线面角的最大值）； 3. 精细化：对计算细节要求提高，如二面角需判断锐钝、线面角需区分正弦/余弦值，避免因公式混淆丢分； 4. 创新性：结合数学文化（如古代建筑中的几何体）或跨学科背景（如物理中的空间受力模型）命题，形式新颖但核心不变。 结合高考对空间角的考查要求，从基础认知、能力掌握、综合应用三个维度制定学习目标，覆盖定义理解、方法运用、规范解题全环节： 一、基础认知目标 1. 精准掌握空间角的核心定义与取值范围： ◦ 异面直线所成角：理解“平移后相交直线的锐角或直角”定义，明确取值范围； ◦ 线面角：理解“直线与平面中所有直线所成角的最小值（直线与其在平面内射影的夹角）”定义，明确取值范围； ◦ 二面角：理解“从一条直线出发的两个半平面所成的角（用平面角度量）”定义，明确取值范围。 2. 熟记向量法核心公式与适用条件： 3. 掌握空间直角坐标系建立规则： ◦ 能识别“两两垂直的三条棱/直线”（如正方体顶点、直棱柱底面直角顶点），以此为原点建立坐标系； ◦ 能准确写出几何体顶点的坐标，熟练计算向量的坐标（终点减起点）、数量积、模长。 二、能力掌握目标 1. 方法选择与运用能力： ◦ 几何法：会用“平移法”找异面直线所成角（如中位线平移、补形平移），会用“射影法”找线面角（作直线到平面的垂线，确定射影），会用“定义法/垂面法”找二面角的平面角； ◦ 向量法：能独立完成“建系→写坐标→求方向向量/法向量→代入公式计算→判断结果合理性”全流程，尤其掌握平面法向量的求解方法（设向量→列方程组→赋值求解）。 2. 计算精准能力： ◦ 无坐标计算错误：确保顶点坐标、向量坐标书写正确，数量积、模长计算无失误； ◦ 无公式混淆错误：能区分线面角（正弦值）与异面直线所成角（余弦值）的公式差异，能根据图形判断二面角的锐钝以确定符号； ◦ 无单位/范围错误：最终结果角度值（或三角函数值）符合对应空间角的取值范围，解答题中明确标注角的类型（如“锐二面角”）。 3. 动态问题分析能力： ◦ 能处理动点、动直线背景下的空间角问题（如设参数表示动点坐标，建立空间角的三角函数表达式）； ◦ 能结合函数单调性、值域求解空间角的最值或范围（如二次函数最值、三角函数值域）。 三、综合应用目标 1. 跨考点融合能力： ◦ 能将空间角计算与空间位置关系证明（如先证线面垂直，再求线面角）、截面问题（如求截面与某平面的二面角）、探索性问题（如是否存在点使线面角为定值）结合求解； ◦ 能将不规则几何体通过补形转化为规则几何体（如补成长方体），再建立坐标系计算空间角。 2. 规范答题能力： ◦ 解答题中步骤完整：建系有依据，求法向量有方程组过程，代入公式有计算步骤，结果有结论； ◦ 书写清晰：区分向量符号与坐标，关键公式、计算结果突出标注，避免因步骤缺失丢分。 3. 易错点突破能力： ◦ 规避“二面角与法向量夹角混淆”（牢记法向量方向影响符号，需结合图形判断）； ◦ 规避“线面角公式用余弦值”（强化“线面角正弦值=方向向量与法向量夹角余弦值绝对值”的记忆）； ◦ 规避“坐标系建立错误”（优先选择有三条两两垂直直线的顶点为原点）。 一、线线角的定义与求解 线线角主要是求异面直线所成角。 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． ④空间向量法 二、线面角的定义与求解 1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°] 2、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 4.空间向量求线面角 三、二面角的定义与求解 1、二面角的定义 （1）二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 （3）二面角的大小范围：[0°，180°] 2、求二面角大小的一般步骤 （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 3、确定二面角的平面角的方法： 方法一：定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律 （1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． （2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点， 在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角 方法二：三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用 （1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 （2）具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 方法三：垂面法（空间一点垂面法） （1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 （2）具体演示：过二面角内一点A作于B，作于C， 面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 方法四：射影面积法求二面角 （1）方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则. 这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 （2）以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。 证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD. A B D C 于，， 在内的射影为. 又， （三垂线定理的逆定理）. 为二面角—BC—的平面角. 设△ABC和△的面积分别为S和，，则. . 方法五：补形法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线，然后借助前述的定义法与三垂线法解题． 法六：用空间向量求二面角的大小 空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的解题核心是“选对方法+精准计算+规范验证”，优先掌握高考高频的向量法，辅以几何法应对小题或特殊场景，以下分题型梳理策略： 一．核心方法总览：几何法 vs 向量法 几何法 ：小题快速求解、几何体规则且易作辅助线 计算量小、直观 需精准作角（平移、射影、垂面） 向量法 ：解答题、几何体复杂或不易作辅助线 步骤固定、无需空间构造 建系要合理、坐标无错误、法向量求解准确 二．通用解题步骤 1. 审题：确定空间角类型，观察几何体特征（是否规则、有无垂直棱）； 2. 选方法：规则几何体优先向量法，小题/易作辅助线用几何法； 3. 计算：几何法重点作角，向量法重点求坐标和法向量； 4. 验证：检查角的范围、三角函数值符号、计算过程； 5. 作答：明确写出角的类型（如“锐二面角”）和最终结果（三角函数值或角度）。 一．异面直线所成角 题型01： 平行四边形平移法求线线角 【典型例题1】如图，在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱与底面垂直，且分别是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，取的中点D，连接， 则，且， 所以为异面直线与所成的角（或其补角）， 又因为F是的中点，则， 又因为三棱柱的侧棱与底面垂直， 则平面，且平面，所以， 在中，，所以.故选：D． 【变式训练1-1】在正方体中，直线与所成角大小为 ． 【变式训练1-2】在平行六面体中，底面是菱形，，与底面垂直，，分别在和上，且，，，，则异面直与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知正三棱柱的所有棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型02：中位线平移法求线线角 【典型例题1】在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记的中点为，连接，如图， 因为为棱的中点，为的中点，所以， 所以为异面直线与的所成角（或补角）， 因为在正三棱柱中，， 所以，，， 所以在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A. 【变式训练2-1】如图，AB是半圆柱底面的直径，PA是半圆柱的高，C是上一点，且，D为PB的中点，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为 ． 【变式训练2-2】四面体中，是边长为12的等边三角形，，，为的中点，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正切值是 ． 【变式训练2-3】已知等边三边形的边长为4，为的中点，将沿折到，使得为等边三边形，则直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B．0 C． D． 题型03： 补形平移法求线线角 【典型例题1】正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】在正方体右侧作出一个全等的正方体， 连接，如图， 易知，所以四边形是平行四边形，则， 所以是与所成角的平面角或补角， 不妨设正方体的棱长为， 则在正方体中，， 在中，， 在中，， 所以在中，， 所以与所成角的余弦值为. 【典型例题2】如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题中条件连接，取的中点，连接,，作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可. 连接，取的中点，连接,， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 【典型例题3】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接. 因为为中点，且，所以四边形为矩形，所以，所以或其补角为异面直线与所成的角. 设圆的半径为1，则.因为，所以.在直角中，，得.所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C. 【变式训练3-1】在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【变式训练3-2】已知长方体中，，点为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为 . 【变式训练3-3】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式训练3-4】已知直三棱柱，若，，是棱中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式训练3-6】在正三棱柱中，，为的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-7】平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为________． 题型04：向量法异面直线所成角 【典型例题1】如图，直三棱柱中，，，是棱的中点， (1)求异面直线所成角的余弦值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)建立空间直角坐标系,求出相关各点的坐标,求出,利用向量的夹角公式求得答案; (2)求出平面平面和平面的一个法向量,利用向量夹角公式求得答案. 【解析】(1)以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系, 则, , 所以， 所以直线所成角的余弦值为； (2)设为平面的一个法向量， , 则 ， ， 同理, 则, 可取平面的一个法向量为， 则, 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为 . 【典型例题2】如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由题知面，又面，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以， 又，所以四边形是正方形，得到， 又，面，所以平面. （2）如图，建立空间直角坐标系，因为， 则，， 得到，， 设直线与所成角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为. 【典型例题3】如图，在直三棱柱中，侧面侧面分别为的中点，； (1)求证：直线面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明平行四边形得线线平行，进而根据线面平行的判定定理即可证明.（2）根据空间直角坐标系根据向量的夹角求线线角. 【解析】(1)证明：取的中点P，连 因为分别为的中点，所以 且，又在直三棱柱中， 且，所以且 . 所以四边形为平行四边形，所以 因为平面平面， 所以直线平面； (2)解：在直三棱柱中平面，所以，又侧面侧面，平面平面，所以平面，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可知，所以； 所以． 所以异面直线MC1与BN所成角的余弦值为． 【变式训练4-1】如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点、分别是、的中点。 (1)求证：，； (2)求的长； (3)求异面直线与夹角的余弦值。 【变式训练4-2】如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且是等边三角形，. (1)求证：平面； (2)若是等腰三角形，求异面直线与所成角的余弦值. 【变式训练4-3】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，是棱的中点． (1)求证：面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式训练4-4】如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，. (1)求的值； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 题型05：异面直线所成角的应用 【典型例题1】如图，在长方体中，，异面直线与所成的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把异面直线所成的角，转化为平面角，再用解三角形的方法求解. 连接，交于点，取的中点，连接. 因为，所以与所成的角为（或其补角）. 令，在中，由，得. 又，， 由余弦定理得，即，解得， 所以. 故选：C 【典型例题2】在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】利用异面直线夹角的定义即可求解. 如图，取的中点，连接， 易知，，且，， 故，且是异面直线与所成角或其补角， 所以或， 所以异面直线与所成角为或其补角， 当时，；当时，， 所以直线与所成角的大小为或     故选：C    【变式训练5-1】如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝ . 【变式训练5-2】已知在正四棱台中，．若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为 ． 【变式训练5-3】如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．    二．直线与平面所成角 题型01： 作垂线法求线面角 【典型例题1】在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图,四棱锥为阳马,侧棱底面,,为棱的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为平面,平面,故可得, 又,,平面, 故可得平面.连接. 故即为直线与平面所成角.不妨设, 故在直角三角形中,,, 故可得.则. 则直线与平面所成角的正弦值为. 【典型例题2】在棱长均相等的正三棱柱中,E为棱AB的中点,则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题线面角的定义,作出线面角,根据勾股定理算出线面角所在直角三角形的边长,进而求出正弦值. 过E作,F为垂足,连接,则为直线与平面所成角, 设三棱柱的棱长为2,则,, ∴. 故选：A 【变式训练1-1】在三棱柱中，，，且，则直线与平面所成的角的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式训练1-3】在四面体中，，，点与的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】如图，等腰梯形是圆台的轴截面，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】正三棱锥中，，，则直线和平面所成的角的正弦值为 ． 题型02： 等体积法求线面角 【典型例题1】在正方体中，动点P在线段上，点E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点E到平面的距离为h，直线与平面所成的角为，则. 不妨设正方体的棱长为2， 则， . 因为，所以以.连接，过点作，垂足为. 易得，当时，最小，当时，最大，则， .故.故选：D. 【典型例题2】三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中点，连接， ， ≌，，， ，是边长为的正三角形， ， 面，面， 作于， 面， 面，面， 在中由余弦定理得， ， ， ，， ， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A. 【变式2-1】在三棱锥中，已知△ABC是边长为8的等边三角形，平面ABC，，则AB与平面PBC所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】如图，是所在平面外一点，，，且面，，则与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】如图，正方体的棱长是. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式训练2-5】如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成线面角的正弦值. 题型03：向量方法求直线与平面的夹角 【典型例题1】如图，在四棱锥中，底面，. (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）利用勾股定理来证明底面等腰梯形中存在的垂直关系，再来证明线面垂直推导线线垂直； （2）利用空间向量法来求两平面夹角的大小. （1）证明：在四边形中作于于，如图       ， 四边形为等腰梯形，， 故，，. 又平面平面，， 又，平面 平面. 又平面，. （2）如图，以为原点建立空间直角坐标系. 由（1）可得，则， 则， 设平面的法向量， 则有，令，则，即， 取平面的一个法向量， ， 即平面与平面所成夹角的余弦值为， 所以平面与平面的夹角为. 【典型例题2】如图所示的几何体中，底面是平行四边形，，，四边形为矩形，平面平面，，点是线段的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；；(2). 【解析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质、判定推理得解. （2）由（1）的信息，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦得解. （1）由四边形是矩形，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又平面，于是， 由，，得，则，而，平面， 所以平面． （2）由（1）知，直线，，两两垂直， 以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为： . 【变式训练3-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，平面PAB，点O为PB的中点.，.    (1)求证：直线平面ABCD； (2)求直线PB与平面OAC夹角的正弦值. 【变式训练3-2】已知四棱锥，底面是正方形，平面平面，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 题型04：直线和平面所成角的应用 【典型例题1】已知的直角顶点在平面外，与平面所成的角分别为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】由题意作出于H，可得，，中勾股定理解得，即为点到平面的距离. 过C作于H，连结，则，.    在和中，，. 又在中有，即，得. 即C到平面的距离为1. 故选：C. 【典型例题2】在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合长方体性质，利用线面角的定义，从而得到角与边之间的关系，然后利用棱锥的体积公式即可求得结果．    在长方体中， 利用长方体的性质可知，平面， 则与平面所成的角为，从而， 因为平面，平面，所以， 在直角中，根据，，可得， 再由勾股定理，可以确定， 利用长方体的性质可知， 平面， 所以该四棱锥的体积为，故选：B． 【变式训练4-1】正四棱台中，与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知在直三棱柱中，，且分别是，的中点.证明：平面.    【变式训练4-3】在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（    ） A． B．与所成的角为 C． D．与平面所成的角为 【变式训练4-4】如图，菱形中，，与相交于点，平面，，，．若直线与平面所成的角为45°，则＝ ．    【变式训练4-5】如图所示，多面体，底面是正方形，点为底面的中心，点为的中点，侧面与是全等的等腰梯形，，其余棱长均为2. (1)证明:平面； (2)若点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求. 【变式训练4-6】如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积. 【变式训练4-7】如图，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，，．    (1)求证：平面平面； (2)若，，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 三．两个平面所成角（二面角） 题型01：定义法求二面角 【典型例题1】假设是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的中点，连接， ∵和都是边长为2的正三角形，则， 所以为二面角的平面角， 又因为，则， 所以，即二面角的大小为.故选：D. 【典型例题2】如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.若，，，，则平面与的夹角是 ． 【答案】 【解析】如图，在二面角中，过A在平面内作，并取AE=BD=4，连接DE，CE， 所以AE//BD，所以四边形AEDB为矩形，为二面角的平面角. ，面ACE，AE面ACE， 所以面ACE，面ACE，故， 又四边形AEDB为矩形，所以AB//ED，所以. 在直角三角形CED中，DE=AB=2，，所以. 在三角形CEA中，AC=3，AE=4，CE=， 由余弦定理得：， 又，所以 即平面与的夹角是. 【典型例题3】如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）通过证明平面，即可证明面面垂直； （2）表达出二面角的平面角，即可求出二面角的平面角的正弦值. （1）由题意， 因为四边形为菱形，所以. 连接AC.    因为， 所以为等边三角形，从而. 在中，是的中点， 所以. 因为平面，平面， 所以. ∵，面，平面，面， ∴平面. 又平面， ∴平面PCE⊥平面PAD （2）由题意及（1）得， 在平面中，过点作，垂足为，连接.    因为平面,平面，所以. 又, 平面,平面，所以平面. 又平面，所以， 从而是二面角的平面角． 在Rt中，,， 所以.在Rt中，，， 所以. 在Rt中, , 所以二面角的平面角的正弦值为. 【变式训练1-1】在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，，则平面PAB与平面ABCD的夹角为 【变式训练1-2】如图，正方体中，，则二面角的余弦值为 . 【变式训练1-3】如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 【变式训练1-4】如图，在四棱锥中，底面为矩形，且，侧面是等腰三角形，且，侧面底面.    (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正弦值. 【变式训练1-5】如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点. (1)若平面平面，求点到平面的距离； (2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度. 【变式训练1-6】如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点.    (1)证明：； (2)若与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 题型02： 三垂线法求二面角 【典型例题1】如图，正三棱柱的棱长都相等，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接， 因为为等边三角形，则， 又因为平面，平面， 则， 可知，可得，则， 所以二面角的平面角为， 设，则， 所以.故选：B. 【典型例题2】在边长为2的正方体中，为棱的中点，则二面角的正切值是 . 【答案】 【解析】作于，可得， 连接， 因为平面，所以，平面，平面， 又因为，所以平面， 因为平面，所以， 就是二面角的平面角， . 【典型例题3】如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质 判定推理即得. （2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用异面直线所成角的定义求出其正切值. （1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面平面， 得平面，又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又平面，所以平面. （2）如图， 在平面内，过点作，垂足为，显然， 由侧面底面，交线为，得底面，底面， 则，过作，垂足为，连接，显然， 平面，则平面，而平面，因此， 则即为二面角的平面角，其大小为， 在中，，则， 由，得四边形为平行四边形，则， 由，得（或其补角）为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 【变式训练2-1】如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，平面平面，则二面角的大小是 ． 【变式训练2-2】已知垂直于矩形所在的平面，，则二面角的正切值为 ． 【变式训练2-3】如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 【变式训练2-4】如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式训练2-5】如图，三棱锥中，底面ABC，，，，点M满足，N是PC的中点． (1)请写出一个的值使得平面AMN，并加以证明； (2)若二面角大小为45°，且，求点M到平面PAC的距离． 【变式训练2-6】在如图所示的四棱锥PABCD中，已知，，，是正三角形，点M在侧棱PB上且使得平面． (1)证明：； (2)若侧面底面，与底面所成角的正切值为，求二面角的余弦值． 题型03：垂面法求二面角 【典型例题】已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为 . 【答案】或 【解析】设点是二面角内的一点，过P分别作直线的平行线， 且垂直于于，垂直于于， 设平面交直线于点，连接，， 由于，，，， 故，，又，平面， 故平面，又，平面，故，， 所以为二面角的平面角， 因为直线所成角的大小为，所以或， 当时，如图 因为，所以； 当时，如图 因为，所以; 综上，二面角的大小为或 【变式训练3-1】如图，已知二面角，且，，，C，D是垂足，平面PCD与AB交于点H． （1）求证：AB⊥平面PCD； （2）若PC＝PD＝CD＝1，试求二面角的大小． 【变式训练3-2】如图，在三棱锥中，底面，，垂直平分且分别交于点，又，求二面角的大小． 【变式训练3-3】已知是二面角内的一点，垂直于于垂直于于，则二面角的大小为 ． 题型04： 补形法求二面角 【典型例题1】如图，在正方体中，分别为、的中点，则平面与平面所成二面角的平面角的正弦值为 ． 【答案】 【解析】设棱长为1，延长、、交于一点， 所以，，，则，故． 同理，则即为所求二角的平面角，而， 所以，其正弦值为． 【典型例题2】如图所示，是正三角形，平面，，，，且F为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：取AB中点M，连接MF、MC， 则，且. 又因为，所以， 即四边形MFDC为平行四边形，所以； 又有平面ABC，平面ABC，所以平面. （2）延长ED、AC相交于点N，连接BN， 则BN为平面与平面的交线. ，， 则DC为的中位线，所以， 即，所以. 而，， ，即. 所以即为平面与平面所成二面角的平面角. ， 故平面与平面所成二面角的正弦值为. 【典型例题3】如图，在三棱柱中，已知平面，且.    (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的余弦值. 【答案】(1)2(2) 【解析】（1）根据题意可得平面，进而分析可知正方形，即可得结果； （2）根据题意利用补形法分析可得二面角的平面角为，利用余弦定理运算求解. （1）连接， 因为平面，平面，则， 又因为，平面， 所以平面， 且平面，可得， 因为为平行四边形，且，则为矩形， 所以正方形，可得. （2）根据题意将三棱柱转化为正四棱柱， 取的中点，连接，则三点共线，且//， 因为//，可得//， 所以平面即为平面， 同理平面即为平面， 因为//，平面，则平面， 且平面，则， 所以二面角的平面角为， 可得， 在中，则， 所以二面角的余弦值为. 【变式训练4-1】如图，在正方体中，，是棱上任一点，若平面和平面所成的角为，则的最小值为 ． 【变式训练4-2】已知点E，F分别在正方体的棱，上，且，，侧面与平面所成的二面角的正切值等于 ． 【变式训练4-3】如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，．记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由． 【变式训练4-4】如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面． (1)若的中点为，求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【变式训练4-5】图①是由矩形和梯形组成的一个平面图形，其中，，点为边上一点，且满足，现将其沿着折起使得平面平面，如图②．    (1)在图②中，当时， （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； (2)在图②中，记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练4-6】如图，在正三棱柱中，为的中点，点在上，，点在直线上，对于线段上异于两端点的任一点，恒有平面．      (1)求证：平面平面； (2)当的面积取得最大值时，求二面角的余弦值． 题型05：射影面积法求二面角 【典型例题1】（多选）如图所示，为正方体，以下四个结论中正确的有（ ） A．平面 B．直线与BD所成的角为60° C．二面角的正切值是 D．与底面ABCD所成角的正切值是 【答案】AB 【解析】如图，因为正方体中对角线在平面上的射影为， 而，，， 所以平面，所以，同理可得， 又，可得平面，故A正确； 因为，所以直线与BD所成的角为直线与所成的角， 即为所求，又正方体中为正三角形，所以，故B正确； 因为在上底面的射影三角形为， 所以二面角的余弦为， 所以，故C错误； 因为平面ABCD，所以与底面ABCD所成角为， 所以，故D错误.故选：AB 【典型例题2】如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【解析】过 A作的延长线于E， 连结 DE， ∵平面平面，平面平面， ∴ 平面 ∴ E点即为点A在平面内的射影， ∴ 为在平面内的射影， 设，则， ∴由余弦定理可得，∴， ∴ ， 又，∴ ， 设二面角为，∴ . 而二面角与互补， ∴二面角 的余弦值为. 【变式训练5-1】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD． （1）证明：AB⊥平面PAD； （2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值． 【变式训练5-2】如图所示，已知圆柱的底面直径，母线长，且为圆柱底面圆周上的一点，．求： （1）圆柱的体积和侧面积； （2）二面角的正弦值． 【变式训练5-3】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD． （1）证明：AB⊥平面PAD； （2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值． 【变式训练5-4】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.求二面角P-BC-A的平面角的大小. 【变式训练5-5】如图所示，已知圆柱的底面直径，母线长，且为圆柱底面圆周上的一点，．求： （1）圆柱的体积和侧面积； （2）二面角的正弦值． 题型06：向量方法求二面角 【典型例题1】如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足． (1)求证：平面﹔ (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接交于，连接，根据条件证明即可得证； （2）先证明平面，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面与平面的法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得. （1） 如图，连接交于，连接， 由是的中点可得，又为正方形， 所以，所以，所以，即， 又，即，所以/， 又平面，平面，所以平面； （2） 因平面平面，且平面平面，为等边三角形，点是线段的中点， 可得，又平面，故得平面. 如图，取的中点为，连接，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，， 所以，，则， 设平面的法向量为，由， 则，故可取； 又平面的一个法向量为， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 【典型例题2】如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，所以. 故选：B. 【变式训练6-1】如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，F，E分别是PB，PC的中点． (1)证明：； (2)求平面ADEF与平面PCD的夹角． 【变式训练6-2】如图，以正四棱锥的底面中心为坐标原点建立直角坐标系，其中，，为的中点，正四棱锥的底面边长为，高为． (1)求； (2)当是二面角的平面角时，求． 题型07：二面角的应用 【典型例题1】如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】结合图形，利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值，即可确定点位置，即可求解. 以为坐标原点，建系如图， 因为二面角的平面角大小为， 所以的轨迹是过点的一条直线， 又因为Q是四边形ABCD内部一点（包括边界）， 所以的轨迹是过点的一条线段， 设以的轨迹与轴的交点坐标为， 由题意可得, 所以, 因为平面，所以平面的一个法向量为, 设平面的法向量为， 所以令则 所以， 因为二面角的平面角大小为， 所以，解得， 所以当在线段BC上时，面积最大，最大值为， 所以面积的取值范围是， 故选:D. 【典型例题2】已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于的一点，且二面角的大小为，则的面积为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】记为的中点，即可求出、，取的中点，连接，从而得到二面角的平面角为，即可求出、，再由勾股定理求出，即可得解. 如图所示，记为的中点，则垂直于底面，所以， 又， 所以，取的中点，连接， 显然有，即二面角的平面角为， 即，又， ，，则， 的面积为. 故选：A. 【典型例题3】如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，D为棱AC中点. (1)证明：AB1//平面； (2)若面B1BC1与面BC1D的夹角余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）连接，使，连接，即可得到，从而得证； （2）设，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解面与面的夹角余弦值为，从而得到方程，解得即可． （1）证明：如图，连，使，连， 由直三棱柱，所以四边形为矩形，所以为中点， 在中，、分别为和中点，， 又因平面平面，面，面， 平面． （2）解：设，以为坐标原点如图建系， 则，，所以、， 设平面的法向量 则， 故可取． 设平面的法向量，则， 故可取， 因为面与面的夹角余弦值为， 所以，即，解得，． 【变式训练7-1】如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A、B两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（   ） A．4 B．8 C． D． 【变式训练7-2】已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于，的一点，且二面角的大小为，则的面积为（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式训练7-3】已知正三棱台的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-4】已知腰长为的等腰直角，现沿斜边上的高翻折，使得二面角的大小为，则点B到的距离为 ． 【变式训练7-5】二面角为，,是棱上的两点，，分别在半平面，内，，，且，，则的长为 ． 【变式训练7-6】如图，已知直三棱柱中，，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的一点． (1)证明：； (2)当平面DEF与平面所成角的余弦值为时，求线段的长度． 【变式训练7-7】如图，在多面体中，四边形为菱形，四边形为矩形，且，是线段上的一个动点，且. (1)试探究当为何值时，∥平面，并给出证明； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【变式训练7-8】在四棱锥中，底面为矩形，点为的中点，且． (1)求证：． (2)若，点为棱上一点，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值． 【变式训练7-9】如图所示，内接于圆，为圆的直径，，，，且平面，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的夹角的余弦值为，若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【变式训练7-10】）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【变式训练7-11】在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中点． (1)求证：； (2)在棱上是否存在点P，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段AP的长度；若不存在，请说明理由． 题型08：求二面角最值（范围） 【典型例题1】如图所示，在正方体中，点是棱上的动点（点可以运动到端点和），设在运动过程中，平面与平面所成的最小角为，则 ． 【答案】 【解析】设正方体的棱长为1，，以为坐标原点，，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，确定、坐标进而得到、的坐标表示，求面、面的法向量，结合图形根据法向量夹角与二面角的关系，有关于的二面角余弦值的函数，求最值即可得的值 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设正方体的棱长为1，，则易得，， 则，，设平面的一个法向量为 则，令，得平面的一个法向量为 由平面为xOz平面，可知其一个法向量为 由图知：平面与平面所成的二面角为锐角，设其为，则 当即时，取最小值，取最大值，此时最小角，即 【点睛】本题考查了空间向量与立体几何，构建空间坐标系并用坐标表示相关点坐标，将平面中两相交线段用向量的坐标形式表示求法向量，根据平面法向量夹角与二面角的关系，结合向量的数量积坐标公式得到二面角余弦值 【典型例题2】如图，正三棱柱中，各棱长均等于，为线段上的动点，则平面与平面所成的锐二面角余弦值的最大值为 . 【答案】 【解析】如图建立空间坐标系，求解平面与平面的法向量，利用二面角的向量公式即得解. 如图建立空间坐标系， 则，，， ，， 设平面的法向量为， 取， 平面的法向量为， 则. 故答案为：. 【点睛】本题考查了向量法求解二面角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 【典型例题3】如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角． (1)求证：平面平面； (2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）先证明，继而证明，根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面和平面的一个法向量，根据空间角的向量求法，结合不等式性质，即可求得答案. （1）因二面角为直二面角，即平面平面，又， 平面平面，平面，则平面， 又平面，即得， 四边形为矩形，≌，则,即， 平面，于是平面，平面， 所以平面平面； （2）过E作平面，由（1）知平面，平面，故， 以为原点，射线EB，EA，Ez分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， ∵，，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 则， 设平面的法向量为，则，即， 则， 由图可知二面角为锐二面角， 从而有， 而，则，, 所以. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是建立合适的空间直角坐标系，从而得到，再根据即可得到其范围. 【典型例题4】如图，在直三棱柱中，，，垂直于平面．点，，分别为边，，上的动点（不包括顶点），且满足． (1)求三棱锥的体积的最大值； (2)记平面与平面所成的锐二面角为，当最小时，求的值，并说明点所处的位置． 【答案】(1)；(2)；在中点 【解析】（1）设出，由体积公式结合二次函数性质计算即可得； （2）建立空间直角坐标系后，得到平面与平面法向量，即可表示出，结合导数即可得的最大值，亦可得到所处的位置. （1）由垂直于平面，且为直三棱柱，故平面， 故为三棱锥的高，设，则， 由，故，则， 故， 故时，三棱锥的体积有最大值；    （2）由垂直于平面，、平面， 故、，又， 故、、两两垂直， 设， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、、， 故、、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，，即，， 令，，可得、，、， 故，， 故， 令，， 则， 由， 故当时，，当时，， 故， 故， 由为锐角时，随的增大而减小，故当最小时，有最大， 即此时，此时，即点在中点. 【变式训练8-1】如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为.若点为线段上的动点（不包括端点），锐二面角余弦值的取值范围为 .    【变式训练8-2】如图，ACDE为菱形，，，平面平面ABC，点F在AB上，且，M，N分别在直线CD，AB上． (1)求证：平面ACDE； (2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若，MN为直线CD，AB的公垂线，求的值； (3)记直线BE与平面ABC所成角为，若，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围． 【变式训练8-3】如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．    (1)当点为线段的中点时，求证：； (2)当点在线段上时（包含端点），求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围． 1．如图，是三棱锥的高，，，E是的中点，若，，，则二面角的正弦值为 ．    2．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．若点F满足，则二面角的正弦值为 ．    3．已知是圆锥的底面直径，是底面圆周上的一点，，则二面角的余弦值为 ． 4．在正方体中，点E为的中点，则直线与所成的角的余弦值为 ；平面与平面所成锐二面角的余弦值为 . 5．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的余弦值为 .    6．在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为 ． 7．如图，平行六面体中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2，且平面BCC1B1与平面D1EB的夹角的余弦值为，则线段D1E的长度为 ． 8．如图，在直三棱柱中，，，为上一点．若二面角的大小为，则的长为 ．    9．三棱锥中，，，记二面角的大小为，当时，直线与所成角的余弦值的取值范围是 . 10．如图，在三棱锥中，，，平面，，，分别为棱，上的动点，且. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面所成角为，求的值. 11．如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，，是长度为的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点． (1)求证：当为中点时，平面； (2)若，二面角的余弦值为，试确定P点的位置． 12．如图，在四棱柱中，二面角均为直二面角.    (1)求证：平面； (2)若，二面角的正弦值为，求的值. 13．已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且． (1)求证：平面平面； (2)已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 14．已知平行四边形ABCD如图甲，，沿AC将折起，使点D到达点P位置，且，连接PB得三棱锥如图乙． (1)证明；平面ABC； (2)在线段PC上是否存在点M，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 15．在图甲所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图乙所示的四棱锥.四棱锥的体积为，为边上的动点（不与端点，重合）.    (1)若为的中点，求证：； (2)设，试问：是否存在实数，使得锐二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 16．在多面体中，平面为正方形，，，，二面角的平面角的余弦值为，且. (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $第13讲空间角的求法 目录 思维导图… …2 高考分析… 2 学习目标… 3 知识要点。 04 解题策略 .7 题型归纳… .7 一.异面直线所成角… .7 题型01：平行四边形平移法求线线角. .7 题型02：中位线平移法求线线角… .10 题型03：补形平移法求线线角 12 题型04：向量法异面直线所成角… 18 题型05：异面直线所成角的应用… .27 二. 直线与平面所成角… .31 题型01：作垂线法求线面角… 31 题型02：等体积法求线面角… .35 题型03：向量方法求直线与平面的夹角 …40 题型04：直线和平面所成角的应用 ..46 三.两个平面所成角（二面角）… .54 题型01：定义法求二面角. …54 题型02：三垂线法求二面角… .63 题型03：垂面法求二面角 72 题型04：补形法求二面角 .75 题型05：射影面积法求二面角.… 86 题型06：向量方法求二面角. .91 题型07：二面角的应用…。 96 题型08：求二面角最值（范围）… .115 巩固提升. ...127 思维导图 1:平行四边形平移法求线线角 2:中位线平移法求线线角 一，异面直线所成角 3:补形平移法求线线角 1:定义法求二面角 4:向量法异面直线所成角 2:三垂线法求二面角 4:向星法异面直线所诚角 3:垂面法求二面角 空间角的求法 4:补形法求二面角 三.两个平面所成角（二面角） 1:作垂线法求线面角 5:射影面积法求二面角 二.直线与平面所成角 2:等体积法求线面角 6:向量方法求二面角 3:向量方法求直线与平面的夹角 7:二面角的应用 4:百线和平面所成角的应用 :求二面角最值（范困） 高考分析 空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）是高考立体几何的核心考点，分值占比约5-8分，常出现在解答 题第二问或选择题、填空题压轴位置，下面从命题特点、考查趋势、核心要求三方面展开分析： 一、命题特点 1.题型分布： 。解答题中，空间角计算是高频设问（近5年新高考卷中占比超80%），多与空间位置关系证明结合，先 证后算； 。小题中，常以动态几何体（如动点、翻折、旋转）为背景，考查空间角的范围或最值，侧重直观想象与 灵活计算。 2.载体特征： 。以规则几何体（正方体、长方体、直棱柱、正棱锥、圆柱）为主要载体，偶尔结合不规则几何体（通过 补形转化为规则几何体)； ·新高考中逐渐融入实际背景（如仓储货架、建筑构件），但本质仍为空间角计算。 3.方法倾向： 。优先考查向量法（建立空间直角坐标系，通过坐标运算求解），占比超90%，几何法（平移法、定义 法)仅作为辅助或小题快速解法； 。解答题要求步骤规范，需体现“建系→求坐标→求法向量→计算夹角”的完整流程。 二、考查趋势 1.综合化：空间角与其他考点融合考查，如结合截面问题、探索性问题（是否存在点使空间角为定值）、体积 计算，增加思维复杂度； 2.动态化：动点、动直线、动平面背景下的空间角最值/范围问题成为热点（如2024新高考I卷中，动点在 棱上运动时线面角的最大值)； 3.精细化：对计算细节要求提高，如二面角需判断锐钝、线面角需区分正弦/余弦值，避免因公式混淆丢分； 4.创新性：结合数学文化（如古代建筑中的几何体）或跨学科背景（如物理中的空间受力模型）命题，形式新 颖但核心不变。 学习目标 结合高考对空间角的考查要求，从基础认知、能力掌握、综合应用三个维度制定学习目标，覆盖定义理解、方 法运用、规范解题全环节： 一、基础认知目标 1.精准掌握空间角的核心定义与取值范围： 。异面直线所成角：理解“平移后相交直线的锐角或直角”定义，明确取值范围； 。线面角：理解“直线与平面中所有直线所成角的最小值（直线与其在平面内射影的夹角）”定义，明确 取值范围； 。二面角：理解“从一条直线出发的两个半平面所成的角（用平面角度量）”定义，明确取值范围。 2.熟记向量法核心公式与适用条件： 3.掌握空间直角坐标系建立规则： 。能识别“两两垂直的三条棱/直线”（如正方体顶点、直棱柱底面直角顶点），以此为原点建立坐标系； 。能准确写出几何体顶点的坐标，熟练计算向量的坐标（终点减起点）、数量积、模长。 二、能力掌握目标 1.方法选择与运用能力： 。几何法：会用“平移法”找异面直线所成角（如中位线平移、补形平移），会用“射影法”找线面角 (作直线到平面的垂线，确定射影)，会用“定义法/垂面法”找二面角的平面角； 。向量法：能独立完成“建系+写坐标→求方向向量/法向量→代入公式计算→判断结果合理性”全流程， 尤其掌握平面法向量的求解方法（设向量→列方程组→赋值求解）。 2.计算精准能力： 。无坐标计算错误：确保顶点坐标、向量坐标书写正确，数量积、模长计算无失误； 。无公式混淆错误：能区分线面角（正弦值）与异面直线所成角（余弦值）的公式差异，能根据图形判断 二面角的锐钝以确定符号； 。无单位/范围错误：最终结果角度值（或三角函数值）符合对应空间角的取值范围，解答题中明确标注角 的类型（如“锐二面角”）。 3.动态问题分析能力： 。能处理动点、动直线背景下的空间角问题（如设参数表示动点坐标，建立空间角的三角函数表达式）； 。能结合函数单调性、值域求解空间角的最值或范围（如二次函数最值、三角函数值域）。 三、综合应用目标 1.跨考点融合能力： 。能将空间角计算与空间位置关系证明（如先证线面垂直，再求线面角）、截面问题（如求截面与某平面 的二面角)、探索性问题（如是否存在点使线面角为定值）结合求解； 。能将不规则几何体通过补形转化为规则几何体（如补成长方体），再建立坐标系计算空间角。 2.规范答题能力： 。解答题中步骤完整：建系有依据，求法向量有方程组过程，代入公式有计算步骤，结果有结论； 。书写清晰：区分向量符号与坐标，关键公式、计算结果突出标注，避免因步骤缺失丢分。 3.易错点突破能力： 。规避“二面角与法向量夹角混淆”（牢记法向量方向影响符号，需结合图形判断）； 。规避“线面角公式用余弦值”（强化“线面角正弦值=方向向量与法向量夹角余弦值绝对值”的记忆）； 。规避“坐标系建立错误”（优先选择有三条两两垂直直线的顶点为原点）。 知识要点 一、 线线角的定义与求解 线线角主要是求异面直线所成角。 1、线线角的定义： ①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线QIa,b'b,把d与B'所成的锐角或直角叫 做异面直线4，b所成的角（或夹角） ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： (1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线， (2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角， (3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之· 4取金：因为异面直线所成角的取值范围是“2/ 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角. 3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）. ④空间向量法 二、线面角的定义与求解 1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°] 2、垂线法求线面角（也称直接法)： (I)先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A,过点A向平面0做垂线，确定垂 足O; (2)连结斜足与垂足为斜线AB在面C上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； (3)把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：sin8=,其中0是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长 4.空间向量求线面角 三、二面角的定义与求解 1、二面角的定义 (1)二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面. (2)二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 (3)二面角的大小范围：[0°，180°1 2、求二面角大小的一般步骤 (1)作：找出这个平面角； (2)证：证明这个角是二面角的平面角； (3)求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小. 3、确定二面角的平面角的方法： 方法一：定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律 (1)方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线。 (2)具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点， 在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB,则∠AOB为此二面角的平面角 方法二：三垂线法（面上一点双垂线法）-一最常用 (1)方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜 足)，斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 (2)具体演示：在平面Q内选一点A向另一个平面B作垂线AB,垂足为B,再过点B向棱a作垂线 BO,垂足为O,连接AO,则∠AOB就是二面角的平面角。 方法三：垂面法（空间一点垂面法） (1)方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平 面角。 (2)具体演示：过二面角内一点A作AB⊥a于B,作AC⊥B于C, 面ABC交棱a于点O,则∠BOC就是二面角的平面角。 0s0=射影 方法四：射影面积法求二面角 S (1)方法：已知平面阝内一个多边形的面积为S,它在平面&内的射影图形的面积为S射影， 平面&和平面B所成的二面角的大小为日，则C0S0=S 这个方法对于无棱二面角的求解很简便。 (2)以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。 证明：如图，平面阝内的△ABC在平面&的射影为△ABC,作AD⊥BC于D,连结AD. :AA1a于A,D∈a, ·AD在a内的射影为AD· 又·'AD⊥BC,BCcC, ∴.AD⊥BC (三垂线定理的逆定理）· ·LADA为二面角&一BC-B的平面角， 6 设△ABC和△ABC的面积分别为S和S,∠ADA=日，则 S=-BC.AD,S=-BC-A'D 2 2 .Cos0=A'D2 C.A'D AD BC-AD S 方法五：补形法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线，然后借 助前述的定义法与三垂线法解题. 法六：用空间向量求二面角的大小 解题策略 空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的解题核心是“选对方法+精准计算+规范验证”，优先掌握高 考高频的向量法，辅以几何法应对小题或特殊场景，以下分题型梳理策略： 一.核心方法总览：几何法s向量法 几何法：小题快速求解、几何体规则且易作辅助线计算量小、直观需精准作角（平移、射影、垂面） 向量法：解答题、几何体复杂或不易作辅助线步骤固定、无需空间构造建系要合理、坐标无错误、法向量 求解准确 二.通用解题步骤 1.审题：确定空间角类型，观察几何体特征（是否规则、有无垂直棱）； 2.选方法：规则几何体优先向量法，小题/易作辅助线用几何法； 3.计算：几何法重点作角，向量法重点求坐标和法向量； 4.验证：检查角的范围、三角函数值符号、计算过程； 5.作答：明确写出角的类型（如“锐二面角”）和最终结果（三角函数值或角度）。 题型归纳 异面直线所成角 题型01：平行四边形平移法求线线角 【典型例题1】如图，在三棱柱ABC·ABC中，底面ABC是正三角形，侧棱与底面ABC垂直，且 AB=4,AA=2V3,E,F分别是AC,BC的中点，则异面直线EF与CC,所成的角的余弦值为（） E B 4. v7 B. c.36 D. 5 7 2 7 2 【答案】D 【解析】如图，取AC的中点D,连接DF,DE, D B 则DE/CC,且DE=CC=25, 所以∠DEF为异面直线EF与CC所成的角（或其补角）， 又因为F是BC的中点，则DF=号B=-2, 又因为三棱柱ABC-AB,C的侧棱与底面垂直， 则DE⊥平面ABC,且GFC平面ABC,所以DE⊥DF, 在△D中，F=VDE+DF-4'所以os∠DEF=-5. E示=2故选：D. 【变式训练1-1】在正方体ABCD-ABCD,中，直线AB与BC所成角大小为 【客案 【解析】如图，连接AD,DB, D i D 由正方体性质知BC IIAD,则直线AB,与BC所成角即为∠DAB, 因AB,AD,DB都是正方体的面对角线，所以AB=AD=D,B, 故。B,D为等边三角形，放∠D1B号 【变式训练1-2】在平行六面体ABCD-ABCD,中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AA与底面ABCD垂直， M,N分别在BD和BD上，且BD=3BM,BD=3DN,AB=3,AA,=4,则异面直MN与AD,所成角的余 弦值为() D C A B C 、M B A. 7V19 B.77 C. 3v19 3w17 D. 34 34 17 17 【答案】B 【解析】取DM中点K,连接DK、AK, D B D K、M B 因为DN=KM-号DB,DNI/KM,所以四边形DNMK为平行四边形， 所以K/IMN,所以异面直线MN与AD所成角为∠ADK或其补角. 因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=3, 所以在△ADK中，利用余弦定理得AK=√AD+DK2-2AD·DK·cOs60°=√7， AD =AD+DD2=5,DK=KD2+DD2=17 9 在。ADK中，利用余弦定理得c0s∠ADK=D+DK2-AK_25+17-77N万 2AD·D,K 2×5×V17 34 7W17 所以异面直MN与AD所成角的余弦值为34 故选：B 【变式训练1-3】已知正三棱柱ABC-AB,C的所有棱长均相等，点M为AB,的中点，则异面直线AM与B,C所 成角的余弦值为() A. √15 B.6 c. 2 D.0 4 【答案】D 【解析】由题意，取AB的中点N,连接BN,则AM∥BV, 所以直线B,N与B,C所成角就是异面直线AM与BC所成角， 、M B 设正三棱柱的各棱长为2，则B,M=V5,B,C=2W2,CN=5, 在△B,NC中，由余弦定理可得 Cos∠WBC= BW2+BC2-CW2_N5)2+(22)2-(5)2_10 2BN·B,C 2×V5×2V2 4 10 即异面直线AM与BC所成角的余弦值为 4 ,故选：D 题型02：中位线平移法求线线角 【典型例题1】在正三棱柱ABC-AB,C中，AB=AA=2,E为棱AC的中点，则异面直线4E与BC所成角的 余弦值为（) A得 B.、5 10 c. 5 D.、5 【答案】A 【解析】记AB的中点为F,连接EF,AF,如图， 10