精品解析：湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期数学周考测试(13)

襄阳四中2024级高二年级上学期数学周测(13) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若双曲线方程为，则它的两条渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求得双曲线的渐近线方程. 【详解】依题意，双曲线方程为， 由，解得双曲线的渐近线方程为. 故选：A 2. 当实数变化时，方程表示的曲线不可能是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意由圆锥曲线的定义逐一判断即可. 【详解】当，即时，方程表示的曲线为圆； 当，，，即时，方程表示的曲线为椭圆； 当，即时，方程表示的曲线为双曲线； 方程无论如何不会出现一次项，故不能表示抛物线. 故选：D. 3. 已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求得直线的斜率，再利用斜截式方程求解，化为一般式方程即可. 【详解】由直线的方向向量为得直线的斜率为， 又在轴上的截距为，所以直线的方程为，即. 故选：C 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为抛物线的标准方程为，所以准线方程为， 故选：A. 5. 已知P是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右焦点，若=15，则=（ ） A. 31 B. 27 C. 3或27 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线定义结合三角形边长关系计算即可得. 【详解】由双曲线定义可得， 则，即或， 又，则， 故. 故选：B. 6. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值， 故选：B 7. 已知四棱柱的底面是正方形，以为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，若，，则四棱柱的体积为（ ） A. B. 12 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到四棱柱的高，然后根据列方程得到底面的边长，最后求体积即可. 【详解】 由得，所以该四棱柱的高为2， 设，则， 由，得，解得， 所以底面是边长为2的正方形，所以该四棱柱的体积为． 故选：C. 8. 在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴的正半轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面几何知识可知，当过、两点的圆与轴相切时，切点即为所求点，再由切割线定理可求得点的横坐标. 【详解】当过、两点的圆与轴相切时，切点即为所求点. 易得过、两点的直线方程为，其与轴交点为，易得，，由切割线定理得，所以，进而可得，点的横坐标为3. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是确定点的位置. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（ ） A. B. 若与互斥，则 C. D. 若与相互独立，则和至少有一个发生的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的概率公式分别判断各选项. 【详解】由，， A选项：，A选项正确； B选项：由与互斥，即事件与不能同时发生，即，B选项错误； C选项：， 当时，，此时取得最小值为， 当与互斥时，，此时取得最大值为，C选项正确； D选项：与相互独立，则，， 即，D选项错误； 故选：AC. 10. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左､右焦点分别为，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为，则该椭圆的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆长轴与短轴以及其定义，可得答案. 【详解】设椭圆的长轴长为； 若光线从沿长轴向左射出，则第二次经过时， 光走过的路程为，所以， 即，故； 若光线从沿长轴向右射出，则第二次经过时， 光走过的路程为，所以， 即，故； 若光线从沿其他方向射出，则第二次经过时， 光走过的路程为，所以，故. 故选：ABD. 11. 已知正方体的棱长，点P是线段（含端点）上的一个动点，点M在上底面内（含边界），且．下列结论正确的是（　　　） A. 点的轨迹长度为 B. 存在点P，使得直线与所成角为 C. 点到平面距离的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，利用勾股定理求长度确定点轨迹，再求弧长；对于选项B，通过异面直线所成角转化为共面角结合P的位置范围判断；对于选项C，建系利用点到平面的距离公式求解；对于选项D，通过展开平面，利用余弦定理求的最小值. 【详解】因为正方体的棱长，在中， ,由勾股定理得到 ,所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆弧，其长度为，故A项正确； 因为 ，所以就是直线与所成角, 因为正方体中平面且平面， 所以,所以中，所以,又因为，故B项错误. 以D为原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，,,，, 设平面的法向量为，,，则，令 则， 因为，所以点M到平面PBD的距离为 ； 当最大，最小时有最大值，即时距离有，故C项正确. 将 与 展开在一个平面上，此时的最小值就是 （为 展开后的点）， 所以 , ， 所以,，所以 由余弦定理得到： 所以，的最小值为，故D项正确. 故选:ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点，点是点关于平面的对称点，则________. 【答案】5 【解析】 【分析】求得点的坐标为，根据两点间距离公式即可得解. 【详解】因为点是点关于平面的对称点，所以点的坐标为， 所以. 故答案为：5. 13. 若圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将“圆上有4个点到给定直线的距离为1”转化为“两条与给定直线距离为1的平行直线均与圆相交”，再根据直线与圆的位置关系求解即可. 【详解】，即， 设与直线平行且距离为的直线方程为， 所以，解得或， 所以两条平行线的方程为，， 圆心到的距离为，圆心到的距离为， 由题意得圆与均相交，则，，即且， 所以  故答案为：． 14. 设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先算出点的坐标，进而求出椭圆的方程即可求得面积. 【详解】由对称性，不妨设点在轴的上方，由题意得， ，所以，即， 代入椭圆方程解得，所以，即， 所以,. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知两条直线：和：，过点作一条直线． （1）若过两条直线的交点，求直线的方程； （2）若夹在两条直线之间的线段恰被点平分，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出直线与的交点坐标，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出线与的交点坐标，由中点坐标公式及直线的点斜式方程求解即可. 【小问1详解】 由，解得，即直线与交于点， 则直线的斜率为，方程为，即. 【小问2详解】 设直线与的交点为，则点关于点的对称点， 依题意，点在直线上，即，解得，则， 直线的斜率为，方程为，即， 所以直线的方程为. 16. 已知圆. （1）若直线截圆所得弦长为，求的值； （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值. 【答案】（1）或 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式，以及圆的弦长公式，求出弦心距，进而求出结果； （2）根据题干条件，判断圆心角的度数，进而求出弦心距，进而判断两条直线间的距离，根据平行线之间的距离公式，求出结果. 【小问1详解】 由题意得圆心，半径为，当弦长为时，弦心距为， 可得，解得. 【小问2详解】 设直线和圆交于点，直线与圆交于点. 因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接，则， 所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为， 同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即. 17. 已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. （1）求E的方程； （2）已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合代入法进行求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意，设E的方程为，又E过点， 所以，解得， 所以E的方程为. 【小问2详解】 设，，由得， 因为， 所以，， 所以 ， 所以， 解得或. 18. 如图，平面，，，为的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接、， 、分别为、的中点，则且， 且，且， 所以，四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）建系，取得直线方向向量和平面法向量，代入夹角公式即可求解； （3）求得平面法向量，代入夹角公式即可求求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则、、、、， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令可得， 则， 设直线与平面所成角为， 则 【小问3详解】 ， 设平面的法向量为， 则， 设，则， 即， 又平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 则 19. 已知椭圆的左顶点为，且椭圆过点. （1）求的方程； （2）已知为的左焦点，在轴上有两动点，且. （i）若的外接圆与在第一象限的交点为，连接交轴于点，求； （ii）直线分别与交于点，求证：直线恒过定点. 【答案】（1） （2）（i）3； （ii）设直线的方程为 联立，消去整理得， 则. 因为，所以， 故，即，化简得， 因为，所以， 所以直线的方程为，即直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）根据左顶点及点在椭圆上列式计算求解； （2）（i）根据的外接圆是以为直径的圆再设化简得出，即可得出比值；（ii）设直线联立后应用斜率乘积计算得出即得定点. 【小问1详解】 因为椭圆的左顶点为，所以， 又椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由得，所以. 显然的外接圆是以为直径的圆， 则其方程为，化简得. 设，则， 消去得，， 化简得，又，所以， 所以. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2024级高二年级上学期数学周测(13) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若双曲线方程为，则它的两条渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 当实数变化时，方程表示的曲线不可能是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3. 已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知P是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右焦点，若=15，则=（ ） A. 31 B. 27 C. 3或27 D. 3 6. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知四棱柱的底面是正方形，以为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，若，，则四棱柱的体积为（ ） A. B. 12 C. 8 D. 4 8. 在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴的正半轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（ ） A. B. 若与互斥，则 C. D. 若与相互独立，则和至少有一个发生的概率为 10. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左､右焦点分别为，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为，则该椭圆的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长，点P是线段（含端点）上的一个动点，点M在上底面内（含边界），且．下列结论正确的是（　　　） A. 点的轨迹长度为 B. 存在点P，使得直线与所成角为 C. 点到平面距离的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点，点是点关于平面的对称点，则________. 13. 若圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是__________． 14. 设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知两条直线：和：，过点作一条直线． （1）若过两条直线的交点，求直线的方程； （2）若夹在两条直线之间的线段恰被点平分，求直线的方程． 16. 已知圆. （1）若直线截圆所得弦长为，求的值； （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值. 17. 已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. （1）求E的方程； （2）已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 18. 如图，平面，，，为的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆的左顶点为，且椭圆过点. （1）求的方程； （2）已知为的左焦点，在轴上有两动点，且. （i）若的外接圆与在第一象限的交点为，连接交轴于点，求； （ii）直线分别与交于点，求证：直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $