第6章 图形的相似 单元检测题 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

《图形的相似》单元培优检测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．若4a＝7b（ab≠0），则下列比例式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若两个相似三角形的面积比为1：9，则这两个相似三角形的周长比（　　） A．1：9 B．1：3 C．1：1 D．无法确定 3．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．a＝4cm，b＝6cm，c＝5cm，d＝10cm B．a＝2cm，b＝3cm，c＝4cm，d＝6cm C．a＝2cm，b＝3cm，c＝4cm，d＝1cm D．，b＝3cm，c＝2cm， 4．如图，已知直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，若，DE＝3，则EF＝（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 5．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，△ABC与△DEF的面积之比是1：9，其中OE＝6，则OB的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，点P在△ABC的边AC上，若只添加一个条件，就可以判定△ABP∽ACB，则添加的条件可能是（　　） A． B．BP2＝AP•PC C． D．AB2＝AP•AC 7．人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”．如图，C为AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（　　） A．BC2+AC2＝AB2 B． C． D． 8．如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 9．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A．B． C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，点E为正方形内部一点，连接AE、BE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，点F落在BE的延长线上，BE的延长线交AD于点M，连接CF交BD于点N，若AM：AB＝1：3，则的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（每题4分，共24分） 11．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是1.6厘米，那么A、B两地的实际距离是　 　 千米． 12．如图1是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图2所示，动力臂OA＝100cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝25cm，则AC的长度是 　 　 cm． 13．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，△ADP和△ABC相似，则AP的长度为 　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（3，2），以原点O为位似中心，作△OAB的位似图形△OA'B'并把△OAB的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是　 　 ． 15．如图，等边△BDE的顶点D在等边△ABC的边AC上滑动，DE与AB交于点F，当AD：DC＝3：2时，AF：BF的值是 　 　 ． 16．如图，点O是▱ABCD对角线AC的中点，沿过点O的直线MN将▱ABCD折叠，使点A，B分别落在A'，B'处，NB'交CD于点E，A'B'交AD于点F，若点E是CD的中点，且，则△AMO与四边形MOCD的面积比为 　 　 ． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．已知实数a，b满足． （1）求的值． （2）若，求m的值． 18．如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形△A1B1C1． （1）在图中标出△ABC和△A1B1C1的位似中心点Q的位置，并写出点Q的坐标； （2）若以点O为位似中心，请你帮小明在图中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使它与△A1B1C1都在位似中心的同侧，且△A1B1C1与△A2B2C2的位似比为2：1； （3）若△A3B3C3与△A1B1C1在位似中心O的异侧，且位似比为2：1，直接写出此时点C3的坐标．（把右半边的格子增加一些 按照解答2的图来 画出13个网格） 19．如图，直线l1∥l2∥l3，且直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F． （1）若AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长； （2）若，AB＝7，求AC的长． 20．铁塔位于某市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔AB的高度，如图，在地面BC上取E、G两点，分别竖立高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔27m，并且开封铁塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆GH走3m到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 21．已知，四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，点E，F是对角线BD所在直线上的两点，且DE＝BF，∠AEC＝90°． （1）求证：四边形AECF是矩形． （2）若∠ADB＝90°，延长AD交EC于点N，若，求的值． 22．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． （1）当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？ （2）当t为何值时，△APQ的面积最大？求面积最大时点P的坐标． 23．如图，在6×6的方格纸ABCD中给出格点O和格点△EFG，请按要求画格点三角形（顶点在格点上）． （1）在图1中画格点△OPQ，使点P，Q分别落在边AD，BC上，且∠POQ＝90°； （2）在图2中画格点△GMN，使它与△EFG相似（但不全等）． 24．在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上． 【尝试初探】 （1）如图1，若平行四边形ABCD是正方形，E为BC的中点，∠AEF＝90°，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，∠B＝45°，∠AEF＝90°，AE＝EF，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，BF与DE交于点O，，求的值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B B D D C B A 二．填空题 11．16． 12．50． 13．4或9． 14．（1，2）或（﹣1，﹣2）． 15．6：19． 16．． 三．解答题 17．解：（1）已知实数a，b满足． ∴． （2）∵，， ∴， ∴3m＝2（2m﹣3）， ∴m＝6， 经检验，m＝6符合题意， ∴m＝6． 18．解：（1）连接A1A、C1C、B1B，它们的交点即为Q点，写出Q点的坐标即可，如图： ∴点Q即为所求位似中心， ∴点Q的坐标为（0，2）． （2）根据位似中心为原点O可得，则把A1、B1、C1点的横纵坐标都除以2得到点A2、B2、C2坐标，然后描点即可，如图：△A2B2C2即为所求， （3）如图：△A3B3C3即为所求， ∴此时点C3的坐标为（8，0）． 19．解：（1）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴DEEF＝6； （2）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB＝7， ∴BC， ∴AC＝7． 20．解：设塔的高度为x米， 由题得， 即， ∵， 即， ∴， ∵， 即， 解得x＝56， ∴开封铁塔的高度为56m． 21．（1）证明：连接AC交BD于O， ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∵DE＝BF， ∴OD+DE＝OB+BF， ∴OE＝OF， ∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠AEC＝90°， ∴四边形AECF是矩形； （2）解：设AE＝x，则AF＝2x， ∵∠EAF＝90°， ∴， ∵∠ADB＝90°， ∴， ∴， ∴x2x•AD， ∴， ∴，， ∵四边形AECF是矩形， ∴CE∥AF， ∴∠NED＝∠AFD，∠END＝∠FAD， ∴△EDN∽△FDA， ∴． 22．解：（1）∵A（0，6）、点B（8，0）， ∴AO＝6，BO＝8， ∵∠AOB＝90°， ∴AB10， 由题意得AP＝t，BQ＝2t， ∴AQ＝10﹣2t， 如图1，∠APQ＝∠AOB＝90°，则PQ∥OB， ∴△APQ∽△AOB， ∴， ∴， 解得t； 如图2，∠AQP＝∠AOB＝90°， ∵∠QAP＝∠OAB， ∴△AQP∽△AOB， ∴， ∴， 解得t， 综上所述，当t或t时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似． （2）如图3，作PD⊥AB于点D， ∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠DAP＝∠OAB， ∴△ADP∽△AOB， ∴， ∴ ∴PDt， ∴S△APQAQ•PD（10﹣2t）t（t）2+5， ∴当t时，S△APQ最大＝5， ∵AP＝t， ∴OP＝AO﹣AP＝6， ∴当t时，△APQ的面积最大，面积最大时点P的坐标为（0，）． 23．解：（1）如图，△OPQ即为所求（答案不唯一）； （2）如图，△GMN即为所求． 24．解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠FEC＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC， ∵E为BC中点， ∴， ∴tan∠FEC＝tan∠BAE， ∴， ∴， ∴； （2）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC交BC延长线于点H，连接AC，AF，则∠AGE＝∠EHF＝90°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠AGE+∠GAE＝∠AEG+∠CEF＝90°， ∴∠GAE＝∠CEF， ∵AE＝EF， ∴△AGE≌△EHF（AAS）， ∴GE＝FH，AG＝EH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥CB， ∴∠B＝∠DCH＝45°， ∴△ABG，△CFH是等腰直角三角形， ∴EH＝AG＝BG，GE＝FH＝CH， ∴GC＝GE+EC＝GE+EH﹣CH＝EH＝AG， ∴△AGC为等腰直角三角形， ∴∠ACG＝45°， ∴∠ACD＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∵AD∥CB， ∴∠D＝∠FCH＝45°， ∴△ACD为等腰直角三角形， ∴∠ACE＝∠D＝45°， ∵∠DAF+∠CAF＝∠EAC+∠CAF＝45°， ∴∠DAF＝∠CAF， ∵△ACD，△AEF都是等腰直角三角形， ∴， ∴△AEC∽△AFD， ∴； （3）延长AD，BF交于点G点，过点D作DM⊥BC于M，过点B作BN⊥DE交DE延长线于N， 不妨设BE＝3，EC＝4，则AD＝BC＝7，由，得DC＝AB＝5， 由tan∠BOE＝tan∠A， ∴，DM＝4， ∴EM＝1，， ∵∠BNE＝∠DME＝90°，∠BEN＝∠DEM， ∴△BNE∽△DME， ∴•，， ∴， ∴，， ∵AG∥BC， ∴△BEO∽△GDO，相似比为6：11， ∴， ∵AG∥BC， ∴△BCF∽△GDF， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/10 23:40:35；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $