期末复习专题：三角形中十字交叉复习2025-2026学年浙教版九年级数学上册

2025年浙教版九年级第一学期期末复习专题：相似三角形中十字交 叉问题 1.如图，△ABC中，BC边上的中线AE与∠ABC的平分线BD交于F点，AD=AF. (1)求证：△ABF-△CBD: (2)求证：CD=2EF; (3)若DF=2, CD是，求r AD_2 D B E C 肉 1 2.如图，在△ABC中，AD、CE分别为BC、AB边上的高，且AD=9, SAABC ,求BD 的值。 ② D C 【解答】解：如图，连接DE, A 2 3.如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AB的中点，AD、CE相交于点G. I)求证：点=GD=1. CE AD3 10 2)若△ABC的面积是10cm,则△AGC的面积为_3cm2 D 3 BE 3 4如图，在△ABC中，D是AB边的中点，点E在BC边上，且 E2,CD与AE交于点 D F, CF的值. o F E 4 5.如图，△ABC中，BC边上的中线AE与∠ABC的平分线BD交于F点，AD=AF. (1)求证：△ABF△CBD: (2)求证：CD=2EF: (3)若AF=1,求CD. D D F B E C E C 5 6.在△ABC中，E,F分别为边AB,AC上的点，BF与CE相交于点D I)若AE=AB.AF=AC: 4 1 ②SACDF=3,则SAABC=20_; 2若AE=AB,AF=AC,SAcP n n A E B 6 7.如图，在△ABC中，F是AB的中点，DFAC,交BC于点D,G为BD上一点，连结 AG,交DF于点E. (1)求证： AEBD EG GD (2)若BG=GD,AC=9,求DE的长. E B G D 8.已知如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD=∠C,BE是角平分线交AD于点F. > (1)求证：△ABE一△BDF: (2)求证：AF:DF=CE:AE. E B D C 9.如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD=∠C,BE平分∠ABC,分别交AC、AD 于点E、F 8 (1)求证：△ABE一△DBF; AE CE (2)求证：DFAF E D IO.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，联结CD、AE交于点F,AF= FC,∠ADC=∠ACB, (1)求证：AC2=CDAE: 9 (2)如果点E是边BC的中点，求证：BC2=2ADAB D F B ⊙ 11.如图，△ABC中，BC边上的中线AE与∠ABC的平分线BD交于F点，AD=AF (1)求证：△ABF一△CBD: (2)求证：CD=2EF; (3)若DF=2,求BF. 10 2025年浙教版九年级第一学期期末复习专题：相似三角形中十字交叉问题 1.如图，△ABC中，BC边上的中线AE与∠ABC的平分线BD交于F点，AD＝AF． （1）求证：△ABF∽△CBD； （2）求证：CD＝2EF； （3）若，求BF． 【解答】（1）证明：∵AD＝AF， ∴∠ADF＝∠AFD， ∴∠ABF＝∠CDB， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABF＝∠CBD， ∴△ABF∽△CBD； （2）证明：取CD中点G，连接EG，如图， ∵AE是BC边上的中线，即点E为BC的中点， ∴EG是△CBD的中位线， ∴EG∥BD， ∴△ADF∽△AGE， ∴， ∵AD＝AF， ∴AG＝AE， ∴EF＝DG， ∵， ∴， ∴CD＝2EF； （3）解：如（2）中图，可知EG∥BD， ∵△CEG∽△CBD， ∴， ∵点G是CD的中点，点E为BC的中点， ∴， 设EG＝x，则BD＝2x， ∵DF＝2， ∴BF＝2x﹣2， ∵△ADF∽△AGE， ∴， ∴ ∴，即， ∴， ∵DG＝CG， ∴， 解得：， ∴， ∴． 2.如图，在△ABC中，AD、CE分别为BC、AB边上的高，且AD＝9，，求BD的值． 【解答】解：如图，连接DE， ∵AD、CE分别为BC、AB边上的高， ∴A、C、D、E四点共圆， ∴∠BDE＝∠BAC， ∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BAC， ∵S△BED：S△ABC＝1：4， ∴， ∴AB＝2BD， 在Rt△ABD中，根据勾股定理得： AB2﹣BD2＝AD2， ∵AD＝9， ∴3BD2＝81， ∴BD＝3． 3.如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AB的中点，AD、CE相交于点G． （1）求证：； （2）若△ABC的面积是10cm2，则△AGC的面积为 　　 cm2． 【解答】（1）证明：连接DE， ∵D、E分别是BC、AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC，DEAC， ∴△DEG∽△ACG， ∴， ∴； （2）解：∵E是△ABC的中点， ∴S△ACES△ABC， 由（1）知EG：CG＝1：2， ∴CGCE， ∴△ACG的面积S△ACES△ABC， ∵△ABC的面积是10cm2， ∴△AGC的面积为cm2． 故答案为：． 4.如图，在△ABC中，D是AB边的中点，点E在BC边上，且，CD与AE交于点F，求的值． 【解答】解：如图，过点D作DH∥BC交AE于H， ∴， 由条件可知AH＝HE， 由中点可知DH是△ABE的中位线， ∴， 由，设BE＝3x，则CE＝2x，， ∵DH∥BC， ∴△DFH∽△CFE， ∴， ∴， 5.如图，△ABC中，BC边上的中线AE与∠ABC的平分线BD交于F点，AD＝AF． （1）求证：△ABF∽△CBD； （2）求证：CD＝2EF； （3）若AF＝1，求CD． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∵AD＝AF， ∴∠3＝∠4， ∵∠3＝∠1+∠5，∠4＝∠2+∠C， ∴∠5＝∠C， ∴△ABF∽△CBD； （2）证明：过E点作EM∥BD交AC于M点，如图， ∵AE为中线， ∴BE＝CE， ∵EM∥BD， ∴1， 即CM＝DM， ∵DF∥EM， ∴， 而AD＝AF， ∴FE＝DM， ∴CD＝2DM＝2EF； （3）解：∵DF∥EM， ∴△ADF∽△AME， ∴， ∵AD＝AF＝1，EMBD，DMCD， ∴， 即①， ∵△ABF∽△CBD， ∴， 即②， ①+②得1， 解得CD． 6.在△ABC中，E，F分别为边AB，AC上的点，BF与CE相交于点D． （1）若，； ①　　 ； ②S△CDF＝3，则S△ABC＝　20　 ； （2）若，，S△CDF＝　　 S△ABC． 【解答】解：（1）①如图，连接EF， ∵，， ∴， 又∵∠A＝∠A， ∴△AEF∽△ABC， ∴∠AEF＝∠ABC，， ∴EF∥BC， ∴△EDF∽△CDB， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵△EDF∽△CDB， ∴， ∵S△CDF＝3， ∴S△BDC＝12， ∴S△BCF＝15， ∵， ∴， ∴S△ABC20， 故答案为：20； （2）∵，， ∴， 又∵∠A＝∠A， ∴△AEF∽△ABC， ∴∠AEF＝∠ABC，， ∴EF∥BC， ∴△EDF∽△CDB， ∴， ∴S△BCF＝（n+1）S△CDF， ∴S△ABCS△CDF， ∴S△CDFS△ABC， 故答案为：． 7.如图，在△ABC中，F是AB的中点，DF∥AC，交BC于点D，G为BD上一点，连结AG，交DF于点E． （1）求证：； （2）若BG＝GD，AC＝9，求DE的长． 【解答】（1）证明：∵DF∥AC， ∴，． ∵F是AB的中点， ∴BF＝FA， ∴BD＝CD， ∴． （2）解：∵BG＝GD，BD＝CD， ∴． ∵DF∥AC， ∴△EGD∽△AGC， ∴． 又∵AC＝9， ∴DE＝3． 8.已知如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝∠C，BE是角平分线交AD于点F． （1）求证：△ABE∽△BDF； （2）求证：AF：DF＝CE：AE． 【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， 设∠BAD＝∠C＝β，∠ABE＝∠CBE＝α， ∴∠ADB＝180°﹣2α﹣β，∠BAC＝180°﹣2α﹣β， ∴∠BAC＝∠ADB， 又∵∠ABE＝∠CBE， ∴△ABE∽△DBF； （2）∵△ABE∽△DBF， ∴∠BFD＝∠AEB，， ∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠AFE＝∠AEB， ∴AE＝AF， ∵∠BAD＝∠C，∠ABE＝∠CBE， ∴△ABF∽△CBE， ∴， ∴， ∵AE＝AF， ∴AF：DF＝CE：AE． 9.如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝∠C，BE平分∠ABC，分别交AC、AD于点E、F． （1）求证：△ABE∽△DBF； （2）求证：． 【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠C，∠DBA＝∠ABC， ∴△DBA∽△ABC， ∴∠BDA＝∠BAC， ∴∠BAE＝∠BDF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠DBF， ∴△ABE∽△DBF． （2）∵△ABE∽△DBF， ∴， ∵∠C＝∠BAF，∠CBE＝∠ABF， ∴△CBE∽△ABF， ∴， ∴． 10.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，联结CD、AE交于点F，AF＝FC，∠ADC＝∠ACB． （1）求证：AC2＝CD•AE； （2）如果点E是边BC的中点，求证：BC2＝2AD•AB． 【解答】证明：（1）∵AF＝FC， ∴∠ACD＝∠CAE， ∵∠ADC＝∠ACB， ∴△ACD∽△EAC， ∴， ∴AC2＝CD•AE； （2）∵∠ADC＝∠ACB，∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴AC2＝AD•AB， ∵△ACD∽△EAC， ∴△ABC∽△EAC， ∴， ∴AC2＝BC•CE， ∴AD•AB＝BC•CE， ∵E是BC中点， ∴， ∴AD•AB， ∴BC2＝2AD•AB． 11.如图，△ABC中，BC边上的中线AE与∠ABC的平分线BD交于F点，AD＝AF． （1）求证：△ABF∽△CBD； （2）求证：CD＝2EF； （3）若DF＝2，求BF． 【解答】（1）证明：∵AD＝AF， ∴∠ADF＝∠AFD， ∴∠AFB＝∠CDB， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABF＝∠CBD， ∴△ABF∽△CBD； （2）证明：取CD中点G，连接EG，如图， ∵AE是BC边上的中线，即点E为BC的中点， ∴EG是△CBD的中位线， ∴EG∥BD， ∴△ADF∽△AGE， ∴， ∵AD＝AF， ∴AG＝AE， ∴EF＝DG， ∵， ∴， ∴CD＝2EF； （3）解：如（2）中图，可知EG∥BD， ∵△CEG∽△CBD， ∴， ∵点G是CD的中点，点E为BC的中点， ∴， 设EG＝x，则BD＝2x， ∵DF＝2， ∴BF＝2x﹣2， ∵△ADF∽△AGE， ∴， ∴ ∴，即， ∴， ∵DG＝CG， ∴， ∵AD＝AF， ∴， ∵△ABF∽△CBD， ∴， ∴， 即x2﹣4x+2＝0， 解得：或， ∵EG＞DF＝2， ∴， ∴， ∴． 12.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2＝CE•CB． （1）求证：AE⊥CD； （2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF＝∠EAB． 【解答】证明：（1）∵AC2＝CE•CB， ∴． 又∵∠ACB＝∠ECA＝90° ∴△ACB∽△ECA， ∴∠ABC＝∠EAC． ∵点D是AB的中点， ∴CD＝AD， ∴∠ACD＝∠CAD ∵∠CAD+∠ABC＝90°， ∴∠ACD+∠EAC＝90° ∴∠AFC＝90°， ∴AE⊥CD （2）∵AE⊥CD， ∴∠EFC＝90°， ∴∠ACE＝∠EFC 又∵∠AEC＝∠CEF， ∴△ECF∽△EAC ∴ ∵点E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∴ ∵∠BEF＝∠AEB， ∴△BEF∽△AEB ∴∠EBF＝∠EAB． 13.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且． （1）求证：△ADF∽△ACG； （2）若，求证：AF＝FG． 【解答】证明：（1）∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC， ∴∠ADF＝∠C， ∵， ∴△ADF∽△ACG． （2）∵△ADF∽△ACG， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴AF＝FG． 14.如图，△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG平分∠BAC，交DE，BC于点F，G，且AD•AC＝AE•AB． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若△ADE与△ABC的周长之比是2：3，AG＝9，求FG的长． 【解答】（1）证明：∵AD•AC＝AE•AB， ∴， 又∵∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC； （2）∵△ADE∽△ABC且周长之比是2：3，AG平分∠BAC， ∴， 又∵AG＝9， ∴AF＝6， ∴FG＝3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $