精品解析：山东省德州市第九中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

八年级期中考试数学学科试题 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 二十四节气是我国历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀．请你用数学的眼光观察下列四幅代表“谷雨”“小暑”“立秋”“小寒”的作品，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是马扎及其模型图，若，则马扎的宽可能为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 6 D. 7 4. 如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点 5. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C. 对顶角相等 D. 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 6. 如图，已知，，，用尺规作的平分线，下列四种作法中，正确的有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 7. 如图，在中，．以为边在的外侧作两个等边三角形和，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，平分，于点．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 若点与点关于x轴对称，则__________． 12. 如果，则x的值为________． 13. 如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点和点重合，折痕为．若，则________________． 14. 若等腰三角形一个外角是，则这个等腰三角形的顶角的度数是______． 15. 如图，在中，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是______． 三、解答题（共8个小题，共90分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在线段上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不用写作法）． （2）连接，求证：平分． 18. 在直角坐标系内的位置如图所示： （1）分别写出点，的坐标：的坐标：__________，的坐标：__________； （2）在这个坐标系内画出与关于x轴对称的，并写出点的坐标__________； （3）的面积为__________． 19. 如图，在中，，点D在上，且点D在的垂直平分线上，连接，分别过点A，C作于H、于M． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 如图，，，，，交于点，连接． （1）求证：； （2）求． 21. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB． （1）判断△DEF的形状，并说明理由； （2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 22. 我们知道，若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等．如图，已知在中，，D为的中点．若点P在线段上以每秒2个单位长度的速度从点B出发，向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度从点C出发，向点A运动，当点P到达点C停止运动时，点Q也同时停止运动，设运动时间为t（秒）（）． （1） ___________（用含t的代数式表示）． （2）若P，Q两点的运动速度相等，则经过1秒后，与是否全等，请说明理由． （3）若P，Q两点的运动速度不相等，则当点Q的运动速度a为多少时，能够使某时刻与全等？ 23. 已知线段直线l于点B，点D在直线上，分别以，为边作等边三角形和等边三角形，直线交直线于点F． （1）如图①，当点F在线段上时，求证：； （2）如图②，当点F在线段延长线上时，是否满足（1）的结论，请说明理由； （3）如图③，当点F在线段延长线上时，线段，，之间的数量关系为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期中考试数学学科试题 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 二十四节气是我国历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀．请你用数学的眼光观察下列四幅代表“谷雨”“小暑”“立秋”“小寒”的作品，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A.图形是轴对称图形，故此选项符合题意； B. 图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C. 图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D. 图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 如图是马扎及其模型图，若，则马扎的宽可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系．确定第三边的取值范围是解题的关键．由题意知，，即，然后判断作答即可． 【详解】解：根据题意，由三角形的三边关系得，， 综上所述，只有选项D正确， 故选：D． 3. 已知，，则的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂乘法的法则的逆向运用是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则，将化简为，再代入计算即可． 【详解】解：当，时， ． 故选：C． 4. 如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理． 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，据此解答即可求解． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：C． 5. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C. 对顶角相等 D. 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是命题的概念，全等三角形的性质，对顶角，绝对值以及垂直平分线的定义，根据相关性质定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，不成立； B、如果两个数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，不成立； C、对顶角相等的逆命题的相等的角是对顶角，不成立； D、线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题是到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，成立， 故选：D． 6. 如图，已知，，，用尺规作的平分线，下列四种作法中，正确的有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、角平分线的性质．根据等腰直角三角形的特殊性可知斜边中垂线，斜边上的高，做一个的角都是角的平分线，即可解题； 【详解】解：①根据图像可知是的平分线，正确； ②根据图像可知是 的垂直平分线， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴是的平分线，正确； ③根据图像可知是的高， ∵是等腰直角三角形 ∴是的平分线，正确； ④根据图像可知是做一个 等于另一个角， ∵， ∴ ∴是的平分线，正确； 故选：D. 7. 如图，在中，．以为边在的外侧作两个等边三角形和，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和及等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵、都是等边三角形，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 8. 如图，在中，，平分，于点．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是采用面积的割补法． 如图，过作于，利用角平分线的性质可以证明，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过作于， 平分，于点． ， 又，， 的面积为： 故选：D． 9. 如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，再结合三角形的外角性质可得，最后根据平角的定义即可求解． 【详解】解：由条件可知， 在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， ． 故选：C． 10. 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，利用“”可证即可判定①；由全等三角形的性质及等腰三角形的性质可得，即可判定②；利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，进而可得，即得，又由全等三角形的性质得，即得到，由三角形的边角关系可得，即得到，即可判定③④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ③∵，， ∴，， 又∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③错误； ④由③知，故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①②④， 故选：． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 若点与点关于x轴对称，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 12. 如果，则x的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答本题的关键． 逆用幂的乘方把原式变为，，然后比较指数求解． 【详解】解：因为， 所以， 因此， 所以， 由于底数相同，指数相等，即， 解得． 故答案为：． 13. 如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点和点重合，折痕为．若，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质． 根据折叠的性质和邻补角的定义求得的度数，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，由折叠的性质知：． ∵，， ∴． 又， ∴． 故答案为：． 14. 若等腰三角形一个外角是，则这个等腰三角形的顶角的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 根据题意求出等腰三角形的一个内角为，再分这个角是顶角、底角两种情况讨论求解即可. 【详解】解：等腰三角形一个外角是， 等腰三角形一个内角度数是， 当顶角的度数为时，两个底角的度数均为， 当底角的度数为时，顶角的度数为， 这个等腰三角形的顶角的度数是或， 故答案为：或. 15. 如图，在中，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示， ，是的平分线， 垂直平分，， ，， 由勾股定理得：， ， ，即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题、垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及三角形的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（共8个小题，共90分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算. （1）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可； （2）将化为，进而根据多项式的乘方法则计算即可. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在线段上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不用写作法）． （2）连接，求证：平分． 【答案】（1） 点D即为所求，如图所示： （2） 证明：在中，，， ， 由（1）得，， ， ∴， 平分． 【解析】 【分析】本题考查了作图—线段垂直平分线，掌握线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边对等角和角平分线的定义是解决本题的关键． （1）分别以点B、点C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于两点，作过这两点的直线，此时直线交和于点E和点D，此时，为的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质可得； （2）根据三角形内角和定理可得，再根据可得，进而即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在直角坐标系内的位置如图所示： （1）分别写出点，的坐标：的坐标：__________，的坐标：__________； （2）在这个坐标系内画出与关于x轴对称的，并写出点的坐标__________； （3）的面积为__________． 【答案】（1）； （2） 关于x轴对称的，如图 故． （3） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系相关知识点，根据点在坐标系中的位置写出坐标，轴对称图形的画法，网格中三角形面积的计算方法，解题的关键在于准确根据点的位置确定坐标，掌握轴对称的性质，计算三角形面积时，若顶点不在格点上，需用割补法． （1）根据网格点写出坐标即可； （2）关于轴对称时，点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，先描出点，，，再连接三角形即可； （3）用割补法求面积：用外接矩形面积减去周围三个直角三角形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 用割补法求面积： 故． 19. 如图，在中，，点D在上，且点D在的垂直平分线上，连接，分别过点A，C作于H、于M． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点D在的垂直平分线上， ∴， 、， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质； （1）由垂直平分线得到，再结合垂直和公共角即可证明； （2）由，得到，则，再根据三线合一得到，最后根据计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ∴， ∵， ， ，， ， ． 20. 如图，，，，，交于点，连接． （1）求证：； （2）求． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 在和中， ， ． ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由条件根据可证明，则结论得证； （2）由（1）可得，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 又， ． 21. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB． （1）判断△DEF的形状，并说明理由； （2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 【答案】 （1）△DEF是等边三角形， 理由是：∵AB=AD，∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形． ∴∠ABD=∠ADB=60°． ∵CE∥AB， ∴∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60°， ∴∠CED=∠ADB=∠DFE， ∴△DEF是等边三角形； （2）CF=4 【解析】 【分析】（1）证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，再由平行线的性质可得∠CED=∠EDF=∠DFE=60°，则结论得证； （2）连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，由△ABD是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=12，由（1）中△EDF是等边三角形，可得EF=DE=4，可得CF的长． 【详解】解：（1）略 （2）连接AC交BD于点O， ∵AB=AD，CB=CD， ∴AC是BD的垂直平分线， 即AC⊥BD． ∵AB=AD，∠BAD=60°， ∴∠BAC=∠DAC=30°． ∵CE∥AB， ∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°， ∴AE=CE=8， ∴DE=AD-AE=12-8=4． ∵△DEF是等边三角形， ∴EF=DE=4， ∴CF=CE-EF=8-4=4． 【点睛】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的逆定理，等边三角形的性质和判定等知识，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键． 22. 我们知道，若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等．如图，已知在中，，D为的中点．若点P在线段上以每秒2个单位长度的速度从点B出发，向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度从点C出发，向点A运动，当点P到达点C停止运动时，点Q也同时停止运动，设运动时间为t（秒）（）． （1） ___________（用含t的代数式表示）． （2）若P，Q两点的运动速度相等，则经过1秒后，与是否全等，请说明理由． （3）若P，Q两点的运动速度不相等，则当点Q的运动速度a为多少时，能够使某时刻与全等？ 【答案】（1） （2） 解：和全等，理由如下： ， ， ， ，点为的中点， ． ， 在和中， ； （3）当点的运动速度为个单位长度秒时，能够使与全等 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）先表示，再由即可求解； （2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等． （3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度； 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点、的运动速度不相等， ， 又与全等，， ，， ∴点，点运动的时间为秒， ． 当点的运动速度为个单位长度秒时，能够使与全等． 23. 已知线段直线l于点B，点D在直线上，分别以，为边作等边三角形和等边三角形，直线交直线于点F． （1）如图①，当点F在线段上时，求证：； （2）如图②，当点F在线段延长线上时，是否满足（1）的结论，请说明理由； （3）如图③，当点F在线段延长线上时，线段，，之间的数量关系为 ． 【答案】（1） 证明：如图①中，设交于． ，都是等边三角形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . （2） 如图②中，不满足（1）的结论，结论为：． 理由如下：     如图②中，同（1）可证， ，， ， ， ， ， ∵， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）如图①中，设交于．首先证明，推出，再证明即可解决问题； （2）如图②中，结论：．同（1）可证，推出，利用四边形的内角和为、平角定义可求出，进而求出，再证明即可解决问题； （3）图③中，结论：；类似（1）证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：结论：，理由如下： 如图③中，设交于． 同理可得：， ，， ， ， 结合（1）知， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $