精品解析：青海省西宁青海师范大学附属第二实验中学2025-2026学年上学期九年级11月期中数学试题

2025-2026学年师大二附中期中九年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为，点在外，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则b+c的值是（　　） A. ﹣10 B. 10 C. ﹣6 D. ﹣1 4. 如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的半径的长是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 小兰画了一个函数的图象如图，则关于的方程的解是（ ） A. 无解 B. C. D. 或 6. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 7. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 买一张彩票，一定会中奖 B. 经过十字路口，遇到绿灯 C. 任意画一个平面三角形，内角和是 D. 打开电视机，正在播放《新闻联播》 8. 如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是______． 10. 把方程配方为的形式，则______． 11. 已知关于的方程的一个根是－2，则另一个根是___________． 12. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，AC＝2，则EC＝______． 13. 若抛物线与轴有公共点，则的取值范围是______． 14. 如图，是的切线，是切点．若，则______________． 15. 已知A（0,3），B（2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_________. 16. 如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是_____． 17. 如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对圆周角的度数为_____． 18. 如图，是的直径，若，，则的长等于______． 三、解答题（本大题共10小题，共64分，其中第19、20每小题4分，第21、22、23、24、25每小题6分，第26、27每小题8分，第28题10分） 19. 解方程： 20. 若一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的侧面积为多少？ 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请你画出向左平移5个单位长度后得到的； （2）请你画出关于原点对称的； （3）在x轴上求作一点P，使的周长最小，此时点P的坐标为______． 22. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至48.6元，求平均每次降价的百分数． 23. 某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表： 等级 一般 较好 良好 优秀 阅读量/本 3 4 5 6 频数 12 14 4 频率 0.24 0.40 请根据统计表中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了______名学生；表中______，______，______； （2）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率． 24. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点．求证：． 25. 特产专卖店销售某品牌的薄皮核桃，进价为每袋元，现在按每袋元出售，平均每天售出袋．由于货源紧缺，现要涨价销售．经过市场调查发现，每袋售价每上涨1元，则平均每天的销售量会减少袋．若该专卖店销售这种核桃每天的利润为y元，每袋销售单价上涨x元， （1）求y与x的函数解析式 （2）求出当x是多少时，利润y有最大值，最大值是多少？ 26. 如图，是的直径，相切于，点是圆上一点，且，连接，． （1）求证：是的切线． （2）若，求点到弦的距离． 27. 阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点P是直线上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． （1）分别求出直线和这条抛物线的解析式． （2）若点P在第四象限，连接，求线段最长时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年师大二附中期中九年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 2. 已知的半径为，点在外，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系是关键：点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．根据点和圆的位置关系判断即可． 【详解】解：的半径为，点在外， ， 选项中只有， 的长可能是， 故选：D． 3. 若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则b+c的值是（　　） A. ﹣10 B. 10 C. ﹣6 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4， ∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c， 解得b=﹣2，c=﹣8 ∴b+c=﹣10． 故选A． 【点睛】熟练掌握根与系数的关系，并会灵活运用是解本题的关键. 4. 如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的半径的长是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】连接，设的半径为，则，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，代入后求出即可． 【详解】解：连接， 设的半径为，则， ，过圆心，， ，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即的半径长是5， 故选：A． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握垂径定理并熟练应用是解题的关键． 5. 小兰画了一个函数的图象如图，则关于的方程的解是（ ） A. 无解 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与一元二次方程的关系，二次函数图象与直线交点的横坐标即为一元二次方程的解．由图象可知，抛物线与轴的交点坐标分别为，，与轴的交点为，从而得到抛物线的对称轴，进而利用抛物线的对称性得到关于对称轴的对称点的坐标，进而得解． 【详解】解：由图象可知，抛物线与轴的交点坐标分别为，，与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， 关于的方程的解是或． 故选：D． 6. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题重点考查了二次函数图像平移，掌握其规律是解题的关键． 根据二次函数图像平移规律，“左加右减，上加下减”进行变换，即可得到答案． 【分析】解：抛物线向左平移个单位长度，得， 向下平移个单位长度，得， 故所得抛物线为． 故选：D． 7. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 买一张彩票，一定会中奖 B. 经过十字路口，遇到绿灯 C. 任意画一个平面三角形，内角和是 D. 打开电视机，正在播放《新闻联播》 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、买一张彩票，一定会中奖，是随机事件，不符合题意； B、经过十字路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意； C、任意画一个平面三角形，内角和是，是必然事件，符合题意； D、打开电视机，正在播放《新闻联播》，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 8. 如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确． 【详解】①∵抛物线的开口向上， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， 由得，， ， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即． 故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ， ， 故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时 故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤，有3个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键． 二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义求参数的取值范围．熟练掌握一元二次方程的二次项的系数不为0，是解题的关键． 10. 把方程配方为的形式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．把方程配方为，即可得到答案． 【详解】解：， 移项得，， 方程两边都加上16得，， 配方得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11. 已知关于的方程的一个根是－2，则另一个根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的另一个根为m，利用根与系数的关系得到-2m=1，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 根据题意得-2m=1，解得m=，即方程的另一个根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 12. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，AC＝2，则EC＝______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转可得：再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：∵由旋转可得： ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 13. 若抛物线与轴有公共点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系；熟记抛物线与x轴的交点个数和一元二次方程根的关系是解决问题的关键．当二次函数与x轴有一个交点时，则对应的一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数与x轴有两个交点时，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数与x轴没有交点时，则对应的一元二次方程没有实数根． 根据抛物线与x轴有公共点，可知判别式，从而求得m的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴有公共点， ∴方程有实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，是的切线，是切点．若，则______________． 【答案】130° 【解析】 【分析】由题意易得，然后根据四边形内角和可求解． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴由四边形内角和可得：， ∵， ∴； 故答案为130°． 【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 15. 已知A（0,3），B（2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_________. 【答案】（1,4）. 【解析】 【详解】解：把A（0,3），B（2,3）代入抛物线 解得：b=2，c=3， 所以， 即该抛物线的顶点坐标是（1,4） 故答案为：（1,4）. 16. 如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是_____． 【答案】﹣1＜x＜2 【解析】 【分析】根据图象得出取值范围即可． 【详解】解：因为直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点， 所以当y1＞y2时，﹣1＜x＜2， 故答案为﹣1＜x＜2 【点睛】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围． 17. 如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对圆周角的度数为_____． 【答案】30°或150° 【解析】 【分析】如图，连接圆心和弦的端点，可得等边，则圆心角为60°，再根据圆周角定理即可求出结果． 【详解】解：如图，由， ∴是等边三角形， ∴， ∴弦所对优弧上的圆周角，弦所对劣弧上的圆周角． ∴此弦所对圆周角的度数为30°或150°． 故答案为：30°或150°． 【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定与性质，属于基础题型，解本题需注意：在圆中，弦所对的圆周角是两个，它们互为补角． 18. 如图，是的直径，若，，则的长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数，继而求得的度数，最后由含角的直角三角形的性质与勾股定理，可求得、的长． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 三、解答题（本大题共10小题，共64分，其中第19、20每小题4分，第21、22、23、24、25每小题6分，第26、27每小题8分，第28题10分） 19. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用配方法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，． 20. 若一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的侧面积为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，解题的关键是掌握扇形的面积和弧长公式． 根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，即为扇形弧长，求出扇形半径即为圆锥的母线，然后利用扇形面积求出圆锥侧面积即可． 【详解】解：根据题意得，圆锥底面圆的周长为， ∴假设圆锥的母线为，根据题意得， ， 解得， ∴圆锥的侧面积为， ∴该圆锥的侧面积为． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请你画出向左平移5个单位长度后得到的； （2）请你画出关于原点对称的； （3）在x轴上求作一点P，使的周长最小，此时点P的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换、中心对称、轴对称-最短路线问题，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， ∴最小， 即的周长最小， 则点即为所求． 由图可知，点的坐标为． 故答案为：． 22. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至48.6元，求平均每次降价的百分数． 【答案】平均每次降价的百分数为 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分数为x，根据降价后的价格=降价前的价格×（1－降价的百分比）列出方程求解即可 【详解】解：设平均每次降价的百分数为x 根据题意得：， 解得：，（舍去）． 答：平均每次降价的百分数为. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程中增长率或下降率的实际运用，根据题意列出方程是关键 23. 某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表： 等级 一般 较好 良好 优秀 阅读量/本 3 4 5 6 频数 12 14 4 频率 0.24 0.40 请根据统计表中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了______名学生；表中______，______，______； （2）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率． 【答案】（1）50，20，， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，列表（树状图）求概率等，掌握定义和计算公式是解题的关键． （1）先求出总数，根据总数频率求出a，再根据频数总数求出b，最后用1分别减去三组数据的频率求出c即可； （2）列出所有可能出现的结果，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：总人数为， ，，； 故答案为：50 ，20，，； 【小问2详解】 解：记男生为A，女生为，，，列表如下： A A ∴由表可知，在所选2名同学中共有12种选法，其中必有男生的选法有6种， ∴所求概率为：． 24. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点O作OP⊥AB，由等腰三角形的性质可知AP=BP，再由垂径定理可知CP=DP，故可得出结论． 【详解】证明：如图所示，过点O作OP⊥AB，垂足为点P， 由垂径定理可得PA＝PB，PC＝PD，PA－PC＝PB－PD， AC＝BD． 【点睛】 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键． 25. 特产专卖店销售某品牌的薄皮核桃，进价为每袋元，现在按每袋元出售，平均每天售出袋．由于货源紧缺，现要涨价销售．经过市场调查发现，每袋售价每上涨1元，则平均每天的销售量会减少袋．若该专卖店销售这种核桃每天的利润为y元，每袋销售单价上涨x元， （1）求y与x的函数解析式 （2）求出当x是多少时，利润y有最大值，最大值是多少？ 【答案】（1） （2）每袋销售单价上涨5元时，获得最大利润为2250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次函数的实际应用，解题关键是找到题目中的等量关系列出解析式． （1）根据“总利润每袋利润每天销量”即可求解； （2）利用配方法及二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：利润为y元，每袋销售单价上涨x元，根据题意得， 【小问2详解】 当x＝5时，y有最大值，此时最大值为， 答：每袋销售单价上涨5元时，获得最大利润为元． 26. 如图，是的直径，相切于，点是圆上一点，且，连接，． （1）求证：是的切线． （2）若，求点到弦的距离． 【答案】（1） 证明：如图，连接，，则， ∵相切于， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， 又∵点是圆上一点， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，，由题意可证得，进而可得，即：，即可证明结论； （2）设与交于点，易知垂直平分，得，，由题意得，可知为等腰三角形，得，则，根据含的直角三角形的性质得，即可求得点到弦的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设与交于点， ∵，， ∴垂直平分， 则，， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴，则， ∵，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 即：点到弦的距离为． 【点睛】此题考查了切线的性质及判定，勾股定理，等边三角形的判定及性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的判定及性质，解决问题的关键在于要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 27. 阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法． 设，则原方程化为，用因式分解法解方程求出y的值，再求出x的值． 【详解】解：， 设， ∴原方程化为 或 解得或， 当时， 或 ∴； 当时， ，此时，此时无实数根， ∴原方程的根为． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点P是直线上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． （1）分别求出直线和这条抛物线的解析式． （2）若点P在第四象限，连接，求线段最长时点P的坐标． 【答案】（1）直线：，抛物线： （2） 【解析】 【分析】（1）将已知两点坐标代入解析式，求解方程组即可； （2）点P在第四象限，设，，则，所以时，取得最大值，得． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，得 ，解得 ∴． 设直线的解析式为，经过，得 ，解得 ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：点P在第四象限，设，， ∴． 时，取得最大值，． ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数性质；由坐标表示线段长，进而运用二次函数性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $