专题13 相似三角形中的八大重要模型（几何模型讲义）数学浙教版九年级上册

专题13 相似三角形中的八大重要模型 本专题包含相似三角形中的八大重要模型，主要有：（双）A字型、（双）8（X）字型、母子型（共边共角模型）、手拉手模型、一线三等角模型、对角互补模型、半角模型、十字架模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）（1）如图1，在正方形中，E为的中点，作交于点F，连接． ①求证：； ②求证：； （2）如图2，在中，点E，F分别在边上，，，． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②求的长． 【答案】（1）①见解析②见解析（2）①，理由见解析② 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）①根据正方形的性质及角的等量代换即可证明； ②根据正方形的性质及题意，设，则，证明，作，得到，进而证明，即可得证； （2）①证明，列出比例式即可解答； ②作交于点H，证明，列出比例式即可解答． 【详解】解：（1）证明：①∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵正方形中，E为的中点， ∴设，则， ∵， ∴， ∴，，即， ∴， ∴， 如图，作交于点H， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：①， 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图，作交于点H， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·四川·阶段练习）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键． （1）先证点，点分别是线段的中点即可求解； （2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值； （3）如图3，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，又为的中点，可得，最后根据可确定、之间的关系． 【详解】（1）证明：点是中点， ， 交于点， ， 又点是中点， ， ， ； （2）如图2，过点作交于， ， ， ， ， ，即， ， ，即； （3）如图3，过点作交于， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）在中，，点P是外一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接． 观察猜想： （1）如图1，当时，的值为　　，直线与所成锐角的度数为　　°； 类比探究： （2）如图2，当时，求出的值及直线与所成锐角的度数并说明理由； 拓展应用： （3）如图3，在中，已知，点P是外一点，，，请直接写出的长度． 【答案】（1），；（2），，理由见解析；（3）． 【分析】（1）先判断和是等边三角形，进而得出，，进而判断，即可得出答案． （2）先判断和是等腰直角三角形，进而得出，进而，判断即可求出答案． （3）将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，作交于点，由题意得：，进而得到，得出，再判断，得到，求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴是等边三角形， ∴， ， 由旋转知， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 延长交于，于， 则为直线与所成锐角， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图，记的交点为， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ，即， ∴， ，， ∵， ∴， ， 即直线与所成锐角度数为； （3）将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，作交于点，如图： 由题意得：， ∵，， ∴，， ， ∴， ，， ∴， ， 同理可得：， ， ，即， ∴， ， ∵， ， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线是解题的关键． 4．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，，D为的中点，是射线上的一点，连接，，F是上一点，且满足，． (1)求证：A； (2)试分析：之间的数量关系； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题涉及几何综合题，涉及三角形相似、等腰直角三角形、全等三角形、线段关系等知识点，解题的关键是灵活运用相关知识； （1）可通过证明三角形全等，得到角的关系，，进而推出垂直； （2）分析之间的数量关系，需要结合等腰直角三角形的边长关系，再通过构造相似三角形，利用相似的性质求解即可； （3）首先证明出，利用性质进一步证明，得出，进一步证明，得出为的黄金分割点，即可求解． 【详解】（1）证明：，，D为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 即； （2）解：，理由如下： ，，D为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ； （3）解：， ， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 即为的黄金分割点， ． 5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）【综合与实践】 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列三个图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 问题1：如图1，在矩形ABCD中，，若对角线与互为双关联线段， 则______． 问题2：如图2，在等边中，点分别在边的延长线上，且，连接． 求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点F． 是等边三角形，，． ，，（______填写依据）． ，． ，． 补全余下证明过程 任务： (1)问题1中的______，问题2中的依据是______． (2)补全问题2的证明过程； (3)在问题（2）的基础上，若，求的值． 【答案】(1)，等角的补角相等； (2)见解析 (3)． 【分析】（1）设的交点为O，利用矩形的性质及已知可证明是等边三角形，由等边三角形的性质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题2的依据． （2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可，从而问题完成； （3）作交的延长线于点，设，则，，，证明，求得，再证明，即可求得． 【详解】（1）解：设的交点为O，如图； ∵四边形是矩形， ∴； ∵对角线与互为双关联线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：； 问题2中的依据是：等角的补角相等； 故答案为：等角的补角相等； （2）解：证明：延长交于点F． 是等边三角形， ，． ，， （等角的补角相等）． ， ． ，． 是的外角，   ， 是的外角， ， ， ， 即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是， ， 线段与线段是双关联线段； （3）解：作交的延长线于点， ∵， ∴设，则，，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质知识，掌握这些知识是解题的关键． 6．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）如图1，四边形，，． (1)如图2，当时，求证：； (2)试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质可得，从而得到，再结合三角形内角和定理可得，即可求证； （2）设，则，作，且使，连接交于点H，过点C作于点P，连接，先证明为等腰直角三角形，可得，再由，可得，为等腰直角三角形，从而得到，，，进而得到，可证明，可得到，从而得到，再由等腰三角形的判定，可得，然后根据三角形外角的性质可得，从而得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 设，则， 如图，作，且使，连接交于点H， 则， 过点C作于点P，连接， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 即，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理，三角形内角和定理等，（2）问中证明是解题的关键． 7．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）【问题提出】 已知：正方形和正方形有公共顶点，把正方形绕点顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长． 【问题探究】 （1）已知正方形的边长为，正方形的边长为．如图，若正方形的边落在正方形的边上，求的长． （2）已知正方形的边长为，正方形的边长为，如图，将正方形由图中的位置绕点顺时针旋转，求的长． 【拓展应用】 （3）如图，已知矩形和矩形全等，把矩形绕点顺时针旋转，使所在的直线恰好过的中点，当，时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用勾股定理求出的长； （2）连接，可证点、、三点共线，利用正方形的性质可求，再利用勾股定理求出的长度； （3）过点作垂足位于的延长线上，可证，利用相似三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：正方形的边长为，正方形的边长为， ，，， ∴， ∴E、A、B在同一直线上， ， 在中，， ； （2）解：连接，如图所示： 四边形是正方形， ， 由旋转可知，， 点、、三点共线， 正方形的边长为， ， 正方形的边长为， ，， 在中，； （3）解：延长，过点作于点M，如图所示： ∴， ， 四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， 四边形是矩形， ，，， 由旋转可知，， 在中，， ， ，， 在中，． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质．解决本题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 8．（2025·上海·模拟预测）正方形中，是边上一点，连接，过点作，垂足为点，且，连接． (1)求证：． (2)设直线交于点．连接，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）过点作，垂足为点，证明，再证是等腰直角三角形即可； （2）证明，由边成比例可得，再由即可得证． 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、勾股定理等，是关于三角形的综合题． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为点． ∵四边形是正方形， 在与中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴由勾股定理可知， ∴． 9．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，等边，为边上的一点，连接，为上一点，且，延长交于， (1)求证： (2)当为中点，且时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，则可得，再证明，根据相似三角形的性质即可得证； （2）过点作，交于点，先证明，根据全等三角形的性质可得，则可得，再设，则，证出，根据全等三角形的性质可得，然后证明，根据相似三角形的性质可得，代入解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在矩形中，是边的中点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由四边形为矩形，，可得，即可证明结论； （2）为的中点，根据勾股定理可得，再根据相似三角形的性质即可列出比例式求得的长，进而求得的长即可． 【详解】（1）证明：四边形为矩形，， ， ， ， ， ． （2）解：为的中点， ， 在中，由勾股定理可知，． ， ， ． 11．（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，平行四边形中，点E为边上任意一点（不与点C、D重合），连接并延长与的延长线交于点F． (1)图形中有哪几对相似三角形？请分别写出来． ， ， ， (2)若，，求的长及的值． 【答案】(1)；；；； (2)， 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和图形可以直接写出图中的相似三角形； （2）根据，，平行四边形的性质和相似三角形的性质可以求得的长及的值． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，，，，， ∴； 故答案为：；；；；； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，． 12．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，在正方形中，对角线，交于点O，点E，F分别在线段上，且，连接并延长交于点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质及菱形的判定，熟知对角线互相垂直且平分的四边形是菱形是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据证明是菱形； （2）证明，得出，由条件得出，，，由勾股定理求出，从而可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴，，， ∵， ∴ 即， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴是菱形； （2）解：∵四边形是正方形 ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴， ∴． 13．（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图1所示，已知四边形是正方形，点是边上的中点，连接，在线段上有一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接与延长线交于点． (1)证明：； (2)当点与点重合时，如图2所示，求的值； (3)当点与点不重合时，求、与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)在线段上：；在延长线上： 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质（、）、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用旋转的性质构造全等三角形，将分散的边和角转化为关联条件，结合正方形的特殊边角关系进行推理与计算． （1）由正方形性质得、，由旋转得、，推出；用证，即可得； （2）设正方形边长为（简化中点计算），用勾股定理求；由得，结合对顶角证，用相似比求；计算，进而求的值； （3）分两种情况：①当在CH延长线上时，过作垂线构造正方形DMHN，证得、，结合为中点得，推出； ②当在线段CH上时，过作垂线构造正方形，证得、，结合为中点得，推出． 【详解】（1）证明： ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）边上的中点是E，设正方形边长为， ∴， ， ∵， ∴ ∵ ， （3）解： ①当点G在的延长线上时， 如图所示． 过点 D 作， 的延长线于点， 则 ∵， ∴， ， ∴ ∴ ∴， ， ∴四边形 是正方形． ∴ ∴ ∵点E是的中点， ∴ ②当点G在线段上时， 过点 D 作 ， 的延长线于点Q，如图所示． 则 ∵ ， ∴， ∴ ∴， ， ∵ ∴ ∴四边形 是正方形， ∴ ∴ ∵点E是的中点， ∴ ∴ 14．（24-25九年级下·山西晋中·阶段练习）综合与实践 问题情境： 某学习小组在探究学习过程中，将两个不同大小的正方形和按图1所示位置放置，连接． (1)发现之间的关系是________________． (2)如图2，奋斗小组在图1的基础上，连接，取的中点，连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，梦想小组将图2的正方形改成矩形和，其中，其他条件不变，请直接写出的数量关系． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质以及三角形内角和定理解答即可； （2）延长至点K，使，连接，可得四边形是平行四边形，再证明，可得，即可解答； （3）延长至点H，使，连接，可得四边形是平行四边形，再证明，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形和都是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，延长至点K，使，连接， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形和都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长至点H，使，连接， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形和矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 15．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点在直线下方的抛物线上： ①如图2，连接，，，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标； ②如图3，连结、，交于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①  ② 【分析】（1）根据抛物线交点式，得到、两点坐标，再根据，求出点坐标，代入抛物线解析式求出的值即可； （2）①设点，分别用含的式子表示出、，进而得出，再利用二次函数的最值求解即可； ②求出直线的解析式，连结，交于点E，设，根据∽，则求出，过点E作于F，则证得∽，根据对应边成比例求出，即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①如图，设点， ∵点D在直线下方的抛物线上，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴当时，的值最大为12， 此时点D的坐标为； ②设直线的解析式为，则   ， 解得：， ∴直线的解析式为， 连结，交于点E，设， 若，则，即， ∴，则， 过点E作于F，则， ∴， ∴ 即， 解得：， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的最值问题，一次函数的与二次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，坐标与图形等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 16．（2024·广东·模拟预测）如图1，在中，．将绕点顺时针旋转得到，交于点，的延长线交于点． (1)求证：； (2)如图2，若，，当时，求的长度； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，根据证明，即可证明； （2）连接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，推出，求出，证明出，据此求解即可； （3）连接，延长和交于点G，证明，求得，得到，再证明，据此即可证明F是线段的中点． 【详解】（1）证明：连接， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，，， ∴， 由旋转的性质知，，， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ，即， 解得，故的长度为； （3）F是线段的中点．理由如下， 连接，延长和交于点G，如图， 由（1）知，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 17．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在正方形中，对角线，交于点O，点E，F分别在线段上，且，连接并延长交于点H，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质． （1）根据正方形的性质得到，，，根据得到，即可证明四边形是平行四边形，进而可证平行四边形是菱形； （2）根据正方形的性质得到，，可知，根据得到，即，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵在正方形中，对角线，交于点O， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，又， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵正方形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，等边三角形的边长为3，点、分别是、上的动点（点、与三角形的顶点不重合），且，、相交于点． (1)设线段为，线段为，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当的面积是的面积的2倍时，求的长； (3)点、分别在、上移动过程中，和能否互相垂直？如能，请指出点的位置；如不能，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)不可能互相垂直，见解析 【分析】（1）作，在直角中，利用勾股定理即可得到关于，的方程，即可写出函数关系式； （2）证，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解； （3）由，易证得，即可得和不可能互相垂直． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ∴， 作于 ，， ，，， ，； （2）， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， （舍，， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 的长为； （3）， ， ， 是等边三角形， ， 和不可能互相垂直． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解分式方程和一元二次方程等知识． 19．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】 已知点在内，，，，． 【初步探究】 （1）如图1，连接，当时， ①求证：； ②求的值． 【深入探究】 （2）如图2，当时，求的值． 【答案】（1）①见解析，②；（2） 【分析】（1）①直接根据两组对应角相等的两个三角形相似，即可得证； ②由等边三角形的性质和直角三角形的性质求得，进而证得，得，再由直角三角形的性质得，利用锐角三角函数求解即可； （2）利用相似三角形的性质与判定证得，进而证得，得，，再根据直角三角形的性质求得，设，则，，进而得，即可求解． 【详解】解：（1）①，， ∴； ②，， ∴和是等边三角形， ∴， ∵， ， ∵和是等边三角形， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ； （2），， ∴， ， ， ， ， ，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， ∴，， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及锐角三角函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 20．（24-25九年级下·浙江绍兴·自主招生）已知在中，． (1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交于点，使得是等腰直角三角形，求的长； (2)如图2，在边上取一点，连接，过点作交于点，使得是等腰三角形，求的长． 【答案】(1)1； (2)． 【分析】（1）过点作于点，先证明和全等得，，再证明和相似得，即，进而得，再根据即可得出的长； （2）过点作于点，根据等腰三角形性质得，，设，显然，在中，根据得，证明和相似得，则，由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理求出，继而即可得出的长． 【详解】（1）解：过点作于点，如图1所示： ， 在中，，，， ， ， ，是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于点，如图2所示： ， ，是等腰三角形， ，， 设，显然， 在中，， ， 在中，，，， ， 又， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：，或（不合题意，舍去）， ． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质和等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 21．（18-19九年级上·全国·单元测试）如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ，， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ，， ， ， ， 即， 由（1）知， ， ， ． 22．（2025·宁夏固原·三模）如图，在中，，以为直径作，分别交、于点上的点为、，连接、，线段与线段交于点． (1)求证：； (2)如果，，求的面积．（提示：连接） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的性质的应用，等腰三角形性质、勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为为直径，则，利用等腰三角形三线合一可证明，又可证，则，进而能证明，则题目结论即可证明； （2）连接，根据勾股定理求出，设，，再根据勾股定理求出，即可利用三角形面积公式求出面积． 【详解】（1）证明：为直径， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，连接， ，， ， ， ， 设， ， 在中， ， 即， ， ， ． 23．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，点D，E分别在边AC，AB上，BD，CE相交于点O，且，求证： (1)； (2)若，，，求BC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：①相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，②两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似． （1）根据两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似推出即可； （2）先证明，再由相似的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）知， ， ，， ，， 又 ， ，又， ， ，即， 解得． 24．（25-26九年级上·山东济南·开学考试）（1）如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且，则______． （2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，．求． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定： （1）根据正方形的性质得到证明三角形全等即可； （2）过点作于点，利用勾股定理和正方形的性质证明四边形是矩形，进而证明出，再求出比例即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）过点作于点， 四边形是矩形，且，， ，， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 25．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．下面是他们的探究过程． 数学思考：（1）如图1，在矩形中，，分别交于点E，F，分别交于点G，H．求证：． 深入探究：（2）如图2，四边形中，，，，，点M，N分别在边上，求的值． 拓展延伸：（3）如图3，在中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，且的延长线交边于点F．若，，，请直接写出的长． 【答案】（1）见详解（2）（3） 【分析】（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1，易证，，，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图3，易证四边形是矩形，由（1）中的结论可得．设，，则，，根据勾股定理列出方程组解出x，y，问题得以解决． （3）过点作，延长交于点，利用勾股定理求得，即可得，可证得，求得，进一步证得，有，即可求得． 【详解】解：（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1， 四边形是矩形， ∴，． 四边形、四边形都是平行四边形， ，． 又， ， ． 四边形是矩形， ， ， ． ， ， ， （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图2， 则四边形是平行四边形． ， 是矩形， ，，． ， 由（1）中的结论可得 ， 设，，则，， 在中，①， 在中，②， 由得③， 解方程组， 得（不合题意的值已舍）， ， ． （3）过点作，延长交于点，如图， 在中，，，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质与判定和勾股定理，解二元二次方程组，平行四边形的判定与性质等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键． 26．（2025·安徽安庆·三模）如图1，矩形中，为的中点，点在边上，与交于点，连接，． (1)若，求的值； (2)如图2，若，求证：矩形为正方形； (3)若，在（2）的条件下，猜想的长度，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，三角函数，矩形和正方形的性质与判定，解决本题的关键在于知识的灵活应用． （1）结合三角形相似与锐角三角函数得出相似比； （2）利用相似比与线段相等得到邻边相等，即可证出矩形为正方形； （3）根据三角形相似与方程思想列出式子，求解即可得出结果． 【详解】（1）证明： ∵， ∴， ∵为的中点， ， ∴， ∴， 又∵， ∴∽， ， ∴． （2）证明：∵∽， ∴， 又∵四边形是矩形， ∽， ∴， , ∵， ∴， ∴矩形为正方形． （3） 理由：∵∽， ， ， ∴， ， , ∴． 27．（2025·贵州铜仁·一模）【问题发现】 （1）如图所示，和是有公共顶点的等边三角形，则的值是______（请直接写出答案） 【类比探究】 （2）如图2所示，和是有公共顶点的含有角的直角三角形，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图所示，和是有公共顶点且相似比为的两个等腰直角三角形，将绕点自由旋转，若，当、、三点共线时，求的长． 【答案】（1）1；（2）；（3）或． 【分析】（1）证明，得出，即可得出结论； （2）在和中，，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，证明，即可求出的值； （3）分两种情况求出的长即可． 【详解】解： （1）如图． ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）如图所示． 在和中， ∵， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 分为两种情况： ①如图所示． 同理：， ∴， ∴， ∴， 由题意可知：， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解之得：（舍去）， ∴； ②如图所示． 同理：，， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解之得：（舍去）， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想考虑问题． 28．（2024·安徽合肥·二模）如图，点C是线段上一点，和是等边三角形．连接和，交于P点，和交于F点，和交于G点． (1)求证：； (2)求证：． (3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，则可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得证； （3）过点作于点，延长至，使得，连接，先利用勾股定理求出，再证出，根据相似三角形的性质求出的长，然后证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据等量代换可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点，延长至，使得，连接， ∵和是等边三角形，， ∴，， ∴，， ∴， 由（1）已证：， ∴， 由（2）已证：， ∴， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 29．（2026·江西·模拟预测）教材改编题改编自人教版八上P14 追本溯源 （1）如图（1），，相交于点E．与有什么关系？为什么？ 知识应用 （2）如图（2），相交于点E，，点F在上且．求证：是等边三角形． 拓展提升 （3）如图（3），相交于点E，，求的长． 【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3）9 【分析】（1）由三角形外角性质推得； （2）运用（1）结论，推出，得，即得； （3）在上取点G，使，连接，运用（1）结论，推出，得，证明，得 在中，运用勾股定理求出AG长，即得． 【详解】（1）．理由： ∵， ∴． （2）证明:∵， ∴由（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形 （3）如图，在上取点G，使，连接， 则由(1)可得，     ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，     ∴， ∴， ∴， ， 设， 则， ∴在中， 解得 (负值已舍去)， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，熟练掌握是解题的关键． 30．（2025九年级上·广东深圳·竞赛）已知四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点G． (1)如图，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论； (2)如图，若，，，，则________． 【答案】(1)，使得成立，见详解 (2) 【分析】（1）在的延长线上取点，使，由等腰三角形的性质得出．由平行四边形的性质得出，，证出，得出，因此．证明，得出对应边成比例，即可得出结论； （2）连接、，交于点，作于，由勾股定理求出，由证明，得出，由等腰三角形的性质得出，，证明，得出对应边成比例求出，由勾股定理求出，由的面积求出，证明，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，成立，理由如下： 如图所示，在的延长线上取点，使，则．    ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接、，交于点，作于，      ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，构造相似三角形是解答本题的关键． 31．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，正方形的边长为4，点为边上的一点，，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿射线运动，连接、、，设点运动的时间为秒（）． (1)用含的代数式表示的长度； (2)当为中点时，求的长度； (3)当时，求的值； (4)当为直角三角形时，直接写出的值； 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3) (4)或 【分析】（1）首先表示出，然后求出当点P和点C重合时，，然后分两种情况求解即可； （2）根据题意求出，，然后利用勾股定理求解即可； （3）如图所示，在延长线上取点F，使，证明出，得到，，证明出，得到，然后利用勾股定理求解即可； （4）根据题意分两种情况讨论，然后分别利用相似三角形和全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为4， ∴， ∵动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿射线运动， ∴， ∴当点P和点C重合时， ∴， ∴当时，；当时，； （2）解：当为中点时， ∵，， ∴ ∵ ∴； （3）解：如图所示，在延长线上取点F，使， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图所示，当时， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 ∴； 如图所示，当时， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当为直角三角形时，或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 32．（2024九年级下·山西·专题练习）综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，已知矩形为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，若，求的长． 数学思考：（1）请解答老师提出的问题． 实践探究：（2）如图2，希望小组将矩形沿其对角线折叠，与交于点．求的长． 问题解决：（3）如图3，分别为上一点，智慧小组将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边的中点处，与相交于点，直接写出的长． 【答案】（1）6；（2）；（3）． 【分析】（1）先利用矩形性质和折叠性质得到相关线段长度，再在直角三角形中用勾股定理列方程求解． （2）根据矩形和折叠性质得到角相等，进而推出线段相等，设未知数后用勾股定理求解． （3）结合矩形、折叠性质，利用勾股定理求出相关线段，再通过相似三角形性质计算． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，． ∵将矩形沿折叠，点的对应点落在边上， ∴，． 在中，； （2）∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵将矩形沿折叠， ∴， ∴， ∴． 设，则． 在中，， 即， 解得， ∴； （3）∵四边形是矩形，，，是中点， ∴，，，． 由折叠可知，，设，则． 在中，， 即， 解得， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即， ， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 33．（2025·山东泰安·三模）如图，在中，，平分，交于点，交于点，作交于点，交于点，且． (1)求的度数； (2)探究线段的数量关系，并说明理由； (3)若，求的值．（直接写出计算的结果） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（）设，则，，再根据三角形内角和定理即可求解； （）证明即可求证； （）过点作于，设，则，，由是等腰直角三角形可得，，即得，由得到，由可得，得到，，即得，由得，得到，即可得，，最后代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：，理由如下： ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点作于， ∵， ∴设，则，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 34．（24-25九年级下·全国·期末）如图1，在中，点为中点，点在上，、交于点，． (1)写出与相等的角：　　　　　． (2)若，求的值． (3)如图2，若，，，求（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）通过三角形内角和为，等量代换即可得； （2）过点作交于，证，可得，根据相似三角形的判定得，根据相似三角形的性质得出结果， （3），点为中点，得，在直角三角形中，由勾股定理可得结果． 【详解】（1）解：． ． ， 即， 故答案为； （2）过点作交于，如图， ．， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ，即， 设，， 则，， 解得， ， ； （3），点为中点， ， ， 由（2）知， 得， ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 相似三角形中的八大重要模型 本专题包含相似三角形中的八大重要模型，主要有：（双）A字型、（双）8（X）字型、母子型（共边共角模型）、手拉手模型、一线三等角模型、对角互补模型、半角模型、十字架模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）（1）如图1，在正方形中，E为的中点，作交于点F，连接． ①求证：； ②求证：； （2）如图2，在中，点E，F分别在边上，，，． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②求的长． 2．（25-26九年级上·四川·阶段练习）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 3．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）在中，，点P是外一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接． 观察猜想： （1）如图1，当时，的值为　　，直线与所成锐角的度数为　　°； 类比探究： （2）如图2，当时，求出的值及直线与所成锐角的度数并说明理由； 拓展应用： （3）如图3，在中，已知，点P是外一点，，，请直接写出的长度． 4．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，，D为的中点，是射线上的一点，连接，，F是上一点，且满足，． (1)求证：A； (2)试分析：之间的数量关系； (3)若，求的值． 5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）【综合与实践】 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列三个图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 问题1：如图1，在矩形ABCD中，，若对角线与互为双关联线段， 则______． 问题2：如图2，在等边中，点分别在边的延长线上，且，连接． 求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点F． 是等边三角形，，． ，，（______填写依据）． ，． ，． 补全余下证明过程 任务： (1)问题1中的______，问题2中的依据是______． (2)补全问题2的证明过程； (3)在问题（2）的基础上，若，求的值． 6．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）如图1，四边形，，． (1)如图2，当时，求证：； (2)试探究与的数量关系，并说明理由． 7．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）【问题提出】 已知：正方形和正方形有公共顶点，把正方形绕点顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长． 【问题探究】 （1）已知正方形的边长为，正方形的边长为．如图，若正方形的边落在正方形的边上，求的长． （2）已知正方形的边长为，正方形的边长为，如图，将正方形由图中的位置绕点顺时针旋转，求的长． 【拓展应用】 （3）如图，已知矩形和矩形全等，把矩形绕点顺时针旋转，使所在的直线恰好过的中点，当，时，求的长． 8．（2025·上海·模拟预测）正方形中，是边上一点，连接，过点作，垂足为点，且，连接． (1)求证：． (2)设直线交于点．连接，若，求证：． 9．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，等边，为边上的一点，连接，为上一点，且，延长交于， (1)求证： (2)当为中点，且时，求的值． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在矩形中，是边的中点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 11．（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，平行四边形中，点E为边上任意一点（不与点C、D重合），连接并延长与的延长线交于点F． (1)图形中有哪几对相似三角形？请分别写出来． ， ， ， (2)若，，求的长及的值． 12．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，在正方形中，对角线，交于点O，点E，F分别在线段上，且，连接并延长交于点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 13．（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图1所示，已知四边形是正方形，点是边上的中点，连接，在线段上有一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接与延长线交于点． (1)证明：； (2)当点与点重合时，如图2所示，求的值； (3)当点与点不重合时，求、与之间的数量关系． 14．（24-25九年级下·山西晋中·阶段练习）综合与实践 问题情境： 某学习小组在探究学习过程中，将两个不同大小的正方形和按图1所示位置放置，连接． (1)发现之间的关系是________________． (2)如图2，奋斗小组在图1的基础上，连接，取的中点，连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，梦想小组将图2的正方形改成矩形和，其中，其他条件不变，请直接写出的数量关系． 15．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点在直线下方的抛物线上： ①如图2，连接，，，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标； ②如图3，连结、，交于点，若，求点的坐标． 16．（2024·广东·模拟预测）如图1，在中，．将绕点顺时针旋转得到，交于点，的延长线交于点． (1)求证：； (2)如图2，若，，当时，求的长度； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点，求证：． 17．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在正方形中，对角线，交于点O，点E，F分别在线段上，且，连接并延长交于点H，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 18．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，等边三角形的边长为3，点、分别是、上的动点（点、与三角形的顶点不重合），且，、相交于点． (1)设线段为，线段为，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当的面积是的面积的2倍时，求的长； (3)点、分别在、上移动过程中，和能否互相垂直？如能，请指出点的位置；如不能，请说明理由． 19．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】 已知点在内，，，，． 【初步探究】 （1）如图1，连接，当时， ①求证：； ②求的值． 【深入探究】 （2）如图2，当时，求的值． 20．（24-25九年级下·浙江绍兴·自主招生）已知在中，． (1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交于点，使得是等腰直角三角形，求的长； (2)如图2，在边上取一点，连接，过点作交于点，使得是等腰三角形，求的长． 21．（18-19九年级上·全国·单元测试）如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 22．（2025·宁夏固原·三模）如图，在中，，以为直径作，分别交、于点上的点为、，连接、，线段与线段交于点． (1)求证：； (2)如果，，求的面积．（提示：连接） 23．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，点D，E分别在边AC，AB上，BD，CE相交于点O，且，求证： (1)； (2)若，，，求BC的长． 24．（25-26九年级上·山东济南·开学考试）（1）如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且，则______． （2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，．求． 25．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．下面是他们的探究过程． 数学思考：（1）如图1，在矩形中，，分别交于点E，F，分别交于点G，H．求证：． 深入探究：（2）如图2，四边形中，，，，，点M，N分别在边上，求的值． 拓展延伸：（3）如图3，在中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，且的延长线交边于点F．若，，，请直接写出的长． 26．（2025·安徽安庆·三模）如图1，矩形中，为的中点，点在边上，与交于点，连接，． (1)若，求的值； (2)如图2，若，求证：矩形为正方形； (3)若，在（2）的条件下，猜想的长度，并说明理由． 27．（2025·贵州铜仁·一模）【问题发现】 （1）如图所示，和是有公共顶点的等边三角形，则的值是______（请直接写出答案） 【类比探究】 （2）如图2所示，和是有公共顶点的含有角的直角三角形，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图所示，和是有公共顶点且相似比为的两个等腰直角三角形，将绕点自由旋转，若，当、、三点共线时，求的长． 28．（2024·安徽合肥·二模）如图，点C是线段上一点，和是等边三角形．连接和，交于P点，和交于F点，和交于G点． (1)求证：； (2)求证：． (3)若，求的值． 29．（2026·江西·模拟预测）教材改编题改编自人教版八上P14 追本溯源 （1）如图（1），，相交于点E．与有什么关系？为什么？ 知识应用 （2）如图（2），相交于点E，，点F在上且．求证：是等边三角形． 拓展提升 （3）如图（3），相交于点E，，求的长． 30．（2025九年级上·广东深圳·竞赛）已知四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点G． (1)如图，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论； (2)如图，若，，，，则________． 31．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，正方形的边长为4，点为边上的一点，，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿射线运动，连接、、，设点运动的时间为秒（）． (1)用含的代数式表示的长度； (2)当为中点时，求的长度； (3)当时，求的值； (4)当为直角三角形时，直接写出的值； 32．（2024九年级下·山西·专题练习）综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，已知矩形为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，若，求的长． 数学思考：（1）请解答老师提出的问题． 实践探究：（2）如图2，希望小组将矩形沿其对角线折叠，与交于点．求的长． 问题解决：（3）如图3，分别为上一点，智慧小组将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边的中点处，与相交于点，直接写出的长． 33．（2025·山东泰安·三模）如图，在中，，平分，交于点，交于点，作交于点，交于点，且． (1)求的度数； (2)探究线段的数量关系，并说明理由； (3)若，求的值．（直接写出计算的结果） 34．（24-25九年级下·全国·期末）如图1，在中，点为中点，点在上，、交于点，． (1)写出与相等的角：　　　　　． (2)若，求的值． (3)如图2，若，，，求（用含的式子表示）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $